V - FSA

Versão reformulada em 2014
1-Fenômenos elétricos
Conceito de carga elétrica
Por volta do ano de 1600, o cientista inglês, Gilbert, notou que, quando se friccionava
um pedaço de âmbar em uma pele de animal, ele adquiria a capacidade de atrair objetos
leves. Este fenômeno foi chamado, por ele, eletricidade, uma vez que a palavra grega
elétron significa âmbar. Atualmente, dizemos que a fricção faz com que o âmbar fique
eletrificado, ou seja, adquire uma carga elétrica.
Em 1747 o cientista americano Benjamin Franklin, trabalhando com diferentes
materiais, descobriu que existem dois tipos de carga elétrica que ele denominou de
carga positiva e carga negativa.
Após essas descobertas, muitos cientistas passaram a investigar fenômenos elétricos.
Verificaram que partículas com o mesmo tipo de carga se repelem e partículas com
cargas opostas se atraem.
Lei de Coulomb
Por volta de 1785, Charles Coulomb, um físico francês, introduziu o que hoje é
conhecido como lei de Coulomb. Esta lei estabelece que, quando se tem duas partículas
pontuais, de carga Q1 e Q2 , separadas de uma distância r, (ver fig. 1-1), a força de
atração ou repulsão pode ser calculada pela expressão:
F =k
F
Q1Q2
r2
1-1
Q2 (+ )
Q1 (+ )
F
r
Q1 (+ )
F
F
Q2 (− )
r
(a)
(b)
Fig. 1-1
Para que a unidade da força seja Newton, o parâmetro k deve valer 9 × 10 9 . Além disto a
carga elétrica deve se dada em Coulomb, e a distância em metro.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------Exercício 1-1
Determine a força de atração entre as cargas da Fig.1 sabendo-se que
Q1 = +5 × 10 −7 Coulomb, Q2 = −2 × 10 −7 Coulomb e r = 1 m .
Solução:
5 × 10 −7 × 2 × 10 −7
F = 9 × 10 9
= 9 × 10 − 4 Newton
12
---------------------------------------------------------------------------------------------------------
1
Exercício 1-2
Repita o problema anterior para r = 2 m
Solução:
5 × 10 −7 × 2 × 10 −7
F = 9 × 10 9
= 2,25 × 10 − 4 Newton
2
2
---------------------------------------------------------------------------------------------------------O exercício 1-2 mostrou que, quando se dobra a distância entre as partículas, a força
diminui quatro vezes.
Campo elétrico.
Quando, sobre uma partícula carregada, existe uma força atuante, diz-se que esta
partícula está em um campo de força elétrica, ou simplesmente, campo elétrico
Campo elétrico produzido por dois elementos Fixos
Vamos supor que se tenha duas placas fixas paralelas, A e B, com uma certa distância
entre si. Ver fig. 1-2.
A
B
Fig. 1-2
Vamos supor, ainda, que a placa A está carregada positivamente e a placa B está
carregada negativamente. Neste caso estas placas se denominam eletrodos. A placa A é
o eletrodo positivo ou anodo e a placa B é o eletrodo negativo ou catodo. Neste caso,
forma-se um campo elétrico entre essas placas.
Se no espaço entre estas placas houver uma certa quantidade de partículas negativas,
estas partículas serão repelidas por B e atraídas por A. Portanto as partículas se
movimentam até atingir A. Este movimento das partículas carregadas se chama corrente
elétrica.
Unidade física da corrente elétrica
Se uma certa quantidade de partículas, que possuem uma carga total Q, atingirem a
placa no período de um segundo dizemos que tem-se uma corrente elétrica de Q
Coulomb por segundo, ou Q amperes:
1 ampere =
1 Coumb
1 segundo
2
Trabalho realizado
Pelas leis da física, toda vez que uma força, atuando sobre um corpo, provoca o seu
deslocamento, é realizado um trabalho. O símbolo matemático para esta grandeza é a
letra W (work) . Quando a força é dada em Newton e o deslocamento em metro resulta a
unidade joule para o trabalho realizado. Por exemplo, quando esta força é constante, o
trabalho pode se calculado pela expressão matemática:
Trabalho = Força x deslocamento
ou
W = F ×d
Diferença de potencial entre os eletrodos
Vamos supor que os eletrodos A e B estão carregados de tal maneira que eles seriam
capazes de deslocar uma carga total negativa, de valor Q, do ponto B para o ponto A
produzindo um trabalho W. Neste caso, diz-se que entre os eletrodos A e B existe uma
diferença de potencial. O valor desta nova grandeza pode ser calculado pela fórmula:
Dif . de potencial =
ou
V =
Trabalho
c arg a deslocada
W
Q
Quando o trabalho é dado em joule e a carga em Coulomb, a diferença de potencial
resulta na unidade volt.
Esta diferença de potencial é também chamada de tensão ou voltagem entre os eletrodos
considerados. Este parâmetro é extremamente importante para o projeto de dispositivos
elétricos e eletrônicos.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------Exercício 1-3
Um par de eletrodos de cargas opostas teria capacidade de deslocar, de um eletrodo para
outro, uma carga Q = 2 × 10 −7 Coulomb de tal forma que o trabalho, se fosse realizado,
seria igual a W = 3 × 10 −7 joule. Determinar a diferença de potencial que existe entre
esses eletrodos.
Solução:
3 × 10 −7 joule
= 1,5 volt
2 × 10 −7 coulomb
------------------------------------------------------------------------------------------------------V =
Estrutura atômica
Toda a matéria é constituída de minúsculos conjuntos de partículas denominados
átomos.
O átomo é semelhante ao nosso sistema solar. O elemento que corresponde ao sol é o
núcleo do átomo. Em torno deste núcleo giram partículas denominadas elétrons. Tal
3
como acontece com os planetas de nosso sistema solar, os elétrons se distribuem em
diversas órbitas.Ver fig. 1-3.a.
Cada elétron possui massa muito menor que a do núcleo.
O núcleo possui carga positiva e o elétron negativa. Portanto o núcleo atrai o elétron.
Entretanto o elétron não cai no núcleo devido ao seu movimento rotatório em torno
desse núcleo. Sua órbita e velocidade são tais que a força centrífuga cancela a força de
atração.Ver fig 1-3.b
Força
centrífuga
Força de
atração
(a)
(b)
Fig. 1-3
O átomo, em seu estado natural, é neutro. Isto significa que a soma de todas as cargas
negativas dos elétrons é igual a carga positiva do núcleo. Por exemplo, sabe-se que a
carga de cada elétron é igual a - 1,6 × 10 −19 Coulomb. Se um átomo possui 30 elétrons
então a carga do núcleo será + 30 × 1,6 × 10 −19 = +4,8 × 10 −18 Coulomb.
Entretanto, sob certas condições, o átomo pode perder ou ganhar um ou mais elétrons.
Quando ele perde elétrons sua carga total fica positiva. Quando o átomo ganha um ou
mais elétrons, que passam a girar em torno de seu núcleo, ele fica com carga total
negativa.
Na experiência de Gilbert, quando se friccionou, a pele de animal no âmbar, muitos
elétrons passaram da pele para o âmbar. Portanto, o âmbar ficou com excesso de cargas
negativas e a pele com excesso de cargas positivas.
Condutores de eletricidade
Os elétrons das órbitas mais externas estão submetidos a forças de atração mais fracas.
Em certos materiais, como por exemplo, nos metais, estas forças de atração se tornam
tão fracas que elétrons, das órbitas mais externas, podem escapar facilmente do átomo.
Neste caso eles ficam se deslocando de um átomo para outro, aleatoriamente. Estes
elétrons são chamados de elétrons livres.
Na presença de um campo elétrico, produzido por eletrodos externos, estes elétrons
passam a se deslocar, dentro do material, no sentido do catodo para o anodo formando
uma corrente elétrica. A intensidade desta corrente é tanto maior quanto maior for a
quantidade de elétrons livres existentes no material. A quantidade de elétrons livres
depende do tipo de material e da temperatura ambiente. Quando um material possui
4
muitos elétrons livres, diz-se que ele é um bom condutor de eletricidade. O cobre é um
dos melhores condutores de eletricidade. Na temperatura ambiente normal, ele possui
aproximadamente 6 × 10 23 elétrons livres por centímetro cúbico.
Quando um material possui poucos elétrons livres diz-se que ele é um mal condutor, ou
um material de alta resistividade. Em eletricidade existem aplicações tanto para os
materiais bons condutores quanto para os materiais de alta resistividade. A resistividade
de um material pode ser medida. Seu símbolo matemático é a letra grega ρ (rho) e sua
unidade é ohm × metro , ou Ω × m . Mesmo os materiais considerados bons condutores
possuem uma certa resistividade, ainda que de valor muito pequeno. Para grande parte
das aplicações considera-se como sendo zero. Um condutor, de resistividade
desprezível, costuma ser usado no formato de fio metálico e é representado, nos
desenhos de esquemas elétricos, como uma simples linha.
Resistência elétrica
Dada a presença de um determinado campo elétrico, a intensidade da corrente elétrica
depende da resistividade do material e fatores geométricos. Seja o caso de um fio
metálico com comprimento l e área da secção igual a S. Ver fig. 1-4.
S
l
Fig. 1-4
A intensidade da corrente é tanto menor quanto maior for o comprimento desse fio. Da
mesma forma, essa intensidade da corrente é tanto maior quanto maior for a área da
secção do fio metálico. Isto acarreta a chamada resistência elétrica do fio.
A resistência elétrica de um fio de comprimento l e secção S pode ser calculada pela
expressão:
R=ρ
l
S
Se o comprimento for dado em metro, a secção em metro quadrado e a resistividade for
