fatoração única em corpos , ciclotômicos e o último

TRABALHO DE GRADUAÇÃO
FATORAÇÃO ÚNICA EM CORPOS
CICLOTÔMICOS E O ÚLTIMO
TEOREMA DE FERMAT
FRANCIELLE KUERTEN BOEING
JOINVILLE, 2013
FRANCIELLE KUERTEN BOEING
FATORAÇÃO ÚNICA EM CORPOS
CICLOTÔMICOS E O ÚLTIMO
TEOREMA DE FERMAT
Trabalho de Graduação apresentado ao
Curso de Licenciatura em Matemática
do Centro de Ciências Tecnológicas,
da Universidade do Estado de Santa
Catarina, como requisito parcial para
a obtenção do grau de Licenciatura em
Matemática.
Orientadora:
Prof.a
Me.
Viviane
Maria Beuter
Coorientadora: Prof.a Dra. Ivanete
Zuchi Siple
JOINVILLE, SC
2013
B669f
Boeing, Francielle Kuerten
Fatoração Única em Corpos Ciclotômicos e o Último
Teorema de Fermat/ Francielle Kuerten Boeing. – 2013.
153 p.: il.
Bibliografia:
Trabalho de Graduação - Universidade do Estado de
Santa Catarina, Centro de Ciências Tecnológicas, Curso de
Licenciatura em Matemática, Joinville, 2013.
Orientadora: Viviane Maria Beuter
Coorientadora: Ivanete Zuchi Siple
1. Último Teorema de Fermat. 2. Corpos Ciclotômicos.
3. Fatoração Única. 4. Primos Regulares. 5. Teorema
de Kummer.
I. Beuter, V. M. II. Siple, I. Z. III. Fatoração Única
em Corpos Ciclotômicos e o Último Teorema de Fermat.
CDD: 512.2
Aos meus pais.
Agradecimentos
Agradeço, primeiramente, aos meus pais, Edio e Raquel, que
tornaram tudo isso possível e, juntamente com minha irmã, Michelle,
sempre confiaram em mim e me apoiaram em tudo. Agradeço, também,
às minhas tias, Maria e Neide, e aos meus sogros, Rita e Vanderlei, que
me deram casa, comida e carinho durante o período de graduação.
Ao meu namorado, Luis Gustavo, que me deu a ideia inicial
para o tema deste trabalho e, também, por me ajudar e apoiar nos
momentos mais difíceis, além de sempre acreditar em mim.
Agradeço àqueles que tornaram essa caminhada muito mais
divertida, principalmente à minha prima Amanda e aos meus amigos
Bruno, Tamara, Alexandre, Sérgio, Alessandra, Sabrina e professora
Tatiana.
Ao professor Marnei, que me ensinou a importância da responsabilidade, dedicação e comprometimento nestes cinco semestres de
orientação de monitoria.
Agradeço, também, à professora Viviane, que aceitou me orientar neste trabalho, mesmo já contribuindo em dois trabalhos de graduação e outras atividades. Por toda a ajuda e por ser mais que uma
orientadora, por ser uma amiga. Do mesmo modo, agradeço à professora Ivanete, por suas ideias geniais e por aceitar me coorientar mesmo
em licença maternidade e à professora Elisandra, que aceitou participar
da banca mesmo estando, também, em licença maternidade.
Por fim, agradeço aos demais membros da banca, professor José
Rafael e professor Oscar, que aceitaram avaliar este trabalho, especialmente ao professor Oscar, que se deslocou de Florianópolis para Joinville e contribuiu de maneira grandiosa para a melhoria deste trabalho.
“O cientista não estuda a natureza
por sua utilidade; ele o faz porque se
deleita com ela, e esse deleite vem
de sua beleza.”
Henri Poincaré
Resumo
BOEING, Francielle Kuerten. Fatoração Única em Corpos
Ciclotômicos e o Último Teorema de Fermat. 2013. 77
folhas. Trabalho de Conclusão de Curso (Graduação em Licenciatura em Matemática) - Universidade do Estado de Santa Catarina, Joinville, 2013.
Neste trabalho explora-se algumas das dificuldades existentes
para a realização da demonstração do Último Teorema de Fermat (UTF), bem como as contribuições matemáticas de diversos
atores envolvidos nessa trama. De Fermat a Wiles muitas contribuições e estudos foram realizados para a demonstração do
UTF. Para revelar a beleza dessa história, que intrigou muitas
pessoas por diversas décadas, apresentam-se alguns episódios envolvendo os trabalhos realizados por Ernst Kummer, que criou
novos conceitos e se utilizou desses temas para demonstrar o teorema para um caso especial, apesar de que, aqui, utilizamos uma
linguagem mais atual para estudá-lo, a generalização realizada
por Richard Dedekind. Apresentam-se, também, o conceito de
fatoração única, noções de extensões algébricas, módulos e alguns fundamentos elementares da Teoria dos Números Algébricos, com enfoque principal no corpo dos números ciclotômicos.
Palavras-chave: Último Teorema de Fermat. Corpos Ciclotômicos. Fatoração Única. Primos Regulares. Teorema de Kummer.
Abstract
BOEING, Francielle Kuerten. Unique Factorization on Cyclotomic Fields and Fermat’s Last Theorem. 2013. 77 folhas. Trabalho de Conclusão de Curso (Graduação em Licenciatura em
Matemática) - Universidade do Estado de Santa Catarina, Joinville, 2013.
This work explores some of the difficulties that exist on the
demonstration of the Fermat’s Last Theorem, as well as the
mathematical contributions of various actors involved in this
plot. From Fermat to Wiles, lots of contributions and studies
were made to the Fermat’s Last Theorem’s demonstration. To
reveal the beauty of this plot, that intrigued many people for
many decades, here are shown some episodes involving the work
done by Ernst Kummer, who created new concepts and used
these new topics to demonstrate the Theorem for a special case,
though here we use a language that is more actual to study it,
the generalization made by Richard Dedekind. Also, here are
shown the concept of unique factorization, notions of algebric
extensions, modules and some elementary fundamentals of the
Algebric Number Theory with focus on the Field of Cyclotomic
Numbers.
Key-words: Fermat’s Last Theorem. Cyclotomic Fields. Unique
Factorization. Regular Primes. Kummer’s Theorem.
Lista de tabelas
Tabela 1 – Fonte: Stewart, 2002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
Lista de abreviaturas e siglas
UTF
Último Teorema de Fermat
𝑀 𝐷𝐶
Máximo Divisor Comum
Lista de símbolos
N
Conjunto dos números naturais
Z
Conjunto dos números inteiros
Q
Conjunto dos números racionais
R
Conjunto dos números reais
C
Conjunto dos números complexos
Z[𝜁]
Anel dos inteiros ciclotômicos
Q(𝜁)
Corpo Ciclotômico
𝐼𝐵 (𝐴)
Anel de inteiros de 𝐵 sobre 𝐴
𝐼L
Anel de inteiros algébricos do corpo de números L
𝒰(𝐴)
Conjunto dos inversíveis do anel 𝐴
𝐾𝑒𝑟(𝜙)
Núcleo do homomorfismo/transformação 𝜙
𝐼𝑚(𝜙)
Imagem do homomorfismo/transformação 𝜙
⟨𝑎⟩
Ideal gerado pelo elemento 𝑎
𝑁 (𝛼)
Norma de 𝛼 em relação a Q(𝜁)
𝑇 𝑟(𝛼)
Traço de 𝛼 em relação a Q(𝜁)
𝑁 (𝐼)
Norma do ideal 𝐼
|𝐺|
Cardinalidade de 𝐺
Sumário
INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1 O ÚLTIMO TEOREMA DE FERMAT . . . . . . . . . . . . 27
1.1
PIERRE DE FERMAT . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
1.2
TEOREMAS E DEFINIÇÕES PRELIMINARES . . . .
29
1.3
O PROBLEMA DE DIOFANTE . . . . . . . . . . . . .
32
1.4
O MÉTODO DA DESCIDA INFINITA . . . . . . . . .
35
1.4.1
Caso 𝑛 = 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
1.4.2
A Redução do Problema . . . . . . . . . . . . . .
40
LEONHARD EULER . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
1.5
2 DOMÍNIOS EUCLIDIANOS, FATORIAIS
E NOETHERIANOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.1
DOMÍNIOS EUCLIDIANOS . . . . . . . . . . . . . . .
52
2.1.1
53
Elementos Associados e MDC . . . . . . . . . . .
2.2
DOMÍNIOS FATORIAIS . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
2.3
DOMÍNIOS NOETHERIANOS . . . . . . . . . . . . . .
59
3 TEORIA DOS NÚMEROS ALGÉBRICOS . . . . . . . . . . 65
3.1
3.2
EXTENSÕES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
3.1.1
Extensões Algébricas . . . . . . . . . . . . . . . .
73
3.1.2
Anel dos Inteiros Algébricos . . . . . . . . . . . .
79
CORPOS CICLOTÔMICOS . . . . . . . . . . . . . . .
82
3.2.1
87
Norma e traço . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 DOMÍNIOS DE DEDEKIND . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.1
DOMÍNIOS DE DEDEKIND . . . . . . . . . . . . . . .
96
4.2
IDEAIS FRACIONÁRIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.3
NORMA DE UM IDEAL . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
5 TEOREMA DE KUMMER
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5.1
GRUPO DE CLASSES . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
5.2
TEOREMA DE KUMMER . . . . . . . . . . . . . . . . 121
CONCLUSÃO
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
REFERÊNCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
Apêndices
141
APÊNDICE A Anéis de Polinômios . . . . . . . . . . . . . . . 143
APÊNDICE B Polinômios Simétricos . . . . . . . . . . . . . . 147
APÊNDICE C Módulos e Espaços Vetoriais . . . . . . . . . . 149
23
INTRODUÇÃO
O Último Teorema de Fermat foi um dos maiores problemas
da história da Matemática, descoberto em 1670, que intrigou os grandes matemáticos por mais de trezentos anos, até ser provado pelo inglês
Andrew Wiles, em 1995. O modo como o problema foi proposto por Fermat, de forma desafiadora, mas tão simples de se entender, fez com que
qualquer pessoa sentisse vontade de fazer uma tentativa de solucioná-lo.
Fermat trocava correspondências com outros matemáticos, e
gostava de lançar-lhes desafios. Quando escreveu em uma das margens
de seu livro Aritmetica de Diofante, que a equação
𝑥𝑛 + 𝑦 𝑛 = 𝑧 𝑛
(1)
não apresentava soluções inteiras não triviais quando 𝑛 era um inteiro
maior que 2, provavelmente não imaginava a dimensão que o problema
alcançaria.
O problema parecia simples e Fermat dizia já possuir uma demonstração para o mesmo, que ele dizia ser maravilhosa. Mas com o
passar dos anos, as pessoas foram percebendo que ao mesmo tempo em
que o problema parecia simples, a solução parecia muito distante de
sua época.
Muitos grandes matemáticos fizeram tentativas de solucionar o
problema ao longo da história. O próprio Fermat deu a primeira contribuição para a solução de seu problema em outra margem de um de seus
livros, onde ele ensinava o método conhecido como a descida infinita,
que consiste em mostrar que a partir de uma primeira solução para a
solução natural não trivial da Equação (1), sempre pode-se encontrar
outra com números menores que os da solução anterior, o que é impossível nos números naturais. Com esse método, foi possível demonstrar
o UTF para os casos particulares, 𝑛 = 4 e 𝑛 = 5.
24
Introdução
Com o passar dos anos, alguns matemáticos contribuíram de
forma significativa para a busca de solução do problema, elaborando
estratégias de resolução que acreditavam serem válidas. Tais estratégias consistiam em supor que existia uma solução inteira não trivial
da Equação (1), trabalhar com as possibilidades, fatorar o seu lado esquerdo em um produto de elementos primos entre si, concluindo que
cada um dos elementos deve ser uma 𝑛−ésima potência de algum outro
número e gerando alguma contradição a partir disso.
Se estivermos trabalhando apenas com números inteiros na fatoração, então a estratégia apresentada é válida. Mas já no caso 𝑛 = 3,
√
Leonhard Euler precisou usar números complexos da forma 𝑎 + 𝑏 −3,
onde 𝑎 e 𝑏 são inteiros. Entretanto, esses números não apresentam as
mesmas ótimas propriedades que os números inteiros possuem. Pelo
Teorema Fundamental da Aritmética, cada inteiro possui uma única
fatoração em números primos, a menos de elementos inversíveis. Domínios com essa característica são chamados de domínios fatoriais. Mas
ao realizar a fatoração da Equação (1) utilizando números complexos,
como Euler, é preciso garantir sua unicidade, pois sem isso, não pode-se
garantir que os elementos da fatoração sejam uma 𝑛−ésima potência
de algum outro.
Apesar dessa dificuldade ter-se apresentado muito cedo, em
meados do século XVIII, ainda em 1847 o matemático francês Gabriel
Lamé apresentou o que ele dizia ser a prova do Último Teorema de
Fermat, utilizando uma fatoração no espaço dos números complexos
sem provar que a fatoração em irredutíveis nesse espaço é única. Apesar disso, a ideia de fatoração feita por Lamé é a mesma utilizada na
demonstração de Ernst Kummer para os chamados primos regulares, a
qual é o objetivo deste trabalho. Lamé introduziu, em sua fatoração,
raízes complexas da unidade, iniciando a análise do corpo Q(𝜁), que
apresenta, de certa forma, a incorporação ao corpo dos racionais do
elemento 𝜁, que é uma raiz da unidade dependendo de 𝑛, sem perder
as propriedades de corpo de Q.
25
Buscava-se, então, a unicidade de fatoração nesse tipo de corpo.
Entretanto, Kummer provou que a ideia de Lamé não era válida para
todos os valores de 𝑛, pois a unicidade da fatoração não ocorre sempre nesses corpos. Mas quando parecia não haver como ultrapassar essa
barreira, Kummer criou o conceito de números ideais. Assim, se o domínio a ser trabalhado não apresentasse a unicidade da fatoração de seus
elementos, então existiriam números, os números ideais, que quando
“adicionados” ao conjunto, o tornariam um domínio fatorial.
Foi com essa teoria de números ideais que Kummer, cerca de
três anos após o anúncio da “prova” de Lamé, provou o Último Teorema
de Fermat para expoentes 𝑛 que atendessem a uma condição especial,
aqui exposta no Capítulo 5, que são os chamados primos regulares. A
prova de Kummer era o maior avanço realizado na busca pela solução
do Último Teorema de Fermat até a demonstração completa, finalizada
por Wiles em 1995.
Uma solução para o problema da fatoração única, talvez melhor
que a de Kummer, foi apresentada por Richard Dedekind. Ele generalizou o conceito de número ideal para o que hoje conhecemos como ideal
de um anel e juntamente com isso, iniciou os estudos sobre a fatoração de ideais em ideais primos. Realmente, o conceito de fatoração de
ideais é bem mais simples do que o de fatoração de elementos e é encontrado mais facilmente. Por isso, neste trabalho, estudamos o Teorema
de Kummer usando a generalização realizada por Dedekind.
O objetivo fundamental deste trabalho é explorar as dificuldades e as necessidades de teorias matemáticas para a demonstração do
UTF para os casos em que 𝑛 é um primo regular. Para esse fim, são necessários introduzir, sempre focando o anel dos números ciclotômicos,
alguns conceitos de extensões de corpos, estudar o conceito de fatoração
única relacionando-o com a prova equivocada de Lamé, conceituar alguns elementos da Teoria dos Números Algébricos, apresentar a teoria
desenvolvida por Dedekind, com os conceitos de norma de um ideal, fatoração de ideais, ideais fracionários, sendo esse último necessário para
26
Introdução
a definição de primo regular.
Na abordagem da fundamentação teórica dos tópicos descritos
anteriormente, tomam-se como verdade os conhecimentos básicos de
Álgebra, tais como a Teoria de Anéis, Grupos, inclusive a teoria inicial
de ideais e anéis e grupos quociente, homomorfismos de anéis e grupos,
corpos de frações e alguns conceitos elementares de Álgebra Linear.
Este trabalho está dividido da seguinte forma: no Capitulo 1
é apresentada um pouco da história de Pierre de Fermat, juntamente
com a redução do Último Teorema de Fermat para os casos em que 𝑛
é primo e as demonstrações dos casos 𝑛 = 3 e 𝑛 = 4. Já o Capítulo 2
apresenta os domínios fatoriais, nos quais é garantida a unicidade da
fatoração em elementos irredutíveis, além de maneiras de se determinar
quando um domínio é fatorial, conhecendo, para esse fim, os domínios
euclidianos e os domínios noetherianos. O Capítulo 3 introduz, por
meio da teoria de extensões algébricas e anéis de inteiros algébricos,
o 𝑝−ésimo anel ciclotômico, onde 𝑝 é um primo ímpar. No Capítulo
4, nos aprofundamos nas propriedades do 𝑝−ésimo anel ciclotômico e
na teoria de ideais de Dedekind. Por fim, o Capítulo 5 define o grupo
de classes dos anéis ciclotômicos, criado por Kummer para definir os
primos regulares, e traz a demonstração do Teorema de Kummer, que
nada mais é do que o Último Teorema de Fermat para os casos em que
𝑛 é um primo regular.
27
1 O ÚLTIMO TEOREMA DE
FERMAT
1.1 PIERRE DE FERMAT
Pierre de Fermat (1601-1665) nasceu na França e passou grande
parte de sua vida trabalhando no serviço público. Segundo Singh (2008),
Fermat também foi juiz e as horas vagas ele dedicava à Matemática, isso
porque os juízes da França eram desencorajados quanto a se relacionar,
pois isso poderia prejudicar sua imparcialidade. Fermat foi responsável
por grandes contribuições ao Cálculo e à Probabilidade, mas sua grande
paixão sempre fora a Teoria dos Números.
Um dos livros que introduziu Fermat na teoria dos números
foi o livro Aritmética de Diofante, que viveu provavelmente na época
de 250 da nossa era. A obra original era composta de treze volumes,
mas somente seis resistiram à Idade das Trevas e foram traduzidos por
Claude Gaspar Bachet e publicados em 1621.
Diofante descrevia a teoria dos números através de vários problemas, as chamadas equações diofantinas, onde Diofante buscava soluções inteiras para equações polinomiais. Entre esses problemas, estava
o que inspirou Fermat a formular a afirmação que intrigou as mentes
dos matemáticos por mais de 350 anos, o Último Teorema de Fermat,
que aqui chamaremos de UTF.
De acordo com Edwards (1977), o UTF foi inspirado por uma
proposição no livro Aritmética de Diofante que dizia como escrever um
quadrado como a soma de dois quadrados, ou seja, como encontrar
soluções inteiras para a equação pitagórica 𝑥2 + 𝑦 2 = 𝑧 2 . Depois de ler
o problema, Fermat escreveu um comentário na margem de seu livro,
que dizia: “Cubem autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos
28
Capítulo 1. O ÚLTIMO TEOREMA DE FERMAT
quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum
potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere.”
Traduzindo, Fermat diz que, em geral, é impossível um número
elevado a uma potência maior do que dois ser escrito como uma soma de
duas potências semelhantes. Uma formulação moderna desse problema
seria que a equação 𝑥𝑛 +𝑦 𝑛 = 𝑧 𝑛 não tem solução não trivial em Z para
𝑛 maior que 2, sendo 𝑛 um número natural, ou seja, as únicas soluções
só acontecem quando 𝑥 = 0, 𝑦 = 0 ou 𝑧 = 0.
Segundo Singh (2008), Fermat escreveu, na mesma margem,
que possuía uma demonstração maravilhosa para o problema, mas a
margem era muito pequena para contê-la. Essa atitude era muito típica
dele. Fermat não costumava publicar suas descobertas e era conhecido
por trocar correspondências com outros matemáticos, nas quais lançava
enigmas que dizia já ter demonstrado.
Nos anos que seguiram à morte de Fermat, a maior parte de
suas afirmações foi verificada, mas algumas foram provadas falsas, como
𝑚
a afirmação em que Fermat dizia que os números da forma 𝐹𝑚 = 22 +1,
com 𝑚 natural eram primos, o que não é verdade para 𝑚 = 5, fato
esse que foi mostrado por Euler. Já na metade do século XIX, a última
afirmação de Fermat que continuava em aberto, sem prova ou refutação,
era o UTF, de acordo com Edwards (1977). O fato de a afirmação ser
chamada de Último Teorema de Fermat era discutível, já que não era
um teorema, pois ainda não havia sido provado e também não foi o
último resultado a que Fermat chegou. Mas foi o último que restou.
Esse teorema capturou a imaginação de muitas gerações de
matemáticos e as tentativas de prová-lo, sem o sucesso almejado, implicaram em grandes avanços no conhecimento de matemática. É um
problema muito instigante e que continua despertando o interesse de
estudo, inclusive o nosso. Por isso, neste primeiro capítulo, vamos mostrar algumas definições e proposições necessárias para iniciar o estudo
do UTF, além das primeiras contribuições realizadas para sua prova:
os casos 𝑛 = 3 e 𝑛 = 4.
1.2. TEOREMAS E DEFINIÇÕES PRELIMINARES
29
1.2 TEOREMAS E DEFINIÇÕES PRELIMINARES
Alguns resultados são necessários para começar a estudar os
primeiros casos do UTF, por isso apresentaremos algumas definições e
teoremas que nos auxiliarão no entendimento desse problema, fazendo
uso de resultados conhecidos, como o Teorema Fundamental da Aritmética e a Identidade de Bezout para números inteiros.
