Análise gráfica da cinemática escalar

Análise gráfica da cinemática escalar
A partir de agora, trataremos com uma nova abordagem matemática a cinemática escalar, ou seja, o
estudo do movimento considerado unidimensional. Usaremos os gráficos cartesianos para mostrar como
se compartam as grandezas cinemáticas fundamentais (posição, velocidade e aceleração) em relação ao
tempo. Isso nos permitirá chegar a conclusões a respeito do movimento estudado mais facilmente, pois
algumas de suas características ficam mais explícitas graficamente, e não através das equações horárias.
1. Interpretação geométrica da taxa de variação
No primeiro capítulo, estudamos as relações entre as grandezas cinemáticas: posição, velocidade e
aceleração. Vimos que a taxa de variação da posição é expressa pela velocidade, isto é, a velocidade
representa a rapidez com que a posição varia. A aceleração, por sua vez, representa a taxa de variação da
velocidade, isto é, a rapidez com que a velocidade varia.
Observamos que quando uma grandeza cresce, sua taxa de variação é positiva. Ao mesmo tempo, se
decresce, sua taxa de variação é negativa. Com esses conceitos, classificamos os movimentos entre
progressivo (v > 0) ou retrógrado (v < 0). Classificamo-nos também entre acelerado (|v| aumenta – não
necessariamente v aumente e a > 0) ou retardado (|v| diminui – não necessariamente v diminui e a < 0).
Por fim, vimos como, a partir da equação horária de uma grandeza, obter sua taxa de variação.
Fizemos isso através do método criado por Newton, a derivada. Por exemplo:
f ( x) = 3x 2 − 2 x + 5
df
= 6x − 2
dx
em que f’(x) exprime a taxa de variação de f(x) no ponto x. Se f(x) é a posição do móvel no instante
x, podemos calcular sua velocidade no instante 3. Basta fazer f '(3) = 6 × 3 − 2 = 16 na unidade adotada.
Mas como fazer essa análise graficamente? Muitas vezes, é infinitamente mais simples observar com
clareza um processo físico através de um gráfico, ao invés de usar equações. Vamos introduzir essa
análise intuitivamente.
f '( x) =
Exemplo 3.1.1: Abaixo, representam-se graficamente as posições de dois móveis distintos A e B em
função do tempo. Qual dos dois é mais rápido?
sA
sB
t
t
Preste atenção nos gráficos acima: eles representam funções cujas entradas são instantes do tempo, e
as saídas, as posições ocupadas pelos móveis A e B no instante considerado. Ou seja, se escolhermos um
ponto pertencente ao gráfico da posição do corpo A, teremos suas coordenadas: em x, um instante t, e em
y, sA(t), a posição ocupada por A no instante t.
O móvel mais rápido é aquele que varia mais rapidamente sua posição, ou seja, aquele cujo módulo
da velocidade é maior. Nesse sentido, podemos analisar os gráficos de forma a considerar um período de
tempo qualquer ∆t, e a variação de posição ∆s ocorrida nesse intervalo:
sA
sB
∆s B
∆s A
t
∆t
t
∆t
Para um mesmo período de tempo ∆t, o móvel B variou muito mais sua posição do que A (∆sB >
∆sA). O problema não reside no fato de que as posições de B são maiores do que as de A, para esse
intervalo. Na verdade, para determinar o corpo mais rápido, não importam especificamente os seus
valores de posição, mas de fato a variação da mesma.
Analogamente, poderíamos ter feito a análise contrária. Isto é, dada uma variação de posição ∆s para
ambos os móveis, B a percorre em um intervalo de tempo ∆t menor do que A.
Por isso, podemos concluir que o corpo B é mais rápido que A.
Exemplo 3.1.2: Para o móvel B, acima, vamos calcular sua velocidade média ao longo do período de
tempo estudado no exemplo anterior.
sB
sF
s0
t
t0
tF
Com os pontos inicial (t0, s0) e final (tF, sF), representados no gráfico, podemos construir um triângulo
retângulo, como a seguir:
sB
sF
∆ s = s F − s0
θ
s0
θ
∆t = t F − t 0
θ
t
t0
tF
Além disso, também consideramos a inclinação da reta do gráfico em relação à direção horizontal, e
chamamos seu ângulo de θ. Esse ângulo também está presente no triângulo retângulo construído.
