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Física I 2009/2010 Aula02 – Movimento Unidimensional Sumário 2-1 Movimento 2-2 Posição e Deslocamento. 2-3 Velocidade Média 2-4 Velocidade Instantânea 2-5 Aceleração 2-6 Caso especial: aceleração constante 2-7 Movimento de Queda Livre Física I 2009-2010 - 1.º S - Aula02 2 Cinemática Na cinemática estudamos a descrição dos movimentos, sem nos preocuparmos com o que provocou os movimentos O estudo do movimento envolve três grandezas Deslocamento Velocidade Aceleração Física I 2009-2010 - 1.º S - Aula02 3 Movimento de um corpo descrito em termos do movimento de um ponto • Quando consideramos o movimento como de translação Em muitos casos podemos estudar o movimento pura, sem considerarmos rotações e vibrações de um corpo extenso, como se ele fosse um • Quando o espaço envolvido é muito grande comparado ponto dimensões: com assem dimensões do corpo Física I 2009-2010 - 1.º S - Aula02 4 Movimento de um corpo descrito em termos do movimento de um ponto Para descrevermos o movimento temos de utilizar um sistema de coordenadas espaciais e uma coordenada temporal Física I 2009-2010 - 1.º S - Aula02 5 Movimento de um corpo descrito em termos do movimento de um ponto 0m 1m 2m 3m 4m 5m 6m 7m 8m 9m 10 m 11 m x 0s 1s 2s 3s 4s 5s 6s 7s 8s 9s 10 s 11 s 0s 1s 2s 3s 4s 5s 6s 7s 8s 9s 10 s 11 s 6 Física I 2009-2010 - 1.º S Aula02 A posição e o deslocamento A posição é definida em termos do sistema de referência que adoptamos • No caso unidimensional, utilizamos em geral o os eixos dos x ou dos y • É definido um ponto de partida para o movimento – a origem do eixo O deslocamento é a variação da posição, Δx = xf – xi • O subscrito “f” refere-se à posição final e “i” à inicial • A unidade SI é o metro (m) Física I 2009-2010 - 1.º S - Aula02 7 Movimento Unidimensional Sistema de Referência O Deslocamento pode ser positivo ou negativo Sentido positivo tempo Sentido negativo t (s) Origem O Intervalo de tempo é sempre positivo Física I 2009-2010 - 1.º S - Aula02 8 Movimento de um corpo descrito em termos do movimento de um ponto Δx O deslocamento, no caso geral é um vector. No movimento unidimensional, a linha de acção está fixa. Basta o sinal para definir o sentido Δx’ < 0 Como definimos o sentido positivo para a direita, neste último movimento, o sentido do deslocamento é negativo Física I 2009-2010 - 1.º S - Aula02 9 Movimento de um corpo descrito em termos do movimento de um ponto Este processo torna-se confuso, quando existe movimento nos dois sentidos, ao longo da mesma linha. É então preferível utilizar um gráfico da posição em função do instante de tempo. Física I 2009-2010 - 1.º S - Aula02 10 Movimento de um corpo descrito em termos do movimento de um ponto Δx 0s 1s 2s 3s 4s 5s 6s 7s 8s 9s 10 s 0s 1s 2s 3s 4s 5s 6s 7s 8s 9s 10 s 11 s x Física I 2009-2010 - 1.º S - Aula02 11 11 s t Movimento de um corpo descrito em termos do movimento de um ponto 0s 10 s 1s 9s 2s 8s 3s 7s 4s 6s 5s 5s x 0s 1s 2s 3s 4s 5s 6s 7s 8s Física I 2009-2010 - 1.º S - Aula02 9s 12 10 s 11 s t Deslocamento e distância percorrida O deslocamento de um objecto não é a distância percorrida pelo objecto Exemplo: Se lançarmos uma bola na vertical para cima e a apanharmos no ponto em que a lançámos. - A distância percorrida é igual ao dobro da altura a que subiu - O deslocamento é nulo Física I 2009-2010 - 1.º S - Aula02 13 Grandezas Escalares e Vectoriais As grandezas vectoriais caracterizam-se por módulo, direcção e sentido Representam-se, em geral por caracteres a grosso ou com uma seta sobre a letra No movimento unidimensional basta o sinal + ou – para indicar o sentido, porque todos os vectores têm a mesma direcção As grandezas escalares caracterizam-se pelo seu valor apenas Física I 2009-2010 - 1.º S - Aula02 14 Velocidade É necessário tempo para um objecto efectuar um deslocamento A velocidade média é o deslocamento dividido pelo intervalo de tempo em que ocorre vmedia Δx xf − xi = = Δt tf − ti Como é geral o que interessa é o intervalo de tempo, podemos fazer ti = 0 Física I 2009-2010 - 1.º S - Aula02 15 Velocidade Δx Δt 0s 1s 2s vmedia 3s 4s 5s 6s 7s 8s 9s 10 s Δx xf − xi = = Δt tf − ti Neste caso, a velocidade média do corpo é constante durante todo o movimento Física I 2009-2010 - 1.