Definição 1.1. Um elemento 𝑝 pertencente a um anel 𝐴 se diz primo
quando:
(i) 𝑝 ̸= 0;
(ii) 𝑝 é não inversível;
(iii) Quaisquer que sejam 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴, se 𝑝 | 𝑎𝑏, então 𝑝 | 𝑎 ou 𝑝 | 𝑏.
Observação 1.1. Um número primo em Z é um elemento primo de
Z. Além disso, pode-se provar por indução que se 𝑝 | 𝑎1 · · · 𝑎𝑛 , com
𝑎1 , · · · , 𝑎𝑛 ∈ 𝐴, então 𝑝 | 𝑎1 ou 𝑝 | 𝑎2 ou . . . ou 𝑝 | 𝑎𝑛 .
Teorema 1.1. Se 𝑎𝑚 | 𝑏𝑚 , com 𝑎 ∈ Z* , 𝑏 ∈ Z e 𝑚 ∈ Z*+ , então 𝑎 | 𝑏.
Demonstração:
Suponhamos que 𝑎𝑚 | 𝑏𝑚 . Obviamente, se 𝑏 = 0
então 𝑎 | 0. Consideremos, então, três casos:
1) 𝑎 = ±1: Esse caso é imediato, já que todos os números inteiros
são divisíveis por ±1.
2) 𝑏 = ±1: Como 𝑎𝑚 | 𝑏𝑚 , deve existir 𝑥 ∈ Z tal que 𝑏𝑚 = 𝑎𝑚 𝑥.
Assim,
𝑏 = ±1 ⇒ 𝑎𝑚 𝑥 = 𝑏𝑚 = (±1)𝑚 = ±1
⇒ 𝑎(𝑎𝑚−1 𝑥) = ±1
Como estamos lidando com elementos inteiros, podemos concluir
que 𝑎 = ±1 e, consequentemente, 𝑎 | 𝑏.
30
Capítulo 1. O ÚLTIMO TEOREMA DE FERMAT
3) 𝑏 ̸= 0, 𝑎 ̸= ±1 e 𝑏 ̸= ±1: Sabemos pelo Teorema Fundamental da
Aritmética que 𝑎 e 𝑏 possuem suas decomposições em elementos
primos. Assim,
𝛼𝑡
1 𝛼2
𝑎 = (±1)𝑝𝛼
1 𝑝2 · · · 𝑝𝑡
𝑏 = (±1)𝑞1𝛽1 𝑞2𝛽2 · · · 𝑞𝑠𝛽𝑠 ,
(1.1)
onde 𝑡, 𝑠, 𝛼𝑖 , 𝛽𝑖 ∈ Z*+ e 𝑝𝑖 , 𝑞𝑖 são primos positivos.
Tomemos, então, 𝑖 ∈ {1, 2, · · · , 𝑡}. Com isso,
𝑚𝛼𝑖
𝑖
𝑖
𝑖
𝑝𝛼
| 𝑎𝑚 ⇒ 𝑝𝑚𝛼
| 𝑏𝑚 ⇒ ∃𝑟 ∈ Z : 𝑝𝑚𝛼
𝑟 = 𝑏𝑚 .
𝑖 | 𝑎 ⇒ 𝑝𝑖
𝑖
𝑖
Por outro lado, 𝑏𝑚 = (±1)𝑞1𝑚𝛽1 𝑞2𝑚𝛽2 · · · 𝑞𝑠𝑚𝛽𝑠 . Então,
𝑖
𝑝𝑚𝛼
𝑟 = (±1)𝑞1𝑚𝛽1 𝑞2𝑚𝛽2 · · · 𝑞𝑠𝑚𝛽𝑠 .
𝑖
(1.2)
Pela unicidade da decomposição em fatores primos, deve existir
𝑗 ∈ {1, 2, · · · , 𝑠} tal que 𝑝𝑖 = 𝑞𝑗 com 𝑚𝛼𝑖 ≤ 𝑚𝛽𝑗 , ou 𝛼𝑖 ≤ 𝛽𝑗 , pois
𝜆𝑖
𝑖
𝑚 ∈ Z*+ . Reorganizando os elementos 𝑞𝑗 , temos que 𝑝𝛼
𝑖 = 𝑞𝑖 ,
com 0 ≤ 𝜆𝑖 ≤ 𝛽𝑖 para todo 𝑖 ∈ {1, 2, · · · , 𝑡}, o que prova que 𝑎 | 𝑏
onde o quociente 𝑞 é dado por
𝑞 = (±1)𝑞1𝛽1 −𝜆1 𝑞2𝛽2 −𝜆2 · · · 𝑞𝑠𝛽𝑠 −𝜆𝑠 .
Teorema 1.2. Sejam 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ Z* tais que 𝑥𝑛 +𝑦 𝑛 = 𝑧 𝑛 , com 𝑛 natural.
São equivalentes as seguintes afirmações:
(i) 𝑚𝑑𝑐(𝑥, 𝑦) = 1;
(ii) 𝑚𝑑𝑐(𝑥, 𝑧) = 1;
(iii) 𝑚𝑑𝑐(𝑦, 𝑧) = 1.
1.2. TEOREMAS E DEFINIÇÕES PRELIMINARES
Demonstração:
31
(i)⇒(ii) Suponha que 𝑚𝑑𝑐(𝑥, 𝑧) = 𝑑 > 1. Então,
existem 𝑎, 𝑏 ∈ Z tais que 𝑥 = 𝑎𝑑 e 𝑧 = 𝑏𝑑. Assim,
𝑥𝑛 + 𝑦 𝑛 = 𝑧 𝑛 ⇒ (𝑎𝑑)𝑛 + 𝑦 𝑛 = (𝑏𝑑)𝑛
⇒ 𝑦 𝑛 = 𝑏𝑛 𝑑𝑛 − 𝑎𝑛 𝑑𝑛
⇒ 𝑦 𝑛 = 𝑑𝑛 (𝑏𝑛 − 𝑎𝑛 )
⇒ 𝑑𝑛 | 𝑦 𝑛 .
E do Teorema 1.1 temos que 𝑑 | 𝑦. Assim, como 𝑑 | 𝑥 e 𝑑 | 𝑦, obtemos
𝑚𝑑𝑐(𝑥, 𝑦) ≥ 𝑑 > 1, contradizendo a hipótese. Portanto, 𝑚𝑑𝑐(𝑥, 𝑧) = 1.
Analogamente, (ii)⇒(iii) e (iii)⇒(i).
Teorema 1.3. Se existe (𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 ) uma solução inteira não trivial da
equação 𝑥𝑛 + 𝑦 𝑛 = 𝑧 𝑛 , então existe uma solução inteira não trivial
(𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 ), com mdc(𝑥1 , 𝑦1 ) = 1.
Demonstração: Seja 𝑑 = 𝑚𝑑𝑐(𝑥0 , 𝑦0 ). Se 𝑑 = 1, basta tomar 𝑥1 = 𝑥0
e 𝑦1 = 𝑦0 e a demonstração acaba aqui. Ainda, temos que 𝑑 ̸= 0, pela
definição de máximo divisor comum.
Sabemos que 𝑑 | 𝑥0 e 𝑑 | 𝑦0 . Então, existem 𝑥1 , 𝑦1 ∈ Z tais que
𝑥0 = 𝑑𝑥1 e 𝑦0 = 𝑑𝑦1 . Pela Identidade de Bezout, existem 𝑢, 𝑣 ∈ Z tais
que 𝑢𝑥0 + 𝑣𝑦0 = 𝑑. Assim,
𝑢𝑥0 + 𝑣𝑦0 = 𝑑 ⇒ 𝑢 𝑥𝑑0 + 𝑣 𝑦𝑑0 = 1
(︀
)︀
⇒ 𝑚𝑑𝑐 𝑥𝑑0 , 𝑦𝑑0 = 1
⇒ 𝑚𝑑𝑐(𝑥1 , 𝑦1 ) = 1.
Ainda, como (𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 ) é solução da equação 𝑥𝑛 + 𝑦 𝑛 = 𝑧 𝑛 , temos que
𝑥𝑛0 + 𝑦0𝑛 = 𝑧0𝑛 ⇒ (𝑑𝑥1 )𝑛 + (𝑑𝑦1 )𝑛 = 𝑧0𝑛 ⇒ 𝑑𝑛 (𝑥𝑛1 + 𝑦1𝑛 ) = 𝑧0𝑛 ⇒ 𝑑𝑛 | 𝑧0𝑛 .
Pelo Teorema 1.1, temos que 𝑑 | 𝑧0 . Então, existe 𝑧1 ∈ Z tal
que 𝑧0 = 𝑑𝑧1 . Logo,
𝑥𝑛0 + 𝑦0𝑛 = 𝑧0𝑛 ⇒ (𝑑𝑥1 )𝑛 + (𝑑𝑦1 )𝑛 = (𝑑𝑧1 )𝑛
⇒ 𝑑𝑛 (𝑥𝑛1 + 𝑦1𝑛 ) = 𝑑𝑛 𝑧1𝑛
⇒ 𝑥𝑛1 + 𝑦1𝑛 = 𝑧1𝑛 .
32
Capítulo 1. O ÚLTIMO TEOREMA DE FERMAT
Portanto, o trio (𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 ) é solução da equação 𝑥𝑛 + 𝑦 𝑛 = 𝑧 𝑛 com
𝑚𝑑𝑐(𝑥1 , 𝑦1 ) = 1.
Observação 1.2. A solução encontrada com 𝑚𝑑𝑐(𝑥1 , 𝑦1 ) = 1 é chamada solução primitiva do problema de Fermat. Usando a contrapositiva do teorema anterior, pode-se concluir que se não existem soluções
primitivas para o problema de Fermat, então não existe nenhuma outra solução. Portanto, para provar o UTF basta provar que não existem
soluções primitivas.
Vejamos, então, o problema de Diofante, que inspirou Fermat
e também pode ser usado na prova do teorema para o caso 𝑛 = 4.
1.3 O PROBLEMA DE DIOFANTE
O problema de Diofante consiste em encontrar soluções inteiras
não triviais para a equação
𝑥2 + 𝑦 2 = 𝑧 2 ,
(1.3)
também conhecida como equação pitagórica por causa do Teorema de
Pitágoras. Aplicando o Teorema 1.3 neste caso, obtemos que toda solução da Equação (1.3) possui uma solução primitiva (𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 ) com
𝑚𝑑𝑐(𝑥1 , 𝑦1 ) = 1.
Consideremos, então, uma solução (𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 ) não primitiva, ou
seja, |𝑚𝑑𝑐(𝑥0 , 𝑦0 )| = |𝑑| > 1. A solução primitiva encontrada a partir
)︀
(︀
dessa é a solução 𝑥𝑑0 , 𝑦𝑑0 , 𝑧𝑑0 . Com isso, conclui-se que todas as soluções
do problema de Diofante podem ser encontradas a partir das soluções
primitivas, multiplicando 𝑥0 , 𝑦0 e 𝑧0 por qualquer outro número inteiro.
De fato, se (𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 ) é solução de 𝑥2 + 𝑦 2 = 𝑧 2 e 𝑡 ∈ Z, então
𝑥20 + 𝑦02 = 𝑧02 ⇒ (𝑡𝑥0 )2 + (𝑡𝑦0 )2 = 𝑡2 (𝑥20 + 𝑦02 ) = 𝑡2 𝑧02 = (𝑡𝑧0 )2 ,
o que mostra que (𝑡𝑥0 , 𝑡𝑦0 , 𝑡𝑧0 ) também é solução da equação pitagórica.
1.3. O PROBLEMA DE DIOFANTE
33
Em seu livro, Diofante encontrou todas as soluções da equação
pitagórica. Utilizemos então seu método.
Seja (𝑥, 𝑦, 𝑧) uma solução primitiva de 𝑥2 + 𝑦 2 = 𝑧 2 . Façamos,
então, uma análise das paridades de 𝑥, 𝑦 e 𝑧.
∙ Os três números não podem ser simultaneamente pares, pois isso
implicaria em 𝑚𝑑𝑐(𝑥, 𝑦) ≥ 2 e consequentemente essa não seria
uma solução primitiva.
∙ Consideremos 𝑧 par. Como os três não podem ser pares simultaneamente, a única possibilidade restante é que 𝑥 e 𝑦 sejam ímpares.
Se isso acontece, existem 𝑢, 𝑣 ∈ Z tais que 𝑥 = 2𝑢+1 e 𝑦 = 2𝑣 +1.
Assim,
𝑧 2 = 𝑥2 + 𝑦 2 = (2𝑢 + 1)2 + (2𝑣 + 1)2 = 4(𝑢2 + 𝑢 + 𝑣 2 + 𝑣) + 2.
Logo, 𝑧 2 ≡ 2 (mod 4). Mas isso é impossível, pois como 𝑧 é par,
𝑧 2 deve ser congruente a zero no módulo 4. Portanto, 𝑧 não pode
ser par.
∙ Como 𝑧 é ímpar, então 𝑥 e 𝑦 devem ter paridades distintas, ou
seja, um e somente um dos três números deve ser par, sendo este
𝑥 ou 𝑦. Os outros dois são ímpares.
Consideremos 𝑥 par e 𝑦 e 𝑧 ímpares. Toda solução primitiva
pode ser encaixada nessas condições. Além disso, podemos considerar
apenas as soluções positivas, pois se 𝑥 ∈ N compõe alguma solução da
equação pitagórica, então −𝑥 também o faz, pois 𝑥2 = (−𝑥)2 .
Da equação 𝑥2 + 𝑦 2 = 𝑧 2 , obtemos
𝑥2 = 𝑧 2 − 𝑦 2 = (𝑧 + 𝑦)(𝑧 − 𝑦).
(1.4)
Como 𝑧 e 𝑦 são ímpares, obtemos que 𝑧 + 𝑦 e 𝑧 − 𝑦 são pares,
pois tanto a soma quanto a diferença de dois números ímpares resultam
34
Capítulo 1. O ÚLTIMO TEOREMA DE FERMAT
em números pares. Assim, existem 𝑢, 𝑣, 𝑤 ∈ N tais que
𝑥 = 2𝑢
𝑧 + 𝑦 = 2𝑣
(1.5)
𝑧 − 𝑦 = 2𝑤.
Substituindo as informações das Equações (1.5) na Equação (1.4), obtemos
(2𝑢)2 = (2𝑣)(2𝑤) ⇒ 𝑢2 = 𝑣𝑤.
(1.6)
Ainda, temos que 𝑚𝑑𝑐(𝑣, 𝑤) = 1. De fato, se 𝑚𝑑𝑐(𝑣, 𝑤) = 𝑑 > 1, então
𝑑 | (𝑣 + 𝑤) e 𝑑 | (𝑣 − 𝑤). Mas,
𝑣+𝑤 =
𝑧+𝑦−𝑧+𝑦
𝑧+𝑦+𝑧−𝑦
=𝑧 e 𝑣−𝑤 =
= 𝑦.
2
2
Consequentemente, 𝑑 | 𝑧 e 𝑑 | 𝑦, o que é impossível, pois 𝑚𝑑𝑐(𝑦, 𝑧) = 1,
pelo Teorema 1.2. Portanto, 𝑣 e 𝑤 são relativamente primos.
Assim, as decomposições em fatores primos de 𝑣 e 𝑤 não têm
fatores em comum. Logo, pelo Teorema 1.4 a ser provado, devem existir
𝑎, 𝑏 ∈ N tais que 𝑣 = 𝑎2 e 𝑤 = 𝑏2 e 𝑚𝑑𝑐(𝑎, 𝑏) = 1. Com isso,
𝑧 = 𝑣 + 𝑤 = 𝑎2 + 𝑏2
𝑦 = 𝑣 − 𝑤 = 𝑎2 − 𝑏2
√
√
𝑥 = 2𝑢 = 2 𝑣𝑤 = 2 𝑎2 𝑏2 = 2𝑎𝑏.
Portanto, todas as soluções do problema de Diofante podem ser encontradas usando as fórmulas
𝑥 = 2𝑎𝑏
𝑦 = 𝑎2 − 𝑏2
(1.7)
𝑧 = 𝑎2 + 𝑏2 ,
onde 𝑚𝑑𝑐(𝑎, 𝑏) = 1, 𝑎 > 𝑏 > 0 e 𝑎 e 𝑏 têm paridades distintas, para que
𝑦 e 𝑧 sejam ímpares.
Com esse resultado podemos analisar o caso 𝑛 = 4, usando
também um método criado por Fermat, o método da descida infinita,
que é utilizado também na análise do caso 𝑛 = 3.
1.4. O MÉTODO DA DESCIDA INFINITA
35
1.4 O MÉTODO DA DESCIDA INFINITA
O método da descida infinita foi inventado por Fermat e utilizado pelo mesmo na demonstração de inúmeros teoremas na área da
teoria dos números. Segundo Edwards (1997), o método apresenta o
seguinte princípio: suponhamos que uma afirmação de que um inteiro
positivo possui um dado conjunto de propriedades, implica na existência de um inteiro positivo menor com o mesmo conjunto de propriedades. Então, nenhum inteiro positivo pode apresentar esse conjunto de
propriedades.
Assim, para provar que certas propriedades ou relações são
impossíveis para números inteiros positivos, basta mostrar que se essas
relações valem para algum conjunto de números, então devem valer
para um conjunto de números menores. E assim ad infinitum, o que
não pode acontecer pois a sequência de números inteiros positivos não
pode decrescer indefinidamente.
Com esse método, pode-se provar um importante teorema necessário para a demonstração do UTF para os casos 𝑛 = 4 e 𝑛 = 3.
Teorema 1.4. Sejam 𝑎, 𝑏, 𝑐 e 𝑛 inteiros e 𝑚𝑑𝑐(𝑎, 𝑏) = 1. Se 𝑎𝑏 = 𝑐𝑛
para 𝑛 ≥ 2, então existem inteiros 𝑝 e 𝑞 tais que 𝑎 = 𝑝𝑛 , 𝑏 = 𝑞 𝑛 ,
𝑚𝑑𝑐(𝑝, 𝑞) = 1.
Demonstração: Usando o método da descida infinita, suponhamos
que 𝑎, 𝑏, 𝑐 e 𝑛 formem o conjunto inicial de números inteiros positivos
e apresentam as seguintes propriedades:
(1) Estão relacionados pela equação 𝑎𝑏 = 𝑐𝑛 ;
(2) 𝑚𝑑𝑐(𝑎, 𝑏) = 1;
(3) 𝑎 ̸= 𝑝𝑛 , ∀𝑝 ∈ N.
A propriedade (3) é proposta por contradição. Para 𝑏 ̸= 𝑞 𝑛 , a
demonstração é análoga. Note que provar o teorema para os números
naturais é suficiente para provar também para os números inteiros,
36
Capítulo 1. O ÚLTIMO TEOREMA DE FERMAT
pois se existissem 𝑎, 𝑏, 𝑐 e 𝑛 inteiros que satisfizessem o teorema então
também existiriam inteiros positivos com o mesmo comportamento.
Suponhamos que não existe 𝑝 ∈ N tal que 𝑎 = 𝑝𝑛 . Particularmente, 𝑎 ̸= 1. Logo, existe um número primo 𝑢 que divide 𝑎. Assim,
𝑎 = 𝑢𝑘1 , para algum 𝑘1 ∈ N. Então,
𝑎 = 𝑢𝑘1 ⇒ (𝑢𝑘1 )𝑏 = 𝑐𝑛 ⇒ 𝑢(𝑘1 𝑏) = 𝑐𝑛 ⇒ 𝑢 | 𝑐𝑛 ⇒ 𝑢 | 𝑐,
pois 𝑢 é primo. Daí, 𝑐 = 𝑢𝑑, para algum 𝑑 ∈ N. De 𝑢(𝑘1 𝑏) = 𝑐𝑛 obtemos
𝑐 = 𝑢𝑑 ⇒ 𝑢(𝑘1 𝑏) = (𝑢𝑑)𝑛 ⇒ 𝑢(𝑘1 𝑏) = 𝑢𝑛 𝑑𝑛 ⇒ 𝑘1 𝑏 = 𝑢𝑛−1 𝑑𝑛 .
Como 𝑛 ≥ 2, então 𝑢 | 𝑢𝑛−1 𝑑𝑛 , o que implica que 𝑢 | 𝑘1 𝑏, pois
deve dividir os dois lados da equação. Daí, 𝑢 | 𝑘1 ou 𝑢 | 𝑏, pois 𝑢 é
primo, mas 𝑢 - 𝑏, já que 𝑢 | 𝑎 e 𝑎 e 𝑏 são relativamente primos. Logo,
𝑢 | 𝑘1 . Assim, 𝑘1 = 𝑢𝑘2 , para algum 𝑘2 ∈ N e ainda, de 𝑎 = 𝑢𝑘1 temos
que 𝑎 = 𝑢(𝑢𝑘2 ) = 𝑢2 𝑘2 . E de 𝑘1 𝑏 = 𝑢𝑛−1 𝑑𝑛 , obtemos
𝑘1 = 𝑢𝑘2 ⇒ (𝑢𝑘2 )𝑏 = 𝑢𝑛−1 𝑑𝑛 ⇒ 𝑢(𝑘2 𝑏) = 𝑢𝑛−1 𝑑𝑛 ⇒ 𝑘2 𝑏 = 𝑢𝑛−2 𝑑𝑛 .
Repetindo o processo, chega-se sempre à equação 𝑘𝑖 𝑏 = 𝑢𝑛−𝑖 𝑑𝑛 .
