Energia Potencial Elétrica Física I revisitada1 Seja um corpo de

5910233 – Física III (teórica) – FFCLRP – USP – Prof. Antônio Roque – Aula 7
Energia Potencial Elétrica
Física I revisitada1
Seja um corpo de massa m que se move em linha reta sob ação de
uma força F que atua ao longo da linha.
O trabalho feito pela força para deslocar o corpo de a para b é dado
por:
!
𝑊!→! =
𝐹𝑑𝑥.
!
A segunda lei de Newton nos dá:
𝐹 = 𝑚𝑎 = 𝑚
𝑑𝑣
.
𝑑𝑡
Substituindo na expressão para o trabalho:
!
𝑊!→! =
𝑚
!
𝑑𝑣
𝑑𝑥.
𝑑𝑡
A definição de velocidade nos dá:
𝑣=
1
𝑑𝑥
⟹ 𝑑𝑥 = 𝑣𝑑𝑡.
𝑑𝑡
Nota: Não será feita aqui uma revisão pormenorizada do conteúdo de Física I. Apenas alguns conceitos
1
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Substituindo na expressão para o trabalho:
!
𝑊!→! =
!
𝑑𝑣
𝑚
𝑣𝑑𝑡 =
𝑑𝑡
!
𝑚𝑣𝑑𝑣.
!
Como a massa do corpo é constante,
!
𝑊!→! = 𝑚
!
𝑣!! 𝑣!!
𝑣𝑑𝑣 = 𝑚
−
.
2
2
A energia cinética do corpo é definida por:
𝐾=
1
𝑚𝑣 ! .
2
Portanto, podemos escrever o trabalho feito pela força F como igual
à variação da energia cinética:
𝑊!→! =
1
1
𝑚𝑣!! − 𝑚𝑣!! = 𝐾 𝑏 − 𝐾 𝑎 = Δ𝐾. (1)
2
2
Este resultado é conhecido como teorema do trabalho-energia e
ele vale mesmo quando o movimento não se dá em linha reta e a
força não aponta na mesma direção do movimento (veja a figura
abaixo).
2
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Nesta figura, a curva C indica a trajetória do corpo (note que ela é
orientada) e 𝑑ℓ𝓁 é o vetor elemento de linha (um vetor infinitesimal
com a direção da reta tangente à trajetória em cada ponto e o sentido
do movimento do corpo). A força atuando sobre o corpo também
está indicada no desenho. Note que ela faz um ângulo com 𝑑ℓ𝓁.
Se o elemento de trabalho feito pela força 𝐹 para deslocar o corpo ao
longo de C por um elemento de linha 𝑑ℓ𝓁 for indicado por
𝑑𝑊 = 𝐹 ∙ 𝑑ℓ𝓁 = 𝐹 cos 𝜙 𝑑ℓ𝓁, (2)
onde φ é o ângulo entre 𝐹 e 𝑑ℓ𝓁, então o trabalho feito por 𝐹 para
deslocar o corpo ao longo da trajetória C de a para b é indicado por
!
𝑊!⟶!
!
=
!
𝐹 ∙ 𝑑ℓ𝓁 =
!!
𝐹 cos 𝜙 𝑑ℓ𝓁, (3)
!!
e o teorema do trabalho-energia nos diz que:
!
𝑊!⟶!
= Δ𝐾 = 𝐾 𝑏 − 𝐾 𝑎 . (4)
Note que, em geral, o trabalho feito pela força 𝐹 para levar o corpo
de a para b depende da trajetória C por onde o corpo vai de a para b.
Uma pergunta que podemos fazer é se existe algum tipo de força tal
que o trabalho feito por ela para levar um corpo de a para b não
depende da trajetória C.
3
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Não sabemos se existe tal tipo de força2, mas por ora vamos supor
que existe. Portanto, nos próximos parágrafos vamos assumir como
hipótese que a força do nosso problema é tal que o trabalho feito por
ela não depende da trajetória.
Assumindo que o trabalho feito pela força independe da trajetória, a
equação (4) nos diz que a variação da energia cinética do corpo
quando ele se move de a para b depende apenas desses dois pontos.