dada em Ω × m , então a resistência elétrica calculada tem seu valor dado em ohm ou
Ω.
----------------------------------------------------------------------------------------------------Exercício 1-4
Sabe-se que o cobre possui ρ = 1,72 × 10 −8 Ω × m . Determinar a resistência de um fio de
cobre, cujo raio mede 1 mm e o comprimento 1 km.
Solução:
r = 0,001 m = 1 × 10 −3 m
l = 1000 m
(
2
)
S = π × r 2 = π × 1 × 10 −3 = 3,14 × 10 −6 m 2
l
1000
R = ρ = 1,72 × 10 −8
= 5,47 Ω
S
3,14 × 10 −6
--------------------------------------------------------------------------------------------------------
5
Resistor
É um componente usado em eletricidade e em eletrônica construído, propositalmente,
para ter um valor de resistência desejado. Um resistor pode ser construído para ter
qualquer valor de resistência, desde alguns ohms até dezenas de megahoms. Existem
duas representações dos resistores utilizadas, normalmente, em desenhos de esquemas
elétricos. A fig. 1-5.a mostra a representação adotada pelos americanos. A fig. 1-5.b
mostra a representação adotada por alguns países europeus e que, também, foi adotada
no Brasil (norma ABNT).
R
R
(a)
(b)
Fig. 1-5
Sentido real e sentido convencional da corrente elétrica
Na fig. 1-5 mostramos, novamente, os eletrodos carregados com cargas opostas
produzindo deslocamentos em cargas elétricas negativas. Vamos supor que estas
partículas sejam elétrons livres. Estes elétrons são repelidos pelo eletrodo negativo e
atraídos pelo eletrodo positivo.
Sentido real da
corrente elétrica
A
Sentido convencional
da corrente elétrica
B
Fig. 1-5
Portanto o sentido de deslocamento desta corrente elétrica é do eletrodo negativo para o
eletrodo positivo. Entretanto, por razões históricas, todos os tratados sobre eletricidade
adotam o sentido inverso. Este sentido, que é chamado de sentido convencional,
considera que a corrente elétrica vai do eletrodo positivo para o eletrodo negativo.
6
2- Circuitos elétricos e suas propriedades
Unidades de Eletricidade
A tabela 2-1 mostra as grandezas elétricas, definidas no capítulo anterior, juntamente
com as unidades físicas correspondentes e seus símbolos gráficos utilizados em
cálculos matemáticos.
Tabela 2 -1
Grandeza física
Unidade física Símbolo matemático
Carga elétrica
Coulomb
Q
Corrente elétrica
Ampere
I
Diferença de potencial elétrico
Volt
V
Resistência elétrica
Ohm
Ω
A diferença de potencial é também chamada de tensão elétrica ou, simplesmente,
tensão.
O componente físico que possui uma resistência elétrica é chamado de resistor.
A fig. 2-1 mostra um resistor, que possui uma resistência de valor R. Se aplicarmos
uma diferença de potencial V, entre os terminais deste resistor, é produzida uma
corrente elétrica que chamaremos de I.
R
I
+
-
V
Fig. 2-1
Cálculos de tensões e correntes em um resistor: Lei de Ohm
A quando se aplica uma tensão V em um componente cuja resistência é igual a R, a
corrente resultante segue a equação:
I=
V
R
2-1
Quando se sabe o valor da corrente e da resistência, pode-se determinar o valor da
tensão por meio de manipulação algébrica da equação 2-1:
V = R×I
2-2
---------------------------------------------------------------------------------------------------------Exercício 2-1
Sobre um resistor de 10 Ω tem-se uma tensão de 30 v. Determinar a corrente elétrica
que está percorrendo esse resistor.
Solução:
7
V
30 v
=
=3 A
R 10 Ω
-----------------------------------------------------------------------------------------------Exercício 2-2
Em um resistor de 5 Ω está passando uma corrente de 2 Amperes. Determinar a tensão
sobre esse resistor.
Solução:
I=
V = R × I = 5 Ω × 2 A = 10 v
---------------------------------------------------------------------------------------------------------Potência elétrica em uma resistência
Esta grandeza tem como símbolo a letra P e sua unidade é Watt (W).
O valor da potência sobre uma resistência é igual ao produto da tensão nessa resistência
pela corrente que a percorre:
2-3
P =V ×I
Substituindo 2-2 em 2-3, resulta uma fórmula alternativa:
P = R× I2
2-4
Substituindo 2-1 em 2-3, resulta outra fórmula alternativa:
V2
2-5
R
-----------------------------------------------------------------------------------------------------Exercício 2-3
Calcular a potência sobre o resistor do exercício 2-1.
Solução:
V = 30 v
I =3 A
P=
P = V × I = 30v × 3 A = 90 W
--------------------------------------------------------------------------------------------
Exercício 2-4
Em um resistor de 15 Ω passa uma corrente de 2 amperes. Determinar a potência sobre
esse resistor.
Solução:
P = R × I 2 = 15Ω × 2 2 A = 60 W
Energia elétrica
A energia elétrica consumida em um resistor, durante um determinado tempo, é igual a
potência, nesse resistor, multiplicada por esse tempo. Quando a potência for dada em
8
Watt e o tempo em segundos, a unidade da energia é Watt × s = Joule . Para energia,
adotaremos o símbolo E n
En = P × t
2-6
--------------------------------------------------------------------------------------------------------Exercício 2-5
Calcular a energia dissipada, em um minuto, no resistor, sabendo que nele existe uma
potência de 30 W.
Solução:
E n = P × t = 30W × 60s = 1800 W × s = 1800 joules = 1,8 kW × s
---------------------------------------------------------------------------------------------------------Nota: Cientificamente costuma-se usar a unidade W × s que é equivalente a joule.
Comercialmente prefere-se usar a unidade Kilowat × hora
---------------------------------------------------------------------------------------------------------Exercício 2-6
Quando se liga o chuveiro elétrico, tem-se, em sua resistência, uma potência de 2,4 kW.
Se ele for ligado durante 15 minutos, determinar quantos Kilowat × hora são consumidos
nesse período?
Solução:
1 hora
15 min =
4
1 hora
= 0,6 kW × hora
4
--------------------------------------------------------------------------------------------------------Fonte de alimentação.
E n = 2,4 kW ×
É um dispositivo capaz de fornecer energia elétrica para um circuito. Além do nome
acima, ele é chamado, às vezes, de gerador, e outras vezes, de bateria, em dependência
de seu aspecto físico. Em nosso texto designaremos esse dispositivo, quase que
exclusivamente, pelo nome de bateria.
As baterias possuem um eletrodo positivo e outro negativo. Portanto, existe uma
diferença de potencial entre estes eletrodos. Quando se conecta um resistor entre seus
terminais produz-se corrente elétrica. Normalmente se chama o eletrodo positivo de
pólo positivo da bateria. Da mesma forma, o eletrodo negativo é comumente chamado
de pólo negativo da bateria.
O aparelho que pode medir a diferença de potencial, entre os pólos da bateria, se chama
voltímetro. Este aparelho pode medir essa tensão em duas situações da bateria:
fornecendo ou não corrente elétrica.
A fig. 2-2.a mostra o esquema de medida na situação onde não existe corrente elétrica.
Esta medida se chama tensão da bateria em circuito aberto. A fig. 2-2.b mostra a
medida no caso em que existe uma corrente percorrendo um resistor externo à bateria.
Esta medida se chama tensão da bateria em circuito fechado.
9
bateria
voltímetro
bateria
voltímetro
I
E
I R
V
I
(b)
(a)
Fig. 2-2
Vamos supor que a medida em aberto resultou em uma tensão de valor E volt e a
medida em circuito fechado resultou V volt. Sempre acontece que o valor V é menor
que o valor E. Este comportamento induz ao esquema elétrico equivalente da bateria
mostrado na fig. 2-3. Nesse esquema, a bateria contém um dispositivo chamado fonte
de tensão de valor E e uma resistência RS . Esta equivalência será demonstrada mais
adiante.
A
RS
E
B
Fig. 2-3
A fonte de tensão representa um dispositivo com os pólos A e B onde existe uma
diferença de potencial constante de valor E. Esta diferença de potencial é imutável para
qualquer valor de corrente que o dispositivo forneça, incluindo a corrente nula.
A tensão E, mostrada no esquema, é chamada de força eletromotriz da bateria. Na
literatura técnica, quase sempre, ela é mencionada pela abreviação fem. A resistência
mencionada RS é chamada de resistência interna da bateria.
Exemplos de bateria:
1- As pilhas são baterias cuja força eletromotriz (fem) é aproximadamente 1,5 volt.
2- O tipo mais comum de bateria para automóvel possui fem igual a
8 × 1,5v = 12 v
A resistência interna depende do tipo de bateria. Por exemplo, quanto maior for o
tamanho da pilha, menor será sua resistência interna. A resistência interna de uma
bateria de automóvel é muito menor do que a resistência interna de qualquer tipo de
pilha.
10
Fio condutor
É um componente elétrico cuja resistência é tão pequena que se torna desprezível. Para
a maior parte dos cálculos considera-se R = 0 . Quando existe uma corrente elétrica em
um fio condutor, a diferença de potencial, entre seus terminais, é nula pois:
V = R× I = 0× I = 0
Circuito elétrico
É um conjunto de componentes elétricos conectados entre si por fios condutores..
A fig. 2-4 mostra dois exemplos de circuitos. A fig. 2-4.a mostra um circuito aberto e a
fig. 2-4.b mostra um circuito fechado.