O processo pode ser repetido enquanto 𝑢 | 𝑢𝑛−𝑖 , ou seja, enquanto
𝑖 < 𝑛. Quando 𝑖 = 𝑛, temos que 𝑘𝑛 𝑏 = 𝑑𝑛 . Assim, os números 𝑘𝑛 , 𝑏, 𝑑 e
𝑛 satisfazem a propriedade (1). A propriedade (2) também é satisfeita
pelo fato de que 𝑘𝑛 e 𝑏 são relativamente primos. De fato, como 𝑘𝑛 | 𝑎,
se existir um primo 𝛼 que divide 𝑘𝑛 e 𝑏, então 𝛼 também deve dividir
𝑎, o que não pode acontecer, pois 𝑎 e 𝑏 são relativamente primos.
Ainda, quando 𝑖 = 𝑛, temos 𝑎 = 𝑢𝑛 𝑘𝑛 . Logo, se 𝑘𝑛 = 𝑡𝑛 para
algum 𝑡 ∈ N, então 𝑎 = 𝑢𝑛 𝑡𝑛 = (𝑢𝑡)𝑛 , o que contraria a suposição
inicial. Assim, 𝑘𝑛 ̸= 𝑡𝑛 para todo 𝑡 ∈ N, satisfazendo a propriedade (3).
Pode-se observar também que 𝑘𝑛 é menor do que 𝑎, pois divide o mesmo. Os números 𝑘𝑛 , 𝑏, 𝑑 e 𝑛 então formam um conjunto que
satisfaz as mesmas propriedades que o conjunto inicial.
1.4. O MÉTODO DA DESCIDA INFINITA
37
Assim, se considerarmos a equação 𝑘𝑛 𝑏 = 𝑑𝑛 e repetirmos o
procedimento todo, encontraremos um novo conjunto de números inteiros positivos que satisfazem também as propriedades (1), (2) e (3),
onde o elemento correspondente ao 𝑎 é sempre menor que o anterior.
Isso gera a descida infinita, que é impossível já que a demonstração
trata de números naturais. Portanto, com certeza existem inteiros positivos 𝑝 e 𝑞 tais que 𝑎 = 𝑝𝑛 , 𝑏 = 𝑞 𝑛 .
Falta provar ainda que 𝑚𝑑𝑐(𝑝, 𝑞) = 1. Suponha por absurdo que
existe um número primo 𝛽 que divide 𝑝 e 𝑞. Assim, existem 𝑣1 , 𝑣2 ∈ N
tais que 𝑝 = 𝛽𝑣1 e 𝑞 = 𝛽𝑣2 . Assim,
𝑎 = 𝑝𝑛 e 𝑏 = 𝑞 𝑛 ⇒ 𝑎 = 𝛽 𝑛 𝑣1𝑛 e 𝑏 = 𝛽 𝑛 𝑣2𝑛 ⇒ 𝛽 | 𝑎 e 𝛽 | 𝑏,
o que é absurdo, pois 𝑚𝑑𝑐(𝑎, 𝑏) = 1. Portanto, 𝑚𝑑𝑐(𝑝, 𝑞) = 1.
1.4.1
Caso 𝑛 = 4
Segundo Singh (2008), o filho mais velho de Pierre de Fermat,
Clemént-Samuel Fermat, publicou, em 1670, uma nova edição da obra
Aritmética de Diofante, com todas as anotações feitas por Fermat. Uma
dessas anotações continha o método da descida infinita. Fermat fez uma
vaga demonstração para o caso 𝑛 = 4 do UTF usando o seu método da
descida infinita. Segue a demonstração baseada na ideia de Fermat.
Teorema 1.5. A equação 𝑥4 + 𝑦 4 = 𝑧 4 não admite solução inteira não
trivial.
Demonstração: Seja (𝑥, 𝑦, 𝑧) uma solução primitiva para o problema
em Z*+ , ou seja, 𝑚𝑑𝑐(𝑥, 𝑦) = 1 e
𝑥4 + 𝑦 4 = 𝑧 4 .
(1.8)
O método a ser usado nessa demonstração é o método da descida infinita. Considere então o conjunto inicial de números inteiros positivos
38
Capítulo 1. O ÚLTIMO TEOREMA DE FERMAT
formado por 𝑥, 𝑦 e 𝑧 2 , onde 𝑚𝑑𝑐(𝑥, 𝑦) = 1 e os três estão relacionados
pela equação 𝑥4 + 𝑦 4 = (𝑧 2 )2 , equivalente à Equação (1.8).
Daí, temos que (𝑥2 )2 +(𝑦 2 )2 = (𝑧 2 )2 . Logo, (𝑥2 , 𝑦 2 , 𝑧 2 ) é solução
da equação pitagórica, com soluções dadas pelas Equações (1.7).
Tomemos então, sem perda de generalidade, 𝑥2 par e 𝑦 2 e 𝑧 2
ímpares. Ainda, (𝑥2 , 𝑦 2 , 𝑧 2 ) é solução primitiva da equação pitagórica,
pois 𝑚𝑑𝑐(𝑥2 , 𝑦 2 ) = 1. Então,
𝑥2 = 2𝑎𝑏
𝑦 2 = 𝑎2 − 𝑏2
2
2
(1.9)
2
𝑧 =𝑎 +𝑏 ,
onde 𝑚𝑑𝑐(𝑎, 𝑏) = 1, 𝑎 > 𝑏 > 0 e 𝑎 e 𝑏 têm paridades distintas. Manipulando a segunda Equação de (1.9) temos que
𝑏2 + 𝑦 2 = 𝑎 2 .
(1.10)
Como 𝑚𝑑𝑐(𝑎, 𝑏) = 1, obtemos do Teorema 1.2 que 𝑚𝑑𝑐(𝑏, 𝑦) =
1. Daí, concluímos que (𝑏, 𝑦, 𝑎) é solução primitiva da equação pitagórica. Ainda, 𝑎 deve ser ímpar, pelos motivos expostos na resolução do
problema de Diofante e como 𝑦 é ímpar, 𝑏 deve ser par.
Assim, existem 𝑝, 𝑞 ∈ N tais que
𝑏 = 2𝑝𝑞
𝑦 = 𝑝2 − 𝑞 2
2
(1.11)
2
𝑎=𝑝 +𝑞 ,
onde 𝑚𝑑𝑐(𝑝, 𝑞) = 1, 𝑝 > 𝑞 > 0 e 𝑝 e 𝑞 possuem paridades diferentes.
Usando então as Equações (1.11) e substituindo na primeira
Equação de (1.9), obtemos
𝑥2 = 2𝑎𝑏 = 2(𝑝2 + 𝑞 2 )(2𝑝𝑞) = 4𝑝𝑞(𝑝2 + 𝑞 2 ) = (2𝑢)2
(1.12)
para algum 𝑢 ∈ N, pois como 𝑥2 é um quadrado, então 4𝑝𝑞(𝑝2 + 𝑞 2 )
também deve ser.
1.4. O MÉTODO DA DESCIDA INFINITA
39
Ainda, podemos concluir que 𝑚𝑑𝑐(𝑝𝑞, 𝑝2 + 𝑞 2 ) = 1. De fato,
suponhamos que existe algum primo 𝑡 que divida 𝑝𝑞 e 𝑝2 + 𝑞 2 . Então,
𝑡 | 𝑝 ou 𝑡 | 𝑞, mas não divide ambos, pois 𝑚𝑑𝑐(𝑝, 𝑞) = 1. Suponhamos,
sem perda de generalidade que 𝑡 | 𝑝, mas não divide 𝑞. Isso significa
que 𝑡 está na decomposição em fatores primos de 𝑝, mas não está na
de 𝑞 e consequentemente, não está na de 𝑞 2 . Então, 𝑡 | 𝑝2 mas 𝑡 - 𝑞 2 .
Assim, existem 𝑚, 𝑛, 𝑟 ∈ N tais que
𝑝2 = 𝑚𝑡
𝑞 2 = 𝑛𝑡 + 𝑟,
(1.13)
com 0 < 𝑟 < 𝑡. Então,
𝑝2 + 𝑞 2 = 𝑚𝑡 + (𝑛𝑡 + 𝑟) = 𝑡(𝑚 + 𝑛) + 𝑟.
Portanto, 𝑡 - 𝑝2 + 𝑞 2 , o que é uma contradição.
Assim, não existe um número primo que divida 𝑝𝑞 e 𝑝2 + 𝑞 2
simultaneamente. Portanto, 𝑚𝑑𝑐(𝑝𝑞, 𝑝2 + 𝑞 2 ) = 1. Pelo Teorema 1.4 e
sabendo que 𝑝𝑞(𝑝2 + 𝑞 2 ) deve ser um quadrado, concluímos que 𝑝𝑞 e
𝑝2 + 𝑞 2 devem ser quadrados. Então, existem 𝑘, 𝑙 ∈ N tais que 𝑝𝑞 = 𝑘 2
e 𝑝2 + 𝑞 2 = 𝑙2 .
Do mesmo modo, 𝑝 e 𝑞 devem ser também quadrados, ou seja,
devem existir 𝑣, 𝑤 ∈ N tais que 𝑝 = 𝑣 2 e 𝑞 = 𝑤2 . Assim,
𝑣 4 + 𝑤4 = (𝑣 2 )2 + (𝑤2 )2 = 𝑝2 + 𝑞 2 = 𝑙2
⇒ 𝑣 4 + 𝑤 4 = 𝑙2 .
Ainda, 𝑚𝑑𝑐(𝑣, 𝑤) = 1 vem do fato de 𝑚𝑑𝑐(𝑝, 𝑞) = 1. Logo,
2
2
(𝑣 , 𝑤 , 𝑙) é solução primitiva da equação pitagórica e 𝑣, 𝑤 e 𝑙 estão
relacionados da mesma maneira que 𝑥, 𝑦 e 𝑧 2 , onde 𝑣 2 < 𝑝2 < 𝑎 < 𝑥2 .
Então, a partir dos três números inteiros positivos iniciais encontramos
um novo conjunto de números relacionados da mesma maneira que os
iniciais e ainda o número correspondente ao 𝑥2 é menor que o anterior.
Essa solução gera a descida infinita, provando que (𝑥, 𝑦, 𝑧) não é solução
do UTF para 𝑛 = 4, ou seja, não existem soluções inteiras não triviais
para o caso 𝑛 = 4.
40
1.4.2
Capítulo 1. O ÚLTIMO TEOREMA DE FERMAT
A Redução do Problema
Com a prova de que não existem soluções para o caso 𝑛 = 4
do UTF, pode-se mostrar que para provar o UTF basta provar os casos
em que 𝑛 é primo.
Seja 𝑛 > 2. Se 𝑛 = 2𝑚 , com 𝑚 ≥ 2, então 𝑛 é múltiplo de 4
e consequentemente, a equação 𝑥𝑛 + 𝑦 𝑛 = 𝑧 𝑛 é equivalente a equação
(𝑥𝑞 )4 + (𝑦 𝑞 )4 = (𝑧 𝑞 )4 , que não tem solução inteira não trivial. Se 𝑛 não
é quadrado, então 𝑛 é divisível por algum número primo 𝑝 ̸= 2 e existe
𝑞 ∈ Z tal que 𝑛 = 𝑝𝑞. Assim,
𝑥𝑛 + 𝑦 𝑛 = 𝑧 𝑛 ⇒ 𝑥𝑝𝑞 + 𝑦 𝑝𝑞 = 𝑧 𝑝𝑞 ⇒ (𝑥𝑞 )𝑝 + (𝑦 𝑞 )𝑝 = (𝑧 𝑞 )𝑝 .
Dessa forma, se a equação não tem solução para o expoente 𝑝
primo, então também não tem solução para o expoente 𝑛. Portanto,
para provar que o UTF é verdadeiro, basta provar que 𝑥𝑛 + 𝑦 𝑛 = 𝑧 𝑛
não tem solução para 𝑛 primo diferente de dois.
1.5 LEONHARD EULER
De acordo com Singh (2011), Leonhard Euler (1707-1783) nasceu em Basileia, filho de um pastor calvinista. Embora o jovem Euler
demonstrasse um talento prodigioso para a matemática, seu pai estava
determinado que o filho estudasse teologia, seguindo carreira na Igreja.
Leonhard obedeceu e foi estudar teologia e hebraico na Universidade da
Basileia, seguindo carreira na Igreja. Felizmente para Euler, a cidade
de Basileia também era o lar do eminente clã dos Bernoulli. Daniel e
Nikolaus Bernoulli eram muito amigos de Leonhard Euler e percebiam
que o mais brilhante dos matemáticos estava sendo transformado no
mais medíocre dos teólogos. Eles fizeram um apelo a Paul Euler, pedindo que Leonhard tivesse a permissão de abandonar o clero em favor
dos números. Relutantemente ele aceitou que seu filho tinha nascido
para calcular em vez de pregar.
1.5. LEONHARD EULER
41
Euler adquiriu a reputação de ser capaz de resolver qualquer
problema que lhe fosse apresentado. Após descobrir o método da descida infinita no livro publicado pelo filho de Fermat, Euler tentou usar o
método para extrapolar o resultado do caso 𝑛 = 4 para todos os outros
casos. Então, ele adaptou o método da descida infinita para demonstrar
o caso 𝑛 = 3, divulgando essa demonstração em 1753.
Segundo Singh (2011), antes de Euler, vários matemáticos já
haviam tentado adaptar o método da descida infinita para outros casos, porém sem sucesso. De acordo com Edwards (1977), Euler fez isso
incorporando o conceito de números imaginários à demonstração para
o caso 𝑛 = 3, admitindo que esses números possuíssem as mesmas
propriedades que os números inteiros. Por causa disso, num primeiro
momento, a prova apresentada por Euler estava incompleta, problema
que, mais tarde, ele mesmo consertou.
Ainda de acordo com Singh (2008), Euler continuou criando
uma matemática brilhante até o dia de sua morte em 1783, uma realização ainda mais extraordinária pelo fato de que ele estava totalmente
cego nos últimos anos de sua carreira. As péssimas condições de trabalho combinadas com a tensão intensa custaram a Euler, então com vinte
e poucos anos, a visão de um dos olhos. Mas quarenta anos depois, sua
situação piorou consideravelmente, quando uma catarata no olho, até
então perfeito, sentenciou que ele se tornaria completamente cego. Euler estava determinado a não se entregar e começou a praticar a escrita
com o olho afetado fechado, de modo a aperfeiçoar sua técnica antes de
ser envolvido pela escuridão. Em questão de semanas ele estava cego.
Euler continuou com sua produção matemática pelos dezessete anos
seguintes e conseguiu ser mais produtivo do que nunca. Seu imenso intelecto lhe permitia analisar conceitos sem precisar colocá-los no papel
e sua memória fenomenal fazia de seu cérebro um biblioteca mental.
Uma das contribuições deixadas por Euler foi a demonstração
do UTF para o caso n=3, cujas ideias apresentamos na sequência.
Segundo Edwards (1977), em meio à sua demonstração para
42
Capítulo 1. O ÚLTIMO TEOREMA DE FERMAT
o caso 𝑛 = 3, Euler concluiu, como será mostrado a seguir, que a
expressão 𝑎2 +3𝑏2 é um número cúbico, para 𝑎 e 𝑏 inteiros convenientes.
Então, ele fatorou a expressão na forma
√
√
𝑎2 + 3𝑏2 = (𝑎 + 𝑏 −3)(𝑎 − 𝑏 −3)
(1.14)
√
√
e considerou o conjunto Z[ −3] = {𝑎+𝑏 −3 : 𝑎, 𝑏 ∈ Z}, que é um anel
comutativo com unidade e contém os fatores acima descritos. Assim, se
um dos fatores for um número cúbico deveriam existir 𝑝, 𝑞 ∈ Z tais que
√
√
𝑎 + 𝑏 −3 = (𝑝 + 𝑞 −3)3
e, consequentemente,
√
√
𝑎 − 𝑏 −3 = (𝑝 − 𝑞 −3)3 .
Dessa forma,
√
√
√
𝑎 + 𝑏 −3 = 𝑝3 + 3 −3𝑝2 𝑞 − 9𝑝𝑞 2 − 3 −3𝑞 3
√
= (𝑝3 − 9𝑝𝑞 2 ) + (3𝑝2 𝑞 − 3𝑞 3 ) −3.
Portanto, se 𝑎 = 𝑝3 − 9𝑝𝑞 2 e 𝑏 = 3𝑝2 𝑞 − 3𝑞 3 para 𝑝, 𝑞 ∈ Z, 𝑎2 + 3𝑏2 deve
ser um número cúbico da forma (𝑝2 + 3𝑞 2 )3 .
Essa é, claramente, uma condição suficiente para que a expres2
são 𝑎 + 3𝑏2 seja um número cúbico. Entretanto, Edwards (1977, p.
43) diz que “Euler muito gravemente confundiu condições necessárias
e suficientes nessa parte”. Euler apresentou esse argumento em um de
seus livros, com exemplos confusos, concluindo que se uma expressão
√
𝑎2 + 𝑐𝑏2 , com 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ Z, for um número cúbico, sendo 𝑎 + 𝑏 −𝑐 e
√
𝑎 − 𝑏 −𝑐 relativamente primos, então com certeza, esses fatores devem
ser, também, cúbicos.
Foi com esse argumento que Euler demonstrou o UTF para o
caso 𝑛 = 3. A prova correta para esta parte, também feita por Euler,
quando dava sequência a outros estudos, é apresentada no próximo
Lema.
1.5. LEONHARD EULER
43
Lema 1.1. Sejam 𝑎 e 𝑏 números inteiros relativamente primos tal que
𝑎2 + 3𝑏2 é um número cúbico. Então, existem inteiros 𝑝 e 𝑞 tais que
𝑎2 + 3𝑏2 = (𝑝2 + 3𝑞 2 )3 , onde 𝑎 = 𝑝3 − 9𝑝𝑞 2 e 𝑏 = 3𝑝2 𝑞 − 3𝑞 3 .
Observação 1.3. A demonstração do Lema 1.1 é encontrada em Edwards
(1977, p. 54), mas é muito extensa, além de usar apenas conceitos básicos da teoria de números e, por isso, não se faz necessária aqui. Traz
uma sequência de cinco passos para realizá-la. Os primeiros quatro passos mostram que se 𝑎 e 𝑏 são relativamente primos então 𝑎2 + 3𝑏2 pode
ser fatorado em elementos 𝑝2𝑖 + 3𝑞𝑖2 , que são iguais a 4 ou são primos
ímpares e 𝑝𝑖 , 𝑞𝑖 são inteiros positivos para todo 𝑖 ∈ {1, · · · , 𝑛}. A partir
disso, Edwards mostra que existem, necessariamente, 𝑝 e 𝑞 inteiros tais
√
√
que 𝑎 + 𝑏 −3 = (𝑝 + 𝑞 −3)3 , o que prova o Lema. Esse lema é a informação que completa a prova de Euler para o caso 𝑛 = 3, apresentada
a seguir.
Teorema 1.6. A equação 𝑥3 + 𝑦 3 = 𝑧 3 não possui soluções inteiras
não triviais.
Demonstração: Para usar o método da descida infinita neste caso,
precisamos começar com um conjunto de números inteiros positivos que
possuem uma certa relação. Sejam 𝑥, 𝑦 e 𝑧 os números que formam esse
conjunto tal que (𝑥, 𝑦, 𝑧) é solução primitiva da equação 𝑥3 + 𝑦 3 = 𝑧 3 .
Note que para provar que não existem soluções inteiras, basta
provar que não existem soluções positivas, pois se existir uma solução
com inteiros negativos, essa pode ser rearranjada de modo que tenhamos também uma solução positiva. Por exemplo, se (𝑥, 𝑦, 𝑧) é solução
da equação 𝑥3 + 𝑦 3 = 𝑧 3 , onde 𝑦 < 0, então (𝑧, −𝑦, 𝑥) também é solução pois 𝑧 3 + (−𝑦)3 = 𝑥3 . Assim, a não existência de soluções positivas
implica na não existência de soluções inteiras.
Como procuramos soluções inteiras primitivas, devemos ter
𝑥 ̸= 𝑦, 𝑥 ̸= 𝑧 e 𝑦 ̸= 𝑧, pois 𝑥 = 𝑧 implica em 𝑦 = 0 e 𝑦 = 𝑧 implica em 𝑥 = 0. Ainda, 𝑥 = 𝑦 implica em 𝑥 = 𝑦 = 1, pois 𝑚𝑑𝑐(𝑥, 𝑦) = 1
44
Capítulo 1. O ÚLTIMO TEOREMA DE FERMAT
e consequentemente, temos que 𝑧 3 = 2, que não é uma solução inteira.
A demonstração será dividida em quatro partes:
(1) A conclusão de que ou 𝑧 3 = 2𝑎(𝑎2 + 3𝑏2 ) ou 𝑥3 = 2𝑐(𝑐2 + 3𝑑2 );
(2) A redução do problema em dois casos: quando 3 - 𝑎 e quando
3 | 𝑎;
(3) Desenvolvimento do caso em que 3 - 𝑎;
(4) Desenvolvimento do caso em que 3 | 𝑎.
(1) Como (𝑥, 𝑦, 𝑧) é solução primitiva do problema, segue do Teorema
1.2 que apenas um dos números pode ser par. Ao mesmo tempo, um
deles precisa ser par, pois a adição e a subtração de números ímpares
resultam em números pares. Logo, exatamente um dos números da solução é par. Pode-se considerar então, sem perda de generalidade, duas
possibilidades: na primeira 𝑧 é par e na segunda 𝑥 é par.