Uma característica do movimento do corpo que está implícita na
afirmação acima é que a energia cinética do corpo varia quando ele
vai de a para b.
Outra pergunta que podemos fazer neste caso é se não seria possível
inventar uma grandeza que não varie durante o movimento do
corpo, isto é, que permaneça constante durante o movimento.
Vamos designar essa possível grandeza invariante por E e vamos
chamá-la de energia do corpo3.
2
3
Na verdade sabemos, pois já fizemos Física I.
A palavra energia vem do grego energeia (ἐνέργεια) e significa força, vigor, atividade, firmeza.
4
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Como a energia cinética K não permanece constante durante o
movimento do corpo, para que essa nova grandeza E permaneça
constante é necessário adicionar “algo” a K para que a soma de K
com esse “algo” permaneça constante e seja igual a E:
E ≡ K + “algo”.
Já que estamos usando o termo energia, vamos chamar este “algo”
de energia potencial. Vamos designá-lo por U. Então,
E ≡ K + U.
(5)
Como queremos que E permaneça constante durante o movimento
do corpo, devemos ter:
Δ𝐸 = 0 ⟹ Δ 𝐾 + 𝑈 = 0.
Ou seja,
Δ𝐾 + Δ𝑈 = 0.
Ou ainda,
Δ𝑈 = −ΔK.
O símbolo Δ indica o valor da grandeza em b menos o valor da
grandeza em a. Logo:
𝑈 𝑏 − 𝑈 𝑎 = − 𝐾 𝑏 − 𝐾(𝑎) .
Então:
𝐾 𝑎 + 𝑈 𝑎 = 𝐾 𝑏 + 𝑈(𝑏),
ou,
5
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𝐸 𝑎 =𝐸 𝑏 .
Nossa conclusão é que, dada a hipótese central sob a qual se baseou
nosso estudo acima:
• A força 𝐹 é tal que o trabalho feito por ela para levar um corpo
de um ponto a para um ponto b não depende da trajetória
usada.
Então é possível inventar uma grandeza energia E que permanece
constante ao longo do movimento do corpo.
A constância da energia é possível porque inventamos outra
grandeza, denominada energia potencial U, que depende apenas do
ponto ocupado pelo corpo, U = U(x), tal que variações na energia
cinética K correspondem exatamente a variações opostas na energia
potencial U: ΔK = −ΔU.
Uma força tal que o trabalho feito por ela para levar um corpo de um
ponto inicial a para um ponto final b dependa apenas dos pontos e
não da trajetória usada é chamada de conservativa.
Podemos resumir o que fizemos acima dizendo que:
i.
Se encontrarmos uma força conservativa,
6
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ii.
Podemos definir uma energia potencial U associada à força,
cujo valor depende apenas do ponto onde está o corpo, tal que
variações em U sejam exatamente iguais a variações na energia
cinética K, mas de sinal contrário, e
iii.
Portanto, é possível definir uma energia E = K + U que
permanece constante durante o movimento do corpo.
Um tipo importante de força em física é o que se chama de força
central. Uma força central tem sua origem num centro de força e
atua sobre um corpo ao longo da linha reta que une o corpo ao
centro de forças. Exemplos são a força gravitacional (p. ex., o centro
do Sol é o centro de força da força gravitacional que ele exerce
sobre a Terra) e a força elétrica (p. ex., o centro de uma carga
puntiforme é o centro de força da força elétrica que ela exerce sobre
uma carga de prova à distância r dela).
Uma força central pode ser expressa como
𝐹 = 𝐹 𝑟 𝑟, (6)
onde 𝑟 é o versor que define a direção radial entre o centro de força
e o ponto à distância r do centro. Note que 𝐹 pode ser atrativa ou
repulsiva.
7
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Quando uma partícula se move se um ponto a para um ponto b ao
longo de uma trajetória C sob a ação de uma força central, o trabalho
feito pela força é dado por (3):
!
𝑊!⟶!
!
=
!
𝐹 ∙ 𝑑ℓ𝓁 =
!!
𝐹(𝑟)𝑟 ∙ 𝑑ℓ𝓁.
!!
