aula1 - Departamento de Física

Introdução à Teoria Quântica do Espalhamento:
do Espalhamento por um Potencial ao Problema
de Muitos Corpos
Márcio H. F. Bettega
Departamento de Física
Universidade Federal do Paraná
[email protected]
Minicurso sobre Espalhamento - Aula 1/3 (Parte II)
Semana Acadêmica de Física 2017
Estrutura do minicurso
I
Aula 1/3 (Parte II) (60 min):
X Definições básicas: descrição do espalhamento; tipos de colisões; canais; seção
de choque.
X Espalhamento por um potencial: equação de Schrödinger independente do
tempo; condição de contorno para a função de onda de espalhamento; densidade
de corrente de probabilidade; relação entre seção de choque diferencial
(experimento) e amplitude de espalhamento (teoria); o teorema ótico.
X Equação de Lippmann-Schwinger; a função de Green da partícula livre;
expressão para a amplitude de espalhamento; aproximação de Born; potencial
complexo.
Definições Básicas: Descrição do Espalhamento
detetor
fonte (A)
I
1111111111111111111111
0000000000000000000000
0000000000000000000000
1111111111111111111111
0000000000000000000000
1111111111111111111111
0000000000000000000000
1111111111111111111111
0000000000000000000000
1111111111111111111111
0000000000000000000000
1111111111111111111111
0000000000000000000000
1111111111111111111111
0000000000000000000000
1111111111111111111111
0000000000000000000000
1111111111111111111111
0000000000000000000000
1111111111111111111111
0000000000000000000000
1111111111111111111111
0000000000000000000000
1111111111111111111111
0000000000000000000000
1111111111111111111111
0000000000000000000000
1111111111111111111111
0000000000000000000000
1111111111111111111111
θ
colimador
1111111111111111111111
0000000000000000000000
0000000000000000000000
1111111111111111111111
0000000000000000000000
1111111111111111111111
0000000000000000000000
1111111111111111111111
0000000000000000000000
1111111111111111111111
0000000000000000000000
1111111111111111111111
0000000000000000000000
1111111111111111111111
0000000000000000000000
1111111111111111111111
0000000000000000000000
1111111111111111111111
0000000000000000000000
1111111111111111111111
0000000000000000000000
1111111111111111111111
0000000000000000000000
1111111111111111111111
0000000000000000000000
1111111111111111111111
0000000000000000000000
1111111111111111111111
0000000000000000000000
1111111111111111111111
0000000000000000000000
1111111111111111111111
z
alvo (B)
Vamos considerar o espalhamento das partículas do tipo A (partículas A) por
partículas do tipo B (partículas B):
X o feixe de partículas A é colimado e monoenergético (pequena largura em torno
de uma energia bem definida). A interação entre as partículas A pode ser
desprezada (intensidade do feixe);
X o alvo contém um grande número de partículas B (centros espalhadores), cujas
distâncias são maiores do que o comprimento de onda das partículas A (podemos
ignorar efeitos de coerência entre as ondas espalhadas pelos centros
espalhadores);
X podemos considerar que cada partícula B atua como um centro espalhador
independente. Neste caso podemos olhar o espalhamento de uma partícula A por
uma partícula B;
X queremos observar um certo número de eventos: contagem das partículas A
espalhadas, pelo detetor.
Definições Básicas: Tipos de Colisões
I
Tipos de Colisões:
X espalhamento elástico: não há mudança na estrutura interna das partículas A e
B,
A + B → A + B;
X espalhamento inelástico : ocorre mudança no estado interno das partículas A
e/ou B,
A + B → A∗ + B∗ ;
X reação: as partículas A e B se decompõe em n ≥ 2 partículas,
A + B → C + D ou A + B → C1 + C2 + · · · + Cn .
I
Ilustração: espalhamento de elétrons por moléculas de H2 (considerando apenas a
estrutura eletrônica).
X espalhamento elástico: e− + H2 → e− + H2
X espalhamento inelástico: e− + H2 → e− + H∗2
X reação (ionização): e− + H2 → 2e− + H+
2
X reação (“electron attachment” – possibilidade de ocorrer a dissociação
molecular): e− + H2 → H−
2
Definições Básicas: Canais
I
Um canal é um possível modo de fragmentação do sistema A+B (estado do sistema
A+B) durante a colisão.