∙ Se 𝑧 é par, então 𝑥 e 𝑦 são ímpares. Logo, 𝑥 + 𝑦 e 𝑥 − 𝑦 são pares.
Assim, existem 𝑎, 𝑏 ∈ Z*+ tais que 𝑥 + 𝑦 = 2𝑎 e 𝑥 − 𝑦 = 2𝑏. Então,
𝑥 = 2𝑎 − 𝑦 = 2𝑎 − (𝑥 − 2𝑏) = 2𝑎 + 2𝑏 − 𝑥 ⇒ 𝑥 = 𝑎 + 𝑏
𝑦 = 2𝑎 − 𝑥 = 2𝑎 − (2𝑏 + 𝑦) = 2𝑎 − 2𝑏 − 𝑦 ⇒ 𝑦 = 𝑎 − 𝑏,
(1.15)
onde 𝑎 e 𝑏 têm paridades distintas para que 𝑥 e 𝑦 sejam ímpares.
Além disso, 𝑚𝑑𝑐(𝑎, 𝑏) = 1, pois se existisse um inteiro positivo
maior que um que dividisse 𝑎 e 𝑏, então ele também dividiria
𝑎 + 𝑏 = 𝑥 e 𝑎 − 𝑏 = 𝑦, o que é impossível, já que 𝑚𝑑𝑐(𝑥, 𝑦) = 1.
Assim,
𝑧 3 = 𝑥3 + 𝑦 3
= (𝑥 + 𝑦)(𝑥2 − 𝑥𝑦 + 𝑦 2 )
=
(𝑎 + 𝑏 + 𝑎 − 𝑏)[(𝑎 + 𝑏)2 − (𝑎2 − 𝑏2 ) + (𝑎 − 𝑏)2 ]
2
2
2
2
2
2
=
2𝑎[𝑎 + 2𝑎𝑏 + 𝑏 − 𝑎 + 𝑏 + 𝑎 − 2𝑎𝑏 + 𝑏 ]
=
2𝑎[𝑎2 + 3𝑏2 ].
(1.16)
1.5. LEONHARD EULER
45
Portanto, 2𝑎(𝑎2 + 3𝑏2 ) é um número cúbico.
∙ Se 𝑥 é par, então 𝑦 e 𝑧 são ímpares. Logo, 𝑧 + 𝑦 e 𝑧 − 𝑦 são pares.
Assim existem 𝑐, 𝑑 ∈ Z*+ tais que 𝑧 − 𝑦 = 2𝑐 e 𝑧 + 𝑦 = 2𝑑. Usando
o mesmo procedimento feito anteriormente, obtemos
𝑧 = 2𝑐 + 𝑦 = 2𝑐 + (2𝑑 − 𝑧) = 2𝑐 + 2𝑑 − 𝑧 ⇒ 𝑧 = 𝑑 + 𝑐
𝑦 = 𝑧 − 2𝑐 = (2𝑑 − 𝑦) − 2𝑐 = 2𝑑 − 2𝑐 − 𝑦 ⇒ 𝑦 = 𝑑 − 𝑐,
(1.17)
onde 𝑐 e 𝑑 possuem as mesmas propriedades de 𝑎 e 𝑏. Assim,
𝑥3 =
𝑧3 − 𝑦3
=
(𝑧 − 𝑦)(𝑧 2 + 𝑧𝑦 + 𝑦 2 )
=
(𝑑 + 𝑐 − 𝑑 + 𝑐)[(𝑑 + 𝑐)2 + (𝑑 + 𝑐)(𝑑 − 𝑐) + (𝑑 − 𝑐)2 ](1.18)
=
2𝑐[𝑑2 + 2𝑑𝑐 + 𝑐2 + 𝑑2 − 𝑐2 + 𝑑2 − 2𝑑𝑐 + 𝑐2 ]
=
2𝑐[𝑐2 + 3𝑑2 ].
Portanto, 2𝑐(𝑐2 + 3𝑑2 ) é um número cúbico. Note que as duas possibilidades levaram a resultados similares. Por esse motivo, trabalhemos com
a primeira possibilidade e o desenvolvimento dessa pode ser estendido
para a segunda.
(2) Suponha que existe um número primo 𝑝 tal que 𝑝 | 2𝑎 e 𝑝 | (𝑎2 +3𝑏2 ).
Como 𝑎 e 𝑏 têm paridades distintas, 𝑎2 + 3𝑏2 deve ser ímpar. Assim,
𝑝 ̸= 2. Logo,
𝑝 | 2𝑎 e 𝑝 | (𝑎2 + 3𝑏2 ) ⇒ 𝑝 | 𝑎 e 𝑝 | (𝑎2 + 3𝑏2 ) ⇒ 𝑝 | 𝑎 e 𝑝 | 3𝑏2 ,
pois 𝑝 é primo e 𝑝 | 𝑎2 . Logo, para 𝑝 dividir a soma 𝑎2 + 3𝑏2 deve dividir
os dois termos. Ainda, como 𝑚𝑑𝑐(𝑎, 𝑏) = 1 então 𝑝 - 𝑏, o que implica
que 𝑝 - 𝑏2 e portanto, a única possibilidade para 𝑝 é que seja igual a 3.
Obviamente, 3 | 3𝑏2 . Assim, a demonstração se resume ao desenvolvimento de dois casos: o caso em que 3 | 𝑎 e o caso em que 3 - 𝑎,
resultando no segundo caso que 𝑚𝑑𝑐(2𝑎, 𝑎2 + 3𝑏2 ) = 1.
(3) Primeiro caso: 3 - 𝑎.
46
Capítulo 1. O ÚLTIMO TEOREMA DE FERMAT
Concluímos da Equação (1.16) que 2𝑎(𝑎2 + 3𝑏2 ) deve ser um
número cúbico. Como 2𝑎 e 𝑎2 + 3𝑏2 são relativamente primos, temos
pelo Teorema 1.4 que ambos devem ser números cúbicos. O Lema 1.1
garante que existem 𝑡, 𝑢 ∈ Z* tais que (𝑎2 + 3𝑏2 ) = (𝑡2 + 3𝑢2 )3 , onde
𝑎 = 𝑡3 − 9𝑡𝑢2 e 𝑏 = 3𝑡2 𝑢 − 3𝑢3 . Com isso garantido,
𝑎 = 𝑡(𝑡2 − 9𝑢2 ) = 𝑡(𝑡 − 3𝑢)(𝑡 + 3𝑢)
𝑏 = 3𝑢(𝑡2 − 𝑢2 ) = 3𝑢(𝑡 − 𝑢)(𝑡 + 𝑢).
(1.19)
Analisando as Equações (1.19), concluímos que 𝑡 e 𝑢 são relativamente primos, pois se existisse um inteiro maior que 1 que dividisse 𝑡
e 𝑢, então esse inteiro também dividiria 𝑎 e 𝑏, o que é impossível. Além
disso, as paridades de 𝑡 e 𝑢 devem ser diferentes, pois se fossem iguais
𝑎 e 𝑏 seriam pares simultaneamente, o que não acontece.
Ainda, 2𝑎 é um número cúbico. Usando as Equações (1.19),
temos
2𝑎 = 2𝑡(𝑡 − 3𝑢)(𝑡 + 3𝑢) = 𝑙3 ,
para algum 𝑙 ∈ Z* .
O próximo passo é mostrar que 2𝑡, 𝑡 − 3𝑢 e 𝑡 + 3𝑢 não possuem
dois a dois nenhum fator em comum, garantindo que os três devem ser
números cúbicos. De fato, se 𝑘1 é um número primo tal que 𝑘1 | 2𝑡 e
𝑘1 | 𝑡 ± 3𝑢 então 𝑘1 ̸= 2, pois 𝑡 ± 3𝑢 é ímpar. Então,
𝑘1 | 2𝑡 e 𝑘1 | (𝑡±3𝑢) ⇒ 𝑘1 | 𝑡 e 𝑘1 | (𝑡±3𝑢) ⇒ 𝑘1 | 𝑡 e 𝑘1 | 3𝑢 ⇒ 𝑘1 = 3,
pois se 𝑘1 | 𝑡, então 𝑘1 - 𝑢. Mas, isso implicaria que 3 | 𝑡, que por sua vez
implicaria, pela Equação (1.19), que 3 | 𝑎, o que contraria a afirmação
inicial deste caso. Portanto, 𝑚𝑑𝑐(2𝑡, 𝑡 ± 3𝑢) = 1.
Ainda, suponha que existe um 𝑘2 primo tal que 𝑘2 | 𝑡 + 3𝑢
e 𝑘 | 𝑡 − 3𝑢, o que implica que 𝑘2 ̸= 2, pois 𝑡 ± 3𝑢 é ímpar. Assim,
existem 𝑟, 𝑠 ∈ Z tais que 𝑡 + 3𝑢 = 𝑘2 𝑟 e 𝑡 − 3𝑢 = 𝑘2 𝑠. Somando as
duas equações, temos que 𝑘2 | 2𝑡 e então 𝑘2 | 𝑡. Subtraindo as equações
temos que 𝑘2 | 6𝑢 = 2 · 3𝑢, o que implica que 𝑘2 | 𝑢. De fato, se 𝑘2 fosse
1.5. LEONHARD EULER
47
igual a 3 teríamos 𝑡 = 3𝑟 − 3𝑢 = 3(𝑟 − 𝑢) e assim 𝑡 seria múltiplo de
3 e consequentemente de 𝑎, pelas Equações (1.19), o que é impossível.
Logo, 𝑘2 | 𝑢, o que contradiz o fato de que 𝑚𝑑𝑐(𝑡, 𝑢) = 1. Portanto,
𝑚𝑑𝑐(𝑡 + 3𝑢, 𝑡 − 3𝑢) = 1.
Assim, fica garantido pelo Teorema 1.4 que 2𝑡 e 𝑡 ± 3𝑢 são
números cúbicos. Então, existem 𝛼, 𝛽, 𝛾 ∈ Z* tais que
2𝑡 = 𝛼3
𝑡 + 3𝑢 = 𝛽 3
(1.20)
3
𝑡 − 3𝑢 = 𝛾 .
E assim,
𝛽 3 + 𝛾 3 = (𝑡 + 3𝑢) + (𝑡 − 3𝑢) = 2𝑡 = 𝛼3 ,
que é finalmente uma nova solução para a equação 𝑥3 + 𝑦 3 = 𝑧 3 . Para
que essa solução gere a descida infinita do mesmo caso, devemos garantir que 𝑚𝑑𝑐(𝛽, 𝛾) = 1, além de 𝛼, 𝛽 e 𝛾 serem inteiros positivos e que
essa é uma solução “menor” que a inicial.
Primeiramente, 𝑚𝑑𝑐(𝛽, 𝛾) = 1, pois
𝑚𝑑𝑐(𝛽 3 , 𝛾 3 ) = 𝑚𝑑𝑐(𝑡 + 3𝑢, 𝑡 − 3𝑢) = 1.
Logo, (𝛽, 𝛾, 𝛼) é solução primitiva da equação 𝑥3 + 𝑦 3 = 𝑧 3 . E mesmo
que (𝛽, 𝛾, 𝛼) seja uma solução em que algum dos três números não
seja positivo, ela gera uma outra solução que seja totalmente positiva,
pela mesma justificativa dada no início de que basta demonstrar o caso
𝑛 = 3 para números naturais.
Das Equações (1.19), (1.20), (1.15) e (1.17), obtemos
𝛽 3 𝛾 3 𝛼3 = 2𝑡(𝑡 + 3𝑢)(𝑡 − 3𝑢) = 2𝑎 = 𝑥 + 𝑦 ⇒ 𝛽 3 𝛾 3 𝛼3 | 𝑧 3 ,
quando 𝑧 é par ou
𝛽 3 𝛾 3 𝛼3 = 2𝑐 = 𝑧 − 𝑦 ⇒ 𝛽 3 𝛾 3 𝛼3 | 𝑥3 ,
48
Capítulo 1. O ÚLTIMO TEOREMA DE FERMAT
quando 𝑥 é par, o que indica que 𝛽, 𝛾 e 𝛼 são menores do que o 𝑧 ou
do que o 𝑥 da solução inicial (𝑥, 𝑦, 𝑧). Portanto, (𝛽, 𝛾, 𝛼) gera a descida
infinita e encerra esse caso.
(4) Segundo caso: 3 | 𝑎.
Como 3 | 𝑎, deve existir 𝑚 ∈ Z*+ tal que 𝑎 = 3𝑚. Sabe-se também que 3 - 𝑏, pois 𝑚𝑑𝑐(𝑎, 𝑏) = 1. Assim, usando (1.16) e substituindo
𝑎 por 3𝑚, obtemos
𝑧 3 = 2𝑎(𝑎2 + 3𝑏2 ) = 2 · 3𝑚(9𝑚2 + 3𝑏2 ) = 32 · 2𝑚(3𝑚2 + 𝑏2 ).
Agora, como 𝑎 e 𝑏 têm paridades distintas, temos que 𝑚 acompanha
a paridade de 𝑎 e assim 𝑏2 + 3𝑚2 deve ser ímpar. Então, se existe um
número primo 𝑝 tal que 𝑝 | 32 · 2𝑚 e 𝑝 | 𝑏2 + 3𝑚2 , então 𝑝 ̸= 2. Ainda,
𝑝 | 32 · 2𝑚 ⇒ 𝑝 | 3 · 2𝑚 ⇒ 𝑝 | 3𝑚 = 𝑎 ⇒ 𝑝 - 𝑏 ⇒ 𝑝 - 𝑏2 ⇒ 𝑝 - 𝑏2 + 3𝑚2 ,
que é contradição.
Logo, 𝑚𝑑𝑐(32 · 2𝑚, 𝑏2 + 3𝑚2 ) = 1 e pelo Teorema 1.4 os dois
devem ser números cúbicos. Pelo Lema 1.1 e pelo desenvolvimento realizado no caso anterior, existem 𝑡, 𝑢 ∈ Z* tais que
𝑏 = 𝑡(𝑡 − 3𝑢)(𝑡 + 3𝑢)
𝑚 = 3𝑢(𝑡 − 𝑢)(𝑡 + 𝑢),
(1.21)
e assim 𝑏2 + 3𝑚2 = (𝑡2 + 3𝑢2 )3 . Ainda,
32 · 2𝑚 = 33 · 2𝑢(𝑡 − 𝑢)(𝑡 + 𝑢)
deve ser um número cúbico. Do mesmo modo que foi mostrado no
caso em que 3 - 𝑎, pode-se concluir que 2𝑢, 𝑡 − 𝑢 e 𝑡 + 𝑢 são dois a
dois relativamente primos, pois se existisse um inteiro maior que 1 que
dividisse 𝑡 e 𝑢, então ele também dividiria 𝑏 e 𝑚 e, consequentemente,
dividiria 𝑎 e 𝑏, contradizendo o fato de que 𝑎 e 𝑏 são relativamente
primos. Portanto, os três também devem ser números cúbicos, ou seja,
1.5. LEONHARD EULER
49
existem 𝛼, 𝛽, 𝛾 ∈ Z* tais que
2𝑢 = 𝛼3
𝑡 − 𝑢 = 𝛽3
(1.22)
𝑡 + 𝑢 = 𝛾3.
e assim,
𝛾 3 − 𝛽 3 = (𝑡 + 𝑢) − (𝑡 − 𝑢) = 2𝑢 = 𝛼3 ⇒ 𝛼3 + 𝛽 3 = 𝛾 3 .
Dessa forma, 𝛼, 𝛽 e 𝛾 formam uma nova solução para a equação
3
3
𝑥 + 𝑦 = 𝑧 3 e geram a descida infinita para este caso.
Portanto, está provado que a equação 𝑥3 + 𝑦 3 = 𝑧 3 não possui soluções positivas primitivas. Logo, também não existem soluções
inteiras.
Neste momento da história, com o caso 𝑛 = 4 provado, a prova
do UTF se resumia à prova dos casos em que 𝑛 é um primo ímpar. Para
provar esses infinitos casos, não bastava apenas provar casos isolados.
Os matemáticos dessa época começaram a tentar provar o UTF para
infinitos casos de uma só vez. O estudo de alguns conjuntos de números
teve grande papel nessa busca. O próximo capítulo tem o objetivo de
introduzir alguns deles.
51
2 DOMÍNIOS EUCLIDIANOS,
FATORIAIS E NOETHERIANOS
Segundo Edwards (1977), em 1753 Euler considerou que sua
prova para o caso 𝑛 = 3 parecia muito diferente da prova para o caso
𝑛 = 4 e que a prova do caso geral parecia estar muito distante. Nos
noventa anos seguintes muitas contribuições à resolução do UTF foram
realizadas por grandes matemáticos da época, como Sophie Germain,
Dirichlet, Lamé, Legendre e Kummer.
Sophie Germain (1776-1831) foi uma das primeiras a fazer uma
boa tentativa de provar o UTF para um caso mais geral. Segundo
Stewart (2002), Germain foi uma das poucas mulheres matemáticas
de sua época. Ela precisou se passar por homem para poder estudar
Matemática na École Polytechnique em Paris. Em sua tentativa de
provar o UTF, Germain considerou os casos 𝑛 em que 𝑛 e 2𝑛 + 1 são
ambos primos. Com isso em mente, dividiu o problema em dois casos.
No primeiro deveria mostrar que a equação 𝑥𝑛 + 𝑦 𝑛 = 𝑧 𝑛 não possui
solução inteira não trivial quando 𝑥, 𝑦 e 𝑧 não são divisíveis por 𝑛. E
no segundo caso mostraria que não há solução quando apenas um entre
𝑥, 𝑦 e 𝑧 é divisível 𝑛. Ela provou o primeiro caso e com isso as atenções voltaram-se ao segundo. Entretanto, o segundo caso mostrou-se
muito difícil de se provar, e concluiu-se que era necessário criar outra
estratégia de ataque ao problema.
Em 1847, Gabriel Lamé (1795-1870) anunciou que havia solucionado o UTF, usando conjuntos do tipo Z[𝜁], admitindo que esses
possuíssem a propriedade chamada aqui de fatoração única de elementos, a qual é encontrada no conjunto dos números inteiros, mas não é
em todos os conjuntos da forma Z[𝜁]. Esse foi um dos grandes problemas encontrados pelos matemáticos ao passar dos anos que buscavam a
Capítulo 2. DOMÍNIOS EUCLIDIANOS, FATORIAIS
E NOETHERIANOS
52
prova do UTF, pois nem sempre é fácil provar se um conjunto apresenta
a unicidade da fatoração de seus elementos.
Mais tarde, Ernst Kummer provou o UTF para múltiplos casos,
casos que envolvem o conceito de primo regular, criado por ele, e a
análise de conjuntos denotados por Z[𝜁], onde 𝜁 é uma raiz complexa
da unidade. Nos próximos capítulos, vamos passar por vários conceitos
que são necessários para a compreensão do Teorema de Kummer.
Já neste capítulo, vamos começar a buscar a unicidade da fatoração de elementos em um domínio. Introduziremos meios de encontrar
esses domínios e apresentaremos outras características importantes que
esses conjuntos possuem.
2.1 DOMÍNIOS EUCLIDIANOS
Definição 2.1. Seja 𝐴 um domínio. Dizemos que 𝐴 é um domínio
euclidiano se existir uma aplicação 𝜙 : 𝐴 − {0} → N ∪ {0} que satisfaz:
(i) Se 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴 − {0} então 𝜙(𝑎𝑏) ≥ 𝜙(𝑎);
(ii) Se 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴 e 𝑏 ̸= 0, então existem 𝑞, 𝑟 ∈ 𝐴 tais que 𝑎 = 𝑏𝑞+𝑟, com
𝑟 = 0 ou 𝜙(𝑟) < 𝜙(𝑏), ou seja, é válido o algoritmo de Euclides.
Observação 2.1. Dizemos que um domínio 𝐴 é 𝜙−euclidiano quando
é euclidiano com a aplicação 𝜙.
Exemplo 2.1. Z é um domínio euclidiano com a função 𝜙(𝑛) = |𝑛|.
Exemplo 2.2. Se K é um corpo, o anel de polinômios K[𝑥] é um
domínio euclidiano com a aplicação grau 𝜙(𝑓 (𝑥)) = 𝜕𝑓 (Ver Apêndice
A).
Exemplo 2.3. O anel Z[𝑖] = {𝑎 + 𝑏𝑖 : 𝑎, 𝑏 ∈ Z} é conhecido como o
anel dos inteiros de Gauss e é um domínio euclidiano com a aplicação
𝜙(𝑎 + 𝑏𝑖) = 𝑁 (𝑎 + 𝑏𝑖) = 𝑎2 + 𝑏2 .
2.1. DOMÍNIOS EUCLIDIANOS
2.1.1
53
Elementos Associados e MDC
Definição 2.2. Seja 𝐴 um anel e 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴, com 𝑎 e 𝑏 não nulos.
Dizemos que 𝑎 e 𝑏 são associados em 𝐴 se 𝑎 | 𝑏 e 𝑏 | 𝑎 e denotamos por
𝑎 ∼ 𝑏.
Observação 2.2. Se 𝐴 é um domínio de integridade e 𝑎 e 𝑏 são associados em 𝐴, então existem 𝑢, 𝑣 ∈ 𝐴 tais que 𝑏 = 𝑎𝑢 e 𝑎 = 𝑏𝑣. Assim,
𝑏 = (𝑏𝑣)𝑢 ⇒ 1 = 𝑢𝑣,
pois 𝐴 é domínio e vale a lei do cancelamento. Portanto, temos que 𝑢, 𝑣
são inversíveis.