º S - Aula02 16 11 s Velocidade No movimento unidimensional, a direcção e sentido da velocidade é a mesma do deslocamento (o intervalo de tempo é sempre positivo) É suficiente o sinal + ou – para indicar o sentido A unidade SI da velocidade é m/s Física I 2009-2010 - 1.º S - Aula02 17 Interpretação Gráfica da Velocidade (caso unidimensional) A velocidade pode também ser determinada a partir de um gráfico da posição em função do tempo A velocidade média é o declive da recta que une a posições inicial e a posição final Para um objecto que se move com velocidade constante, o gráfico é uma linha recta O declive da recta fornece o valor da velocidade média Física I 2009-2010 - 1.º S - Aula02 18 Movimento unidimensional com velocidade variável 0s 1s 2s 3s 4s 5s x (m) 6s 7s 8s 9 s 10 s Δx = xf - xi 50 A velocidade média num determinado 40 θ 30 intervalo de tempo Δt = tf – ti é dada por Δx = xf – xi vmedia = Δt = tf - ti Δx Δt Esta quantidade é a tangente do ângulo θ que a recta que une, no gráfico, os pontos (ti,xi) e (tf,xf ), faz com a horizontal 20 10 Neste movimento, a velocidade média varia com o tempo 0 0 5 10 t (s) Física I 2009-2010 - 1.º S - Aula02 19 Velocidade média variável (caso unidimensional) Se a velocidade do movimento varia com o tempo H A velocidade média num intervalo de tempo é dada pelo declive da recta verde que une dois pontos Física I 2009-2010 - 1.º S - Aula02 20 Velocidade Instantânea (caso unidimensional) A velocidade instantânea é o limite da velocidade média quando o intervalo de tempo se torna infinitesimal ou seja, quando o intervalo de tempo tende para zero v ≡ lim Δt → 0 Δx Δt Como o deslocamento também de torna infinitesimal, a razão permanece finita A velocidade instantânea indica o que acontece em cada instante Velocidade uniforme significa velocidade constante Os valores da velocidade instantânea são os mesmos em qualquer instante de tempo E são sempre iguais aos da velocidade média Física I 2009-2010 - 1.º S - Aula02 21 Movimento unidimensional com velocidade variável Física I 2009-2010 - 1.º S - Aula02 22 Movimento unidimensional com velocidade variável – caso geral 1 2 3 4 5 9 6 7 8 20 30 40 10 0 x x/m 10 Identifique intervalos de tempo em que a velocidade é: 50 8 - Positiva 40 - Nula m 6 - Negativa 30 4 7 3 20 9 5 2 10 0 10 1 0 5 10 15 20 25 30 35 Física I 2009-2010 - 1.º S - Aula02 40 45 50 23 (s) Aceleração (caso unidimensional) • Velocidade variável (não uniforme) significa que existe aceleração diferente de zero • A aceleração média é variação da velocidade num intervalo de tempo a dividir por esse intervalo de tempo amed Δv vf − vi = = Δt tf − ti • A unidade da aceleração SI é m/s² Física I 2009-2010 - 1.º S - Aula02 24 Aceleração Média (caso unidimensional) • A aceleração é uma quantidade vectorial, mas no caso unidimensional basta o sinal + ou – (como para o deslocamento e a velocidade) • Quando os sinais da velocidade e da aceleração são iguais (positivos ou negativos), o módulo da velocidade instantânea está a aumentar • Quando os sinais da velocidade e da aceleração são opostos, o módulo da velocidade instantânea está a diminuir Física I 2009-2010 - 1.º S - Aula02 25 Aceleração Instantânea (caso unidimensional) •É o limite da aceleração média quando o intervalo de tempo tende para zero Δv dv a = lim = Δt →0 Δt dt dv d ⎛ dx ⎞ d 2 x a= = ⎜ ⎟= 2 dt dt ⎝ dt ⎠ dt Física I 2009-2010 - 1.º S - Aula02 26 Aceleração Média e Instantânea (caso unidimensional) • A aceleração média é o declive da recta que une os pontos correspondentes aos valores da velocidade inicial e final num gráfico da velocidade em função do tempo • A aceleração instantânea é, em cada instante, o declive da tangente à curva que representa a velocidade em função do tempo Declive = Declive = ainst = amed = dv dt Física I 2009-2010 - 1.º S - Aula02 27 Δv Δt Relação Entre Aceleração e Velocidade (caso unidimensional) •Velocidade uniforme (representada por setas vermelhas com o mesmo comprimento) •A aceleração é nula Física I 2009-2010 - 1.º S - Aula02 28 Relação Entre Aceleração e Velocidade (caso unidimensional) • A velocidade e aceleração têm o mesmo sentido • A aceleração é uniforme (as setas azuis têm comprimento constante) • O módulo da velocidade está a aumentar (O comprimento das setas vermelhas está a aumentar) • Velocidade positiva e aceleração positiva Física I 2009-2010 - 1.