Pelas relações trigonométricas conhecidas, podemos visualizar através do triângulo retângulo que
s −s
∆s
tg θ = F 0 =
= vm
t F − t0
∆t
Isto é, a inclinação da reta do gráfico nos leva diretamente à velocidade média do movimento. E isso
faz todo sentido se consideramos os resultados do exemplo anterior. A reta do gráfico de B é mais
inclinada em relação à horizontal do que em A, portanto a taxa de variação da posição de B é maior, e seu
movimento é mais rápido.
Em suma, quanto mais inclinada em relação à horizontal estiver a reta no gráfico posição x
tempo, mais rápido está o móvel.
Deve-se observar que, caso se trate de um movimento retrógrado, a reta será decrescente, como a
seguir:
sB
t
−θ
Nesse caso, consideramos o ângulo de inclinação da reta negativo. Também por convenção,
havíamos determinado que a velocidade nesse caso seria dada como negativa. Por isso, quanto maior a
inclinação da reta em relação à horizontal, mais negativo deve ser o ângulo θ. Isso fará com que a
velocidade seja mais negativa, ou seja, tenha um valor escalar menor, mas o movimento terá uma rapidez
maior. Lembre-se de que a rapidez está associada ao módulo da velocidade, que, nesse caso, aumentará
com uma inclinação maior da reta.
Como exemplo, vemos os dois móveis abaixo em movimento retrógrado.
sA
sB
t
t
Pelo argumento anterior, conclui-se que B realiza um movimento com maior rapidez do que A.
Exemplo 3.1.3: Como calcular a velocidade média se o gráfico posição x tempo não for uma reta?
Seja a posição de um móvel dada pelo gráfico abaixo:
sA
t
Vamos escolher dois pontos arbitrários do gráfico e traçar uma reta ligando-os.
sA
t
Agora, para calcular a velocidade média entre os instantes considerados, usamos a relação já
conhecida:
∆s
vm =
∆t
Para isso vamos construir um triângulo retângulo, conforme fizemos anteriormente, e destacar ∆s e
∆t:
sA
∆s
θ
∆t
t
Como já parece óbvio, a velocidade média entre os instantes considerados é:
vm = tg θ
Exemplo 3.1.4: Para calcular a velocidade média entre dois instantes, ligamos os pontos
correspondentes a eles no gráfico, e verificamos a inclinação da reta encontrada. E a velocidade
instantânea?
Primeiramente, vamos prestar atenção em uma distinção fundamental: a velocidade média é a média
das velocidades instantâneas entre dois pontos, portanto é preciso considerar um intervalo de tempo; a
velocidade instantânea corresponde a um único ponto, ocorrendo em um único instante.
Pela definição,
v = lim vm
∆τ→ 0
Isto é, a velocidade instantânea é a velocidade média de um período de tempo muito pequeno, que
tende a zero, que tende a ser um instante.
No exemplo anterior, tínhamos:
sA
t
t0
tF
Para diminuir ∆t até que seja suficientemente pequeno, vamos aproximar tF de t0, e portanto
modificar a reta que passa pelos pontos correspondentes no gráfico.
sA
sA
sA
t0
tF
t
t0
t
tF
sA
t0
tF
t
t0
tF
t
Repare que, no caso limite, a reta que liga os dois pontos será a reta tangente ao gráfico em t0. Dessa
forma, a velocidade instantânea em t0 será dada pela inclinação da reta tangente construída acima.
De forma mais geral, podemos calcular a velocidade em um instante t1 qualquer simplesmente
traçando a reta tangente ao gráfico no ponto correspondente, e verificando sua inclinação:
sA
θ
s1
t
t1
Nesse caso, a velocidade instantânea em t1 será dada por:
v1 = tg θ
Generalizando o resultado anterior também para movimentos retrógrados, construímos:
sA
s1
−θ
t1
t
E, nesse caso, a velocidade instantânea no instante t1 é:
v1 = tg ( −θ ) ,
que é negativa.
Como relacionar os resultados anteriores com a derivada?
Para calcular a velocidade instantânea a partir do gráfico posição x tempo, encontramos a reta
tangente à curva e verificamos sua inclinação. Isso pode ser estendido a uma função f(x) qualquer,
representada por uma curva no gráfico cartesiano. Quando encontramos a reta tangente e verificamos sua
df
inclinação, estamos, na verdade, calculando a derivada de f(x) no ponto x1: f ' ( x1 ) ou
( x1 ) .
dx
Já tínhamos estudado a forma algébrica da derivada, no primeiro capítulo. O que fizemos nos
exemplos anteriores foi abordar sua forma geométrica, usando a velocidade como a derivada da posição.