Definição 2.3 (Máximo Divisor Comum). Seja 𝐴 um anel. Dados
𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴, dizemos que 𝑑 ∈ 𝐴 é um máximo divisor comum (MDC)
entre 𝑎 e 𝑏 se satisfaz:
(i) 𝑑 | 𝑎 e 𝑑 | 𝑏.
(ii) Se existir 𝑐 ∈ 𝐴 tal que 𝑐 | 𝑎 e 𝑐 | 𝑏, então 𝑐 | 𝑑.
Observação 2.3. A definição acima é uma definição geral para anéis
do máximo divisor comum, que sempre conhecemos e usamos para números naturais e que também foi usado no Capítulo 1.
Observação 2.4. O MDC entre dois elementos nem sempre é único.
Se 𝑢 ∈ 𝒰(𝐴) e 𝑑 é um MDC entre 𝑎 e 𝑏 em 𝐴, então existem 𝑐1 , 𝑐2 ∈ 𝐴
tais que 𝑎 = 𝑐1 𝑑 e 𝑏 = 𝑐2 𝑑. Assim,
𝑎 = 𝑐1 𝑢−1 (𝑢𝑑) e 𝑏 = 𝑐2 𝑢−1 (𝑢𝑑) ⇒ 𝑢𝑑 | 𝑎 e 𝑢𝑑 | 𝑏.
Ainda, se existir 𝑐 ∈ 𝐴 tal que 𝑐 | 𝑎 e 𝑐 | 𝑏, como 𝑑 é um MDC entre 𝑎
e 𝑏, temos que 𝑐 | 𝑑 e consequentemente 𝑐 | 𝑢𝑑. Portanto, 𝑢𝑑 também é
um MDC entre 𝑎 e 𝑏 em 𝐴.
Definição 2.4. Sejam 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴, sendo 𝐴 um anel comutativo com
unidade. Dizemos que 𝑎 e 𝑏 são relativamente primos em 𝐴 se existe
um MDC entre 𝑎 e 𝑏 em 𝐴 que é inversível.
Capítulo 2. DOMÍNIOS EUCLIDIANOS, FATORIAIS
E NOETHERIANOS
54
Observação 2.5. Note que se 𝑢 ∈ 𝒰(𝐴) é um MDC entre 𝑎 e 𝑏 como
na definição acima, temos que a unidade de 𝐴 também é um MDC
entre 𝑎 e 𝑏, pois 1 | 𝑎, 1 | 𝑏 e se existir 𝑐 ∈ 𝐴 tal que 𝑐 | 𝑎 e 𝑐 | 𝑏, então
𝑐 | 𝑢, ou seja, existe 𝑣 ∈ 𝐴 tal que
𝑢 = 𝑐𝑣 ⇒ 1 = 𝑢𝑢−1 = 𝑢−1 𝑐𝑣 ⇒ 𝑐 | 1.
Proposição 2.1. Seja 𝑑 um MDC entre 𝑎 e 𝑏 em 𝐴, onde 𝐴 é um
anel. Considere 𝑑′ ∈ 𝐴. Então, 𝑑′ é um MDC entre 𝑎 e 𝑏 em 𝐴 se, e
somente se, 𝑑 e 𝑑′ são associados em 𝐴.
Demonstração:
(⇒) Temos que se 𝑑′ é um MDC entre 𝑎 e 𝑏 em
𝐴, então 𝑑′ | 𝑎 e 𝑑′ | 𝑏. Como 𝑑 é MDC entre 𝑎 e 𝑏 em 𝐴, obtemos
que 𝑑′ | 𝑑. Analogamente, concluímos que 𝑑 | 𝑑′ . Portanto, 𝑑 e 𝑑′ são
associados em 𝐴.
(⇐) Temos por hipótese que 𝑑′ | 𝑑 e 𝑑 | 𝑎 e 𝑑 | 𝑏. Logo, 𝑑′ | 𝑎 e 𝑑′ | 𝑏.
Se existir algum 𝑐 ∈ 𝐴 tal que 𝑐 | 𝑎 e 𝑐 | 𝑏, então 𝑐 | 𝑑, pois 𝑑 é
MDC entre 𝑎 e 𝑏 em 𝐴. Por fim, como 𝑑 | 𝑑′ , concluímos que 𝑐 | 𝑑′ e
consequentemente, que 𝑑′ é um MDC entre 𝑎 e 𝑏 em 𝐴.
Teorema 2.1 (Identidade de Bezout). Seja 𝐴 um domínio 𝜙−euclidiano
e 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴 não nulos. Então, existe 𝑑 ∈ 𝐴 que é um MDC entre 𝑎 e 𝑏
em 𝐴 e existem 𝑡, 𝑠 ∈ 𝐴 tais que
𝑑 = 𝑡𝑎 + 𝑠𝑏.
Demonstração: Considere os conjuntos 𝐷 = {𝑥𝑎 + 𝑦𝑏 ̸= 0 : 𝑥, 𝑦 ∈
𝐴 e 𝑥𝑎 + 𝑦𝑏 ̸= 0} e 𝐼 = {𝜙(𝑧) : 𝑧 ∈ 𝐷} ⊆ N ∪ {0}. Temos que
𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴 ⇒ 𝑎2 + 𝑏2 ∈ 𝐷 ⇒ 𝐷 ̸= ∅ ⇒ 𝐼 ̸= ∅.
Assim, pelo Princípio da Boa Ordenação, 𝐼 possui um menor elemento.
Seja 𝑑 ∈ 𝐷 tal que 𝜙(𝑑) é o menor elemento de 𝐼. Vamos provar que 𝑑
é um MDC entre 𝑎 e 𝑏. Temos que
𝑑 ∈ 𝐷 ⇒ ∃𝑠, 𝑡 ∈ 𝐴 : 𝑑 = 𝑡𝑎 + 𝑠𝑏.
2.2. DOMÍNIOS FATORIAIS
55
Como 𝐴 é 𝜙-euclidiano, devem existir 𝑞, 𝑟 ∈ 𝐴 tais que 𝑎 = 𝑑𝑞 + 𝑟, com
𝑟 = 0 ou 𝜙(𝑟) < 𝜙(𝑑). Assim,
𝑟 = 𝑎 − 𝑑𝑞 = 𝑎 − (𝑡𝑎 + 𝑠𝑏)𝑞 = (1 − 𝑡)𝑎 + (−𝑠𝑞)𝑏.
Logo, se 𝑟 ̸= 0, então 𝑟 ∈ 𝐷 e como 𝜙(𝑑) é o menor elemento de 𝐼
temos que 𝜙(𝑟) ≥ 𝜙(𝑑), o que é contradição. Consequentemente, 𝑟 = 0.
Portanto, 𝑑 | 𝑎. Analogamente, podemos mostrar que 𝑑 | 𝑏.
Ainda, se existir 𝑐 ∈ 𝐴 tal que 𝑐 | 𝑎 e 𝑐 | 𝑏, então existem
𝑐1 , 𝑐2 ∈ 𝐴 tais que 𝑎 = 𝑐1 𝑐 e 𝑏 = 𝑐2 𝑐. Com isso,
𝑑 = 𝑡(𝑐1 𝑐) + 𝑠(𝑐2 𝑐) ⇒ 𝑑 = 𝑐(𝑡𝑐1 + 𝑠𝑐2 ) ⇒ 𝑐 | 𝑑.
Portanto, 𝑑 é um MDC entre 𝑎 e 𝑏 em 𝐴 e pode ser escrito como 𝑡𝑎+𝑠𝑏,
com 𝑡, 𝑠 ∈ 𝐴.
Observação 2.6. Note que se existem 𝑡, 𝑠 ∈ 𝐴 tais que 𝑡𝑎 + 𝑠𝑏 = 1,
então a unidade de 𝐴 é um MDC entre 𝑎 e 𝑏. De fato, temos que 1 | 𝑎,
1 | 𝑏 e se existe 𝑐 ∈ 𝐴 tal que 𝑐 | 𝑎 e 𝑐 | 𝑏, então devem existir também
𝑝, 𝑞 ∈ 𝐴 tais que 𝑎 = 𝑐𝑝 e 𝑏 = 𝑐𝑞. Logo,
𝑡𝑎 + 𝑠𝑏 = 1 ⇒ 𝑡𝑐𝑝 + 𝑠𝑐𝑞 = 1 ⇒ 𝑐(𝑡𝑝 + 𝑠𝑞) = 1 ⇒ 𝑐 | 1.
2.2 DOMÍNIOS FATORIAIS
Definição 2.5. Seja 𝐴 um anel. Dizemos que 𝑝 ∈ 𝐴 é irredutível se
(i) 𝑝 ̸= 0;
(ii) 𝑝 é não inversível;
(iii) Quaisquer que sejam 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴, se 𝑝 = 𝑎𝑏 implica que 𝑎 é inversível
ou 𝑏 é inversível.
Definição 2.6 (Domínio Fatorial). Seja 𝐴 um domínio. Dizemos que
𝐴 é fatorial ou um domínio de fatoração única se cumpre as seguintes
condições:
Capítulo 2. DOMÍNIOS EUCLIDIANOS, FATORIAIS
E NOETHERIANOS
56
(i) Para todo 𝑎 ∈ 𝐴 não nulo e não inversível em 𝐴 existem irredutíveis de 𝐴, 𝑝1 , 𝑝2 , · · · , 𝑝𝑛 ∈ 𝐴 tais que 𝑎 = 𝑝1 𝑝2 · · · 𝑝𝑛 ;
(ii) Se 𝑝1 , 𝑝2 , · · · , 𝑝𝑛 e 𝑞1 , 𝑞2 , · · · , 𝑞𝑚 são irredutíveis em 𝐴 tais que
𝑎 = 𝑝1 𝑝2 · · · 𝑝𝑛 = 𝑞1 𝑞2 · · · 𝑞𝑚
então 𝑚 = 𝑛 e existe uma permutação 𝜋 dos índices tal que 𝑝𝑖 ∼
𝑞𝜋(𝑖) , com 𝑖 = 1, · · · , 𝑛.
O item (i) da Definição 2.6 garante a existência da fatoração,
ou seja, que todo elemento não nulo e não inversível de 𝐴 pode ser
decomposto como produto de elementos irredutíveis. Já o item (ii), fala
sobre a unicidade dessa fatoração em elementos irredutíveis, e é claro
que a fatoração é única a menos da ordem dos fatores irredutíveis. Vale
ressaltar que a fatoração em irredutíveis acontece em muitos anéis, mas
se a unicidade não for garantida isso tem pouca valia na resolução de
problemas.
Lema 2.1. Seja 𝐴 um domínio no qual a fatoração em irredutíveis é
possível. Se todo elemento irredutível é primo em 𝐴, então 𝐴 é fatorial.
Demonstração:
Precisamos mostrar a unicidade da fatoração em
irredutíveis. Por hipótese, todo irredutível é primo em 𝐴. Seja 𝑎 ∈ 𝐴
não nulo e não inversível e suponha que
𝑎 = 𝑝1 𝑝2 · · · 𝑝𝑛 = 𝑞1 𝑞2 · · · 𝑞𝑚 ,
(2.1)
onde 𝑞𝑖 , 𝑝𝑗 são irredutíveis em 𝐴 com 𝑖 = 1, · · · , 𝑛 e 𝑗 = 1, · · · , 𝑚 e
𝑚 ≤ 𝑛. Segue da hipótese que 𝑞1 é primo. Além disso, temos que 𝑞1
divide 𝑎, o que implica que 𝑞1 divide 𝑝𝑗 , para algum 𝑗 ∈ {1, · · · , 𝑛}.
Dessa forma, deve existir 𝑢 ∈ 𝐴 tal que 𝑝𝑗 = 𝑞1 𝑢, mas como 𝑝𝑗 é
irredutível, temos que 𝑢 é inversível. Logo, 𝑞1 e 𝑝𝑗 são associados em
𝐴. Substituindo esse resultado na Equação (2.1), obtemos
𝑢𝑝1 · · · 𝑝𝑗−1 𝑝𝑗+1 · · · 𝑝𝑛 = 𝑞2 · · · 𝑞𝑚 .
2.2. DOMÍNIOS FATORIAIS
57
Repetindo esse processo e permutando os elementos das fatorações de
𝑎 se necessário, temos que existe 𝑣 ∈ 𝒰(𝐴) tal que
1 = 𝑣𝑝𝑗1 · · · 𝑝𝑗𝑛−𝑚 .
Mas isso implica que 𝑝𝑗𝑖 ∈ 𝒰(𝐴) com 𝑖 = 1, · · · , 𝑛 − 𝑚, o que não
pode acontecer, pois esses são elementos irredutíveis. Logo, devemos
ter 𝑛 − 𝑚 = 0 e consequentemente 𝑚 = 𝑛. Portanto, 𝐴 é fatorial.
Observamos que o Lema 2.1 substitui a item (ii) da Definição
2.6.
Lema 2.2. Seja 𝐴 um anel euclidiano com unidade e 𝑝 ∈ 𝐴. Se 𝑝 é
irredutível em 𝐴, então 𝑝 é primo em 𝐴.
Demonstração: Sejam 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴 tais que 𝑝 | 𝑎𝑏. Assim, deve existir
𝑞 ∈ 𝐴 tal que 𝑎𝑏 = 𝑝𝑞. Suponhamos que 𝑝 não divide 𝑎 em 𝐴. Vamos
mostrar que a unidade de 𝐴 é um MDC entre 𝑎 e 𝑝. Temos claramente
que 1 | 𝑎 e 1 | 𝑝. Se existir 𝑐 ∈ 𝐴 tal que 𝑐 | 𝑎 e 𝑐 | 𝑝, então existem
𝑐1 , 𝑐2 ∈ 𝐴 tais que 𝑎 = 𝑐1 𝑐 e 𝑝 = 𝑐2 𝑐. Como 𝑝 é irredutível, temos que
𝑐2 ∈ 𝒰(𝐴) ou 𝑐 ∈ 𝒰(𝐴). Assim,
𝑐2 ∈ 𝒰(𝐴) ⇒ 𝑐 = 𝑝(𝑐2 )−1 ⇒ 𝑝 | 𝑐
e consequentemente 𝑝 | 𝑎, contradizendo a nossa suposição. Logo, temos
que 𝑐 ∈ 𝒰(𝐴), o que implica que 𝑐 | 1. Portanto, a unidade de 𝐴 é um
MDC entre 𝑎 e 𝑝. Podemos usar a Identidade de Bezout para escrever
1 = 𝑠𝑎 + 𝑡𝑝, para algum 𝑠 ∈ 𝐴 e 𝑡 ∈ 𝐴. Multiplicando ambos os lados
da igualdade por 𝑏 obtemos,
𝑏 = 𝑠𝑎𝑏 + 𝑡𝑝𝑏 = 𝑠𝑝𝑞 + 𝑡𝑝𝑏 = 𝑝(𝑠𝑞 + 𝑡𝑏) ⇒ 𝑝 | 𝑏.
Analogamente, podemos mostrar que se 𝑝 não divide 𝑏, então 𝑝 divide
𝑎. Portanto, 𝑝 é primo em 𝐴.
Proposição 2.2. Todo domínio euclidiano 𝐴 é fatorial.
Capítulo 2. DOMÍNIOS EUCLIDIANOS, FATORIAIS
E NOETHERIANOS
58
Demonstração: Seja 𝐴 um domínio 𝜙−euclidiano e considere o conjunto 𝒩 = {𝑎 ∈ 𝐴 | 𝑎 ̸= 0, 𝑎 ∈
/ 𝒰(𝐴) e 𝑎 não tem fatoração em
irredutíveis em 𝐴}.
Suponhamos que 𝒩 ̸= ∅ e tomemos ℳ = {𝜙(𝑎) : 𝑎 ∈ 𝒩 }. Como
𝒩 é não-vazio temos que ℳ é não-vazio além de ℳ estar contido
em N. Assim, pelo Princípio da Boa Ordenação, ℳ possui um menor
elemento.
Seja 𝑎0 ∈ 𝒩 tal que 𝜙(𝑎0 ) é o menor elemento de ℳ. Com isso, 𝑎0
não pode ser irredutível em 𝐴, pois caso contrário ele mesmo seria sua
fatoração em irredutíveis em 𝐴. Logo, devem existir 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐴 tais que
𝑎0 = 𝑏𝑐, com 𝑏, 𝑐 ∈
/ 𝒰(𝐴). Assim,
𝜙(𝑏) ≤ 𝜙(𝑏𝑐) = 𝜙(𝑎0 ) ⇒ 𝜙(𝑎0 ) ≥ 𝜙(𝑏)
𝜙(𝑐) ≤ 𝜙(𝑏𝑐) = 𝜙(𝑎0 ) ⇒ 𝜙(𝑎0 ) ≥ 𝜙(𝑐).
(2.2)
Ainda, 𝑎0 e 𝑏, 𝑎0 e 𝑐 não são associados em 𝐴, como consequência
da Observação 2.2. Com isso, podemos mostrar que 𝜙(𝑎0 ) não pode ser
igual a 𝜙(𝑏) e nem a 𝜙(𝑐). De fato, como 𝐴 é 𝜙-euclidiano, devem existir
𝑞, 𝑟 ∈ 𝐴 tais que 𝑏 = 𝑎0 𝑞 + 𝑟 com 𝑟 = 0 ou 𝜙(𝑟) < 𝜙(𝑎0 ). Mas 𝑟 não
pode ser zero, pois 𝑎0 e 𝑏 não são associados. Então, se 𝜙(𝑎0 ) = 𝜙(𝑏)
temos
𝑏 = (𝑏𝑐)𝑞 + 𝑟 com 𝜙(𝑟) < 𝜙(𝑎0 ) = 𝜙(𝑏).
Mas, manipulando a equação acima
𝑟 = 𝑏(1 − 𝑐𝑞) ⇒ 𝜙(𝑟) = 𝜙(𝑏(1 − 𝑐𝑞)) ≥ 𝜙(𝑏),
chegamos a uma contradição. Analogamente, obtemos que 𝜙(𝑎0 ) não
pode ser igual a 𝜙(𝑐). Logo, das Equações (2.2), 𝜙(𝑎0 ) > 𝜙(𝑏) e 𝜙(𝑎0 ) >
𝜙(𝑐). Com isso, concluímos que 𝑏 e 𝑐 não pertencem ao conjunto 𝒩 e
portanto possuem fatoração em irredutíveis em 𝐴. Mas 𝑎0 = 𝑏𝑐, donde
𝑎0 também deve possuir fatoração em irredutíveis, ou seja, 𝒩 = ∅.
Assim, a fatoração em irredutíveis em 𝐴 é sempre possível.
Ainda, temos pelo Lema 2.2 que todo irredutível é primo em 𝐴. Portanto, pelo Lema 2.1 concluímos que 𝐴 é um domínio fatorial.
2.3. DOMÍNIOS NOETHERIANOS
59
Exemplo 2.4. Os domínios Z, K[𝑥] e Z[𝑖] são fatoriais, pois são euclidianos, como visto nos exemplos 2.1, 2.2 e 2.3.
2.3 DOMÍNIOS NOETHERIANOS
Definição 2.7 (Domínio Noetheriano). Dizemos que um domínio 𝐴 é
noetheriano se todos os seus ideais forem finitamente gerados.
Lembramos que um ideal 𝐼 é fiinitamente gerado se o conjunto
de geradores é finito, ou seja, se podemos escrever todo elemento 𝑥 de
𝐼 como 𝑥 = 𝑎1 𝑥1 + 𝑎2 𝑥2 + · · · + 𝑎𝑛 𝑥𝑛 , onde cada 𝑥𝑘 é um elemento de
𝐴 e 𝑆 = {𝑎𝑘 : 𝑘 = 1, · · · , 𝑛} é um conjunto finito fixo de 𝐴.
A definição de domínio noetheriano é importante porque a fatoração em irredutíveis está presente nesses domínios, apesar dessa fatoração nem sempre ser única. Um domínio noetheriano 𝐴 apresenta
duas condições que acabam sendo equivalentes à definição de domínio
noetheriano. São elas:
1. Condição da Cadeia Ascendente: Dada uma cadeia ascendente de
ideais de 𝐴
𝐼0 ⊆ 𝐼1 ⊆ · · · ⊆ 𝐼𝑛 ⊆ · · · ,
então existe algum 𝑁 ∈ N tal que 𝐼𝑛 = 𝐼𝑁 , para qualquer 𝑛 maior
ou igual a 𝑁, ou seja, a cadeia é estacionária.
2. Condição Maximal: Todo conjunto não vazio de ideais de 𝐴 possui um elemento maximal, ou seja, possui um ideal que não está
contido propriamente em nenhum outro ideal do conjunto.
Proposição 2.3. Seja 𝐴 um domínio. As seguintes condições são equivalentes:
(i) 𝐴 é um domínio noetheriano;
(ii) 𝐴 satisfaz a condição da cadeia ascendente;
Capítulo 2. DOMÍNIOS EUCLIDIANOS, FATORIAIS
E NOETHERIANOS
60
(iii) 𝐴 satisfaz a condição maximal.
Demonstração: (i)⇒(ii) Suponha que 𝐴 seja um domínio noetheriano
e considere a cadeia ascendente de ideais de 𝐴
𝐼0 ⊆ 𝐼1 ⊆ · · · ⊆ 𝐼𝑛 ⊆ · · · .