º S - Aula02 29 Relação Entre Aceleração e Velocidade (caso unidimensional) • A velocidade e aceleração têm sentidos opostos • A aceleração é uniforme (as setas azuis têm comprimento constante) • O módulo da velocidade está a diminuir (O comprimento das setas vermelhas está a diminuir) • Velocidade positiva e aceleração negativa Física I 2009-2010 - 1.º S - Aula02 30 Equações da Cinemática (aceleração constante -caso unidimensional) • São utilizadas quando a aceleração é constante (uniforme) • v0 é o valor de v para t = 0 v − v0 a = amedia = t −0 v = v 0 + at Verificação v = v 0 para t = 0 dv =a dt 31 Física I 2009-2010 - 1.º S - Aula02 31 Equações da Cinemática (aceleração constante - caso unidimensional) • Utilizando a expressão da velocidade média • x0 é o valor de x para t = 0 x − x0 v media = t −0 x = x0 + v mediat Física I 2009-2010 - 1.º S - Aula02 32 Equações da Cinemática (aceleração constante - caso unidimensional) • Podemos agora utilizar v m e d ia para obter v m e d ia 1 = (v 0 + v ) 2 1 = v 0 + at 2 1 2 x = x0 + v 0t + a t 2 Verificação x = x0 para t = 0 dx = v = v 0 + at dt Física I 2009-2010 - 1.º S - Aula02 33 v = v0 + at 1 x = vmedt = (v0 + v )t 2 1 2 x = x0 + v0t + at 2 v 2 = v02 + 2a( x − x0 ) Velocidade •São utilizadas quando a aceleração é constante (movimento uniformemente acelerado) Aceleração (aceleração constante - caso unidimensional) Posição Equações da Cinemática Física I 2009-2010 - 1.º S - Aula02 Declive variável Declive = a Declive = 0 34 Interpretação Gráfica da Equação (caso unidimensional) v = v0 + at Declive Física I 2009-2010 - 1.º S - Aula02 35 Sugestões para a resolução de problemas unidimensionais 1. Ler atentamente o problema 2. Desenhar um diagrama – Escolher um sistema de coordenadas assinalar os pontos inicial e final, escolher o sentido positivo para a velocidade e a aceleração 3. Identificar todas a grandezas, assegurando-se que as unidades estão no mesmo sistema 4. Escolher a equação cinemática apropriada 5. Resolver o problema para obter as incógnitas 6. Verificar os resultados – Fazer estimativas e comparar com o resultado – Verificar as unidades Física I 2009-2010 - 1.º S - Aula02 36 Aplicação - Queda livre • Quando um corpo está a mover-se apenas sujeito à gravidade, diz-se que está em queda livre A queda livre não depende do movimento original do corpo • Todos os corpos que caem perto da superfície da Terra possuem a mesma aceleração • A essa aceleração, denominada aceleração da gravidade, ou devido à gravidade, atribui-se o símbolo g Física I 2009-2010 - 1.º S - Aula02 37 Aceleração da gravidade • É indicada pelo símbolo g g = 9.80 m/s² – Em muitos casos pode utilizar-se g ≈ 10 m/s2 • A aceleração da gravidade é uma grandeza vectorial que, junto à superfície da Terra aponta sempre para baixo, na direcção e sentido do centro da Terra • Desprezando a resistência do ar e supondo que g não varia com a altitude para pequenos deslocamentos verticais, a queda livre é um movimento unidimensional com aceleração constante Física I 2009-2010 - 1.º S - Aula02 38 Queda livre – um objecto abandonado em repouso • A velocidade inicial é nula • Escolhemos (arbitrariamente) como positivo o sentido “para cima” y • Utilizamos as equações da cinemática – Em geral, utiliza-se y em vez de x porque o movimento é na vertical v0 = 0 a=g • Como escolhemos como positivo a sentido “para cima”, o valor da aceleração é g = -9.80 m/s2 Física I 2009-2010 - 1.º S - Aula02 39 Queda livre – um objecto lançado para baixo • a = g = -9.80 m/s2 y • Agora a velocidade inicial ≠ 0 – Se o sentido “para cima” é positivo, a velocidade inicial é negativa Física I 2009-2010 - 1.º S - Aula02 v0 ≠ 0 a=g 40 Queda livre – um objecto lançado para cima • A velocidade inicial é ”para cima”, portanto é positiva y v=0 • A velocidade instantânea quando o corpo atinge a altura máxima é nula • a = g = -9.80 m/s2 durante todo o movimento Física I 2009-2010 - 1.º S - Aula02 41 Queda livre – um objecto lançado para cima • Se movimento é simétrico (posição de partida coincide com a de chegada) Então tpara cima = tpara baixo e vf = -vo • Se o movimento não for simétrico, temos de dividir o estudo do movimento em duas partes • • Em geral, o movimento ascendente e o movimento descendente Física I 2009-2010 - 1.º S - Aula02 42 Queda livre – um objecto lançado para cima Física I 2009-2010 - 1.º S - Aula02 43
