Solução

www.fisicaexe.com.br
Uma carreta de massa M move-se sem atrito em trilhos horizontais com velocidade v 0.
Na parte dianteira da carreta coloca-se um corpo de massa m com velocidade inicial zero. Para
que comprimento da carreta o corpo não cairá da mesma? As dimensões do corpo em relação
ao comprimento da carreta podem ser desprezadas. O coeficiente de atrito entre o corpo e a
carreta é μ.
Dados do problema
•
•
•
•
•
velocidade da carreta:
massa da carreta:
velocidade inicial do corpo:
massa do corpo:
coeficiente de atrito entre o corpo e a carreta:
v 0;
M;
v 0B = 0;
m;
μ.
Esquema do problema
Adota-se um Nível de Referência (N.R.) na
superfície da carreta, Vamos considerar que o bloco
de massa m foi colocado na parte dianteira da
carreta de forma bastante suave, de modo que não
ocorram perturbações verticais no sistema além da
força peso do corpo e da reação normal da carreta
sobre o bloco. A aceleração da gravidade é igual a
figura 1
g.
A Energia Potencial inicial e final para o bloco e para a carreta são nulas, não há
mudança na posição vertical dos corpos em relação ao Nível de Referência
B
C
B
C
( E P i = E P i = E P f = E P f = 0 ).
B
No início para o bloco Energia Cinética é nula ( E K i = 0 ), pois sua velocidade inicial é
C
nula ( v 0 B = 0 ). A carreta possui Energia Cinética ( E K i ) devido a sua velocidade inicial ( v 0 ),
conforme figura 2.
figura 2
A velocidade do bloco aumentará a partir do repouso e da carreta diminuirá até que as
duas velocidades se igualem a v. No final o bloco e a carreta adquirem Energias Cinéticas
B
C
( E K f e E K f ), devido a velocidade ( v ).
Observação: para a Energia Cinética foi adotada a notação E K, ao invés da notação usual E C,
para não confundir o índice C da carreta.
1
www.fisicaexe.com.br
Neste problema a Energia Mecânica Total não se conserva, pois existe o trabalho da
força de atrito que dissipa parte da energia (E D na figura 2) durante o deslocamento do bloco
sobre a carreta,
Solução
Pela 1.a Lei de Newton “Todo corpo tende
a permanecer em repouso ou em movimento
retilíneo uniforme, a menos que uma força altere
seu estado”, então o bloco tende a permanecer
no ponto L onde foi colocado, mas como a carreta
se desloca para a direita, e existe atrito entre o
bloco e a carreta, ela age no bloco com uma força
de atrito para a direita (figura 3).
figura 3
Bloco:
•
•
•
 B : peso do bloco;
P
 B : reação normal da superfície;
N
f : força de atrito.
at
Na direção vertical o peso e a normal se anulam, não há
movimento na vertical
figura 4
N B −P B = 0
NB =P B
como a força peso que atua no bloco é dada por P B = m g a reação normal será
NB = mg
(I)
f
at
=NB
(II)
f
at
=mg
(III)
como a força de atrito é dada por
substituindo (I) em (II), vem
O trabalho da força de atrito será
f
at
ℑ=f
at
dB
(IV)
Para que o bloco não caia da carreta o seu deslocamento deve ser no máximo igual ao
comprimento da carreta ( d B = L ), substituindo este valor e a expressão (III) em (IV), temos
f
at
ℑ =mgL
(V)
Como a energia total do sistema deve ser a mesma no início e no final, devemos
igualar as energias cinética e potencial do bloco e da carreta e adicionar à energia final a
energia dissipada pelo trabalho da força de atrito ( E D = f ℑ )
at
EMi = EMf
B
B
C
C
B
B
C
C
E K iE P i E K i E P i = E K f E P f E K f E P f E D
2
2
2
Mv0
mv
Mv
00
0 =
0
f ℑ
2
2
2
at
2
www.fisicaexe.com.br
2
M v 0 mv 2 Mv 2
=

 m g L
2
2
2
2
Mv 0 mv2 Mv 2
m g L =
−
−
2
2
2
multiplicando toda a expressão por 2, temos
2
Mv 0 mv 2 M v 2
−
−
2
2
2
2
2
2
Mv 0
mv
Mv
2 mgL = 2
−2
−2
2
2
2
2 m g L = M v 20 −m v 2 −M v 2
m g L =
 x 2
colocando o termo – v 2 em evidência no lado direito da igualdade, obtemos
2
2
2 m g L = M v 0 −v  mM 
(VI)
A velocidade final do sistema pode ser encontrada usando a o Princípio da
Conservação da Quantidade de Movimento
B
C
B
C
Q i Q i = Q f Q f
B
Inicialmente a Quantidade de Movimento do bloco é nula ( Q i = 0 ), pois sua
velocidade inicial é nula ( v 0 B = 0 ). A carreta possui Quantidade de Movimento proporcional a
sua velocidade inicial ( v 0 ). No final o bloco e a carreta possuem Quantidades de Movimento
proporcionais a velocidade ( v ) comum aos dois corpos
0M v 0 = m vM v
M v 0 = m vM v
colocando o termo v em evidência no lado direito da igualdade, obtemos
M v 0 = v  mM 
Mv0
v=
mM
(VII)
substituindo a expressão (VII) em (VI), temos


2
Mv0
2 m g L = M v −
 mM 
mM
2 2
M v0
2
2  m g L = M v 0−
2  mM 
 mM 
2 2
M v0
2
2  m g L = M v 0−
 mM 
2
0
do lado direito da igualdade o Mínimo Múltiplo Comum (M.M.C.) entre ( m + M ) e 1 é ( m + M )
2
2
2
M v 0  mM −M v 0
 mM 
2
2 2
2 2
M mv 0 M v 0 −M v 0
2 m g L =
 mM 
M m v 02
2 mgL =
 mM 
2 m g L =
simplificando a massa do bloco m de ambos os lados da igualdade, temos
3
www.fisicaexe.com.br
2
v0
L=
2 g

M
M m

este é o comprimento mínimo para que o bloco não caia da carreta, para qualquer valor maior
que este o bloco obviamente não cai, então
2
L
v0
2 g

4
M
M m