Por isso, tomando a aceleração como a derivada da velocidade, igualmente podemos fazer as
seguintes relações:
v
am =
∆v
= tg θ
∆t
θ
t
v
a = tg θ
θ
t
v
a = tg ( −θ ) < 0
−θ
t
Exercício 3.1.5: Como devem ser os gráficos de posição, velocidade e aceleração quando a
velocidade é constante e igual a v0?
Solução: Vamos abordar esse problema a partir do gráfico posição x tempo. Como a velocidade
corresponde à inclinação da reta tangente à curva desse gráfico, a reta tangente deve ter uma inclinação
constante e numericamente igual a v0. Esse não é o caso do último exemplo, em que, a cada ponto,
podíamos traçar uma reta tangente mais inclinada que a anterior.
Podemos analisar isso de outra maneira. Como a velocidade média é a média das velocidades
instantâneas do período considerado, seu valor é v0, o valor constante da velocidade. Ou seja, para
quaisquer dois pontos considerados do gráfico, a reta que os liga deve ter a mesma inclinação,
correspondente a velocidade média no período v0.
A única forma para o gráfico posição x tempo que atende às exigências anteriores é uma reta.
s
θ
θ
θ
θ
t
Repare que para qualquer instante considerado, a reta tem a mesma inclinação em relação à direção
horizontal. E isso define a velocidade constante. Para esse caso, temos v0 = tg θ ou ainda θ = arctg v0 (θ
é o arco – ou ângulo – cuja tangente é igual a v0)
O gráfico de velocidade deve nos dar o valor constante v0.
v
v0
t
Atente ao fato de que esse gráfico também é uma reta. Mas há um detalhe importante: sua inclinação
em relação à direção horizontal é igual a zero, pois a reta está justamente sobre a direção horizontal.
Como vimos anteriormente, a taxa de variação de uma função representada por uma reta é uma constante.
Nesse caso, a constante é igual a zero.
a
t
0
Observação: Nos exemplos anteriores, nos faltou rigor acerca do uso das unidades para as grandezas
físicas. Repare que para os gráficos posição x tempo escrevemos tg θ = v , e para velocidade x tempo,
tg θ = a .
No entanto, tg θ é uma função trigonométrica adimensional, pois é dada por:
tg θ =
cateto oposto
cateto adjacente
Portanto,
m
=1,
m
o que caracteriza a característica adimensional dessa função.
Por outro lado, a velocidade ou a aceleração não são grandezas adimensionais.
[v ] = m / s e [ a ] = m / s 2
[ tg θ] =
Para afirmar que duas grandezas são iguais, elas devem ter o mesmo valor numérico (incluindo o
sinal) e a mesma unidade, pois, caso contrário, não representariam a mesma medida.
Contudo, nos casos que acabamos de estudar, valem as igualdades numéricas. Isso ocorre porque os
eixos ordenados dos gráficos cartesianos estão abrigando os valores medidos para a grandeza em questão,
mas não são a grandeza em si.
Para dar rigor à teoria, vamos simplesmente adaptar as expressões correspondentes, respectivamente,
aos gráficos posição x tempo e velocidade x tempo:
Ν
Ν
tg θ = v e tg θ = a
Ou seja, as igualdades valem apenas no âmbito numérico, o que comunica exatamente o teor da
expressão. As expressões acima são lidas da seguinte forma: “a tangente de θ é numericamente igual a v”
e “a tangente de θ é numericamente igual a a”
2. O processo inverso: da taxa de variação à variação
No exercício 1.13.3 (capítulo 1), tínhamos a equação horária de velocidade e desejávamos obter a de
posição. Já que a velocidade é a taxa de variação da posição, não podíamos obter a posição exata a partir
da velocidade, mas apenas sua variação a partir da posição inicial. Por isso mesmo, quando exprimimos a
equação horária das posições, deixamos como incógnita a posição inicial s0.
Da mesma forma ocorre com o processo gráfico análogo. Dado um gráfico de velocidade, não é
possível obter a posição, mas sua variação entre dois instantes considerados.
Exemplo 3.2.1: Para um móvel com velocidade constante e igual a v0, vamos construir o gráfico
velocidade x tempo e tecer alguns comentários.