I
No caso do espalhamento de elétrons por moléculas de H2 discutido anteriormente,
temos os seguintes canais possíveis:
X canal elástico: e− + H2 → e− + H2
X canal inelástico (cada estado excitado final possível é considerado um canal
independente): e− + H2 → e− + H∗2
X canal de reação (ionização): e− + H2 → 2e− + H+
2
X canal de reação (“electron attachment”): e− + H2 → H−
2
I
Iremos considerar aqui apenas espalhamento elástico.
Definições Básicas: Seção de Choque
I
Os resultados de um processo de colisão são dados em termos de seções de
choque (total, elástica, diferencial etc).
X seção de choque diferencial (distribuição angular), fornece informações
adicionais sobre a colisão (interações, ondas parciais etc) e a partir da qual
obtemos as seções de choque integral e de transferência de momentum:
dσ
(E; θ, φ)
dΩ
I
Referencial do centro de massa (centro de massa do sistema A + B em repouso) e
referencial do laboratório (partícula B em repouso antes da colisão); em ambos z é
o eixo de incidência.
Espalhamento por um Potencial: Equação de Schrödinger
I
Vamos considerar o espalhamento de uma partícula A por uma partícula B:
X vamos utilizar a mecânica quântica (λA & d) não relativística (vA c),
considerando que as partículas A e B, ambas sem spin, não possuem estrutura
interna;
X vamos assumir que a interação entre as partículas é do tipo VAB = V (rA − rB ) (V
real e de curto alcance).
I
Com estas considerações, a equação de Schrödinger independente do tempo que
descreve a colisão (elástica) é
HΨ(rA , rB ) = EΨ(rA , rB ); H =
p2A
p2
+ B + V (rA − rB ); pα = −i~∇α , α = A,B
2mA
2mB
Definimos a coordenada relativa r e a coordenada do centro de massa R como
r = rA − rB ; R =
mA rA + mB rB
mA + mB
onde
pα = mα ṙα , α = A,B → P = M Ṙ, p = mṙ; M = mA + mB , m =
mA mB
mA + mB
Espalhamento por um Potencial: Equação de Schrödinger
I
Fazendo as substituições, a equação de Schrödinger fica
2
P
p2
+
+ V (r) Ψ(rA , rB ) = EΨ(rA , rB )
2M
2m
ou
~2 2
~2 2
−
∇R + −
∇r + V (r) Ψ(rA , rB ) = EΨ(rA , rB )
2M
2m
onde agora é possível escrever
Ψ(rA , rB ) = χ(R)ψ(r)
o que fornece
−
~2 2
∇R χ(R) = Ecm χ(R);
2M
~2 2
−
∇r + V (r) ψ(r) = Erel ψ(r); E = Ecm +Erel
2m
Espalhamento por um Potencial: Equação de Schrödinger
I
Vamos discutir primeiro a solução da equação
~2 2
∇R χ(R) = Ecm χ(R)
2M
que descreve uma partícula livre e cuja solução é uma onda plana
−
χ(R) =
eiK·R
3
(2π) 2
onde
~2 K 2
2M
X o centro de massa do sistema A+B move-se como uma partícula livre;
X se mB mA → m ∼ mA e como consequência o centro de massa do sistema
coincide com a partícula B.
Ecm =
Espalhamento por um Potencial: Equação de Schrödinger
I
O interesse está na solução da equação que contem a interação V
~2 2
−
∇r + V (r) ψ(r) = Erel ψ(r)
2m
que representa o espalhamento de uma partícula de massa reduzida m pelo
potencial V (r) (de “curto alcance”).
I
Na ausência de interação (fazendo V = 0), a solução é
ψ(r) =
eik·r
3
(2π) 2
com
Erel =
~2 k 2
2m
Espalhamento por um Potencial: Equação de Schrödinger
I
Na presença de V (r), a solução não é mais uma onda plana. Neste caso, podemos
sugerir uma condição de contorno para a função de onda deste problema na forma
eikr
(+)
ψki (r) −−−−→ N eiki ·r + fk (θ, φ)
|r|→∞
r
onde fizemos k = ki = kẑ (ẑ define a direção de incidência). A interpretação de
cada termo nesta expressão é (como estamos considerando apenas colisão
elástica temos que |ki | = |kf | = k)
X N : “constante de normalização”
X eiki ·r : onda plana incidente
X eikr /r: onda esférica emergindo do alvo (“outgoing”)
X fk (θ, φ): amplitude de espalhamento (depende da direção r̂ = (θ, φ) e da energia
k)
Espalhamento por um Potencial: Amplitude de Espalhamento
kf
dΩ
|r|
ki
I
^r
θ
z
Vamos obter a relação entre a amplitude de espalhamento e a seção de choque
diferencial. Para isso, vamos considerar o esquema acima para o detetor colocado
a uma distância |r| → ∞ (fora do alcance de V ).