Esta equação pode ser reescrita decompondo-se o vetor elemento de
linha 𝑑ℓ𝓁 nas suas componentes ao longo da direção radial 𝑟 e da
direção perpendicular a 𝑟, que vamos chamar aqui de 𝑝 (veja a
figura abaixo).
Sendo assim:
!
𝑊!⟶!
!
=
!
𝐹(𝑟)𝑟 ∙ 𝑑ℓ𝓁 =
!!
!
𝐹(𝑟)𝑑𝑟𝑟 ∙ 𝑟 +
!!
𝐹(𝑟)𝑑𝑝𝑟 ∙ 𝑝 ⇒
!!
8
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⟹
!
𝑊!⟶!
!
=
𝐹 𝑟 𝑑𝑟.
!!
Note que F(r) só depende da variável r, de maneira que o resultado
da integral acima só vai depender dos pontos inicial e final (e não
mais da trajetória C).
Portanto, no caso de uma força central o trabalho feito pela força
para levar um corpo de um ponto a a um ponto b não depende da
trajetória:
!
𝑊!⟶!
!
=
𝐹 𝑟 𝑑𝑟. (7)
!
Portanto, forças centrais são conservativas.
Energia potencial elétrica
A força elétrica é uma força central. Por exemplo, a força exercida
por uma carga Q sobre uma carga de prova q é
𝐹 = 𝑞𝐸 = 𝑞
𝑄 𝑟
= 𝐹(𝑟)𝑟.
4𝜋𝜀! 𝑟 !
Portanto, como visto na revisão acima, é possível associar uma
energia potencial à força elétrica.
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Essa energia potencial só depende da posição 𝑟 em que está a carga
q em relação ao centro de força. Ela será indicada por U e será
chamada de energia potencial elétrica.
Devido ao fato de a força elétrica ser conservativa, o trabalho feito
por essa força para levar uma carga q de um ponto a a um ponto b
independe da trajetória e satisfaz:
𝑊!→! = −Δ𝑈 = − 𝑈! − 𝑈! . (8)
Segundo esta equação, quando o trabalho feito pela força elétrica é
positivo 𝑊!→! > 0 , a variação na energia potencial é negativa
(ΔU < 0) e vice-versa.
Para exemplificar isso, consideremos o caso de uma carga de prova
q0 movendo-se em um campo elétrico uniforme (por exemplo, o
campo gerado no interior de duas placas planas e paralelas como
mostra a figura abaixo).
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Consideremos dois pontos, a e b, ao longo de uma linha horizontal
no interior das placas. A distância entre os pontos é d (veja a figura
acima)
Vamos considerar inicialmente o caso em que a carga q0 é positiva
(q0 > 0). Quando a carga se move no mesmo sentido do campo, ou
seja, de a para b, o trabalho feito pela força elétrica é:
!
𝑊!→! =
!
𝑞! 𝐸 ∙ 𝑑𝑥 = 𝑞! 𝐸 𝑏 − 𝑎 = 𝑞! 𝐸𝑑 > 0.
De (8) temos:
Δ𝑈 = −𝑊!→! < 0.
A energia potencial elétrica diminui quando a carga positiva q0 passa
de a para b (mesmo sentido do campo elétrico e mesmo sentido da
força elétrica sobre q0).
Por outro lado, quando essa carga positiva q0 se move no sentido
contrário ao do campo elétrico, por exemplo de b para a, o trabalho
feito pela força elétrica é:
!
𝑊!→! =
!
𝑞! 𝐸 ∙ 𝑑𝑥 = 𝑞! 𝐸 𝑎 − 𝑏 = −𝑞! 𝐸𝑑 < 0.
Neste caso,
Δ𝑈 = −𝑊!→! > 0,
11
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ou seja, a energia potencial elétrica aumenta quando a carga q0 se
move no sentido contrário ao do campo elétrico (e sentido contrário
ao da força elétrica sobre q0).
Consideremos agora o caso em que a carga q0 é negativa (q0 < 0).
Quando a carga se move no mesmo sentido do campo, de a para b, o
trabalho feito pela força elétrica é:
!
𝑊!→! =
−𝑞! 𝐸 ∙ 𝑑𝑥 = −𝑞! 𝐸 𝑏 − 𝑎 = −𝑞! 𝐸𝑑 < 0.
!