O gráfico é dado a seguir:
v
v0
t
Vamos agora considerar dois instantes quaisquer t1 e t2 e verificar a variação de posição ocorrida
neste intervalo.
v
v0
t1
t2
t
Quando explicitamos os dois instantes considerados e fizemos as projeções da reta do gráfico sobre
eles, formamos um retângulo, como mostra a figura acima. A área desse retângulo é:
área = ( t2 − t1 ) .v0 = v0 .∆t
No caso, por se tratar de um movimento com velocidade constante, a velocidade média é a própria
velocidade do movimento, v0. Nesse caso, podemos dizer que:
∆s
v0 =
⇒ v0 .∆t = ∆s
∆t
Logo,
área = ∆s
Isto significa que, quando temos um gráfico velocidade x tempo com velocidade constante, a área sob
o gráfico entre dois instantes considerados é a variação de posição ocorrida nesse intervalo. Isso é muito
importante: o ∆s calculado ocorre entre os instantes t1 e t2. Não é possível determinar a posição do móvel
em nenhum dos dois instantes.
Dada a expressão acima, temos o mesmo problema de rigor matemático. A área é medida e m2 e ∆s,
em m. A incoerência entre as unidades é resolvida pela adaptação da expressão:
N
área = ∆s
Exemplo 3.2.2: Podemos refazer o problema anterior considerando o movimento retrógrado.
Nesse caso, a velocidade deve ser negativa. Fazendo a construção análoga, temos:
v
t1
v0
t2
t
Na abordagem gráfica, utilizamos a área do retângulo construído acima para determinar ∆s, assim
como fizemos no exemplo anterior.
Porém, nesse caso temos mais uma incoerência decorrente dessa igualdade, além da diferença de
unidades, já explicada no exemplo anterior. Ocorre que, pela definição de movimento retrógrado, as
posições devem estar diminuindo, portanto ∆s deve ser negativo (o que implica na velocidade também
negativa). Contudo, a medida de área é sempre positiva.
Isso quer dizer que devemos, para esse caso, considerar a seguinte expressão:
N
( −1) .área = ∆s
Ou seja, ∆s é determinado tomando o oposto do valor da área.
Exemplo 3.2.3: Vamos agora considerar um movimento progressivo, mas em que a velocidade não é
constante.
v
t
Vamos calcular a variação de posição ∆s a partir do instante 0 até um instante t qualquer. A
princípio, não há porque supor que novamente ∆s seja a área abaixo do gráfico velocidade x tempo. Na
verdade, para solucionar qualquer problema, devemos nos basear na solução de um problema já resolvido,
adaptando-a. E o que sabemos é que, para velocidade constante, ∆s é de fato a área sob o gráfico.
Vamos, portanto, aproximar esse gráfico para várias seqüências de movimentos cujas velocidades são
constantes.
v
t
No gráfico acima, temos, em verde, o gráfico de velocidade que representa o movimento real. Em
azul, a aproximação utilizada a fim de que possamos utilizar o conhecimento já adquirido.
Dessa forma, a variação de posição é, aproximadamente, a área sob o gráfico em azul, isto é, a soma
das áreas dos vários retângulos formados.
v
t
É claro que tal aproximação difere razoavelmente do valor real, pois as velocidades não são as
mesmas. Contudo, podemos melhorar a aproximação se utilizarmos mais seqüências de movimentos de
velocidades constantes, que devem ser, portanto, menores.
v
t
Veja que a diferença entre as velocidades aproximadas e as velocidades reais diminuiu. Isso fará com
que o somatório das áreas dos retângulos se aproxime também mais da variação de posição ∆s que
queremos encontrar.
De forma a tentar melhorar ainda mais a aproximação, podemos tomar mais seqüências, ainda
menores.
v
t
Veja que agora a aproximação já fica bastante fiel aos valores reais de velocidade. Isso quer dizer que
∆s fica bastante próximo da soma de áreas dos retângulos formados.
No caso limite, para infinitas seqüências, de tamanhos infinitamente pequenos, a área sob o gráfico
equivale à soma das áreas, portanto à variação de posição do móvel ∆s.
Esse argumento é suficiente para demonstrar que ∆s sempre pode ser obtido a partir da área sob o
gráfico velocidade x tempo.
Exercício 3.2.1: Um corpo move-se em linha reta e tem sua velocidade regida pela seguinte equação:
v (t ) = 3t . Sabendo que, no instante t = 0, o corpo ocupava a posição 10m, determine a equação horária da
posição do móvel.
Aprendemos a fazer, no capítulo 1, o raciocínio do processo inverso à derivada, ou seja, fazer a
seguinte pergunta: “qual função, quando derivada, terá como resultado v (t ) = 3t ?”. Esse processo foi
descrito na solução do exercício 1.13.3.