Espalhamento por um Potencial: Amplitude de Espalhamento
I
Definição de seção de choque diferencial [dσ/dΩ(k; θ, φ)]dΩ:
A seção de choque diferencial é igual ao número de partículas espalhadas, por
unidade de tempo e por unidade de fluxo incidente, dentro do ângulo sólido dΩ em
torno da direção r̂ = Ω(θ, φ). É portanto igual ao fluxo emergente (“outgoing") de
partículas espalhadas através da superfície esférica r2 dΩ (considerando |r| → ∞)
dividido pelo fluxo incidente.
X depende da direção de espalhamento (r̂ = Ω(θ, φ)), da energia incidente (k ou
E = ~k2 /2m), mas não depende de r (devido a condição |r| → ∞).
X tem dimensões de área, o que permite uma interpretação geométrica: as
partículas do feixe incidente que atravessam a área igual a [dσ/dΩ(k; θ, φ)]dΩ,
colocada perperdicularmente à direção de incidência, são espalhadas dentro do
ângulo sólido dΩ e são portanto registradas pelo detetor.
Espalhamento por um Potencial: Amplitude de Espalhamento
I
Associada à equação de Schrödinger (dependente do tempo), temos uma equação
de continuidade dada por
∂ρ(r, t)
+ ∇ · j(r, t) = 0
∂t
onde ρ(r, t) é a densidade de probabilidade e j(r, t) é a densidade de corrente de
probabilidade. ρ(r, t) e j(r, t) são definidos como
~
Im {Ψ∗ (r, t)∇Ψ(r, t)}
m
No caso estacionário (V = V (r) → Ψ(r, t) = ψ(r) exp(−iωt); ω = E/~)
ρ(r, t) = |Ψ(r, t)|2 ; j(r, t) =
I
ρ(r) = |ψ(r)|2 ;
∂ρ(r)
~
= 0; ∇ · j(r) = 0; j(r) = Im {ψ ∗ (r)∇ψ(r)}
∂t
m
Z
I
∇ · j = 0 → dV ∇ · j = dS · j = 0
Espalhamento por um Potencial: Amplitude de Espalhamento
I
(+)
Considerando a condição assintótica de ψki (r) e lembrando que
∇ = r̂
∂
∂
1 ∂
1
φ̂
+ θ̂
+
∂r
r ∂θ
r sin θ ∂φ
e que
eiki ·r = eikz = eikr cos θ
temos
jout (r, t) · r̂
=
=
(
)
(+)
∂ψki (r)
~
(+)∗
Im ψki (r)
m
∂r
~
e−ikr
Im N ∗ N e−ikr cos θ + fk∗ (θ, φ)
×
m
r
∂
eikr
×
eikr cos θ + fk (θ, φ)
∂r
r
Espalhamento por um Potencial: Amplitude de Espalhamento
I
Temos então 3 termos: o termo incidente, associado à onda plana incidente, o
espalhado, associado à onda esférica modulada pela amplitude de espalhamento, e
o de interferência, envolvendo os termos cruzados entre as ondas plana e esférica.
X termo de incidência: jinc (r, t) · ẑ, onde
N eiki ·r = N eikz ; ∇ = x̂
∂
∂
∂
+ ŷ
+ ẑ
∂x
∂y
∂z
O fluxo através de uma área unitária perpendicular à direção de incidência k̂i é
d[N e(ikz) ]
~
~k
jinc (r, t) · ẑ = Im N ∗ e−ikz
= N ∗N
m
dz
m
X termo espalhado (considerando apenas o termo da onda esférica)
jout (r, t) · r̂
=
=
~
e−ikr ∂
eikr
Im N ∗ fk∗ (θ, φ)
N fk (θ, φ)
m
r ∂r
r
~k
1
N ∗N
|fk (θ, φ)|2
m r2
Espalhamento por um Potencial: Amplitude de Espalhamento
I
Por último, vamos considerar o termo de interferência jint (r) · r̂
jint (r) · r̂
=
+
=
+
eikr
~
∂
N fk (θ, φ)
+
Im N ∗ e−ikr cos θ
m
∂r
r
e−ikr ∂ h ikr cos θ i
Ne
N ∗ fk∗ (θ, φ)
=
r ∂r
~
1
N ∗ N Im ik fk (θ, φ)e[ikr(1−cos θ)] +
m
r
1 ∗
ik cos θ fk (θ, φ)e[−ikr(1−cos θ)] + . . .
r
onde termos de ordem superior a 1/r foram desprezados.