bateria
+
RS
VS
E
bateria
+
I =0
+
Va
−
+
E
−
−
(a)
−
RS
VS
+
I
R1
V1
−
+
I
R2 V2
I
I
(b)
Fig. 2-4
Nota-se que, no circuito fechado foi produzida uma corrente elétrica, ao passo que no
circuito aberto a corrente é nula.
Só pode haver corrente elétrica em um circuito fechado.
Por convenção, a corrente elétrica sai do eletrodo positivo da bateria e, após percorrer o
circuito, entra na bateria pelo eletrodo negativo.Ver fig. 2-4.b.
Diferenças de potencial presentes nos diversos componentes do circuito.
Vimos que a fem de uma bateria corresponde a uma diferença de potencial ou tensão.
Nas figuras 2- 4.a e 2-4.b, designamos o valor E para essa tensão.
Pela lei de ohm, a corrente ao percorrer uma resistência, acarreta uma diferença de
potencial ou tensão nessa resistência. Tudo se passa como se os terminais do resistor se
tornassem eletrodos ou pólos. Onde entra a corrente, tem-se o pólo positivo do resistor.
Onde a corrente sai, tem-se o pólo negativo desse resistor. Ver fig. 2-4.b. Note-se que
esta situação só existe durante a presença da corrente elétrica.
Lei de Kirchhoff das tensões no circuito.
“Ao se percorrer um circuito, sempre no mesmo sentido, a soma algébrica das tensões
encontradas, ao longo do percurso, é nula”.
Por sinal algébrico entende-se que, ao longo do percurso, quando a corrente entra pelo
pólo positivo, a tensão é positiva e vice versa.
Exemplos:
No circuito da fig. 2.4.b tem-se:
11
−
− E + VS + V1 + V2 = 0
ou
V2 = E − VS − V1
--------------------------------------------------------------------------------------------Exercício 2-7
No circuito da fig. 2-4.b tem-se os seguintes valores para as diversas tensões:
E = 15 v ,
VS = 2 v e
V1 = 7 v
Determinar a tensão V2 .
Solução:
V2 = E − VS − V1 = 15 − 2 − 7 = 6 v
-------------------------------------------------------------------------------------------A lei de Kirchhoff das tensões é válida mesmo para circuito aberto. Na fig. 2-4.a, se a
medida da tensão da bateria, em aberto, resultou no valor Va , então teremos a
igualdade:
− E + V S + Va = 0
ou
Va = E − VS
Entretanto, pela lei de Ohm, tem-se:
V S = I × RS
Mas, em circuito aberto, a corrente elétrica é nula. Resulta:
Va = E − 0 × R S = E
Portanto: Va = E
Determinação do valor da corrente elétrica em um circuito.
Vamos descrever o método de cálculo, da corrente, utilizando o circuito da fig. 2-5.
A corrente I, que queremos determinar, percorre todos os componentes. Em cada
componente tem-se uma tensão que pode ser determinada pela lei de ohm:
+
+
E
RS
VS
+
−
I
R1
V1
−
+
R2 V2
−
−
Fig. 2-5
VS = I × RS
V1 = I × R1
V2 = I × R2
2-7
2-8
2-9
12
Vimos que, pela lei de Kirchhoff das tensões, tem-se:
− E + VS + V1 + V2 = 0
ou VS + V1 + V2 = E
Substituindo-se os valores das tensões, fica:
I × RS + I × R1 + I × R2 = E
ou
I (RS + R1 + R2 ) = E
E
2-10
RS + R1 + R2
---------------------------------------------------------------------------------------------------------Exercício 2-8 - No circuito da fig. 2-5 tem-se os dados:
ou
I=
E = 50 v ; RS = 2 Ω ; R1 = 18 Ω ; R2 = 30 Ω
a) Determinar o valor da corrente elétrica.
b) Determinar a tensão V2 .
Solução:
a) Pela expressão 2-10, resulta:
I=
E
50
=
=1 A
RS + R1 + R2 2 + 18 + 30
b) Pela expressão 2-9, tem-se:
V2 = I × R2 = 1 × 30 = 30 v
------------------------------------------------------------------------------------------------Medidor de corrente elétrica ou amperímetro.
É um instrumento de medida que é colocado, no caminho da corrente, apresentando
uma resistência elétrica R A aproximadamente nula. Ver fig. 2-6. Portanto a diferença de
potencial V A , entre seus bornes, é nula pois
VA = RA × I = 0 × I = 0
+
E
+
I
VS
RS
VA = 0
−
A
I
RA = 0
−
I
+
R1 V1
−
I
Fig. 2-6
13
3 - Associações de componentes nos circuitos elétricos
Generalização da lei de Kirchhoff das tensões
Muitas vezes um circuito não detalha todos seus componentes.
Seja, por exemplo o circuito da fig. 3-1.
V1
R1
A
I
R2 V2
V
I
B
3-1
Vamos supor que se conhece a diferença de potencial V entre os pontos A e B, assim
como os valores dos resistores R1 e R2 . Neste caso, aplicando-se a lei de Kirchhoff e a
lei de Ohm pode-se determinar os valores da corrente elétrica e das tensões nos
resistores R1 e R2 .
Equações:
3-1
− V + V1 + V2 = 0
ou
V = V1 + V2
3-2
Mas
V1 = I × R1
3-3
e
V2 = I × R2
3-4
Substituindo 3-3 e 3-4 em 3-2 tem-se:
3-5
V = I × R1 + I × R2
ou
V = I (R1 + R2 )
ou
I=
V
R1 + R2
3-6
-----------------------------------------------------------------------------------------------------Exercício 3-1
No circuito da fig. 3-1 têm-se os seguintes dados:
V = 10 v
R1 = 3 Ω
R3 = 2 v
Determinar os valores de I , V1 e V2
14
Solução:
Aplica-se a equação 3-6:
I=
V
10
=
=2 A
R1 + R2 2 + 3
Aplicam-se as equações 3-3 e 3-4:
V1 = I × R1 = 2 × 3 = 6 v
V2 = I × R2 = 2 × 2 = 4 v
----------------------------------------------------------------------------------------------------Interpretação da equação 3- 2
A equação V = V1 + V2 indica que “A tensão na entrada de um circuito é igual a
soma das tensões ao longo do circuito”.
Simplificação do roteiro do cálculo
Podemos diminuir uma passagem matemática se aplicarmos a lei de ohm diretamente
em cada resistor do circuito. Ver fig. 3-2
I × R1
R1
A
I
R2 I × R2
V
I
B
Fig. 3-2
Neste caso, aplicando-se a lei de Kirchhoff, chega-se diretamente à equação 3-5:
V = I × R1 + I × R2
Associação de resistores em série
Na fig. 3-3.a dizemos que os resistores R1 e R2 estão conectados em série no circuito.
Seja I , a corrente que passa por esses dois resistores.
15
+
+
+
+
R1
⇒
−
+
I
V
I
V
R2
R12
−
−
−
−
(a)
(b)
Fig. 3-3
A diferença total de potencial sobre esses dois resistores fica.
V = I × R1 + I × R2 = I (R1 + R2 ) = I × R12
Portanto
onde
V = I × R12
3-7
R12 = R1 + R2
3-8
A equação 3-7 é a mesma que resultaria se o circuito fosse o da fig. 3-3.b.
Portanto, essas duas resistências em série equivale a uma única resistência que é igual a
soma das resistências individuais.
Generalizando, podemos dizer que, n resistências em série, equivale a uma única
resistência R de valor igual a soma das resistências individuais.
R = R1 + R2 + R3 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + Rn
ou
n
R = ∑ Ri
3-9
i =1
---------------------------------------------------------------------------------------------------------Exercício 3-2
Em um circuito têm-se os seguintes resistores em série:
R1 = 200 Ω , R2 = 400 Ω , R3 = 500 Ω
Determinar o valor da resistência equivalente.
Solução:
R = 200 + 400 + 500 = 1100 Ω
---------------------------------------------------------------------------------------------------------Circuito contendo resistores em paralelo
A fig. 3-4 mostra um circuito onde os resistores R1 e R2 estão conectados em paralelo.
16
R1
V1
R2
⇒
V2
R1
V
R2
V
(b)
(a)
Fig. 3-4
Vamos supor que sobre o resistor R1 existisse uma tensão V1 e que sobre o resistor R2
existisse a tensão V2 . Ver fig. 3-4.a. Neste caso, ao circular no sentido horário esse
circuito, teríamos a equação:
− V1 + V2 = 0
ou
V2 = V1
Vemos que a tensão nos dois resistores é, obrigatoriamente, a mesma. Seja V, o valor
dessa tensão comum, Ver fig. 3-4.b.
Entretanto, as correntes elétricas que percorrem cada resistor, são diferentes entre si.
Chamando de I 1 a corrente que percorre R1 e de I 2 a corrente que percorre R2 , fica:
I1 =
V
R1
e
I2 =
V
R2
Se R1 for diferente de R2 , então podemos ver que I 1 será diferente de I 2 .
A figura 3-5, adiciona uma fonte de alimentação, com sua resistência interna. Indica,
ainda as diversas tensões e correntes no circuito.
C
+
RS
VS
−
I1
+
I
+
E
R1
−
I2
I2
+
R2 V
−
V
−
I1
I
D
Fig. 3-5
Neste circuito, os pontos C e D são chamados nós.
17
I2
Lei de Kirchhoff para as correntes elétricas
A soma algébrica das correntes elétricas, que entram ou saem de um nó, é nula. Por
convenção, consideram-se as correntes que entram como negativas e as que saem como
positivas. Ver fig. 3-6.
I2
I1
I3
I4
Fig. 3-6
Tomando-se por base a fig. 3-6, tem-se:
− I1 + I 2 + I 3 + I 4 = 0
ou
I1 = I 2 + I 3 + I 4
--------------------------------------------------------------------------------------------------Exercício 3-3
No circuito da fig. 3-5 tem-se I 1 = 2 amperes e I 2 = 3 amperes. Determinar o valor
de I.
Solução:
− I + I1 + I 2 = 0
I = I 1 + I 2 = 2 + 3 = 5 amperes
---------------------------------------------------------------------------------------------------------Exercício 3-4
No circuito da fig. 3-5 tem-se I = 6 A e I 1 = 2 A.e Determinar o valor de I 2 .
Solução:
− I + I1 + I 2 = 0
I 2 = I − I1 = 6 − 2 = 4 A
---------------------------------------------------------------------------------------------------------Associação de resistores em paralelo.
C
I
V
I1
R1
I2
I
I2
⇒
R2
(a)
R
V
(b)
Fig. 3-7
18
Na fig. 3-7.a vemos que
I = I1 + I 2
Mas, pela lei de Ohm tem-se
Resulta
ou
onde
I1 =
V
R1
I=
 1
V
V
1 
1
 = V  
+
= V  +
R1 R2
R
 R1 R2 
I=
e
I2 =
V
R2
V
R
3-10
1
1
1
=
+
R R1 R2
3-12
A expressão 3-10 equivale ao resultado do cálculo da corrente no circuito da fig. 3-7.b,
desde que a resistência equivalente R obedeça a expressão 3-12.
Caso geral onde se tem n resistências em paralelo