Por esse método, podemos concluir:
3
∆s =   .t 2
2
3
s − s0 =   .t 2
2
3
s = s0 +   .t 2
2
E, dada a condição inicial do problema, temos a seguinte equação horária da posição do móvel:
3
s = 10 +   .t 2
2
Podemos resolver o mesmo problema utilizando o método gráfico visto no exemplo anterior. Para
isso, basta construir o gráfico de v(t ) = 3t .
v
3t
t
t
Nesse caso, a área sob o gráfico é um triângulo. Da mesma forma que fizemos para um gráfico
genérico, podemos provar que a área sob o gráfico (o triângulo) é a variação de posição ∆s a partir da
construção dos infinitos retângulos que, juntos, formarão o gráfico real.
Concluímos, portanto, que a variação de posição entre o instante 0 e um instante genérico t, é a área
do triângulo formado:
1
1
3
A = × base × altura = × t × 3t =   .t 2
2
2
2
Pelas condições iniciais do problema, temos então a equação horária da posição do móvel:
3
s = 10 +   .t 2 ,
2
exatamente como já tínhamos calculado através da abordagem algébrica.
Analogamente, podemos calcular a variação de velocidade ∆v a partir da área sob o gráfico
aceleração x tempo. As considerações a serem feitas são as mesmas:
• A igualdade dá-se apenas no âmbito numérico – as unidades não são coerentes entre si.
• Para aceleração positiva, ∆v também é positivo – a velocidade v é crescente. Por outro lado,
para aceleração negativa, ∆v também é negativo – a velocidade v é decrescente.
Exercício 3.2.2: Dado o gráfico aceleração x tempo abaixo, calcule a variação de velocidade ∆v
entre os instantes 0 e 10 s.
a (m/s 2 )
20
10
0
t (s)
4
30
Entre os instantes 0 e 4 s, a aceleração é positiva. Portanto, a variação de velocidade ∆v, também
sendo positiva, coincide exatamente com a área do triângulo formado sob o gráfico. Chamemos essa área
de A1.
Entre os instantes 4 e 10 s, a aceleração é negativa. Portanto, a variação de velocidade ∆v, também
sendo negativa, é determinada pelo valor negativo oposto à área do triângulo sobre o gráfico. Chamemos
essa área de A2.
Portanto, a variação total de velocidade do móvel ∆v é dado por:
N
∆v = A1 − A2
As áreas são dadas por:
1
× 4 × 20 = 40
2
1
A2 = × 6 × 30 = 90
2
A1 =
Portanto, temos
∆v = 40 − 90 = −50 m/s
Logo, no balanço geral, o móvel foi desacelerado, finalizando o movimento com uma velocidade 50
m/s menor do que aquela com que começou.
3. Visão geral
Vamos ter uma idéia geral das relações entre as três grandezas cinemáticas básicas (posição,
velocidade e aceleração):
s
anti − derivada
∆s
área
tg θ
derivada
v
anti − derivada
∆v
v
área
tg θ
derivada
a
a
Nesse esquema, temos três níveis de grandeza: posição (ou variação), velocidade (ou variação) e
aceleração.
Para “descer” um nível, podemos derivar a equação horária (método algébrico) ou determinar a
inclinação da reta tangente ao gráfico (método gráfico). Neste caso, é importante lembrar que, se
estivermos lidando com um gráfico decrescente, devemos achar um valor negativo para tg θ.
Para subir um nível, podemos aplicar a anti-derivada à equação horária (método algébrico) ou
determinar a área sob o gráfico entre os instantes considerados. Neste caso, é importante lembrar que, se
estivermos lidando com valores negativos para o gráfico, devemos achar um valor negativo para a área (o
que significa um gráfico decrescente para a grandeza de nível superior). Em ambos os métodos,
encontramos apenas a variação da grandeza de nível superior considerada entre dois instantes. Por isso,
para o método algébrico, o termo inicial (s0 ou v0) deve ficar como uma incógnita.
4. Conclusão
Agora já exploramos ao máximo todas as relações possíveis entre as grandezas básicas da cinemática
escalar, tanto no âmbito algébrico quanto no gráfico.
Entretanto, a cinemática escalar baseia-se na caracterização do movimento como retilíneo. Isso,
apesar de simplificar bastante os cálculos, é uma restrição que nem sempre pode ser considerada. Como
vimos no capítulo I, a fim de solucionar esse problema, opta-se por utilizar as grandezas cinemáticas em
um âmbito mais abrangente, isto é, vetorialmente. A exceção de algumas grandezas físicas que são
puramente escalares (como massa e tempo), nós vamos sempre trabalhar com vetores, isto é,
especificando não apenas um valor numérico, mas também direção e sentido para as medidas.