Seja 𝐼 = ∪∞
𝑛=1 𝐼𝑛 . 𝐼 é, claramente, um ideal de 𝐴, por causa da relação de continência. Assim, 𝐼 é finitamente gerado, ou seja, existem
𝑎1 , · · · , 𝑎𝑚 ∈ 𝐴 tais que 𝐼 = ⟨𝑎1 , . . . , 𝑎𝑚 ⟩. Logo, para cada 𝑎𝑖 , gerador
de 𝐼 deve existir 𝑛𝑖 ∈ N tal que 𝑎𝑖 ∈ 𝐼𝑛𝑖 , onde 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚. Tomemos
𝑁 = max 𝑛𝑖 . Assim, 𝐼𝑁 contém os geradores de 𝐼 e 𝐼 ⊆ 𝐼𝑁 . Obvi1≤𝑖≤𝑚
amente, 𝐼𝑁 ⊆ 𝐼, portanto, 𝐼 = 𝐼𝑁 . Com isso 𝐼𝑛 = 𝐼𝑁 , para todo 𝑛
maior ou igual a 𝑁, pois 𝐼𝑁 ⊆ 𝐼𝑛 ⊆ 𝐼.
(ii)⇒(iii) Seja 𝑆 um conjunto não vazio de ideais de 𝐴. Suponhamos
por contradição que 𝑆 não possua um elemento maximal, ou seja, se
𝐼0 ∈ 𝑆, então existe 𝐼1 ∈ 𝑆 tal que 𝐼0 ( 𝐼1 . Como 𝐼1 ∈ 𝑆, então existe
𝐼2 ∈ 𝑆 tal que 𝐼1 ( 𝐼2 . Dessa maneira, podemos gerar uma cadeia
ascendente
𝐼0 ( 𝐼1 ( 𝐼2 ( · · · ( 𝐼𝑛 ( · · ·
que não é estacionária, contradizendo a hipótese.
(iii)⇒(i) Seja 𝐼 um ideal qualquer de 𝐴 e 𝑆 o conjunto de todos os
ideais finitamente gerados de 𝐴 contidos em 𝐼. Temos que 𝑆 é não
vazio, pois ⟨0⟩ ∈ 𝑆. Logo, como 𝐴 satisfaz a condição maximal, 𝑆 deve
possuir um elemento maximal 𝐽. Se 𝐽 ̸= 𝐼, deve existir um elemento
𝑎 que está em 𝐼, mas não em 𝐽. Ainda, como 𝐽 é finitamente gerado,
existem 𝑗1 , · · · , 𝑗𝑚 ∈ 𝐴 tais que 𝐽 = ⟨𝑗1 , · · · , 𝑗𝑚 ⟩.
Consideremos, então, o ideal 𝐽 ′ = ⟨𝑎, 𝑗1 , · · · , 𝑗𝑚 ⟩. Temos que
′
𝐽 ∈ 𝑆, pois é finitamente gerado, e 𝐽 ( 𝐽 ′ , contradizendo o fato de
que 𝐽 é um elemento maximal de 𝑆. Logo, 𝐼 = 𝐽 e consequentemente,
𝐼 é finitamente gerado. Portanto, 𝐴 é noetheriano.
Teorema 2.2. Seja 𝐴 um domínio noetheriano e 𝑎 ∈ 𝐴 não nulo e
não inversível. Então, 𝑎 possui fatoração finita em irredutíveis de 𝐴.
2.3. DOMÍNIOS NOETHERIANOS
Demonstração:
61
Considere o conjunto 𝑆 = {⟨𝑎⟩ : 𝑎 ∈ 𝐴 é não
nulo, não inversível e não possui fatoração finita em irredutíveis de 𝐴}.
Suponhamos que 𝑆 ̸= ∅. Assim, seja ⟨𝑎⟩ o elemento maximal de 𝑆.
Temos que 𝑎 não é irredutível, pois caso contrário ele seria sua própria
fatoração em irredutíveis de 𝐴. Assim, devem existir 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐴 não nulos
e não inversíveis tais que 𝑎 = 𝑏𝑐.
Daí, temos que ⟨𝑎⟩ ⊆ ⟨𝑏⟩ e ⟨𝑎⟩ ⊆ ⟨𝑐⟩. Ainda, ⟨𝑎⟩ não pode ser
igual ⟨𝑏⟩. De fato, se ⟨𝑎⟩ = ⟨𝑏⟩, temos que 𝑎 ∈ ⟨𝑏⟩ e 𝑏 ∈ ⟨𝑎⟩, o que
implica que 𝑏 | 𝑎 e 𝑎 | 𝑏, ou seja, 𝑎 e 𝑏 são associados. Mas como 𝑎 = 𝑏𝑐,
temos que 𝑐 é inversível, o que é uma contradição. Do mesmo modo,
obtemos ⟨𝑎⟩ =
̸ ⟨𝑐⟩.
Logo, concluímos que ⟨𝑎⟩ ( ⟨𝑏⟩ e ⟨𝑎⟩ ( ⟨𝑐⟩, o que implica que
⟨𝑏⟩, ⟨𝑐⟩ não estão em 𝑆, pois ⟨𝑎⟩ é o elemento maximal de 𝑆. Portanto, 𝑏
e 𝑐 possuem fatoração finita em irredutíveis de 𝐴 e consequentemente 𝑎
também possui, pois 𝑎 = 𝑏𝑐. Assim, ⟨𝑎⟩ ∈
/ 𝑆, o que é uma contradição.
Logo, 𝑆 = ∅.
Observação 2.7. Um caso especial de domínio noetheriano é o caso
em que cada ideal do domínio 𝐴 seja gerado por apenas um elemento.
Um domínio com essa característica é chamado de domínio principal.
Vimos que todo domínio noetheriano apresenta fatoração em irredutíveis. Veremos que em domínios principais a fatoração é única.
Exemplo 2.5. Z é um domínio principal, ou seja, todo ideal de Z é
da forma 𝑛Z, com 𝑛 ∈ Z. Com efeito, seja 𝐼 um ideal de Z. Se 𝐼 = {0},
então 𝐼 = 0Z. Tomemos, então, 𝐼 ̸= {0}. Então, existe 𝑎 ∈ 𝐼 tal
que 𝑎 ̸= 0. Ainda, 0 − 𝑎 = −𝑎 ∈ 𝐼, o que implica que existem números
naturais em 𝐼. Pelo Princípio da Boa Ordenação, podemos tomar 𝑛 ∈ Z
tal que 𝑛 seja o menor inteiro positivo de 𝐼.
Assim, vamos mostrar que 𝑛Z = 𝐼. Seja 𝑚 ∈ 𝐼. Como Z é um
domínio euclidiano, devem existir 𝑞, 𝑟 ∈ Z tais que 𝑚 = 𝑛𝑞 + 𝑟, com
0 ≤ 𝑟 < 𝑛. Entretanto, 𝑟 = 𝑚 − 𝑛𝑞 ∈ 𝐼, pois 𝑛𝑞 ∈ 𝐼. Então, pela
minimalidade de 𝑛 segue que 𝑟 = 0 e, consequentemente, 𝐼 ⊆ 𝑛Z.
Capítulo 2. DOMÍNIOS EUCLIDIANOS, FATORIAIS
E NOETHERIANOS
62
Ainda, se 𝑚 ∈ 𝑛Z, então existe 𝑡 ∈ Z tal que 𝑚 = 𝑛𝑡 ∈ 𝐼, pois
𝑛 ∈ Z. Logo, 𝑛Z ∈ 𝐼, o que implica que 𝑛Z = 𝐼.
Proposição 2.4. Todo domínio principal é fatorial.
Demonstração: Seja 𝐴 um domínio principal. Logo, 𝐴 é um domínio
noetheriano e o Teorema 2.2 nos diz que a fatoração em irredutíveis é
sempre possível em elementos não nulos e não inversíveis de 𝐴. Assim,
falta apenas mostrar a unicidade dessa fatoração.
Tomemos 𝑝 irredutível em 𝐴. Assim, o ideal ⟨𝑝⟩ de 𝐴 gerado
por 𝑝 é maximal. De fato, suponhamos que exista um ideal 𝐽 de 𝐴
tal que ⟨𝑝⟩ ⊆ 𝐽 ⊆ 𝐴. Como 𝐴 é principal, deve existir 𝑦 ∈ 𝐴 tal que
𝐽 = ⟨𝑦⟩. Assim,
⟨𝑝⟩ ⊆ ⟨𝑦⟩ ⇒ 𝑝 ∈ ⟨𝑦⟩ ⇒ ∃ 𝑞 ∈ 𝐴 : 𝑝 = 𝑦𝑞.
Logo, 𝑦 ∈ 𝒰(𝐴) ou 𝑞 ∈ 𝒰(𝐴), pois 𝑝 é irredutível. Se 𝑦 ∈ 𝒰(𝐴), então
para todo 𝑎 ∈ 𝐴, temos que 𝑎 = (𝑎𝑦 −1 )𝑦 ∈ ⟨𝑦⟩. Consequentemente,
𝐴 = ⟨𝑦⟩. Se 𝑞 ∈ 𝒰(𝐴), então 𝑦 = 𝑝𝑞 −1 , o que implica que ⟨𝑝⟩ = ⟨𝑦⟩.
Portanto, ⟨𝑝⟩ é um ideal maximal de 𝐴.
Agora, suponhamos que 𝑝 | 𝑎𝑏, com 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴. Assim, existe
𝑡 ∈ 𝐴 tal que 𝑎𝑏 = 𝑝𝑡. Se 𝑝 - 𝑎, então o ideal ⟨𝑝, 𝑎⟩ de 𝐴 gerado por
𝑝 e 𝑎 contém propriamente o ideal gerado por 𝑝, pois 𝑎 está em ⟨𝑝, 𝑎⟩,
mas não em ⟨𝑝⟩. Como ⟨𝑝⟩ é ideal maximal de 𝐴, temos que ⟨𝑝, 𝑎⟩ = 𝐴.
Consequentemente, 1 ∈ ⟨𝑝, 𝑎⟩. Com isso, devem existir 𝑐, 𝑑 ∈ 𝐴 tais que
1 = 𝑐𝑝 + 𝑑𝑎. Então,
1 = 𝑐𝑝 + 𝑑𝑎 ⇒ 𝑏 = 𝑐𝑝𝑏 + 𝑑𝑎𝑏 = 𝑐𝑝𝑏 + 𝑑𝑝𝑡 = 𝑝(𝑏𝑐 + 𝑑𝑡) ⇒ 𝑝 | 𝑏.
Logo, obtemos que todo irredutível é primo em 𝐴. Portanto, do Lema
2.1 obtemos que 𝐴 é fatorial.
Com esse capítulo encontramos várias maneiras de determinar
se um domínio é ou não fatorial. Assim, para mostrar que um domínio
𝐴 é fatorial, podemos usar a definição de domínio fatorial, mostrar que
2.3. DOMÍNIOS NOETHERIANOS
63
𝐴 é euclidiano ou mostrar que a fatoração em irredutíveis existe e que
cada elemento irredutível é primo em 𝐴.
Todo esse estudo é necessário para determinar quando o conjunto Z[𝜁], utilizado na teoria de Kummer e que será definido posteriormente, é um domínio fatorial. Ainda neste trabalho, concluiremos que
para Z[𝜁] ser fatorial, é necessário e suficiente que Z[𝜁] seja um domínio
principal.
Ao fim do próximo capítulo seremos capazes de entender as
primeiras características desse conjunto.
65
3 TEORIA DOS NÚMEROS
ALGÉBRICOS
O UTF começou como um problema de Teoria de Números
Naturais. Entretanto, eram tantos os matemáticos tentando prová-lo
que novos estudos foram sendo impulsionados e o UTF passou da área
da Teoria de Números Naturais para a área da Teoria de Números
Algébricos.
A Teoria dos Números Algébricos surgiu como estratégia de
ataque para solucionar equações diofantinas, em especial, o UTF. Podemos dizer, então, que o surgimento dessa teoria e o UTF estão intimamente ligados e, por isso, precisamos estudá-la. Além disso, a Teoria
de Números Algébricos foca seus estudos nos chamados anéis de inteiros
algébricos, nos quais todos os seus elementos são raízes de polinômios
com coeficientes inteiros. Provaremos que o nosso anel de interesse,
Z[𝜁], é um desses anéis e, com esse propósito, são apresentados, neste
capítulo, conceitos essenciais da Teoria dos Números Algébricos, introduzindo extensões e o processo de adjunção de raízes a um corpo, que
nos levarão aos conjuntos Z[𝜁].
3.1 EXTENSÕES
Definição 3.1. Sejam 𝐴 e 𝐵 dois anéis comutativos com unidade tais
que 𝐴 é um subanel de 𝐵.
(i) Dizemos que 𝐵 é uma extensão de 𝐴;
(ii) Dizemos que 𝛼 ∈ 𝐵 é inteiro sobre 𝐴 se existir um polinômio
mônico não nulo 𝑓 (𝑥) ∈ 𝐴[𝑥]1 tal que 𝑓 (𝛼) = 0;
1
Ver Apêndice A
66
Capítulo 3. TEORIA DOS NÚMEROS ALGÉBRICOS
(iii) 𝐵 é chamado de extensão inteira de 𝐴 ou dizemos que 𝐵 é inteiro
sobre se todo elemento de 𝐵 é inteiro sobre 𝐴;
(iv) Quando 𝐴 e 𝐵 são corpos, costumamos trocar a palavra inteiro(a)
por algébrico(a) nas definições (ii) e (iii).
Definição 3.2. Sejam 𝐴 e 𝐵 domínios e 𝛼 ∈ 𝐵, com 𝐵 extensão de
𝐴. Definimos o conjunto
𝐴[𝛼] = {𝑓 (𝛼) : 𝑓 (𝑥) ∈ 𝐴[𝑥]},
que é denominado a adjunção do elemento 𝛼 ao anel 𝐴.
Observação 3.1. Note que os elementos desse conjunto são combinações de somas e produtos de elementos de 𝐵 e assim 𝐴[𝛼] ⊆ 𝐵.
Também temos que as operações soma e produto são fechadas em 𝐴[𝛼]
e consequentemente, 𝐴[𝛼] é um subanel de 𝐵. Mais do que isso, as
propriedades de domínio de 𝐵 também valem em 𝐴 e portanto, se 𝐵
é domínio, então 𝐴[𝛼] é um subdomínio de 𝐵. Além disso, 𝐴 ⊆ 𝐴[𝛼],
pois se 𝑎 ∈ 𝐴 podemos tomar 𝑓 (𝑥) = 𝑎 ∈ 𝐴[𝑥] e então 𝑎 = 𝑓 (𝛼) ∈ 𝐴[𝛼].
Mas, se considerarmos L e K dois corpos tais que L é extensão
de K, não podemos afirmar que K[𝛼] seja um subcorpo de L, pois
apesar de seus elementos serem todos inversíveis em L não podemos
garantir que seus inversos multiplicativos estejam em K[𝛼]. Por isso,
vamos construir uma condição suficiente para que K[𝛼] seja subcorpo
de L.
Observação 3.2. Podemos realizar múltiplas adjunções de elementos
a um anel. Sendo 𝐴[𝛼] a adjunção do elemento 𝛼 ∈ 𝐵 a 𝐴, então
podemos tomar outro elemento 𝛽 ∈ 𝐵 e fazer sua adjunção a 𝐴[𝛼], que
é definida e denotada por
𝐴[𝛼, 𝛽] = {𝑓 (𝛽) : 𝑓 (𝑥) ∈ 𝐴[𝛼][𝑥]}.
Teorema 3.1. Sejam 𝐴 e 𝐵 anéis comutativos com unidade, onde 𝐴
é subanel de 𝐵 e 𝛼 ∈ 𝐵. São equivalentes:
3.1. EXTENSÕES
67
(i) 𝛼 é inteiro sobre 𝐴;
(ii) 𝐴[𝛼] é um 𝐴−módulo finitamente gerado (Ver Apêndice C);
(iii) Existe um subanel 𝐶 de 𝐵 tal que 𝐶 é um 𝐴−módulo finitamente
gerado que contém 𝐴 e 𝛼.
Demonstração: (i)⇒(ii) Temos que
{︃
𝐴[𝛼] = {𝑓 (𝛼) : 𝑓 (𝑥) ∈ 𝐴[𝑥]} =
}︃
∑︁
𝑖
𝑎𝑖 𝛼 : 𝑎𝑖 ∈ 𝐴 e 𝑖 ∈ N .
𝑖
Por hipótese, 𝛼 é inteiro sobre 𝐴. Assim, existem 𝑎0 , 𝑎1 , · · · , 𝑎𝑛−1 ∈ 𝐴
não todos nulos tais que
𝑎0 + 𝑎1 𝛼 + · · · + 𝑎𝑛−1 𝛼𝑛−1 + 𝛼𝑛 = 0.
(3.1)
Seja 𝑀 um 𝐴−módulo finitamente gerado pela base {1, 𝛼, · · · , 𝛼𝑛−1 }.
Vamos mostrar que 𝑀 = 𝐴[𝛼]. Primeiramente, temos pela Equação
(3.1) que
𝛼𝑛 = −(𝑎0 + 𝑎1 𝛼 + · · · + 𝑎𝑛−1 𝛼𝑛−1 ).
Logo, 𝛼𝑛 ∈ 𝑀. Se mostrarmos que 𝛼𝑗 ∈ 𝑀 para todo 𝑗 natural, obteremos que 𝐴[𝛼] ⊆ 𝑀, pois 𝑀 é um 𝐴-módulo. Já sabemos que 𝛼𝑗 ∈ 𝑀 ,
para todo 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛. Usando o Princípio da Indução, suponhamos que
𝛼𝑗 ∈ 𝑀, para algum 𝑗 natural. Assim, existem 𝑏0 , · · · , 𝑏𝑛−1 ∈ 𝐴 tais
que
𝛼𝑗 = 𝑏0 + 𝑏1 𝛼 + · · · + 𝑏𝑛−1 𝛼𝑛−1 .
(3.2)
Daí,
𝛼𝑗+1 =
𝛼𝑗 𝛼
=
𝛼(𝑏0 + 𝑏1 𝛼 + · · · + 𝑏𝑛−1 𝛼𝑛−1 )
=
𝑏0 𝛼 + 𝑏1 𝛼2 + · · · + 𝑏𝑛−1 𝛼𝑛 .
(3.3)
Logo, 𝛼𝑗+1 ∈ 𝑀, pois já mostramos que 𝛼𝑛 ∈ 𝑀. Portanto, 𝐴[𝛼] ⊆ 𝑀.
Como a continência contrária é óbvia, obtemos que 𝑀 = 𝐴[𝛼] e consequentemente 𝐴[𝛼] é um 𝐴−módulo finitamente gerado por 1, 𝛼, · · · , 𝛼𝑛−1 .
68
Capítulo 3. TEORIA DOS NÚMEROS ALGÉBRICOS
(ii)⇒(iii) Basta tomar 𝐶 = 𝐴[𝛼].
(iii)⇒(i) Seja 𝐶 um 𝐴−módulo finitamente gerado pela base {𝑐1 , · · · , 𝑐𝑛 }
tal que 𝐴 ⊆ 𝐶 ⊆ 𝐵 e 𝛼 ∈ 𝐶. Consequentemente, 𝛼𝑐𝑖 ∈ 𝐶 para todo
1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛. Logo, existem 𝑎𝑖𝑗 ∈ 𝐴 com 1 ≤ 𝑖, 𝑗 ≤ 𝑛 tais que
𝛼𝑐1
=
𝑎11 𝑐1 + · · · + 𝑎1𝑛 𝑐𝑛
𝛼𝑐2
..
.
=
𝑎21 𝑐1 + · · · + 𝑎2𝑛 𝑐𝑛
𝛼𝑐𝑛
=
(3.4)
𝑎𝑛1 𝑐1 + · · · + 𝑎𝑛𝑛 𝑐𝑛 .
Assim,
(𝛼 − 𝑎11 )𝑐1 − 𝑎12 𝑐2 + · · · − 𝑎1𝑛 𝑐𝑛 = 0
−𝑎21 𝑐1 + (𝛼 − 𝑎22 )𝑐2 + · · · − 𝑎2𝑛 𝑐𝑛 = 0
..
.
(3.5)
−𝑎𝑛1 𝑐1 − 𝑎𝑛2 𝑐2 + · · · + (𝛼 − 𝑎𝑛𝑛 )𝑐𝑛 = 0.
Matricialmente, temos
⎡
(𝛼 − 𝑎11 )
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
−𝑎21
..
.
−𝑎𝑛1
···
−𝑎1𝑛
⎤⎡
𝑐1
⎤
⎡
0
⎤
(𝛼 − 𝑎22 ) · · ·
..
..
.
.
−𝑎2𝑛
..
.
⎥⎢
⎥⎢
⎥⎢
⎥⎢
⎦⎣
𝑐2
..
.
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥=⎢
⎥ ⎢
⎦ ⎣
0
..
.
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
−𝑎12
−𝑎𝑛2
···
(𝛼 − 𝑎𝑛𝑛 )
𝑐𝑛
(3.6)
0
Pela Regra de Cramer, temos que 𝐷𝑐𝑖 = 0, para todo 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛, sendo
𝐷 o determinante da matriz dos coeficientes. Ainda, temos que 1 ∈ 𝐶,
∑︀𝑛
pois 𝐴 ⊆ 𝐶. Logo, existem 𝑡1 , · · · , 𝑡𝑛 ∈ 𝐴 tais que 1 = 𝑖=1 𝑡𝑖 𝑐𝑖 . Assim,
𝐷 =𝐷·1=𝐷
𝑛
∑︁
𝑖=1
𝑡𝑖 𝑐𝑖 =
𝑛
∑︁
𝑡𝑖 𝐷𝑐𝑖 = 0.