X pode-se mostrar que os termos jint (r) · θ̂ e jint (r) · φ̂ são de ordem 1/r3 e
portanto podem ser desprezados no limite |r| → ∞.
Espalhamento por um Potencial: Amplitude de Espalhamento
I
Note que jint (r) difere dos dois termos anteriores (inc e out), contribuindo apenas
quando θ = 0 (onde ocorre a interferência da onda plana com a onda esférica). Isso
pode ser visto analisando a seguinte integral, onde consideramos uma
superposição de ondas planas com vetores de onda em um intervalo ∆k em torno
de ki .
k+∆k
Z
dke[ikr(1−cos θ)] =
k
1
e[ikr(1−cos θ)]
ir(1 − cos θ)
Para θ 6= 0 a integral acima oscila, e neste caso
k+∆k
Z
dke[ikr(1−cos θ)] = 0
lim
r→∞
k
k+∆k
k
Espalhamento por um Potencial: Amplitude de Espalhamento
I
A seção de choque diferencial pode ser escrita como
|jout |r2 dΩ
dσ
(k; θ, φ) =
= |fk (θ, φ)|2 dΩ
dΩ
|jinc |
ou
dσ
(k; θ, φ) = |fk (θ, φ)|2
dΩ
Temos portanto uma relação entre a seção de choque diferencial (medida em
laboratório) e a amplitude de espalhamento (calculada, e que deve ser obtida a
partir do comportamento assintótico da função de onda de espalhamento). A partir
da seção de choque diferencial obtemos
X seção de choque total:
Z
Z
dσ
(k; θ, φ) = dΩ|fk (θ, φ)|2
σtot (k) = dΩ
dΩ
X seção de choque de transferência de momentum:
Z
Z
dσ
σmt (k) = dΩ(1 − cos θ)
(k; θ, φ) = dΩ(1 − cos θ)|fk (θ, φ)|2
dΩ
Ilustração: Colisões e− –HCOOH
Estrutura do ácido fórmico.
Ilustração: Colisões e− –HCOOH
10
60
10
0
30 60 90 120 150 180
10
30 eV
1
0.1
0
40 eV
1
cm )
2
cm /sr)
40
-16
-16
cross section (10
30 60 90 120 150 180
SMCPP
Kohn
Allan
2
1
15 eV
0
Kohn
SMCPP (SE)
expt.
SMCPP (SEP)
cross section (10
1
-16
20 eV
2
cm /sr)
10
momentum transfer cross section (10
Gianturco
Vizcaino et al.
SMCPP
10
20
1
0.1
30 60 90 120 150 180 0 30 60 90 120 150 180
scattering angle (degrees)
0
1
10
energy (eV)
0.5
1
1.5
2
2.5
3
energy (eV)
3.5
4
4.5
Seções de choque diferenciais (esquerda), de transferência de momentum (centro), e
diferencial a 130◦ (direita).
X M. H. F. Bettega, Phys. Rev. A 74, 054701 (2006)
5
Ilustração: Colisões e− –C3 H7 OH
Estrutura do isopropanol (direita), n-propanol (esquerda).