No caso geral em que se tem n resistências em paralelo, a utilização da lei de Kirchhoff,
das correntes, leva-nos à expressão:
1
1
1
1
1
=
+
+ . . + ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ +
R R1 R2
R3
Rn
3-13
n
1
1
3-14
=∑
R i =1 Ri
--------------------------------------------------------------------------------------------------Exercício 3-5
Em um circuito têm-se as seguintes resistências em paralelo:
ou
R1 = 200 Ω , R2 = 400 Ω , R3 = 500 Ω
Determinar o valor da resistência equivalente para essa associação.
Solução:
1
1
1
1
=
+
+
= 5 × 10 −3 + 2,5 × 10 −3 + 2 × 10 −3 = 9,5 × 10 −3
R 200 400 500
1
≈ 105,3 Ω
9,5 × 10 −3
-------------------------------------------------------------------------------------------------R=
19
Fórmula compacta para o caso em que se têm apenas duas resistências em
paralelo.
Vimos que, no caso de dois resistores em paralelo obteve-se (expressão 3-12);
1
1
1
=
+
R R1 R2
Fazendo a soma indicada, resulta:
1 R1 + R2
=
R
R1 R2
ou
R=
R1 R2
R1 + R2
3-15
A expressão 3-15 é válida somente para o cálculo da resistência equivalente de uma
associação de duas resistências em paralelo. Para ocaso de 3 ou mais resistências em
paralelo deve-se usar a expressão geral 3-13.
Condutância elétrica.
Dado o valor R, de uma resistência, define-se como condutância G, o inverso daquele
valor, ou seja:
G=
1
R
A unidade é mho ou Ω −1
Em termos de condutância, a equação 3-13 se transforma na equação:
G = G1 + G2 + G3 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ G n
n
G = ∑ Gi
ou
i =1
onde
G=
1
R
e
Gi =
1
Ri
Conclusão: A associação de n condutâncias em paralelo equivale a uma condutância
total dada pela soma das condutâncias individuais.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------Exercício 3-6
Dada a associação de condutâncias abaixo, determinar:
a) A condutância equivalente
b) A resistência equivalente.
20
G1 0,01 Ω −1
G2 0,02 Ω −1
G3 0,04 Ω −1
G4 0,03 Ω −1
Solução:
a)
G = 0,01 + 0,02 + 0,03 + 0,04 = 0,1 Ω −1
1
1
b)
R= =
= 10 Ω
G 0,1
---------------------------------------------------------------------------------------------------------Exercício 3-7
Determinar a resistência equivalente da associação de resistores abaixo. Sabe-se que
R1 = 100 Ω , R2 = 200 Ω e
R3 = 300 Ω
R1
R
R3
R2
Solução:
Inicialmente agrupamos as resistências R2 e R3 , resultando a resistência R23
R1
R
R23
Aplicando, para este caso, a fórmula 3-13, tem-se:
R23 =
R 2 R3
200 × 300
=
= 120 Ω
R2 + R3 200 + 300
Finalmente, calculamos a resistência equivalente da associação série de R1 e R23 :
R = R1 + R23 = 100 + 120 = 220 Ω
21
Resistência de carga oferecida a uma bateria
É o valor da resistência externa RC que é alimentada pela bateria. Esta resistência pode
ser proveniente de um único resistor, ou corresponder ao valor da resistência de uma
associação de resistores. A fig. 3-8.a mostra um exemplo em que a resistência de carga é
RC = 300 Ω
No caso da fig. 3-8.b, a resistência de carga tem o valor:
RC = 200 + 300 = 500 Ω .
bateria
bateria
RS
RS
+
200 Ω
+
300 Ω
E
E
−
300 Ω
−
(a)
(b)
Fig. 3-8
Nota: - Na fig. 3-8 a bateria foi representada dentro de um retângulo pontilhado. A
partir deste momento, por simplicidade, o retângulo pontilhado será omitido. A
representação da bateria será como mostrada na fig. 3-9.
RS
+
E
−
Fig. 3-9
Medidor de tensão elétrica ou voltímetro.
É um instrumento de medida que é colocado em paralelo a um componente do circuito.
Ele mede a diferença de potencial entre seus terminais. Ver fig. 3-10.
+
+
I
RS
VS
E
−
+
VV R1
−
IV = 0
V
−
Fig. 3-10
Sua resistência elétrica RV é, teoricamente, infinita. Portanto a corrente I V , que
percorre este dispositivo, é nula pois
22
IV =
VV VV
=
=0
RV
∞
Medida da força eletromotriz de uma bateria
A fig. 3-11 mostra o arranjo para esta medida.
VS
+
+
−
RS
I =0
E
+
V
−
VV
−
Fig. 3-11
Vimos que a corrente elétrica que passa pelo voltímetro é nula. Isto faz com que não
exista corrente no circuito da fig. 3-11. Portanto:
I =0
Pela lei de Kirchhoff ,das tensões, tem-se:
− E + VS + VV = 0
ou
Mas
Portanto
VV = E − VS
V S = RS × I = RS × 0 = 0
VV = E
Conclusão: - Quando se coloca um voltímetro entre os bornes de uma bateria, a tensão
medida corresponde a força eletromotriz dessa bateria.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------Exercício 3-8
Sabe-se que uma bateria tem uma resistência interna RS = 5 Ω . Mediu-se a diferença
de potencial entre seus pólos , em circuito aberto e encontrou-se o valor de 10 v.
a) Desenhar o circuito equivalente dessa bateria.
b) Colocando-se um resistor externo Rc = 15 Ω , qual será a diferença de potencial
V sobre os pólos dessa bateria?
Solução
23
a)
RS = 5 Ω
E = 10 v
+
−
b) Com o resistor externo Rc = 15 Ω tem-se
RS = 5 Ω
E = 10 v
+
V
−
− E + RS I + Rc I = 0
ou
I=
I
ou
Rc = 15 Ω
E = I (RS + Rc )
10
E
=
= 0,5 A
R s + Rc 5 + 15
V = I × Rc = 0,5 × 15 = 7,5 v
-----------------------------------------------------------------------------------------------------O exercício 3-8 mostrou que a medida da tenção da bateria, em circuito fechado, é
menor do que a mesma medida em circuito aberto. Isto comprova a afirmação feita no
capítulo 2.
Malhas do circuito
Malha de um circuito é qualquer caminho fechado existente nesse circuito. No circuito
da fig. 3-12, vemos três malhas:
Percurso da primeira malha: ABFGA
Percurso da segunda malha: ABCDFGA
Percurso da terceira malha: BCDFB
24
A
B
RS
+
E
C
R2
R1
R3
F
D
−
G
Fig. 3-12
Plano terra
A quase totalidade dos circuitos elétricos possui pontos que são conectados a um plano
condutor denominado plano terra. Este plano terra está sempre ligado à carcaça do
aparelho elétrico. Muitas vezes esse plano está, também, ligado ao solo, por meio de
um fio condutor, de tal modo que a diferença de potencial entre esse plano térrea e o
solo é zero volt. Dessa maneira não há perigo que uma pessoa, ao tocar na carcaça do
aparelho, fique sujeita a um choque elétrico. No circuito exemplificado na fig. 3-13, o
plano terra está indicado pela letra T.
Por convenção, o potencial elétrico do plano terra é zero volt. Quando se diz, por
exemplo, que a tensão em um ponto B, do circuito, é +10 volt, significa que a diferença
de potencial entre aquele ponto e o plano terra é de +10 volt.
B
RS
+
R2
R1
E
R3
−
T
Fig. 3-13
Exemplos de cálculos de tensões e correntes em alguns circuitos simples
A fig. 3-14 mostra o exemplo de um circuito elétrico relativamente simples. Queremos
determinar a tensão V2
RS
R1
I
+
E
+
R2 V2
−
−
Fig. 3-14
As três resistências em série equivalem a uma única resistência R tal que:
R = RS + R1 + R2
25
Inicialmente, determinamos a corrente I.
I=
E
E
=
R RS + R1 + R2
Finalmente, calculamos V2 .
V2 = I × R2 =
E × R2
R S + R1 + R2
--------------------------------------------------------------------------------------------------------Exercício 2-1
No circuito da fig. 3-13, temos os seguintes dados:
E = 30 v ,
R S = 100 Ω , R1 = 200 Ω e R2 = 300 Ω
Determinar V2 .
Solução:
E × R2
30 × 300
=
= 15 v
RS + R1 + R2 100 + 200 + 300
--------------------------------------------------------------------------------------------------------V2 =
A fig. 3-15 mostra outro circuito um pouco mais complicado. Desejamos determinar a
tensão V2 e as correntes I 2 e I 1 .
RS
+
I
E
I1
−
R1
I 2 R2 V2
Fig. 3-15
Inicialmente agrupamos R1 e R2 resultando a resistência R23 . Ver fig. 3-16.
RS
+
I
E
I
R23
−
V2
Fig. 3-16
R23 =
R1 R2
R1 + R2
Notemos que sobre a resistência R23 tem-se a mesma tensão V2 que tínhamos sobre R2
e R3 . Ver fig. 3-16.
26
A resistência RS em série com a resistência R23 equivale a um resistor R tal que:
R = RS + R23
A seguir calculamos I .
I=
E
E
=
R R S + R23
Em seguida calcula-se V2
V2 = I × R23
Finalmente, calculamos I 1 e I 2 . Pela fig. 3-14, vemos que:
V2
V
e
I2 = 2
R1
R2
Alternativamente, após o cálculo de I 1 , pode-se calcular I 2 , usando a lei de Kirchhoff
das correntes:
I 2 = I − I1
------------------------------------------------------------------------------------------------Exercício 2-2
No circuito da fig. 3-14, têm-se os dados:
I1 =
E = 44 v ,
RS = 100 Ω ,
R1 = 200 Ω e R2 = 300 Ω
Determinar V2 e I 2 .
R23 =
I=
200 × 300
= 120 Ω
200 + 300
E
44
=
= 0,2 A
R S + R23 100 + 120
V2 = I × R23 = 0,2 × 120 = 24 v
I2 =
V2
24
=
= 0,08 A = 80 mA
R2 300
I 1 = I − I 2 = 0,2 − 0,08 = 0,12 A = 120 mA
------------------------------------------------------------------------------------------
27
4 – Fontes de tensão e de corrente ideais e suas
transformações
Uma fonte de tensão ideal é a fonte de alimentação cuja resistência interna é nula. Ver
fig. 4-1.a. Ao adicionarmos uma resistência externa Rc , teremos o circuito da
fig. 4-1.b.
Pela lei de Kirchhoff das tensões, fica:
− E +V = 0
ou
V =E
Portanto uma fonte de tensão ideal fornece, para qualquer valor de resistência externa,
sempre uma tensão igual a sua própria fem. Ver fig. 4-1.b.
E
Rc
E
(a)
V =E
(b)
Fig. 4-1
Entretanto, a fonte de tensão ideal não existe na prática, uma vez que não há bateria com
resistência interna nula. Ela é utilizada apenas como ferramenta de ajuda para o cálculo
de circuitos.
Fonte de corrente ideal