(3.7)
𝑖=1
Analisando a matriz dos coeficientes e usando a Equação (3.7) e a
definição de determinante de uma matriz, vemos que 𝐷 pode ser escrito
como
𝐷 = 𝛼𝑛 + 𝑏𝑛−1 𝛼𝑛−1 + · · · + 𝑏1 𝛼 + 𝑏0 = 0,
com 𝑏𝑖 ∈ 𝐴, para cada 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛. Portanto, 𝛼 é inteiro sobre 𝐴.
3.1. EXTENSÕES
69
Observação 3.3. Olhando estritamente para corpos K e L tais que L
é uma extensão de K, temos que se 𝛼 ∈ L é algébrico sobre K, então
K[𝛼] é um K−espaço vetorial de dimensão finita (ver Apêndice C). E
da implicação (ii)⇒(i) obtemos que se K[𝛼] é um K−espaço vetorial de
dimensão finita, então 𝛼 deve ser algébrico sobre K. Além disso, ainda
provaremos que a representação de elementos em K[𝛼] como combinação da base de K[𝛼] é única. Mas antes temos algumas consequências
importantes oriundas do Teorema 3.1.
Corolário 3.1. Sejam 𝐴 ⊆ 𝐵 anéis e 𝛼1 , · · · , 𝛼𝑛 ∈ 𝐴. Se 𝛼1 é
inteiro sobre 𝐴, 𝛼2 é inteiro sobre 𝐴[𝛼1 ], . . . e 𝛼𝑛 é inteiro sobre
𝐴[𝛼1 , · · · , 𝛼𝑛−1 ], então 𝐴[𝛼1 , · · · , 𝛼𝑛 ] é um 𝐴-módulo finitamente gerado.
Demonstração:
Como 𝛼1 é inteiro sobre 𝐴, obtemos do Teorema
3.1 que 𝐴[𝛼1 ] é um 𝐴−módulo finitamente gerado. Usando o Segundo
Princípio de Indução sobre 𝑛, suponhamos que 𝐶 = 𝐴[𝛼1 , · · · , 𝛼𝑛−1 ]
é um 𝐴−módulo finitamente gerado por {𝑐1 , · · · , 𝑐𝑝 }. Novamente, pelo
Teorema 3.1, temos que 𝐶[𝛼𝑛 ] = 𝐴[𝛼1 , · · · , 𝛼𝑛 ] é um 𝐶−módulo finitamente gerado pela base {𝑑1 , · · · , 𝑑𝑞 } ⊆ 𝐶. Assim, se 𝑥 ∈ 𝐶 então
⎛
⎞
𝑞
𝑞
𝑝
∑︁
∑︁
∑︁
∑︁
⎝
𝑥=
𝑥𝑖 𝑑𝑖 =
𝑎 𝑗 𝑐𝑗 ⎠ 𝑑 𝑖 =
𝑎𝑗 (𝑐𝑗 𝑑𝑖 ),
𝑖=1
𝑖=1
𝑗=1
𝑖,𝑗
onde cada 𝑥𝑖 ∈ 𝐶, cada 𝑎𝑗 ∈ 𝐴, e com isso, 𝑐𝑗 𝑑𝑖 ∈ 𝐶[𝛼𝑛 ]. Logo, todo
elemento 𝑥 ∈ 𝐶[𝛼𝑛 ] é gerado pelo conjunto {𝑐𝑗 𝑑𝑖 : 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑞 e 1 ≤
𝑗 ≤ 𝑝}. Portanto, 𝐶[𝛼𝑛 ] = 𝐴[𝛼1 , · · · , 𝛼𝑛 ] é um 𝐴−módulo finitamente
gerado.
Corolário 3.2. Sejam 𝐵 uma extensão do anel comutativo com unidade 𝐴 e 𝛼, 𝛽 ∈ 𝐵. Se 𝛼 e 𝛽 são inteiros sobre 𝐴, então 𝛼 + 𝛽, 𝛼 − 𝛽
e 𝛼𝛽 são inteiros sobre 𝐴.
Demonstração: Sejam 𝛼, 𝛽 ∈ 𝐵 inteiros sobre 𝐴. Pelo Corolário 3.1,
obtemos que 𝐴[𝛼, 𝛽] é um 𝐴−módulo finitamente gerado, que é um
70
Capítulo 3. TEORIA DOS NÚMEROS ALGÉBRICOS
subanel de 𝐵. Logo, 𝐴[𝛼, 𝛽] contém 𝐴, 𝛼𝛽, 𝛼 + 𝛽 e 𝛼 − 𝛽. Portanto,
pelo Teorema 3.1 obtemos que 𝛼𝛽, 𝛼 + 𝛽 e 𝛼 − 𝛽 são inteiros sobre 𝐴.
Definição 3.3. Considere 𝐴 e 𝐵 dois anéis comutativos com unidade
tais que 𝐴 é um subanel de 𝐵. Seja 𝐼𝐵 (𝐴) = {𝑥 ∈ 𝐵 | 𝑥 é inteiro sobre
𝐴}. Dizemos que 𝐼𝐵 (𝐴) é o anel dos inteiros de 𝐵 sobre 𝐴. Se 𝐵 é
o corpo de frações de 𝐴 e 𝐼𝐵 (𝐴) = 𝐴, dizemos que 𝐴 é integralmente
fechado.
Observação 3.4. Por consequência direta do Corolário 3.2 temos que
𝐼𝐵 (𝐴) é subanel de 𝐵. E portanto, 𝐼𝐵 (𝐴) é de fato um anel.
Exemplo 3.1. O anel Z é integralmente fechado.
Sabemos que o corpo de frações de Z é Q. Logo, mostrar que
Z é integralmente fechado é o mesmo que mostrar que 𝐼Q (Z) = Z.
Seja 𝛼 ∈ 𝐼Q (Z) ⊆ Q. Como Z é fatorial e Q é seu corpo de
frações, podemos tomar 𝑐, 𝑑 ∈ Z relativamente primos e 𝑑 ̸= 0 tais que
𝑐
𝛼 = . Ainda, considere
𝑑
𝑓 (𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + · · · + 𝑎𝑛−1 𝑥𝑛−1 + 𝑥𝑛 , 𝑛 ≥ 1
o polinômio mônico não nulo e de coeficientes inteiros tal que 𝑓 (𝛼) = 0.
Precisamos mostrar que 𝛼 ∈ Z, ou seja, que 𝑑 ∈ 𝒰(Z). Assim,
0 = 𝑓 (𝛼) = 𝑓
(︁ 𝑐 )︁
𝑑
= 𝑎0 + 𝑎1
(︁ 𝑐 )︁𝑛−1 (︁ 𝑐 )︁𝑛
𝑐
+ · · · + 𝑎𝑛−1
+
.
𝑑
𝑑
𝑑
Multiplicando ambos os lados da igualdade por 𝑑𝑛 obtemos
𝑎0 𝑑𝑛 + 𝑎1 𝑐𝑑𝑛−1 + · · · + 𝑎𝑛−1 𝑐𝑛−1 𝑑 + 𝑐𝑛 = 0
⇒ 𝑑(𝑎0 𝑑
𝑛−1
𝑛−2
+ 𝑎1 𝑐𝑑
+ · · · + 𝑎𝑛−1 𝑐
𝑛−1
) = −𝑐
⇒
𝑛
⇒
𝑛
⇒ 𝑑|𝑐
Suponhamos que 𝑑 ∈
/ 𝒰(Z). Assim, deve existir um primo 𝑝 em
sua decomposição em fatores primos. Com isso, temos que 𝑝 | 𝑐𝑛 , o que
3.1. EXTENSÕES
71
implica que 𝑝 | 𝑐, que é uma contradição, pois 𝑐 e 𝑑 são relativamente
primos. Logo, 𝑑 é inversível em Z e portanto, 𝛼 = 𝑐𝑑−1 ∈ Z, ou seja
𝐼Q (Z) = Z.
Exemplo 3.2. Se 𝐴 é um domínio fatorial, então 𝐴 é integralmente
fechado. A demonstração desse fato é similar à demonstração realizada
√
acima. Com isso, consideremos o domínio Z[ −3] e seu corpo de frações
√
Q( −3). O polinômio 𝑓 (𝑥) = 𝑥2 + 𝑥 + 1 é um polinômio mônico de
√
Z[𝑥] e consequentemente de Z[ −3][𝑥]. Temos que
√ )︂
(︂
1
−3
𝑓 − +
=
2
2
=
=
√ )︂2
√
1
1
−3
−3
− +
− +
+1
2
2
2
2
√
√
1
−3 3 1
−3
−
− − +
+1
4
2
4 2
2
(︂
0.
√
√
√
1
−3
Assim, − +
∈ Q( −3) é inteiro sobre Z[ −3], mas não está em
2
2
√
√
Z[ −3]. Portanto, Z[ −3] não é integralmente fechado e consequentemente não é um domínio fatorial.
Proposição 3.1. Sejam 𝐴 ⊆ 𝐵 ⊆ 𝐶 anéis. Então, 𝐶 é inteiro sobre
𝐴 se, e somente se, 𝐶 é inteiro sobre 𝐵 e 𝐵 é inteiro sobre 𝐴.
Demonstração: (⇒) Suponhamos que 𝐶 seja inteiro sobre 𝐴. Assim,
se 𝛼 ∈ 𝐴 então existem 𝑎0 , · · · , 𝑎𝑛−1 ∈ 𝐴 não todos nulos tais que
𝑎0 + 𝑎1 𝛼 + · · · + 𝑎𝑛−1 𝛼𝑛−1 + 𝛼𝑛 = 0.
(3.8)
Como 𝐴 ⊆ 𝐵, temos que 𝑎0 , · · · , 𝑎𝑛−1 ∈ 𝐵. Logo, 𝛼 é inteiro sobre 𝐵.
Além disso, como 𝐵 ⊆ 𝐶 temos que todo elemento de 𝐵 está em 𝐶 e,
consequentemente, é inteiro sobre 𝐴. Portanto, 𝐶 é inteiro sobre 𝐵 e
𝐵 é inteiro sobre 𝐴.
(⇐) Suponhamos que 𝐶 seja inteiro sobre 𝐵, que por sua vez, é inteiro
sobre 𝐴. Assim, se 𝛼 ∈ 𝐶 então existem 𝑏0 , · · · , 𝑏𝑚−1 ∈ 𝐵, não todos
72
Capítulo 3. TEORIA DOS NÚMEROS ALGÉBRICOS
nulos, tais que
𝑏0 + 𝑏1 𝛼 + · · · + 𝑏𝑚−1 𝛼𝑚−1 + 𝛼𝑚 = 0.
(3.9)
Consideremos, então, o anel 𝑅 = 𝐴[𝑏0 , · · · , 𝑏𝑚−1 ]. Assim, 𝛼 é inteiro
sobre 𝑅. Como 𝐵 é inteiro sobre 𝐴, temos que 𝑏𝑖 é inteiro sobre 𝐴,
com 0 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚 − 1. Logo, 𝑏0 é inteiro sobre 𝐴, 𝑏1 é inteiro sobre 𝐴[𝑏0 ]
e assim sucessivamente até 𝑏𝑚−1 , que é inteiro sobre 𝐴[𝑏0 , · · · , 𝑏𝑚−2 ].
Portanto, pelo Corolário 3.1, temos que 𝑅[𝛼] = 𝐴[𝑏0 , · · · , 𝑏𝑚−1 , 𝛼] é um
𝐴-módulo finitamente gerado que contém 𝛼 e 𝐴 e é, claramente, um
subanel de 𝐶. Portanto, pelo Teorema 3.1, temos que 𝛼 é inteiro sobre
𝐴 e consequentemente, 𝐶 é inteiro sobre 𝐴.
Proposição 3.2. Sejam 𝐴 ⊆ 𝐵 domínios, onde 𝐵 é inteiro sobre 𝐴.
Então, 𝐴 é corpo se, e somente se, 𝐵 é corpo.
Demonstração: (⇒) Suponhamos que 𝐴 é corpo. Tomemos 𝛼 ∈ 𝐵
com 𝛼 ̸= 0. Logo, 𝛼 é inteiro sobre 𝐴 e segue do Teorema 3.1 que
𝐴[𝛼] é um 𝐴−módulo finitamente gerado. Como 𝐴 é corpo, 𝐴[𝛼] é um
𝐴−espaço vetorial finitamente gerado.
Agora, considere a aplicação 𝑇 : 𝐴[𝛼] −→ 𝐴[𝛼], definida por
𝑇 (𝑏) = 𝑏𝛼. Observemos que 𝑇 é uma transformação linear. De fato,
para todo 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐴[𝛼] e 𝑎 ∈ 𝐴, temos que
𝑇 (𝑏 + 𝑐) = (𝑏 + 𝑐)𝛼 = 𝑏𝛼 + 𝑐𝛼 = 𝑇 (𝑏) + 𝑇 (𝑐) e
𝑇 (𝑎𝑏) = (𝑎𝑏)𝛼 = 𝑎(𝑏𝛼) = 𝑎𝑇 (𝑏).
O próximo passo é provar que 𝑇 é sobrejetora. Para isso, vamos
primeiro determinar a dimensão do núcleo 𝐾𝑒𝑟(𝑇 ) da transformação
linear 𝑇 . Assim, se 𝑏 ∈ 𝐾𝑒𝑟(𝑇, ) então 𝑇 (𝑏) = 0, o implica que 𝑏𝛼 = 0.
Como supomos 𝛼 ̸= 0 e da hipótese temos que 𝐵 é um domínio, segue
que 𝑏 = 0. Portanto, 𝐾𝑒𝑟(𝑇 ) = {0} e dim(𝐾𝑒𝑟(𝑇 )) = 0.
Sendo 𝑇 uma transformação linear sobre 𝐴−espaços vetoriais
de dimensões finitas, vem que,
dim(𝐴[𝛼]) = dim(𝐾𝑒𝑟(𝑇 )) + dim(𝐼𝑚(𝑇 )) = dim(𝐼𝑚(𝑇 )).
3.1. EXTENSÕES
73
A 𝐼𝑚(𝑇 ) é um 𝐴−subespaço vetorial de 𝐴[𝛼], mas como a dimensão
da 𝐼𝑚(𝑇 ) é igual a dimensão de 𝐴[𝛼], segue que 𝐼𝑚(𝑇 ) = 𝐴[𝛼] e logo
𝑇 é sobrejetora.
Assim, como 1 ∈ 𝐴[𝛼] (contradomínio), segue que exite 𝑏 ∈
𝐴[𝛼] (domínio) tal que 𝑇 (𝑏) = 1, ou seja, 𝑏𝛼 = 1. Logo, 𝛼 é inversível
em 𝐴[𝛼]. Portanto, 𝐵 é um corpo.
(⇐) Seja 𝛼 ∈ 𝐴 com 𝛼 ̸= 0. Como 𝐴 ⊆ 𝐵 e 𝐵 é um corpo, segue que
𝛼 ∈ 𝐵 e existe 𝛼−1 ∈ 𝐵. Precisamos provar que 𝛼−1 ∈ 𝐴. Como 𝐵 é
inteiro sobre 𝐴 e 𝛼−1 ∈ 𝐵, segue que 𝛼−1 é inteiro sobre 𝐴 e existem
𝑎0 , 𝑎1 , · · · , 𝑎𝑛−1 ∈ 𝐴, não todos nulos, tais que
(𝛼−1 )𝑛 + 𝑎𝑛−1 (𝛼−1 )𝑛−1 + · · · + 𝑎1 𝛼−1 + 𝑎0 = 0.
Multiplicando por 𝛼𝑛−1 , obtemos
𝛼−1 + 𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛−2 𝛼 + · · · + 𝑎1 𝛼𝑛−2 + 𝑎0 𝛼𝑛−1 = 0,
e então
𝛼−1 = −(𝑎𝑛−1 + · · · + 𝑎1 𝛼𝑛−2 + 𝑎0 𝛼𝑛−1 ) ∈ 𝐴.
Portanto, 𝐴 é um corpo.
3.1.1
Extensões Algébricas
Definição 3.4. Sejam L e K corpos tais que L é uma extensão de K.
Se 𝛼 ∈ L é algébrico sobre K, chamamos de polinômio mínimo de 𝛼 em
K ao polinômio 𝑝(𝑥) ∈ K[𝑥] mônico e de menor grau tal que 𝑝(𝛼) = 0.
E denotamos, neste caso, 𝑝(𝑥) por 𝑃𝛼/K (𝑥).
Observação 3.5. Podemos garantir a existência do polinômio mínimo
de 𝛼 em K[𝑥], definindo o conjunto 𝑆 = {𝜕𝑓 | 𝑓 (𝑥) ∈ K[𝑥] é não
nulo e 𝑓 (𝛼) = 0}, que é um subconjunto não vazio de N, pois 𝛼 é
algébrico sobre K. Assim, pelo Princípio da Boa Ordenação, 𝑆 possui
um elemento mínimo, que é o grau do polinômio mínimo. Além disso,
note que, para que 𝛼 ∈ L seja algébrico sobre K basta que exista um
74
Capítulo 3. TEORIA DOS NÚMEROS ALGÉBRICOS
polinômio 𝑓 (𝑥) em K[𝑥], não necessariamente mônico, tal que 𝑓 (𝛼) = 0.
Isso porque essa informação implica na existência do polinômio mônico
de mesmo grau com a mesma propriedade, já que K é corpo.
A partir da Definição 3.4, podemos mostrar as seguintes propriedades do polinômio mínimo 𝑝(𝑥) de 𝛼 ∈ L sobre K.
(1) O polinômio mínimo 𝑝(𝑥) de 𝛼 sobre K é único.
Demonstração: O polinômio 𝑝(𝑥) ∈ K[𝑥] pode ser escrito da forma
𝑝(𝑥) = 𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑥𝑛−1 + · · · + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0 ,
com 𝑎𝑖 ∈ K, para todo 0 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1. Tomemos um polinômio 𝑞(𝑥) em
K[𝑥] de grau 𝑛 e mônico, ou seja,
𝑞(𝑥) = 𝑥𝑛 + 𝑏𝑛−1 𝑥𝑛−1 · · · + 𝑏1 𝑥 + 𝑏0 ,
com 𝑏𝑖 ∈ K para todo 0 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1. Suponhamos que 𝑞(𝛼) = 0. Como
K[𝑥] é um anel, temos que o polinômio 𝑡(𝑥) = 𝑝(𝑥) − 𝑞(𝑥) pertence
também a K[𝑥] e é da forma
𝑡(𝑥) = 𝑝(𝑥) − 𝑞(𝑥)
=
(𝑎𝑛−1 − 𝑏𝑛−1 )𝑥𝑛−1 + · · · + (𝑎1 − 𝑏1 )𝑥 + (𝑎0 − 𝑏0 ).
Ainda, temos que 𝑡(𝛼) = 𝑝(𝛼) − 𝑞(𝛼) = 0. Logo, 𝑡(𝑥) é um polinômio em K[𝑥] de grau menor que 𝑛 tal que 𝑡(𝛼) = 0, contradizendo a
minimalidade do 𝑛. Portanto, o polinômio mínimo é único.
(2) 𝑝(𝑥) é irredutível em K[𝑥].
Demonstração: Suponhamos que 𝑝(𝑥) = 𝑓 (𝑥)𝑔(𝑥), com 𝑓 (𝑥), 𝑔(𝑥) ∈
K[𝑥] não nulos. Assim, temos que 𝜕𝑓 ≤ 𝜕𝑝 e 𝜕𝑔 ≤ 𝜕𝑝. Logo,
0 = 𝑝(𝛼) = 𝑓 (𝛼)𝑔(𝛼) ⇒ 𝑓 (𝛼) = 0 ou 𝑔(𝛼) = 0,
3.1. EXTENSÕES
75
pois K não possui divisores de zero. Se 𝑓 (𝛼) = 0, temos pela minimalidade do grau de 𝑝(𝑥) que o grau de 𝑓 é igual ao grau de 𝑔, o que
implica que o grau de 𝑔 é nulo, ou seja, 𝑔(𝑥) é inversível em K[𝑥]. Do
mesmo modo, obtemos que se 𝑔(𝛼) = 0, então 𝑓 (𝑥) é inversível em
K[𝑥]. Portanto, 𝑝(𝑥) é irredutível em K[𝑥].
(3) Seja 𝑓 (𝑥) ∈ K[𝑥] tal que 𝑓 (𝛼) = 0. Então, 𝑝(𝑥) divide 𝑓 (𝑥).
Demonstração: Da hipótese, temos que 𝜕𝑝 ≤ 𝜕𝑓. Além disso, vimos
no Exemplo 2.2 que K[𝑥] é euclidiano. Assim, existem 𝑞(𝑥), 𝑟(𝑥) ∈ K[𝑥]
tais que
𝑓 (𝑥) = 𝑝(𝑥)𝑞(𝑥) + 𝑟(𝑥),
com 𝜕𝑟 < 𝜕𝑝 ou 𝑟(𝑥) = 0. Ao mesmo tempo, temos que
0 = 𝑓 (𝛼) = 𝑝(𝛼)𝑞(𝛼) + 𝑟(𝛼) = 𝑟(𝛼).
Logo, 𝜕𝑟 < 𝜕𝑝 é impossível, pela minimalidade do grau de 𝑝(𝑥). Portanto, 𝑟(𝑥) é identicamente nulo e, consequentemente, 𝑝(𝑥) divide 𝑓 (𝑥).
Observação 3.6. Com esses resultados concluímos que se 𝑓 (𝑥) ∈ K[𝑥],
com K corpo, é mônico e irredutível em K[𝑥], então 𝑓 (𝑥) é o polinômio
mínimo de todas as suas raízes.