Ilustração: Colisões e− –C3 H7 OH
2 eV
5 eV
50
120
40
15 eV
20 eV
30 eV
10
-16
90
cross section (10
-16
1
100
2
2
cm )
cm )
10
cross section (10
cross section (10
150
10 eV
-16
2
cm /sr)
100
60
30
30
20
10
1
0 60 120180 60 120180 60 120180
scattering angle (degrees)
0
0
5
10
15
energy (eV)
20
25
30
0
0
5
10
15
20
energy (eV)
X M. H. F. Bettega, C. Winstead, V. McKoy, A. Jo, A. Gauf, J. Tanner, L. R. Hargreaves, M. A. Khakoo,
Phys. Rev. A 84, 042702 (2011)
25
30
Espalhamento por um Potencial: O Teorema Ótico
I
O teorema ótico diz que
I
4π
Imfk (θ = 0)
k
Para demonstrar este teorema vamos considerar o arranjo ilustrado abaixo
σtot =
δθ
ki
r2 δΩ
z
Integrando o termo de interferência entre θ = 0 e δθ temos
Z 1
o
i
eikr n −ikr
e
− e(−ikr cos δθ) =
d(cos θ)e[ikr(1−cos θ)] =
+ temos oscilantes
−ikr
kr
cos δθ
e portanto
Z
Z
dΩr2 jint · r̂ =
δΩ
2π
Z
1
dφ
0
d(cos θ)r2 jint · r̂ = −4πN ∗ N
cos δθ
onde fk independe de φ na direção de incidência.
~
Imfk (θ = 0)
m
Espalhamento por um Potencial: Amplitude de Espalhamento
I
Lembrando que
I
∇·j=0→
Z
dS · j =
dΩr2 j · r̂ = 0
que é a relação que expressa a conservação do número de partículas (como V é
real, não há fontes nem sumidouros).
Fazendo j = jinc + jout + jint , integrando e
R
considerando |r| → ∞ e dΩjint · r̂ = 0 temos
Z
~
N ∗N
k dΩ|fk (θ, φ)|2 − 4πImfk (θ = 0) = 0
m
ou, colocando em outra forma
Z
4π
σtot = dΩ|fk (θ, φ)|2 =
Imfk (θ = 0)
k
que é a expressão desejada.
A equação de Lippmann-Schwinger
I
Vamos discutir a equação
~2 2
(+)
(+)
−
∇r + V (r) Ψki (r) = EΨki (r)
2m
(onde fizermos ψ → Ψ) utilizando a notação de Dirac. Desta forma temos
(+)
(+)
H|Ψki i = E|Ψki i
onde
p2
2m
A equação homogênea para o mesmo autovalor de energia E é
H = H0 + V ; H0 =
H0 |Ski i = E|Ski i
onde
hr|Ski i =
eiki .r
3
(2π) 2
X espalhamento elástico (V é real): |ki | = |kf | = k
A equação de Lippmann-Schwinger
I
Lembrando da condição assintótica da função de onda de espalhamento . . .
1
eikr
1
(+)
iki .r
Ψki (r) −−−−→
e
+
f
(k
,
k
)
, N=
i
f
3
3
|r|→∞ (2π) 2
r
(2π) 2
I
A equação de Lippmann-Schwinger (solução da equação não homogênea) é
(±)
(±)
(±)
|Ψki,f i = |Ski,f i + G0 V |Ψki,f i
Os sinais (+) e (-) correspondem aos índices ki e kf respectivamente. O operador
de Green da partícula livre é
~2
(E − H0 ± i)−1
2m
Multiplicando a equação de Lippmann-Schwinger por V , obtemos uma outra forma
para esta equação dada por
(±)
G0
(±)
=
(±)
A(±) |Ψki,f i = V |Ski,f i ; A(±) = V − V G0 V
A equação de Lippmann-Schwinger
I
(+)
(−)
As soluções |Ψki i e |Ψkf i possuem interpretações físicas diferentes (ambas são
(+)
I
soluções aceitáveis do problema). |Ψki i representa a solução para o problema no
qual uma partícula com momento ki incide em um alvo representado pelo potencial
V . Ondas esféricas saindo do alvo fazem parte da condição de contorno, a qual
(+)
está embutida em G0 a partícula é espalhada com momentum kf .
