mecanica 2-

UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE – UFCG
CENTRO DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA – CCT
DEPARTAMENTO DE FÍSICA – DF
MECÂNICA GERAL II
Projeto de Mecânica – Análogos Elétricos
Professor : Rômulo
Alunos: Manuella Martins do Nascimento
Felipe Queiroga Macedo
Raphael Borges
Felipe Souto Soares
Márcio Aguiar
Campina Grande-PB
Junho de 2011
1. INTRODUÇÃO
Como as equações diferenciais que regem o comportamento de tensões e correntes
em um sistema elétrico são semelhantes às equações que modelam um sistema
mecânico, podemos fazer uma equivalência entre seus componentes, gerando assim um
análogo.
2. OBJETIVO
Modelar um sistema elétrico para simular um oscilador massa-mola amortecido,
animado por um braço mecânico.
3. MATERIAL UTILIZADO
Indutor de 10mH;
Capacitor de 1nF;
Resistor de 100ohm;
Gerador de Sinais;
Osciloscópio;
Multímetro;
Protoboard.
4. DESENVOLVIMENTO TEÓRICO
Para fazermos a analogia entre os dois sistemas, foi preciso analisar as equações
diferencias características de cada um. Para isso desenvolvemos as mesmas a partir da
força resultante e da lei de Kirchhoff, no sistema mecânico e elétrico, respectivamente.
Como podemos observar na Figura 1, o sistema mecânico quando animado pelo
braço para o lado direito, apresenta uma força resultando como vista na Equação 1,
considerando a referência positiva para a direita e para cima.
Figura 1
= − − + F
Equação 1
Isolando a força do braço no lado direito da equação e dividindo toda a equação
pela massa m, temos:
+
+
=
Equação 2
Analisando agora a equação gerada pela Lei de Kirchhoff das tensões no circuito
RLC série como o da Figura 2, temos:
Figura 2
+ +
= ()
Equação 3
Fazendo a analogia:
= x
A Equação 3 se torna:
+ +
= ()
Dividindo tudo por “Lλ”, temos:
+
+
= ()/
Equação 4
Comparando as equações 2 e 4, obtivemos que:
=
e
= =
/
Portanto, encontramos as analogias:
L=m,
R = b,
C = 1/K
Assim, temos o indutor representando a massa da partícula, o resistor
representando o amortecedor, o capacitor representando a mola, e a fonte representando
o braço de força, formando então o análogo elétrico do sistema mecânico.
A unidade do fator λ que relaciona os análogos pode ser encontrada pela
equação abaixo:
=
()
Portanto:
=
() e
[λ] = [Coulomb]/[metro]
Além disso, o circuito deve obedecer a relação abaixo:
β=
≪
obtida através da aplicação da transformada de Laplace na equação característica do
circuito RLC e resolvendo-a. Observe abaixo:
1
() + () + () = ()
"
#
#
Q(s)( + + $ ) = () .: Q(s) = V(s)/( + + $ )
)(*)
Encontrando os pólos da resposta em freqüência (() = +(*)
resolvendo a
#
equação ( + + $ ) = 0, temos:
∆=
= −
2
−
4
"
± 0( /2 ) − 1/"
A partir disto, temos que este circuito pode ser um análogo elétrico, desde que o
termo dentro da raiz seja menor do que zero, pois o circuito deve ser subamortecido,
para simular um oscilador massa-mola.
5. RESULTADOS OBTIDOS
A partir dos cálculos mostrados no desenvolvimento teórico, e obedecendo à relação
apresentada, montamos o circuito equivalente utilizando um gerador de sinais, um
resistor de 100 ohm, um capacitor de 1nF, e um indutor de 1mH. Com esses elementos,
obtivemos:
β=
= 123
Por meio do gerador de sinais, submetemos o circuito a uma tensão senoidal de
0.2V de pico, e analisamos as respostas de cada elemento do circuito para a freqüência
de ressonância, para uma freqüência dez vezes maior do que a de ressonância, e para
uma freqüência dez vezes menor do que a de ressonância.
Calculando a freqüência de ressonância para tais elementos temos:
4 = 45 =
#
√7$
#
= √#589
#58:
= 316227 >?@/
E as freqüências de um décimo e dez vezes denotadas w1 e w2, respectivamente,
serão:
4# =
AB
#5
= 31622,7 >?@/
e
4 = 1045 = 3162270 >?@/
Calculando as tensões previstas nos elementos teremos, para 45 :
Vindutor = 6,32 V
Vcapacitor = 6,32 V
Vresistor = 0,2 V
Fase = 90º,
Fase = -90º,
Fase = 0º,
Para 4 # :
Vindutor = 2 mV
Vcapacitor = 0,2 V
V resistor = 0,6 mV
Fase ≅ 180º,
Fase ≅ 0º,
Fase ≅ 90º,
Para 4 :
Vindutor = 0,2 V
Vcapacitor = 2 mV
Vresistor = 0,6 mV
Fase ≅ 0º,
Fase ≅ -180º,
Fase ≅ 90º,
Todos os resultados esperados foram confirmados experimentalmente como
pode ser visto no vídeo feito com a montagem do circuito.
Podemos observar claramente o fenômeno da ressonância em um sistema
elétrico, análogo à ressonância em um sistema mecânico, quando em tal freqüência
vemos as amplitudes das tensões aumentando bastante em relação às amplitudes
observadas em outras freqüências. Mesmo quando animamos o circuito com freqüências
maiores do que a de ressonância não obtemos amplitudes maiores do que as obtidas na
ressonância porque nela temos uma transferência de energia o mais eficiente possível, e
portanto o sistema vibra/oscila em amplitudes máximas só limitadas pelos atritos de
amortecimento (resistor/amortecedor).
6. CONCLUSÃO
Podemos observar, por meio dos resultados obtidos e esperados, que o circuito RLC
série montado, é de fato um análogo de um oscilador massa-mola amortecido, animado
por um braço mecânico, e, portanto, o experimento atingiu seu objetivo.
Levando em consideração o fato de que estamos trabalhando com componentes
reais e aparelhos de medição nem sempre precisos, podemos desconsiderar os erros nos
resultados experimentais em relação aos resultados esperados, e concluir que o
experimento foi realizado com sucesso.