Portanto:
Δ𝑈 = −𝑊!→! > 0.
A energia potencial elétrica aumenta quando a carga negativa −q0 se
movimenta no mesmo sentido do campo elétrico (que é o sentido
contrário ao da força elétrica sobre q0).
Por fim, quando a carga negativa q0 se move no sentido contrário ao
do campo elétrico, de b para a, o trabalho feito pela força elétrica é:
!
𝑊!→! =
!
−𝑞! 𝐸 ∙ 𝑑𝑥 = −𝑞! 𝐸 𝑎 − 𝑏 = 𝑞! 𝐸𝑑 > 0.
Neste caso,
Δ𝑈 = −𝑊!→! < 0,
12
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ou seja, a energia potencial elétrica diminui quando a carga negativa
q0 se move no sentido contrário ao do campo elétrico (mas que é o
mesmo sentido da força elétrica sobre ela).
Observe
com
cuidado
os
resultados
acima.
Note
que,
independentemente do sinal da carga q0, quando ela se move no
mesmo sentido da força elétrica a energia potencial elétrica diminui.
Por outro lado, quando a carga q0 se move no sentido contrário ao da
força elétrica atuando sobre ela a energia potencial elétrica aumenta.
Compare este resultado com o de uma partícula de massa m
movendo-se em um campo gravitacional uniforme 𝑔. Quando a
partícula cai, indo de uma altura maior para uma menor, ela se move
no mesmo sentido da força gravitacional. Neste caso ela perde
energia potencial gravitacional. Já quando a partícula sobe, indo de
uma altura mais baixa para uma maior, ela se move no sentido
contrário ao da força gravitacional. Neste caso, ela ganha energia
potencial gravitacional.
O resultado acima vale para um campo elétrico uniforme. Como será
no caso geral de uma carga de prova q0 movendo-se ao longo de
uma trajetória qualquer de um ponto a para um ponto b na presença
de um campo elétrico gerado por uma carga Q?
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Veja a figura abaixo. Vamos supor, para simplificar, que a origem
do sistema de coordenadas coincide com o centro da carga Q (o
centro de força).
O trabalho feito pela força elétrica quando a carga q se move de a
para b é (lembre-se que a trajetória pode ser qualquer uma):
!
𝑊!→! =
!
𝐹 ∙ 𝑑ℓ𝓁 =
!
!
!
𝑞! 𝐸 ∙ 𝑑ℓ𝓁 =
!
𝑞! 𝑄 𝑑𝑟
𝑟 ∙ 𝑟 ⟹
4𝜋𝜀! 𝑟 !
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!
⟹ 𝑊!→! =
!
⟹ 𝑊!→! =
𝑞! 𝑄 𝑑𝑟
𝑞! 𝑄
1
=
−
4𝜋𝜀! 𝑟 ! 4𝜋𝜀!
𝑟
!
!
=
𝑞! 𝑄
1 1
− +
⟹
4𝜋𝜀!
𝑟! 𝑟!
𝑞! 𝑄 1 1
−
= −Δ𝑈 = − 𝑈 𝑏 − 𝑈(𝑎) ⟹
4𝜋𝜀! 𝑟! 𝑟!
⟹ 𝑈 𝑏 − 𝑈(𝑎) =
1 𝑞! 𝑄
1 𝑞! 𝑄
−
.
4𝜋𝜀! 𝑟!
4𝜋𝜀! 𝑟!
Portanto, podemos definir a energia potencial elétrica associada às
cargas q0 e Q quando elas estão separadas pela distância r por
𝑈 𝑟 =
1 𝑞! 𝑄
. (9)
4𝜋𝜀! 𝑟
Note que esta definição é absolutamente geral. Na dedução acima
não foi feita qualquer restrição quanto aos sinais das cargas q0 e Q.
Quando as duas cargas têm o mesmo sinal a energia potencial é
positiva e quando elas têm sinais contrários a energia potencial é
negativa.
A energia potencial elétrica varia com a distância r entre as cargas
de acordo com r-1. Isto significa que a energia potencial elétrica
tende a zero quando a distância r → ∞. Portanto, é natural definir o
zero da energia potencial elétrica no infinito: U → 0, r → ∞.