Uma fonte de corrente ideal é a fonte de alimentação que fornece, para a resistência de
carga, sempre a mesma corrente, independente do valor dessa resistência carga.
A fig 4-2.a mostra o símbolo de uma fonte de corrente de 2 ampere.
2 A
(a)
2 A
100 Ω
0Ω
I =2 A
I =2 A
2 A
I =2 A
(b)
10 kΩ
I =2 A
(c)
(d)
Fig. 4-2
As demais ilustrações da fig. 4-2 mostram que a corrente fornecida é sempre igual a
2 ampere independentemente do valor da resistência externa de carga.
Também, a fonte de corrente ideal não existe.
28
Fonte de tensão aproximadamente ideal
Vamos supor que uma fonte de alimentação trabalha em circuitos em que a sua
resistência interna RS é sempre muito menor do que a resistência externa RC de carga,
ou seja:
RS << RC
Neste caso, essa fonte de alimentação pode ser considerada, aproximadamente, uma
fonte de tensão ideal.
Verificação:
Seja RS = 0,001RC . Ver fig. 4-3
0,001RC
I
RC
E
V
Fig. 4-3
I=
E
E
E
=
≈
0,001RC + RC 1,001RC RC
V = I × RC ≈
E
× RC = E
RC
V ≈E
Isto mostra que, desde que a resistência interna de uma bateria seja muito menor do que
as resistências externas que são utilizadas, essa bateria se comporta como uma fonte de
tensão quase ideal, ou seja, a tensão que ela fornece para a resistência externa é
aproximadamente igual a sua fem, qualquer que seja o valor dessa resistência externa.
Fonte de corrente aproximadamente ideal
Vamos supor que uma fonte de alimentação trabalha em circuitos em que as resistências
externas de carga RC são, sempre, muito menores do que a resistência interna RS da
fonte, ou seja:
RC << RS
Neste caso, essa fonte de alimentação pode ser considerada, aproximadamente, uma
fonte de corrente ideal.
Verificação:
Seja RC = 0,001RS . Ver fig. 4-4
29
RS
I
Rc
E
Fig. 4-4
E
I=
R S + Rc
Como Rc = 0,001RS , resulta:
I=
E
E
E
=
≈
RS + 0,00 RS (1 + 0,001)RS RS
I≈
E
RS
Isto mostra que, desde que as resistências externas, utilizadas como carga, sejam muito
menores do que a resistência interna da bateria, essa bateria se comporta como uma
fonte de corrente quase ideal. Neste caso, qualquer que sejam o valor da resistência
externa Rc , a bateria fornece, aproximadamente, a corrente:
E
I≈
RS
onde E e RS são, respectivamente a fem e a resistência interna dessa bateria.
Transformações de Thevenin-Norton
Uma fonte de tensão real que tiver uma fem igual a E, e uma resistência interna RS
em série, pode ser representada por uma fonte de corrente com a mesma resistência
RS colocada em paralelo, desde que a corrente dessa fonte de corrente seja:
I=
E
RS
A fig. 4-5 ilustra essa afirmação.
RS
+
⇔
E
−
I=
(a)
E
RS
RS
(b)
Fig. 4-5
30
Demonstração:
Seja ocaso em que a bateria alimenta uma carga externa RC . A fig. 4-6 mostra esta
situação com base na representação indicada na fig. 4-5.a.
I1
RS
E
RC
V
Fig. 4-6
A corrente no circuito fica:
I1 =
E
RS + RC
A tensão em RC fica:
V = I 1 RC =
Portanto
V =
ERC
RS + RC
ERC
RS + RC
4-1
Vamos usar a segunda representação. Ver fig. 4-7.a.
I
I
I=
E
RS
RS
RC
V
I=
E
RS
RSC
(b)
(a)
Fig. 4-7
A fonte de corrente fornece:
E
RS
Calculando-se a resistência equivalente que fica em paralelo com a fonte de
corrente, tem-se:
I=
31
V
R SC =
R S RC
R S + RC
Ver fig. 4-7.b.
A tensão em RSC , resulta:
V = I × R SC =
ERC
R R
E
× S C =
R S R S + RC
R S + RC
Mas, a tensão em RSC é a mesma tensão sobre a resistência de carga RC .
Ver fig. 4-7.a
Portanto, a tensão na carga RC fica:
V =
ERC
RS + RC
4-2
Comparando as expressões 4-1 e 4-2, vemos que são idênticas. Isto confirma a
equivalência das duas representações.
Da mesma forma, é demonstrável, que se uma fonte de alimentação estiver
representada por uma fonte de corrente I, em paralelo com uma resistência interna
RS , ela pode ser transformada para a representação em que se tem uma fonte de
tensão E, em série com a mesma resistência RS . Entretanto é obrigatório que o valor
da fem dessa fonte de tensão seja:
E = I × RS
Ver fig. 4-8
RS
I
RS
⇔
+
−
E = I × RS
Fig. 4-8
As transformações de fonte de tensão para fonte de corrente e vice versa são chamadas
Transformações de Thevenin-Norton. Essas transformações podem facilitar o cálculo
de tensões e correntes em circuitos elétricos.
Tomemos como exemplo o circuito mostrado na fig. 4-9. Vamos supor que se queira
determinar a tensão V2 .
32
RS
+
E
R1
R2 V2
−
Fig. 4-9
Inicialmente fazemos a transformação para fonte de corrente. Ver fig. 4-10.a.
E
RS
R1
RS
R2
V2
E × GS
(a)
GS
G1
G2
(b)
Fig. 4-10
Quando se têm varias resistências em paralelo, as operações matemáticas ficam mais
simples quando se trabalha com condutâncias no lugar de resistências.
A fig. 4-10.b, mostra o circuito da fig. 4-10.a representado por condutâncias, cujos
valores são:
GS =
1
,
RS
G1 =
1
R1
e
G2 =
1
R2
A seguir agrupamos as condutâncias. Ver fig. 4-11
I = E × GS
G
Fig. 4-11
Finalmente, calculamos a tensão desejada:
V2 = I × R =
EG S
I
I
= =
1 G G S + G1 + G 2
R
33
V2
G = GS + G1 + G2
V2
---------------------------------------------------------------------------------------------Exercício 4-1
No circuito da fig. 4-10.a, tem-se os dados:
E = 44 v ,
RS = 100 Ω ,
R1 = 200 Ω e R2 = 300 Ω
Determinar V2 .
Solução:
GS =
1
= 0,01 Ω −1 ,
100
G1 =
1
= 0,005 Ω −1 ,
200
GS =
1
≈ 0,0033 Ω −1
300
EG S
44 × 0,01
=
= 24 v
G S + G1 + G 2 0,01 + 0,005 + 0,0033
--------------------------------------------------------------------------------------------------Exercício 4-2
No circuito abaixo, determinar a tensão V3 .
V2 =
R2
RS
+
E1
R1
R3 V3
R S = 100 Ω ,
R1 = 300 Ω ,
−
Dados:
E1 = 100 v ,
R2 = 325 Ω ,
R3 = 350 Ω
Solução:
Fazemos transformações Thevenin-Norton sucessivas
Primeira transformação: fonte de tensão para fonte de corrente.
R2
I1
RS
R1
R3
E1 100
=
=1 A
R S 100
Agrupamos RS e R1 , resultando a resistência RS 1
I1 =
34
V3
R2
I1
RS 1
RS1 =
V3
R3
RS R1
100 × 300
=
= 75 Ω
RS + R1 100 + 300
Segunda transformação: fonte de corrente para fonte de tensão.
R2
RS 1
+
E2
I2
R3
−
V3
E 2 = I 1 RS 1 = 1 × 75 = 75 v
Calculamos I 2
I2 =
E2
75
=
= 0,1 A
RS 1 + R2 + R3 75 + 325 + 350
Calculamos V3
V3 = I 2 R3 = 0,1 × 350 = 35 v
V3 = 35 v
-------------------------------------------------------------------------------------------------
35
5 - EQUAÇÕES DE MALHAS E TRANSFERÊNCIA DE ENERGIA
As equações de malhas e de nós formam sistemas de equações de primeiro grau, com
um número de equações igual ao de incógnitas. É o método mais sistemático para o
cálculo de circuitos elétricos. Por isto os programas computacionais para o cálculo de
circuitos se baseiam neste método
Equações de malhas
Seja o circuito da fig. 5-1
V1
RS
+
E1
V2
R2
I1
R1
I2
R3
−
Fig. 5-1
Neste circuito mostramos duas malhas. As correntes I 1 e I 2 são chamadas de correntes
de malhas. Dessas duas malhas se extraem duas equações onde as incógnitas são I 1 e
I 2 . As duas equações resultam da aplicação da lei Kirchhoff das tensões. Lembremos
que essa lei assegura que a soma algébrica das tensões, ao longo de uma malha fechada,
é zero. Note-se que no resistor R1 passa a diferença entre as correntes I 1 e I 2 . As
equações são:
1a. malha: − E1 + I 1 RS + (I 1 − I 2 )R1 = 0
2a. malha:
(I 2 − I1 )R1 + I 2 R2 + I 2 R3 = 0
Manipulando-se algebricamente essas equações, resulta:
1a. malha: (RS + R1 )I 1 − R1 I 2 = E1
5-1
2a. malha: − R1 I 1 + (R1 + R2 + R3 )I 2 = 0
5-2
A resolução desse sistema de duas equações e duas incógnitas nos fornecerá os
valores de I 1 e I 2 . Essa resolução pode ser feita por qualquer método usual, tal como,
pelo método dos determinantes, ou pelo método de substituição de variáveis.
A partir das correntes calculadas, pode-se determinar as tensões em cada componente.
Exemplos:
36
Tensão em R3 :
V2 = I 2 R3
Tensão em R1 :
V1 = (I 1 − I 2 )R1
Diferença de potencial em R2 :
V12 = V1 − V2
-------------------------------------------------------------------------------------------------------Exercício 5-1
Utilizando as equações de malhas, determinar as tensões V1 e V2 do circuito da fig.
5-1.
Dados: E1 = 100 v , RS = 100 Ω , R1 = 300 Ω ,
R2 = 325 Ω ,
R3 = 350 Ω
Solução:
A equação 5-1 fica:
(100 + 300)I 1 − 300 I 2
ou
= 100
5-3
400 I 1 − 300 I 2 = 100
A equação 3-2 fica:
− 300 I 1 + (300 + 325 + 350 )I 2 = 0
ou
5-4
− 300 I 1 + 975 I 2 = 0
Vamos resolver este sistema, de duas equações, usando o método da substituição de
variáveis.:
Calcula-se I 1 , em função de I 2 , a partir da equação 5-4. Resulta:
I1 =
975
I 2 = 3,25 I 2
300
5-5
Substitui-se este valor de I 1 , na equação 5-3:
ou
400 × 3,25 I 2 − 300 I 2 = 100
1000 I 2 = 100
ou
37
I2 =
100
= 0,1 A
1000
Da equação 5-5 tem-se:
I 1 = 3,25 I 2 = 3,25 × 0,1 = 0,325 A
V2 = I 2 R3 = 0,1 × 350 = 35 v
V1 = (I 1 − I 2 )R1 = (0,325 − 0,1) × 300 = 67,5 v
--------------------------------------------------------------------------------------------------POTÊNCIA FORNECIDA, POR UMA FONTE DE ALIMENTAÇÃO, A UMA
RESISTÊNCIA DE CARGA EXTERNA.
Vamos supor que uma bateria, com resistência interna RS , fornece energia para uma
resistência externa de valor RC . Ver fig. 5-3. Desejamos determinar a potência PC
fornecida à resistência RC .
RS
I
+
E
I
RC
−
Fig. 5-3
Inicialmente calculamos a corrente elétrica:
I=
E
RS + RC
ou
I=
E
 R 
RS 1 + C 
RS 