R
(±)
Projetando |Ψki,f i na base de coordenadas, onde dr|rihr| = 11
temos
Z
(±)
(±)
(±)
hr|Ψki,f i = hr|Ski,f i + dr 0 hr|G0 |r 0 ihr 0 |V |Ψki,f i
Nesta base é, o operador de Green fica
G0 (r, r 0 ) = hr|G0 |r 0 i
(±)
(±)
podendo ser escrito como
G0 (r, r 0 ) =
(±)
~2
1
hr|
|r 0 i
2m E − H0 ± i
A equação de Lippmann-Schwinger
I
Na base de ondas planas:
R
dk|kihk| = 11
A solução de H0 é
H0 |ki =
~2 k2
|ki
2m
(±)
Com isto, a função G0 (r, r 0 ) é dada por
G0 (r, r 0 )
(±)
=
=
=
=
Z
~2
1
hr|
dk 0 |k 0 ihk 0 | |r 0 i =
2m E − H0 ± i
Z
hr|k 0 ihk 0 |r 0 i
~2
dk 0 ~2 k2
=
2 k 02
2m
− ~ 2m
± i
2m
Z
0
0
~2
dk 0
eik .(r−r )
=
2m
(2π)3 ~2 k2 − ~2 k 0 2 ± i
2m
2m
Z
0
0
eik .(r−r )
1
dk 0 0 2
− 3
8π
k − k2 ∓ i 0
A equação de Lippmann-Schwinger
z
Im k ’
−k + i η
x
k’
θ
Re k ’
x
−k − i η
r − r’
I
k + iη
x
x
k − iη
Considerando a geometria na figura (a) acima temos
G0 (r, r 0 )
(±)
=
=
−
−
1
8π 3
Z
1
8π 2
Z
∞
dk0 k 0
2
2π
Z
Z
+∞
−∞
dk0
0
0
0
eik |r−r | cos θ
=
k 0 2 − k2 ∓ i 0
o
n 0
0
0
0
eik |r−r | − e−ik |r−r |
d(cos θ)
−1
0
0
+1
dφ
k
k 0 2 − k2 ∓ i 0
O integrando tem polos para k 0 ' ±(k ± iη), como mostra a figura (b) acima.
Temos assim
G0 (r, r 0 )
→
+k ± +iη; −k − iη
(−)
G0 (r, r 0 )
→
+k ± −iη; −k + iη
(+)
A equação de Lippmann-Schwinger
I
A solução (por resíduos) é
0
G0 (|r − r 0 |) = −
(±)
I
1 e±k|r−r |
4π |r − r 0 |
Para potenciais locais: hr|V |r 0 i = V (r 0 )δ(r − r 0 ). Assim, a equação de
Lippmann-Schwinger na base de coordenadas fica
(±)
hr|Ψki,f i =
eiki,f .r
3
(2π) 2
−
2m
~2
Z
0
dr 0
e±ik|r−r |
(±)
V (r 0 )hr 0 |Ψki,f i
4π|r − r 0 |
kf
r
ki
I
r −r ’
o
r’
z
(+)
Estamos interessados no comportamento de hr|Ψki i no limite em que |r| → ∞ ou,
de maneira equivalente, |r| >> |r0 |. Considerando o arranjo acima, podemos
escrever
|r − r 0 | = r − r̂ · r 0
A equação de Lippmann-Schwinger
I
Definindo kf como kf = kr̂ e utilizando |r − r 0 | = r − r̂ · r 0 (no denominador
fazemos |r − r 0 | = r), a função de Green fica
(±)
G0
=−
1 e±ikr e∓ikf .r
4π
r
0
(+)
Considerando apenas a solução |Ψki i, temos
Z
0
eiki .r
1 2m eikr
(+)
(+)
hr|Ψki i =
dr 0 e−ikf .r V (r 0 )hr0 |Ψki i
3 −
2
4π
~
r
2
(2π)
I
Vamos agora comparar a solução acima com o comportamento assintótico
eikr
1
(+)
(+)
eiki ·r +
f (kf , ki )
hr|Ψki i = Ψki (r) −−−−→
3
|r|→∞ (2π) 2
r
A amplitude de espalhamento
I
Obtemos assim uma expressão para a amplitude de espalhamento f (kf , ki )
envolvendo |Skf i, o potencial de interação V e a função de onda de espalhamento
(+)
|Ψki i
f (kf , ki ) = −
1 2m
(+)
(2π)3 hSkf |V |Ψki i
4π ~2
com
hSkf |ri =
I
e−ikf .r
3
(2π) 2
(−)
Uma expressão alternativa para f (kf , ki ), correspondente à solução |Ψkf i
(−)
(+)
(utilizando hSkf |V = hΨkf |A(+) e A(+) |Ψki i = V |Ski i) é
f (kf , ki ) = −
1 2m
(−)
(2π)3 hΨkf |V |Ski i
4π ~2
(+)
Da equação de Lippmann-Schwinger (escrita na forma V |Ski i = A(+) |Ψki i)
obtemos outra forma para f (kf , ki )
f (kf , ki ) = −
1 2m
(−)
(+)
(2π)3 hΨkf |A(+) |Ψki i
4π ~2
Princípio Variacional de Schwinger
I
Podemos combinar as 3 expressões para f (kf , ki ) obtidas anteriormente de forma
a construir um funcional, que será o ponto de partida para desenvolvermos um
método variacional para a amplitude de espalhamento (o qual será discutido na
aula 3/3). A forma deste funcional é
[f (kf , ki )] = −
o
n
1 2m
(−)
(+)
(+)
(−)
(2π)3 hSkf |V |Ψki i + hΨkf |V |Ski i − hΨkf |A(+) |Ψki i
2
4π ~
onde
(+)
A(+) = V − V G0 V
X J. Schwinger, Phys. Rev. 72, 742 (1947)
I
Estados ligados:
X Hartree-Fock: E[χ∗ , χ]
X DFT: E[ρ(r)]
Aproximação de Born
I
O cálculo da amplitude de espalhamento f (kf , ki ) depende do conhecimento da
função de onda de espalhamento (solução da equação de Lippmann-Schwinger).
