Solução

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Uma carreta de massa M move-se sem atrito em trilhos horizontais com velocidade v 0.
Na parte dianteira da carreta coloca-se um corpo de massa m com velocidade inicial zero. Para
que comprimento da carreta o corpo não cairá da mesma? As dimensões do corpo em relação
ao comprimento da carreta podem ser desprezadas. O coeficiente de atrito entre o corpo e a
carreta é μ.
Dados do problema
•
•
•
•
•
velocidade da carreta:
massa da carreta:
velocidade inicial do corpo:
massa do corpo:
coeficiente de atrito entre o corpo e a carreta:
v 0;
M;
v 0B = 0;
m;
μ.
Esquema do problema
Adota-se um sistema de referência no solo
com origem na parte traseira da carreta e orientado
para a direita (figura 1). Sendo L o comprimento da
carreta a parte dianteira está a uma distância S = L
da origem. Vamos adotar que o bloco de massa m
foi colocado na parte dianteira da carreta de forma
bastante suave, de modo que não ocorram
figura 1
perturbações verticais no sistema além da força
peso do corpo e da reação normal da carreta sobre o bloco. A aceleração da gravidade é igual
a g.
Solução
Pela 1.a Lei de Newton “Todo corpo tende
a permanecer em repouso ou em movimento
retilíneo uniforme, a menos que uma força altere
seu estado”, então o bloco tende a permanecer
no ponto L onde foi colocado, mas como a carreta
se desloca para a direita, e existe atrito entre o
bloco e a carreta, ela age no bloco com uma força
de atrito para a direita (figura 2-A). Essa força de
atrito altera o estado de repouso do corpo e
começa a arrastar o bloco para a direita com
aceleração a B.
Pela 3.a Lei de Newton “À toda ação
sempre se opõe uma reação igual: ou a ação
mútua de dois corpos um sobre o outro é sempre
igual, e dirigida em sentidos opostos”, assim à
ação da força de atrito da carreta no bloco opõefigura 2
se a reação da força de atrito do bloco na carreta,
de mesma intensidade, e dirigida para a esquerda (figura 2-B) o que vai produzir na carreta
uma desaceleração a C.
Isolando os corpos e analisando as forças que atuam neles podemos aplicar a 2.ª Lei
de Newton
 = m
F
a
Bloco:
•
•
•
 B : peso do bloco;
P
 B : reação normal da superfície;
N
f : força de atrito.
at
figura 3
1
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Na direção vertical o peso e a normal se anulam, não há movimento na vertical
N B −P B = 0
NB =P B
como a força peso que atua no bloco é dada por P B = m g a reação normal será
NB = mg
(I)
Na direção horizontal aplicando a 2.ª Lei de Newton temos a força de atrito como a
resultante
f
at
= maB
(II)
f
at
=NB
(III)
como a força de atrito é dada por
igualando as expressões (II) e (III), temos
N B = m a B
(IV)
m g = m a B
aB =  g
(V)
substituindo (I) em (IV), vem
Carreta:
•
•
•
 C : peso da carreta;
P
1 e N
 2 : reações normais da superfície;
N
−f : força de atrito, ∣ 
f ∣ = ∣ −
f ∣.
at
at
at
Na direção vertical o peso e as normais se
anulam, não há movimento na vertical.
figura 4
Observação: não é preciso escrever a equação da 2.a Lei de Newton para a direção vertical,
pois, a força de atrito que aparece na carreta ( −f a t ) tem o mesmo módulo da força de atrito
 B ) e não das reações normais
do bloco, e esta força depende da reação normal do bloco ( N
1 e N
 2 ). Se existisse atrito entre as rodas e os trilhos então esta
nas rodas da carreta ( N
força de atrito dependeria das reações normais nas rodas e da massa da carreta ( P C = M g ).
Na direção horizontal aplicando a 2.ª Lei de Newton temos a força de atrito como a
resultante
−f
at
= Ma C
(VI)
com a força de atrito dada pela expressão (III) acima
− N B = M a C
(VII)
substituindo (I) em (VII), obtemos
− m g = M a C
m g
aC = −
M
2
(VIII)
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O bloco sob a ação da força de atrito com a carreta começa a acelerar a partir do
repouso até uma velocidade final. A carreta sob a ação da força de atrito com o bloco começa a
desacelerar até uma velocidade final. Escrevendo a Equação de Torricelli para os dois corpos,
temos
2
2
v B = v 0 B2 a B Δ S B
2
v B = 02 g L
v 2B = 2 g L
2
2
v C = v 0 C 2a C ΔS C
m g
2
2
v C = v 0 −2
L
M
Observação: por que o deslocamento do bloco
Δ S B é igual ao deslocamento da carreta Δ S C
e igual ao comprimento da carreta L?
“Esquecendo” o sistema de referência no
solo, vamos considerar um ponto p na traseira da
carreta e um ponto q na dianteira, e adotemos
um outro sistema de referência no ponto p fixo
na carreta (figura 5). Para um observador em p
olhando para a dianteira ele vê o bloco
começando a se deslocar em sua direção com
velocidade inicial −v 0 , o módulo da velocidade
vai diminuindo até se anular quando o bloco
atinge o ponto p ( v 0v 1 v 2 ...v f = 0 ), de
modo que o bloco não caia da carreta. Assim o
bloco vai se deslocar todo o comprimento da
carreta ( Δ S B = L )
Atenção: pela figura 5 parece que o bloco se
desloca para trás, na verdade o bloco se desloca
para frente sob a ação da força de atrito. Visto do
referencial em p a carreta está fixa para o
observador e o bloco e os trilhos se deslocam
para trás, da mesma forma quando estamos
sentados num carro as árvores e as marcas da
estradas ficam para trás.
figura 5
Adotando agora um sistema
de referência fixo no bloco no ponto q
(figura 6). Para um observador no
bloco olhando para a traseira ele vê o
ponto p começando a se deslocar em
sua direção com velocidade inicial
v 0 , o módulo da velocidade vai
diminuindo até se anular quando o
ponto p atinge a posição do bloco
( v 0v 1 v 2 ...v f = 0 ), de modo
que o bloco não caia da carreta.
Assim o ponto p vai se deslocar de
uma distância igual ao comprimento
da carreta ( Δ S C = L )
figura 6
3
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Para que o bloco não caia da carreta devemos ter a condição de que quando o bloco
chega na parte traseira da carreta as velocidades finais do bloco e da carreta sejam iguais.
2
2
v B= vC
2
2  g L = v 0 −2
2  g L2
mg
L
M
mg
L = v 20
M
colocando o fator 2  g L em evidência do lado esquerdo da igualdade

2  g L 1
m
M

= v 20
na expressão entre parênteses o Mínimo Múltiplo Comum (M.M.C.) entre 1 e M é M, assim


M m
= v 20
M
2
v0
Mm
L
=
M
2g
2
v0
M
L=
2  g Mm
2 gL




este é o comprimento mínimo para que o bloco não caia da carreta, para qualquer valor maior
que este o bloco obviamente não cai, então
2
L
v0
2 g

4
M
M m