De acordo com a expressão 2-4 (capítulo 2) a potência fornecida ao resistor RC , fica:
PC = RC I 2 =
RC E 2

R 
R 1 + C 
RS 

2
S
38
2
RC
RS
2
ou
PC =
E
×
RS  R  2
1 + C 
RS 

5-10
Podemos observar que a potência fornecida, à carga externa RC , cresce com o quadrado
da fem da bateria.
R
O gráfico da fig. 5-4 mostra como varia essa potência em função da relação C .
RS
PC
(PC )MAX
=
E2
4 RS
0
0,5
1,5
1
2,0
RC
RS
Fig. 5-4
Observando esse gráfico podemos notar que o valor máximo da potência, fornecida à
carga RC , acontece para
RC
=1
RS
ou
5-11
RC = RS
Substituindo-se 5-11 em 5-10 chegamos ao valor da potência máxima que pode ser
fornecida à resistência externa RC :
(PC )MAX
Portanto:
=
E2
1
E2
×
=
.
4 RS
RS (1 + 1)2
(PC )MAX
=
E2
4 RS
5-12
Pela expressão 5-12, podemos concluir que o valor máximo de potência, que acontece
quando RC = RS , é tanto maior quanto menor for a resistência interna da fonte, RS .
39
Quando se tem o valor da resistência de carga RC igual ao valor da resistência RS ,
interna da fonte, dizemos que a carga externa está casada com a fonte de alimentação.
Esse casamento acarreta a maior transferência de potência da fonte de alimentação para
a carga externa. Conseqüentemente, a energia transferida da fonte de alimentação para a
carga é maximizada nesta situação.
------------------------------------------------------------------------------------------------------Exercício 5-3
Uma fonte de alimentação possui uma fem de 20 v e uma resistência interna de 50 Ω .
Determinar:
a)
b)
c)
d)
A máxima potência que essa fonte pode fornecer a uma resistência externa RC .
O valor dessa resistência RC nesta situação.
O valor da potência fornecida a uma resistência de carga de valor 0,2 RS .
O valor da potência fornecida a uma resistência de carga de valor 9 RS .
Solução:
2
a)
(PC )MAX
=
E2
(20) = 2 W
=
4 RS
4 × 50
b)
RC = RS = 50 Ω
c)
RC = 0,2 RS
ou
RC
= 0,2
RS
RC
RS
2
2
E
(20) × 0,2 ≈ 1,1 W
×
PC =
=
2
RS  R 
50
(1 + 0,2)2
1 + C 
RS 