(+)
No caso de espalhamento “fraco", podemos aproximar Ψki (r) por uma onda plana
(neste caso Ski (r)). Dentro desta aproximação, a amplitude fica
1 2m
(2π)3 hSkf |V |Ski i
4π ~2
que é conhecida como “Primeira Aproximação de Born". Na base de coordenadas
f (B) (kf , ki ) fica
Z
0
1 2m
f (B) (kf , ki ) = −
dr 0 ei(ki −kf )·r V (r 0 )
4π ~2
f (B) (kf , ki ) = −
A expressão acima representa a transformada de Fourier do potencial (calculada
dentro do alcance de V ).
Ilustração - Colisões e− – OCS
Estrutura do sulfeto de carbonila.
Ilustração - Colisões e− – OCS
X M. H. F. Bettega, M. A. P. Lima e L. G. Ferreira, Aust. J. Phys. 53, 399 (2000)
Potencial Complexo
I
Potencial Complexo? V (r) = VR (r) + iVI (r)
X Utilizado como ferramenta para descrever processos de espalhamento incluindo
efeitos de absorção, o que permite considerar outros canais além do canal elástico
(há perda de fluxo do canal elástico para outros canais). Não leva em conta o tipo
de processos inelásticos ou de ionização específicos associados à absorção.
X É empregado, por exemplo, no estudo de espalhamento de elétrons por
moléculas.
I
A equação da continuidade com V (r) = VR (r) + iVI (r) fica
∂ρ
2
+ ∇ · j = ρVI
∂t
~
e no caso estacionário
∇·j=
2
ρVI
~
A seção de choque fica
σtot (k) = σel (k) + σreac (k)
onde σel (k) representa a seção de choque elástica e σreac (k) a seção de choque
de reação, a qual inclui todos os processos “não elásticos".
Ilustração - Colisões e− – Si(CH3 )4 (tetramethylsilane - TMS)
Estrutura do TMS.
Ilustração - Colisões e− – Si(CH3 )4 (tetramethylsilane - TMS)
X R. T. Sugohara, M.-T. Lee, G. L. C. de Souza, M. G. P. Homem, e I. Iga, Phys. Rev. A. 84, 062709 (2011)
Referências
X H. J. Lipkin, Quantum Mechanics - New Approaches to Selected Topics, Dover (2007).
X C. J. Joachain, Quantum Collision Theory, North-Holland, Terceira Edição (1983).
X L. S. Rodberg e R. M. Thaler, Introduction to the Quantum Theory of Scattering,
Academic Press (1970).
X P. G. Burke e C. J. Joachain, Theory of Electron-Atom Collisions - Part 1 Potential
Scattering, Plenum Press (1995).
X S. Geltman, Topics in Atomic Collision Theory, Krieger Publishing Company;
Corrected edition (May 1, 1997).
X J. J. Sakurai, Modern Quantum Mechanics, Addison Wesley, Revised Edition (1994).
X E. Merzbacher, Quantum Mechanics, Wiley, Third Edition (1997).
X Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu, Franck Laloë, Quantum Mechanics ,Volume II,
John Wiley & Sons (1977).
X Leslie E. Ballentine, Quantum Mechanics, Prentice Hall (1990).
X R. C. Greenhow, Am. J. Phys. 61, 23 (1993).
Agradecimentos
e ao Prof. Carlos de Carvalho pelo suporte computacional no DFis-UFPR e no
LCPAD-UFPR.