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Adotando esta definição para o zero da energia potencial elétrica,
podemos interpretar a energia potencial U(r) associada às duas
cargas Q e q0 como o negativo do trabalho feito pela força elétrica
para trazer a carga q0 do infinito até uma distância r da carga Q.
No caso em que Q e q0 têm o mesmo sinal, a força entre elas é
repulsiva e o trabalho para trazer q0 de ∞ até r é negativo (a carga q0
é movida no sentido contrário ao da força elétrica). Como o trabalho
é negativo, a variação na energia potencial é positiva. Portanto,
quando as duas cargas têm o mesmo sinal, a energia potencial
elétrica aumenta quando q0 se aproxima de Q.
A análise feita acima se inverte quando as duas cargas têm sinais
contrários. O trabalho para trazer q0 de ∞ até r é positivo (a carga q0
é movida no mesmo sentido da força elétrica, que neste caso é
atrativa). Como o trabalho é positivo, a variação na energia potencial
é negativa. Portanto, quando as duas cargas têm sinais contrários, a
energia potencial elétrica diminui quando q0 se aproxima de Q.
Observe os gráficos de U versus r feitos abaixo. Eles mostram como
a energia potencial U(r) de duas cargas puntiformes varia com a
distância r entre elas quando elas têm o mesmo sinal ou sinais
contrários.
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Note que estamos sempre nos referindo à energia potencial
associada às duas cargas, q0 e Q. A energia potencial elétrica não é
uma propriedade de uma carga única, mas das duas cargas. Ela está
associada à interação elétrica entre elas.
Lembrando das aulas sobre lei de Gauss, o campo elétrico na parte
de fora de uma distribuição de cargas esfericamente simétrica é o
mesmo que o gerado por uma carga puntiforme no centro da
distribuição com a mesma carga líquida dela. Sendo assim, a
equação (9) para a energia potencial é a mesma quando a carga de
prova q0 está do lado de fora da distribuição esfericamente simétrica
de carga a uma distância r do seu centro.
Quando existem N cargas puntiformes no espaço (q1, q2, q3, ..., qN), a
energia potencial elétrica associada a essas cargas e a uma carga de
prova q0 em um ponto P qualquer do espaço é dada, pelo princípio
da superposição, por:
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𝑞! 𝑞! 𝑞! 𝑞!
𝑞!
𝑞!
𝑈=
+ + + ⋯+
=
4𝜋𝜀! 𝑟! 𝑟! 𝑟!
𝑟!
4𝜋𝜀!
𝑵
!!!
𝑞!
. (10)
𝑟!
A situação está ilustrada pela figura abaixo.
Note que quando todas as distâncias ri → ∞, isto é, quando q0 estiver
a uma distância muito grande de todas as cargas qi, a energia
potencial associada às cargas e a q0 tende a zero (U → ∞).
Como podemos representar qualquer distribuição de cargas por um
conjunto de cargas puntiformes, a energia potencial elétrica
associada a qualquer distribuição de cargas e a uma carga de prova
q0 é dada pela expressão acima.
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Note que isto implica que existe a energia potencial elétrica
associada à distribuição de cargas e à carga q0. Portanto, o campo
elétrico produzido por qualquer distribuição estática de cargas dá
origem a uma força conservativa.
Podemos também definir a energia potencial elétrica de uma
distribuição arbitrária de cargas, q1, q2, q3, ..., qN, como a energia
potencial associada às interações entre cada par de cargas. Note que
não tem sentido definir a energia potencial associada à interação de
uma partícula com ela mesma (seria infinita) e nem se deve contar
duas vezes a mesma interação (da partícula i com a partícula j e da j
com a i).
Portanto, podemos escrever a energia potencial elétrica de um
conjunto de N cargas puntiformes como:
𝑈=
1
4𝜋𝜀!
!!!
𝑞! 𝑞!
. (11)
𝑟!"
Note que também é possível escrever esta energia como uma soma
por todas as combinações ij (i≠j), só que então será necessário
dividir por dois para descontar os termos duplicados. A expressão
ficaria assim:
𝑈=
1
8𝜋𝜀!
!,!
!!!
𝑞! 𝑞!
. (12)
𝑟!"
19