d)
RC = 9 RS
2
RC
RS
ou
RC
=9
RS
2
E
(20) × 9 ≈ 0,72 W
×
=
2
RS  R 
50
(1 + 9)2
C
1 +

RS 

-----------------------------------------------------------------------------------------------Exercício 5-4
No circuito abaixo:
a) Determinar o valor de R2 para que seja transferida, para ele, a potência máxima.
PC =
40
b) Determinar o valor dessa potência máxima.
10 Ω
E1 = 20 v
R2
10 Ω
Solução:
Aplicando-se sucessivamente a transformação de Thevenin-Norton resulta:
I=
E1
20 v
=
=
10 Ω 10 Ω
=2 A
10 Ω
R2
10 Ω
⇒
I =2 A
5 Ω
R2
5 Ω
⇒
E2 = I × 5 Ω = 2 A × 5 v =
RS
= 10 v
R2
Após as transformações tem-se a equivalência: E 2 = 10 v
Portanto:
a) R2 = RS = 5 Ω
e
RS = 5 Ω
E2
10 2
=
=5 W
4 RS 4 × 5
----------------------------------------------------------------------------------------------b) (PC )MAX =
41
6 – CIRCUITOS DE CORRENTE ALTERNADA
Comparação entre tensão e corrente contínuas com tensão e
corrente alternadas
Característica da tensão e da corrente contínuas
Quando a tensão ou a corrente, medidas em qualquer ponto de um circuito, não muda
conforme o tempo passa, dizemos que essa tensão e essa corrente são contínuas.
Vamos exemplificar utilizando o circuito mostrado na fig. 6-1. Calculando a corrente I
e a tensão V, resultam, respectivamente, I = 2 ampere e V = 10 volt. Nota-se que a
tensão V é positiva em relação a terra. Neste caso, a corrente elétrica I, por se dirigir do
circuito para a terra é, por convenção, também positiva.
I
+
12 volt
+
1Ω
5Ω
I =2 A
−
V = 10 volt
−
Fig, 6-1
Se medíssemos essas grandezas em diversos instantes e construíssemos gráficos dos
valores medidos, esses gráficos seriam aqueles mostrados na fig. 6-2.
V
+ 10 volt
0 volt
0
tempo
I
2 ampere
0 ampere
0
tempo
Fig, 6-2
Vemos que o valor da tensão e o da corrente são sempre os mesmos, qualquer que seja
o instante em que a medida foi feita.
42
A fig. 6-3 mostra a situação em que a bateria tem seu pólo positivo conectado ao plano
terra.
12 volt
−
+
−
1Ω
5Ω
I = −2 A
V = −10 volt
+
Fig. 6-3
Nota-se que a tensão V é negativa em relação à terra. Neste caso, a corrente elétrica I,
por se dirigir da terra para o circuito é, por convenção, também negativa..
Se medíssemos essas grandezas em diversos instantes e construíssemos gráficos dos
valores medidos, esses gráficos seriam aqueles mostrados na fig. 6-4..
V
0 volt
tempo
10 volt
I
0 ampere
tempo
2 ampere
Fig. 6-4
Uma fonte de alimentação que possui força eletromotriz constante produz, em qualquer
ponto do circuito, tensões e correntes constantes, que são, também chamadas de tensões
e correntes contínuas.
Um exemplo de fonte de tensão e corrente contínuas é a bateria usada nos automóveis.
Sua fem é igual a 12 volt.
Característica da tensão e da corrente alternadas.
A tensão alternada varia à medida que o tempo passa. Se uma tensão deste tipo fosse
medida ao longo do tempo teríamos um gráfico do tipo mostrado na fig. 6-5. Este
gráfico se chama curva de variação da tensão alternada.
Pode-se notar que a tensão alternada varia senoidalmente ao longo do tempo.
43
TENSÃO
+ 10 volt
A
0
B
− 10 volt
PERÍODO
Fig. 6-5
Podemos observar que essa tensão muda, de valor positivo para negativo e vice versa,
periodicamente. Neste exemplo, a tensão, atinge os valores extremos de + 10 volt e
-10 volt. Este valor extremo é chamado de amplitude da tensão elétrica. Portanto, a
tensão mostrada no gráfico da fig. 6-5 possui uma amplitude de 10 volt.
Na fig. 6-5 está, também, assinalada a duração de um período da tensão. Um período é o
intervalo de tempo entre dois pontos da curva de mesma situação. Os pontos A e B são
pontos em que a tensão tem valor zero. Além disto eles estão situados em trechos da
curva que possuem a mesma inclinação. Este período é, também, chamado de ciclo da
tensão alternada.
A quantidade de ciclos que cabem em um segundo é chamada de freqüência.
Matematicamente, a freqüência vem a ser o inverso da duração do período. Assim, por
exemplo, se o período durar 1 milésimo de segundo, isto significa que em um segundo
caberão mil períodos, ou seja, tem-se mil períodos ou ciclos por segundo:
período = 0,001 segundo
freqüência =
1
1
=
= 1000 ciclos / segundo
período 0,001
Os pinos de uma tomada elétrica doméstica são equivalentes aos terminais de uma fonte
de alimentação cuja tensão fornecida é alternada. Sua força eletromotriz possui uma
amplitude da ordem de 156 volt e uma freqüência de 60 ciclos por segundo.
Desde a década de 1960 a unidade de freqüência passou a se chamar Hertz, em
homenagem ao cientista alemão que, nas últimas décadas do século 19, fez importantes
descobertas sobre a irradiação de sinais elétricos. Portanto, o correto é dizer que a
freqüência da tensão alternada, fornecida pela rede elétrica, tem o valor de 60 Hertz.
Determinação de correntes e tensões em um circuito elétrico
Quando o circuito elétrico possui apenas resistências, os cálculos de tensões e
correntes, presentes nesse circuito, a cada instante, seguem as mesmas leis de Ohm e
de Kirchhoff que utilizamos para o cálculo das tensões e correntes contínuas.
44
Exemplo 6-1
Seja o circuito da fig. 6-6. Neste circuito tem-se uma fonte de alimentação de tensão
alternada, cuja força eletromotriz foi designada pelo símbolo e. Esta fonte possui uma
resistência interna RS = 3 Ω e alimenta uma resistência externa de carga RC = 7 Ω .
RS = 3 Ω
i
e
RC = 7 Ω
vC
Fig. 6-6
Em qualquer instante em que se observasse as tensões e correntes, nesse circuito, seus
valores numéricos obedeceriam as equações:
i=
e
R S + RC
6-1
6-2
vC = i × RC
Vamos supor que a amplitude da fem é E = 20 v .
Neste caso a amplitude da corrente será:
I=
20 v
E
=
=2 A
RS + RC 3 Ω + 7 Ω
A amplitude da tensão, no resistor RC , fica:
VC = I × RC = 2 A × 7 Ω = 14 v
A fig. 6-7 mostra como varia no tempo esses parâmetros.
Quando o valor da corrente elétrica é negativo significa que ela circula em sentido
contrário da corrente cujo valor é positivo.
Podemos concluir que o circuito elétrico não muda a forma nem a freqüência das
grandezas elétricas. Muda apenas seus valores numéricos instantâneos.
45
e
+ 20 volt
0 volt
0
− 20 volt
tempo
i
+ 2 ampere
0 ampere
− 2 ampere
0
tempo
vC
+ 14 volt
0 volt 0
− 14 volt
tempo
Fig. 6-7
Potência elétrica instantânea
Vamos supor que em um determinado instante tem-se, sobre um resistor R, uma tensão
de v volt e uma corrente de i ampere. Neste caso, a potência elétrica, naquele instante, é
dada pela expressão:
6-3
Pinst = v × i
Como, no resistor, se tem a tensão instantânea de valor v = R × i , sua substituição em
6-3 leva à fórmula alternativa:
Pinst = R × i 2
6-4
v
Da mesma forma, como a corrente instantânea, no resistor, tem o valor i = , a
R
substituição em 6-3 leva a outra fórmula alternativa:
Pinst =
v2
R
6-5
46
------------------------------------------------------------------------------------------------Exercício 6-1
Tomando como referência o circuito do exemplo 6-6, vamos supor que no instante t1
tivéssemos, no resistor RC = 7 Ω , a corrente i = 1 A . Neste caso resulta que, naquele
instante, se tem a tensão
vC = i × RC = 1 × 7 = 7 v ,
Ver figura abaixo.
i
+ 2 ampere
0 ampere
− 2 ampere
+ 1 ampere
0
t1
tempo
vC
+ 14 volt
0 volt 0
− 14 volt
+ 7 volt
t1
tempo
Vamos determinar a potência, sobre a resistência RC , naquele instante. Usearemos as
três fórmulas alternativas.
a) Fórmula 6-3
Pinst = vC × i = 7 × 1 = 7 Watt
b) Fórmula 6-4
Pinst = RC × i 2 = 7 × 12 = 7 Watt
c) Fórmula 6-5
vC2 7 2
=
= 7 Watt
RC 7
--------------------------------------------------------------------------------------------------------Pinst =
47
Análise matemática das tensões e correntes alternadas: senoide e cosenoide
Matematicamente, o argumento das funções seno e coseno só pode ser ângulo, como é
mostrado na fig. 6-8. Nessas figuras adotamos a convenção em que os ângulos são
positivos e crescentes. Esses ângulos são chamados de fase dessas funções.
sen θ
1,0
0,87
0,50
0,0 0
210
30
60
90
120
150
180
150
180
240
270
300
330
360
θ
[graus ]
-0,50
-0,87
-1,0
(a)
cos θ
1,0
0,87
0,50
0,0
120
0
30
60
210
240
270
300
90
330
360
θ
[graus ]
-0,50
-0,87
-1,0
(b)
Fig. 6-8
Na fig. 6-8a. está mostrado um período da função sen θ , onde θ é a fase em graus.
Como se vê, para o valor θ = 0 graus , o valor de sen θ é igual a zero. Para
θ = 90 graus , esta função atinge o valor máximo que é 1.
Na fig. 6-6.b mostramos um período da função cos θ . Repare-se que para o valor
θ = 0 graus , o valor de cos θ é igual a 1. Para θ = 90 graus , esta função adquire o
valor zero. Costuma-se dizer que existe uma diferença de fase de 90 graus entre o seno e
o coseno.
Na engenharia elétrica, adota-se a unidade de fase radiano. A razão principal para isto
é que a unidade radiano é compatível com as operações matemáticas de diferenciação e
integração usadas, freqüentemente, na análise científica das propriedades das correntes
48
e tensões em circuitos elétricos. Radiano é igual à divisão do comprimento de um arco
de uma circunferência pelo raio dessa circunferência.
As tabelas 6-1.a e 6-1.b mostram, as correspondências, em radiano, para diversos
valores, em grau, da fase θ . Para qualquer outro valor, de ângulo em graus, a
conversão para radiano pode ser determinada pela fórmula:
θ rd =
Grau
0
Radiano 0
Grau
210
Radiano π
7
6
θ 0 ×π
180
30
45
Tabela 6-1.a
60
90
π
π
π
π
6
4
3
2
225
240
5
π
4
4
120
135
150
π
π
π
2
Tabela 6-1.b
270
300
π
3
3
π
5
2
é 0,5 e o coseno vale 0,866.
3
315
π
7
3
Poderíamos dizer, por exemplo, que quando a fase é
3
π
6
π
4
5
4
330
11
π
180
π
6
360
2π
6
rd (30 graus), o valor do seno
Mais uma vez, observando a fig. 6-8, notamos que um período do seno ou do coseno
corresponde a uma variação de fase de 360 graus ou 2π radianos.
Tensões e correntes alternadas
As tensões e correntes alternadas tanto podem ser representadas, matematicamente,
pela função seno ou pela função coseno. Entretanto, principalmente na eletrônica,
usa-se, por convenção, a função coseno.
Sinais elétricos alternados
Os sinais elétricos alternados são função da grandeza tempo em vez da grandeza ângulo.
Para expressá-los matematicamente é necessário fazer a correspondência entre tempo e
ângulo. A fig. 6-9 fornece a ferramenta para determinar essa correspondência.
Podemos notar que um período do sinal, de T segundos , corresponde ao ângulo de
2π radianos. Um tempo t arbitrário corresponderá a um específico ângulo θ , que pode
ser calculado pela regra de três:
T seg
⇒
2π rd
t seg
⇒
θ rd
Resulta:
49
2π rd
× t seg
T seg
θ rd =
ou, simplesmente,
2π
×t
T
θ=
6-6
Na expressão 6-6, as grandezas t e T devem ser dadas em segundos. O ângulo θ
é obtido na unidade radiano.
cos θ
1,0
0,707
3
0,0 0
π θ π
4
π
π
4
5
π
4
3
2
π
2
7
π
ângulo
2π [ radianos ]
4
- 0,707
-1,0
(a)
S (t )
1,0
0,707
0,0 0
T
8
t
T
4
3
T
8
T
2
5
T
8
T
3
4
T
7
8
T
tempo
[ segundos
- 0,707
-1,0
(b)
Fig. 6-9
Podemos concluir que função mostrada na fig. 6-9.b obedece a expressão matemática:
S (t ) = cos
2π
t
T
6-7
Fase do sinal alternado
50
É o valor do ângulo θ em um determinado instante t.
---------------------------------------------------------------------------------------Exercício 6-2
No sinal representado na fig. 6-9.b, tem-se T = 2 s.
a) Determinar a fase no instante t = 0,25 s.
b) Determinar o valor de S(t) naquele instante.
Solução:
a) Pela expressão 6-6, tem-se:
2π
2π
×t =
× 0,25 = 0,25π = 0,785 rd
T
2
b) Pela expressão 6-7 tem-se:
θ=
2π
t = cos θ = cos (0,785 rd ) = 0,707
T
-------------------------------------------------------------------------------------Freqüência do sinal alternado
S (t ) = cos
Vimos que a freqüência de um sinal alternado é a quantidade de períodos que acontece a
cada segundo. O valor dessa freqüência é igual ao inverso do valor do período.
Por exemplo:
Se o período for igual a um milésimo de segundo, significa que em um segundo estão
presentes 1000 períodos. Neste caso:
Período:
T = 0,001 seg
1
Freqüência: f =
= 1000 períodos por segundo
0,001
ou
f = 1000 ciclos por segundo
ou
f = 1000 Hertz
Portanto:
f =
1
T
6-8
Neste caso, a expressão 6-7 toma a forma:
S (t ) = cos 2πft
6-9
51
Freqüência angular
A fig. 6-7.a mostra que um ciclo corresponde a uma variação angular de 2π radianos.
Portanto, em nosso exemplo, poderíamos dizer que a freqüência angular é
2π × 1000 radianos por segundo
O símbolo matemático que representa a freqüência angular, é a letra grega ω (ômega).
Portanto:
6-10
ω = 2πf
ou
ω=
2π
T
Neste caso, a expressão 6-9 assume a forma:
S (t ) = cos ωt
6-11
A forma indicada na expressão 6-11, é a mais comum utilizada na literatura técnica
para exprimir sinais alternados.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------Exercício 6-3
Um sinal alternado possui um período T = 1 centésimo de segundo. Determinar sua
freqüência em radiano por segundo.
Solução:
Freqüência em Hertz:
1
1
f = =
= 100 Hz
T 0,01 s
Freqüência angular
ω = 2πf = 2π × 100 ≈ 6,28 × 10 2 rd / s
--------------------------------------------------------------------------------------------------------Exercício 6-4
O sinal alternado fornecido nas tomadas domésticas tem a freqüência de 60 Hz.
Determinar:
a) A duração do período (ciclo)
b) A freqüência angular
Solução:
1
1
=
≈ 0,017 s
f 60
b) ω = 2πf = 2π × 60 ≈ 377 rd / s
--------------------------------------------------------------------------------------------------------a) T =
52
Situações em que se tem, no instante t = 0 uma fase diferente de zero para um sinal
cosenoidal
S (t )
1,0
0,866
T
t =0
θ = θ0 =
t
π
6
-1,0
Fig. 6-10
Na mais comum das situações, quando se tem t = 0, o ângulo θ não é zero. Neste
caso, θ = θ 0 onde θ 0 é diferente de zero. Na fig. 6-10, por exemplo, no instante t = 0,
tem-se
θ = θ0 =
π
6
rd
Nesta situação, a regra de três para a determinação de θ em outros instantes t, fica:
T seg
⇒
2π rd
t seg
⇒
(θ
rd − θ 0 rd
)
Resulta
θ rd − θ 0 rd =
ou
θ rd =
2π
t
T
2π
t + θ 0 rd
T
6-12
Neste caso, a expressão 6-7 assume a forma mais geral:
 2π

S (t ) = cos
t + θ0 
 T

6-13
Do mesmo jeito, as expressões 6-9 e 6-1 assumem, respectivamente, as formas:
S (t ) = cos(2πft + θ 0 )
6-14
53
S (t ) = cos(ωt + θ 0 )
e
6-15
O parâmetro θ 0 se denomina fase inicial e deve ser dado em radianos para ser
compatível com a unidade de
ωt .
------------------------------------------------------------------------------------------------------Exercício 6-5
Um sinal, alternado, possui um período T = 2 × 10 −3 s . Sabe-se que, no instante t = 0 ,
a fase é θ 0 =
π
rd ,
6
a) Determinar a fase θ em um tempo t = 2,5 × 10 −4 s.
b) Determinar S(t) naquele instante t.
c) Determinar S(t) no instante inicial (t = 0).
Solução:
a) θ =
2π
2π
π
t + θ0 =
× 2,5 × 10 − 4 + = 1,309 rd
−3
T
6
2 × 10
 2π

b) S (t ) = cos
t + θ 0  = cos θ = cos(1,309 rd ) = 0,259
 T

 2π

π 
c) S (t ) = cos
× 0 + θ 0  = cos θ 0 = cos rd  = 0,866
 T

6 
-----------------------------------------------------------------------------------------------------Sinal de forma senoidal
Em eletrônica e, principalmente, em telecomunicações costuma-se chamar a tensão ou
corrente alternada de sinais senoidais. Entretanto, por convenção, a expressão
matemática mais geral desses elementos é, no caso da tensão:
v = V cos(ωt + θ 0 v )
e no caso da corrente elétrica tem-se:
i = I cos(ωt + θ 0 I )
Nestas expressões os valores máximos (amplitudes) da tensão e da corrente são,
respectivamente, V e I. Os parâmetros θ 0V e θ 0 I representam as fases no instante em
que se tem t = 0 .
Expressão matemática mais usual da força eletromotriz de uma fonte alternada.
Sendo E o valor da amplitude da fem, expressa-se usualmente, seu sinal, pela fórmula
54
e = E cos ωt
Note-se que, neste caso, a fase da fem para t = 0 é zero.
---------------------------------------------------------------------------------------------Exercício 6-6
No circuito abaixo, a fem obedece a expressão
e = 20 cos ωt (volt )
Determinar a expressão da corrente i e da tensão vc .
RS = 3 Ω
i
e
RC = 7 Ω
vC
Solução:
i=
e
20 cos ωt
20 cos ωt
=
=
= 2 cos ωt ( ampere)
RS + RC 3 Ω + 7 Ω
10 Ω
vc = RC × i = 7 × 2 cos ωt = 14 cos ωt (volt )
-----------------------------------------------------------------------------------------------Circuitos com componentes reativos
Quando o circuito analisado contém, além de resistores, os chamados componentes
reativos, suas tensões e correntes apresentam fases iniciais diferentes da fase inicial da
fem. A fig. 6-11 ilustra essa situação.
RS
Circuito
contendo
componentes
reativos
i
e
RC
vC
Fig. 6-11
Neste caso,
Então,
se
e = E cos ωt
i = I cos(ωt + θ 0 I )
e
vc = Vc cos(ωt + θ 0V )
55
Onde θ 0V
e
θ 0 I são diferentes de zero
Os parâmetros Vc , I, θ 0V e θ 0 I
são determinados por meio de cálculos
matemáticos baseados nas propriedades elétricas dos componentes reativos,.
Potência média de um sinal alternado, em uma resistência R.
Vimos que, dada uma tensão instantânea v sobre uma resistência de valor R, a potência
instantânea é dada por:
Pinst =
v2
R
Vamos supor que sobre essa resistência, de valor R, tem-se uma tensão alternada.
Vamos tomar um período, desse sinal, e dividir, por exemplo, em 12 intervalos. A
seguir fazemos treze medidas de tensões instantâneas conforme está mostrado na fig.
6-12. Essas medidas seriam:
v0 , v1 , v2 , v3 , ................... v12
v(t )
v0
v1
v2 v3 v4
v5 v6
v7
v8
v9 v10 v11
T
Fig. 6-12
A seguir calcularíamos as respectivas potências instantâneas:
v02 v12 v22 v32
v2
,
,
,
,......................, 12
R R R R
R
A média desses valores seria:
v02 v12 v22 v32
v2
+ + + + ............ + 12
R
Média = R R R R
13
56
v12
t
Esta média é uma aproximação grosseira da potência média do sinal alternado sobre a
resistência R. A aproximação é grosseira porque deixou-se de utilizar muitas medidas
situadas nos intervalos entre cada duas medidas. Para que a aproximação fosse quase
perfeita, seria necessária uma quantidade n de medidas, onde n seria extremamente
grande.
Desta forma, a potência média ficaria:
v02 v12 v 22 v32
v2
+
+
+
+ ............ + n −1
R
P0 ≈ R R R R
n
para n extremamente grande
Esta expressão pode, também, ser escrita na forma:
v 02 + v12 + v 22 + v32 + ................v n2−1
R
P0 ≈
n
ou
ou
P0 ≈
v 02 + v12 + v 22 + v32 + ................v n2−1
nR
v 02 + v12 + v 22 + v32 + ................v n2−1
n
P0 ≈
R
6-16
Vemos que o numerador, desta expressão, vem a ser a média dos quadrados das tensões
2
instantâneas. Vamos chamar, essa média, Veficaz
. Portanto, considerando, ainda, n
extremamente grande, tem-se:
2
Veficaz
≈
v02 + v12 + v22 + v32 + .............. + vn2−1
n
6-17
Substituindo 6-17 em 6-16 chegamos ao valor da potência média:
P0 ≈
2
Veficaz
R
A tensão Veficaz é chamada de tensão eficaz ou tensão r.m.s (root mean square).
2
Utilizando matemática avançada consegue-se determinar o valor exato de Veficaz
, pois
essa média pode ser calculada para n infinito. Desta maneira seu valor se torna exato.
Se tivermos uma tensão senoidal, de amplitude V, o resultado desse cálculo indica que o
valor exato dessa média é igual à metade do quadrado da amplitude da tensão:
2
Veficaz
=
V2
2
6-18
57
Se esse sinal estiver sobre uma resistência de valor R, a potência média exata é:
2
Veficaz
V2
6-19
P0 =
=
R
2R
A potência média é que se relaciona com o consumo de dispositivos elétricos. Quando
se diz, por exemplo, que uma lâmpada é de 100 watt, significa que para ela acender
corretamente é necessário fornecer, à sua resistência de filamento, uma potência média
de 100 watt.
Pela igualdade 6-18, podemos calcular a tensão eficaz:
ou
Veficaz =
V2
V
=
2
2
Veficaz =
2
V ≈ 0,707 × V
2
--------------------------------------------------------------------------------------------------Exercício 6-7
Sobre um resistor RC = 7 Ω tem-se uma tensão senoidal com amplitude V = 14 v.
Determinar a potência média.
Solução:
Veficaz =
V
2
Veficaz
2
=
14
2
= 9,9 v
9,9 2
= 14 W
RC
7
-------------------------------------------------------------------------------------------------Exercício 6-8
A tensão alternada fornecida pela rede elétrica possui a tensão eficaz Veficaz = 110 volt .
Determinar:
a) A potência média em uma resistência R = 121 Ω
b) A amplitude V dessa tensão alternada.
P0 =
=
Solução:
2
Veficaz
a)
P0 =
b)
Veficaz =
R
=
110 2
= 100 W
121
V
2
portanto, V = 2 × Veficaz = 2 × 110 ≈ 156 volt
-----------------------------------------------------------------------------------------------------58
Valores das tensões eficazes
Sempre que se menciona o valor de uma tensão alternada, esse valor é o valor eficaz. Os
medidores de tensão alternada têm sua escala graduada para a indicar, diretamente,
valores de tensão eficaz.
Assim por exemplo quando se diz que a tensão de alimentação de um aparelho elétrico é
de 110 v ou 220 v, está se referindo aos valores eficazes dessas tensões alternadas.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------Exercício 6-9
Um chuveiro elétrico possui uma resistência de 24 ohm e é alimentado por uma tensão
de 220 volt. Determinar a potência média sobre aquela resistência.
Solução:
Veficaz = 220 v
2
Veficaz
2
(220 v )
≈ 2017 W
R
24 Ω
---------------------------------------------------------------------------------------------Energia elétrica
P0 =
=
A energia elétrica vem a ser o produto da potência média pelo tempo de permanência
dessa potência sobre a resistência.
E n = P0 t
---------------------------------------------------------------------------------------------------Exercício 6-10
Determinar a energia dissipada no chuveiro elétrico do exercício 6-9 em um intervalo de
15 minutos.
a) Na unidade watt × segundo = joule
b) Na unidade Quilowatt-hora
Solução
a) t = 15 × 60 = 900 s
E n = P0 t = 2017 × 900 = 1,82 × 10 6 Watt × s
b) Como Watt =
En =
Como s =
kW
, tem-se
1000
1,82 × 10 6
kW × s = 1,82 × 10 3 kW × s
1000
h
, resulta:
3600
1,82 × 10 3
kW × h ≈ 0,5 kW × h
3600
-------------------------------------------------------------------------------------------------------En =
59
Corrente elétrica eficaz
Vimos que quando, sobre uma resistência R, existe uma tensão alternada com uma
amplitude V, a potência média fica:
2
P0 =
2
Veficaz
R
Mas
 V 


V2
2

=
=
R
2R
6-20
6-21
V = R×I
onde I é a amplitude da corrente que existe nessa resistência.
Substituindo 6-21 em 6-20, resulta:
P0 =
Resultou
onde
Portanto
I2
2
× R = I eficaz
×R
2
2
P0 = I eficaz
×R
I
2
eficaz
6-22
I2
=
2
I
≈ 0,707 × I
2
A corrente I eficaz vem a ser a corrente elétrica eficaz.
Os medidores de corrente alternada têm sua escala graduada para indicar diretamente o
valor da corrente elétrica eficaz.
A expressão 6-22 mostrou uma fórmula alternativa para o cálculo da potência média de
um sinal alternado. Esta fórmula pode ser usada quando se conhece o valor da corrente
eficaz.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------.
Exercício 6-11
Em um chuveiro elétrico mediu-se a corrente elétrica alternada fornecida encontrandose o valor de 9,5 ampere. A resistência elétrica desse chuveiro é R = 24 Ω .
Determinar a potência sobre essa resistência.
Solução:
I eficaz = 9,5 A
I eficaz =
2
P0 = I eficaz
× R = 9,5 2 × 24 = 2166 W
------------------------------------------------------------------------------------------------------Terceira fórmula alternativa para o cálculo da potência média
Pela fórmula 6-19 tem-se
60
P0 =
Mas,
V2 V V
= ×
2R 2 R
V
=I
R
onde I é a amplitude da corrente alternada.
Portanto
P0 =
V ×I
V
I
=
×
= Veficaz × I eficaz
2
2
2
Chegou-se à fórmula
P0 = Veficaz × I eficaz
onde Veficaz e
I eficaz
corrente elétrica eficazes.
representam respectivamente os valores da tensão e da
Resumo
Se tivermos uma tensão alternada com amplitude V, o valor da tensão eficaz desse sinal
é:
Veficaz =
V
2
Se tivermos uma corrente alternada com amplitude I, o valor da corrente eficaz desse
sinal é:
I
I eficaz =
2
Se tivermos, em um resistor R, uma tensão eficaz Veficaz e uma corrente eficaz I eficaz , a
potência média nesse resistor fica:
P0 = Veficaz × I eficaz
2
Veficaz
2
ou
P0 = I eficaz
×R
R
---------------------------------------------------------------------------------------------------------Exercício 6-12
Em um chuveiro elétrico mediu-se uma tensão de 220 volt e uma corrente de 9,5
ampere. Determinar a potência fornecida a esse chuveiro.
Solução:
Veficaz = 220 v
I eficaz = 9,5 A
ou
P0 =
P0 = Veficaz × I eficaz = 220 × 9,5 = 2090 W
--------------------------------------------------------------------------------------------------------
61