Lema 3.1. Se K é um corpo, então K[𝑥] é um domínio principal.
Demonstração: Consideremos 𝐼 um ideal de K. Se 𝐼 = {0}, então
𝐼 = ⟨0⟩ é um ideal principal. Agora, suponhamos que 𝐼 é diferente de
{0}, ou seja, existe um polinômio não nulo em 𝐼. Definimos o conjunto
𝑆 = {𝜕𝑓 | 𝑓 (𝑥) ∈ 𝐼 e 𝑓 (𝑥) é não nulo}. Como 𝑆 é diferente de vazio,
obtemos pelo Princípio da Boa Ordenação que existe 𝑎 = 𝜕𝑓, que é seu
menor elemento. Se 𝑓 (𝑥) = 𝑐 ∈ K* , ou seja, se 𝑎 = 0, então 1 = 𝑐−1 𝑐 ∈ 𝐼
e assim 𝐼 =< 1 > K[𝑥] é um ideal principal.
Agora, suponhamos que 𝑎 = 𝜕𝑓 seja maior que zero. Como
𝑓 (𝑥) ∈ 𝐼, então ⟨𝑓 (𝑥)⟩ ∈ 𝐼. Vamos provar a inclusão contrária. Sabemos
76
Capítulo 3. TEORIA DOS NÚMEROS ALGÉBRICOS
que K[𝑥] é um domínio 𝜕−euclidiano. Assim, se 𝑔(𝑥) ∈ 𝐼, então existem
𝑞(𝑥), 𝑟(𝑥) ∈ K[𝑥] tais que
𝑔(𝑥) = 𝑓 (𝑥)𝑞(𝑥) + 𝑟(𝑥),
com 0 ≤ 𝜕𝑟 < 𝜕𝑔 ou 𝑟(𝑥) = 0. Daí, temos que
𝑟(𝑥) = 𝑔(𝑥) − 𝑓 (𝑥)𝑞(𝑥)
e como 𝑔(𝑥) ∈ 𝐼 e 𝑓 (𝑥)𝑞(𝑥) ∈ 𝐼, concluímos que 𝑟(𝑥) ∈ 𝐼. Mas
𝜕𝑟 < 𝜕𝑓 = 𝑎 contradiz a minimalidade de 𝑎. Logo, 𝑟(𝑥) = 0 e consequentemente, todo elemento de 𝐼 é gerado por 𝑓 (𝑥). Portanto, K[𝑥]
é um domínio principal.
Lema 3.2. Sejam K um corpo e 𝑝(𝑥) irredutível em K[𝑥]. Então, o
ideal de K[𝑥] gerado por 𝑝(𝑥) é um ideal maximal de K[𝑥].
Demonstração: Seja 𝐼 um ideal de K[𝑥] tal que ⟨𝑝(𝑥)⟩ ⊆ 𝐼 ⊆ K[𝑥].
Pelo Lema 3.1, temos que existe 𝑞(𝑥) ∈ K[𝑥] tal que 𝐼 = ⟨𝑞(𝑥)⟩. Temos
que 𝑝(𝑥) ∈ ⟨𝑞(𝑥)⟩. Logo, existe 𝑡(𝑥) ∈ K[𝑥] tal que 𝑝(𝑥) = 𝑞(𝑥)𝑡(𝑥),
o que implica que 𝑞(𝑥) é inversível ou 𝑡(𝑥) é inversível, pois 𝑝(𝑥) é
irredutível.
Assim, se 𝑞(𝑥) é inversível, temos 1 ∈ ⟨𝑞(𝑥)⟩ e, consequentemente, para qualquer 𝑠(𝑥) ∈ K[𝑥], 𝑠(𝑥) = 𝑞(𝑥)𝑞(𝑥)−1 𝑠(𝑥) ∈ ⟨𝑞(𝑥)⟩ e
⟨𝑞(𝑥)⟩ = K[𝑥]. Por outro lado, se 𝑡(𝑥) é inversível, 𝑞(𝑥) = 𝑝(𝑥)𝑡(𝑥)−1 ∈
⟨𝑝(𝑥)⟩, o que implica em ⟨𝑝(𝑥)⟩ = ⟨𝑞(𝑥)⟩. Portanto, ⟨𝑝(𝑥)⟩ é um ideal
maximal de K[𝑥].
Teorema 3.2. Sejam L uma extensão de K e 𝛼 ∈ L. Consideremos
a função Ψ : K[𝑥] → L definida por Ψ(𝑓 (𝑥)) = 𝑓 (𝛼), então Ψ é um
homomorfismo de anéis tal que
(i) Im (Ψ) = K[𝛼];
(ii) Se 𝛼 é algébrico sobre K e 𝑝(𝑥) = 𝑃𝛼/K (𝑥), então
𝐾𝑒𝑟(Ψ) = ⟨𝑝(𝑥)⟩
é um ideal maximal de K[𝑥];
3.1. EXTENSÕES
(iii)
77
K[𝑥]
≃ K[𝛼].
⟨𝑝(𝑥)⟩
Demonstração:
(i) Como Ψ(𝑓 (𝑥)) = 𝑓 (𝛼) segue que
𝐼𝑚(Ψ) = {𝑓 (𝛼) : 𝑓 (𝑥) ∈ K[𝑥]} = K[𝛼];
(ii) Segue diretamente da Propriedade (3) de polinômios mínimos que
se 𝑓 (𝑥) ∈ 𝐾𝑒𝑟(Ψ), então 𝑓 (𝑥) = 𝑝(𝑥)𝑞(𝑥) e, assim, 𝐾𝑒𝑟(Ψ) =
⟨𝑝(𝑥)⟩. Ainda, a Propriedade (2) nos diz que 𝑝(𝑥) é irredutível em
K[𝑥]. Portanto, segue do Lema 3.2 que 𝑁 (Ψ) é um ideal maximal
de K[𝑥];
(iii) Pelo Teorema dos Isomorfismos de anéis, temos que
K[𝑥]
≃ 𝐼𝑚(Ψ).
𝐾𝑒𝑟(Ψ)
Portanto,
K[𝑥]
≃ K[𝛼].
⟨𝑝(𝑥)⟩
Corolário 3.3. Se 𝛼 ∈ L ⊃ K é algébrico sobre K, então K[𝛼] é um
subcorpo de L.
Demonstração: Seja 𝑝(𝑥) = 𝑃𝛼/K (𝑥). Pelo Teorema 3.2, temos que
K[𝑥]
≃ K[𝛼],
⟨𝑝(𝑥)⟩
K[𝑥]
é
⟨𝑝(𝑥)⟩
corpo, o que implica que K[𝛼] é um corpo, obviamente contido em L.
onde ⟨𝑝(𝑥)⟩ é um ideal maximal de K[𝑥]. Com isso, temos que
Com isso, é convencional denotar a adjunção de 𝛼 a K por
K(𝛼), indicando que esse é um corpo.
78
Capítulo 3. TEORIA DOS NÚMEROS ALGÉBRICOS
Proposição 3.3. Sejam K um corpo e 𝛼 algébrico sobre K. Então, a
representação de elementos de K(𝛼) como combinação de elementos da
base {1, 𝛼, · · · , 𝛼𝑛−1 } é única, onde 𝑛 é o grau do polinômio mínimo
de 𝛼 em K[𝑥].
Demonstração: Suponhamos que existam 𝑎0 , · · · , 𝑎𝑛−1 , 𝑏0 , · · · , 𝑏𝑛−1 ∈
K tais que
𝑓 (𝛼) = 𝑎0 + 𝑎1 𝛼 + · · · + 𝑎𝑛−1 𝛼𝑛−1 = 𝑏0 + 𝑏1 𝛼 + · · · + 𝑏𝑛−1 𝛼𝑛−1 .
Considere, então, o polinômio
𝑡(𝑥) = (𝑎0 − 𝑏0 ) + (𝑎1 − 𝑏1 )𝑥 + · · · + (𝑎𝑛−1 − 𝑏𝑛−1 )𝑥𝑛−1 .
Como 𝑎𝑖 − 𝑏𝑖 ∈ K para todo 𝑖 ∈ {0, · · · , 𝑛 − 1}, temos que 𝑡(𝑥) ∈ K[𝑥].
Ainda,
𝑡(𝛼)
=
(𝑎0 − 𝑏0 ) + (𝑎1 − 𝑏1 )𝛼 + · · · + (𝑎𝑛−1 − 𝑏𝑛−1 )𝛼𝑛−1
=
𝑎0 + 𝑎1 𝛼 + · · · + 𝑎𝑛−1 𝛼𝑛−1 − (𝑏0 + 𝑏1 𝛼 + · · · + 𝑏𝑛−1 𝛼𝑛−1 )
=
0.
Daí, concluímos que 𝑡(𝑥) = 0, pois 𝜕𝑡 < 𝑛. Assim, por igualdade de
polinômios, 𝑎𝑖 = 𝑏𝑖 para todo 𝑖 ∈ {0, · · · , 𝑛 − 1}. Portanto, temos que
se 𝑎 ∈ K(𝛼), então existe um único 𝑓 (𝑥) ∈ K[𝑥] tal que 𝑎 = 𝑓 (𝛼).
Exemplo 3.3. Consideremos K = Q. Temos que o número complexo
𝑖 é algébrico sobre Q, pois 𝑃𝑖/Q (𝑥) = 𝑥2 + 1, que é irredutível em Q.
Com efeito, se existem 𝑔(𝑥), ℎ(𝑥) ∈ Q[𝑥] tais que 𝑥2 + 1 = 𝑔(𝑥)ℎ(𝑥),
esses devem ser de grau 0, 1 ou 2. Mas sabemos que 𝜕𝑔 + 𝜕ℎ = 2. Logo,
se um deles tem grau 2, o outro é inversível, pois será de grau 0. Se
ambos fossem de grau 1, então existiriam 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ Q com 𝑏 e 𝑑 não
nulos tais que
𝑔(𝑥) = 𝑎 + 𝑏𝑥 e ℎ(𝑥) = 𝑐 + 𝑑𝑥,
donde
𝑥2 + 1 = (𝑎 + 𝑏𝑥)(𝑐 + 𝑑𝑥) = 𝑏𝑑𝑥2 + (𝑎𝑑 + 𝑏𝑐)𝑥 + 𝑎𝑐.
3.1. EXTENSÕES
79
Pela igualdade de polinômios, obtemos que 𝑏𝑑 = 1, 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐 = 0
e 𝑎𝑐 = 1. Assim,
0 = 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐 = 𝑎𝑏−1 + 𝑏𝑎−1 .
(3.10)
Multiplicando ambos os lados da Equação (3.10) por 𝑎𝑏, obtemos 𝑎 + 𝑏2 = 0 e, consequentemente, que 𝑎 = 𝑏 = 0, contradizendo a
2
não nulidade de 𝑏. Portanto, a única possibilidade para 𝑥2 + 1 ser escrito como o produto de dois outros polinômios é com um deles sendo
inversível, o que implica que 𝑥2 + 1 é irredutível em Q[𝑥].
Agora, seja 𝑓 (𝑥) ∈ Q[𝑥]. Como Q[𝑥] é um domínio euclidiano,
devem existir 𝑞(𝑥), 𝑟(𝑥) ∈ Q[𝑥] tais que
𝑓 (𝑥) = (𝑥2 + 1)𝑞(𝑥) + 𝑟(𝑥),
com 𝜕𝑟 < 2 ou 𝑟(𝑥) = 0, ou seja, existem 𝑎, 𝑏 ∈ Q tais que 𝑟(𝑥) = 𝑎+𝑏𝑥.
Assim,
𝑓 (𝑖) = 𝑟(𝑖) = 𝑎 + 𝑏𝑖.
Portanto,
Q(𝑖) = {𝑓 (𝑖) : 𝑓 (𝑥) ∈ Q[𝑥]} = {𝑎 + 𝑏𝑖 : 𝑎, 𝑏 ∈ Q}.
Observação 3.7. Note que poderíamos ter nos poupado de parte do
trabalho realizado acima usando o Teorema 3.1. Quando encontramos
o grau do polinômio mínimo de 𝑖, que é 2, já poderíamos concluir que
cada elemento de Q(𝑖) é combinação das potências de 𝑖 de zero até um,
ou seja, 1 e 𝑖.
3.1.2
Anel dos Inteiros Algébricos
Nesta seção finalmente definimos o anel de inteiros algébricos
e alguns outros conceitos e proposições necessários para definirmos os
corpos ciclotômicos, que nos levam a Z[𝜁].
Definição 3.5. Seja L uma extensão algébrica de K, com Q ⊆ K ⊆
L ⊆ C.
80
Capítulo 3. TEORIA DOS NÚMEROS ALGÉBRICOS
(i) Dizemos que um número complexo 𝛼 é um inteiro algébrico se
existe um polinômio mônico não nulo 𝑓 (𝑥) com coeficientes inteiros tal que 𝑓 (𝛼) = 0;
(ii) Dizemos que L é um corpo de números se é uma extensão finita
de Q. Quando a base L sobre Q possui 𝑛 elementos, dizemos que
L é um corpo de números de grau 𝑛;
(iii) Definimos o anel dos inteiros algébricos do corpo de números L
como
𝐼L = {𝛼 ∈ L | 𝛼 é inteiro sobre Z};
(iv) Um polinômio 𝑝(𝑥) em qualquer anel de polinômios é dito separável se todas as suas raízes são distintas.
Exemplo 3.4. O anel de inteiros algébricos de Q é igual a Z, ou seja,
𝐼Q = Z, já que no Exemplo 3.1, calculamos o anel de inteiros de Q
sobre Z, que é exatamente o anel de inteiros algébricos de Q.
Definição 3.6. Seja 𝑓 (𝑥) = 𝑎𝑟 𝑥𝑟 + 𝑎𝑟−1 𝑥𝑟−1 + · · · + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0 ∈ K[𝑥],
onde K é um corpo. A derivada de 𝑓 (𝑥) é denotada por 𝐷𝑓 e dada por
𝐷𝑓 (𝑥) = 𝑎𝑟 𝑟𝑥𝑟−1 + 𝑎𝑟−1 (𝑟 − 1)𝑥𝑟−1 + · · · 𝑎1 .
Ainda, se 𝑓 (𝑥) = 𝑔(𝑥)ℎ(𝑥), então 𝐷𝑓 (𝑥) = 𝑔(𝑥)𝐷ℎ(𝑥) + ℎ(𝑥)𝐷𝑔(𝑥).
Lema 3.3. Seja K um corpo de números. Um polinômio não nulo
𝑓 (𝑥) ∈ K é divisível pelo quadrado de um polinômio de grau maior que
zero se, e somente se, 𝑓 e 𝐷𝑓 têm um fator comum de grau maior que
zero.
Demonstração: (⇒) Suponhamos que 𝑓 (𝑥) = 𝑔(𝑥)2 ℎ(𝑥), com 𝜕𝑔 ≥ 1
e 𝑔(𝑥), ℎ(𝑥) ∈ K[𝑥]. Assim,
𝐷𝑓 = 2𝑔ℎ𝐷𝑔 + 𝑔 2 𝐷ℎ = 𝑔(2ℎ𝐷𝑔 + 𝑔𝐷ℎ).
Logo, 𝑓 e 𝐷𝑓 tem 𝑔 como fator comum.
3.1. EXTENSÕES
81
(⇐) Suponhamos que 𝑓 e 𝐷𝑓 tenham um fator comum de grau maior
que zero e que 𝑓 não seja divisível pelo quadrado de um polinômio
irredutível de grau maior que zero.
Seja 𝑔(𝑥) ∈ K[𝑥] o fator comum irredutível de grau maior que
zero de 𝑓 e 𝐷𝑓. Assim, para qualquer ℎ(𝑥) ∈ K[𝑥] tal que 𝑓 (𝑥) =
𝑔(𝑥)ℎ(𝑥), temos que 𝑔(𝑥) e ℎ(𝑥) não possuem fator comum com grau
maior que zero. Então,
𝐷𝑓 = 𝑔𝐷ℎ + ℎ𝐷𝑔 ⇒ 𝑔 | ℎ𝐷𝑔 ⇒ 𝑔 | 𝐷𝑔.
Mas 𝜕𝐷𝑔 < 𝜕𝑔, o que implica que 𝐷𝑔 = 0. Daí, temos que 𝑔(𝑥) ∈ K,
ou seja, 𝜕𝑔 = 0 ou 𝑔(𝑥) ≡ 0, o que é uma contradição.
Teorema 3.3. Seja K um corpo de números. Todo polinômio irredutível em K[𝑥] é separável sobre C.
Demonstração: Seja 𝑓 (𝑥) ∈ K[𝑥] um polinômio irredutível em K[𝑥].
Assim, 𝑓 (𝑥) não é divisível por um polinômio de grau maior que 1.
Logo, 𝑓 e 𝐷𝑓 não possuem um fator comum de grau maior que zero,
ou seja, se 𝑔(𝑥) | 𝑓 (𝑥) e 𝑔(𝑥) | 𝐷𝑓 (𝑥) em K[𝑥], então 𝜕𝑔 = 0, o que
implica que 𝑔 é inversível em K[𝑥], pois K é corpo.
Com isso, temos pela Observação 2.4 que a unidade é um MDC
entre 𝑓 e 𝐷𝑓. Pela Identidade de Bezout, devem existir 𝑎(𝑥), 𝑏(𝑥) ∈ K[𝑥]
tais que
𝑎𝑓 + 𝑏𝐷𝑓 = 1.
Como 𝑎(𝑥), 𝑏(𝑥) ∈ C[𝑥], temos pela Observação 2.6 que a unidade é um
MDC entre 𝑓 e 𝐷𝑓 também em C[𝑥]. Portanto, 𝑓 e 𝐷𝑓 não possuem
um fator comum de grau maior que zero em C[𝑥]. Finalmente, pelo
Lema 3.3 temos que 𝑓 (𝑥) não é divisível por um polinômio de grau
maior que 1 em C[𝑥].
Portanto, 𝑓 (𝑥) não possui raízes múltiplas em C, pois se 𝑐 ∈ C
fosse uma raiz de multiplicidade 2, então obteríamos (𝑥 − 𝑐)2 | 𝑓 (𝑥),
pela Proposição A.2, o que é uma contradição. Logo, 𝑓 (𝑥) é separável
sobre C.
82
Capítulo 3. TEORIA DOS NÚMEROS ALGÉBRICOS
A partir de agora, focaremos nossos estudos nos corpos ciclotômicos e, por isso, esses merecem uma seção separada, apesar de também
serem extensões algébricas. Nesse contexto, o Teorema 3.3 é importante
para a melhor compreensão da definição de norma e traço de elementos
em corpos ciclotômicos.
3.2 CORPOS CICLOTÔMICOS
No dia 1o de março de 1847, Gabriel Lamé (1796-1870) anunciou ter provado o UTF totalmente. De acordo com Stewart (2002),
Lamé esboçou uma prova em que introduziu as raízes n-ésimas da unidade e a fatoração da equação 𝑥𝑝 + 𝑦 𝑝 = 𝑧 𝑝 em termos lineares
𝑥𝑝 + 𝑦 𝑝 = (𝑥 + 𝑦)(𝑥 + 𝜁𝑝 𝑦) · · · (𝑥 + 𝜁𝑝𝑝−1 𝑦)
onde 𝜁𝑝 = e
𝑝
2𝜋𝑖
𝑝
(3.11)
e 𝑝 é um primo ímpar. Para provar isso ele considerou
𝑝
𝑥 − 𝑦 como um polinômio em 𝑥 com coeficientes em C[𝑦], ou seja,
em C[𝑦][𝑥]. Essa expressão se anula quando 𝑥𝑝 = 𝑦 𝑝 , em que 𝑥 = 𝜁𝑝𝑘 𝑦
para 0 ≤ 𝑘 ≤ 𝑝 − 1. Portanto, 𝑥𝑝 − 𝑦 𝑝 é divisível por 𝑥 − 𝜁𝑝𝑘 𝑦 para
0 ≤ 𝑘 ≤ 𝑝 − 1. Por isso é divisível pelo produto
(𝑥 − 𝑦)(𝑥 − 𝜁𝑝 𝑦) · · · (𝑥 − 𝜁𝑝𝑝−1 𝑦),
que tem grau n e coeficiente dominante 1, assim como 𝑥𝑝 − 𝑦 𝑝 , logo os
dois são iguais. Agora substituindo 𝑦 por −𝑦 e lembrando que 𝑝 é um
primo ímpar temos a fatoração dada na Equação (3.11), que ocorre no
anel Z[𝜁], pois procuramos por 𝑥, 𝑦 inteiros. Ainda, Lamé concluiu o
mesmo que concluímos do Teorema 1.3, ou seja, que precisamos considerar apenas o caso em que 𝑚𝑑𝑐(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 1 para verificar que a equação
𝑥𝑝 +𝑦 𝑝 = 𝑧 𝑝 não possui soluções inteiras. Considerando esse caso, Lamé
deduziu que os termos do produto (𝑥 + 𝑦)(𝑥 + 𝜁𝑝 𝑦) · · · (𝑥 + 𝜁𝑝𝑝−1 𝑦) são
todos dois a dois primos entre si ou se dois deles tem um fator comum,
esse dever ser comum a todos. Com isso, a igualdade
𝑧 𝑝 = (𝑥 + 𝑦)(𝑥 + 𝜁𝑝 𝑦) · · · (𝑥 + 𝜁𝑝𝑝−1 𝑦),
(3.12)
3.2. CORPOS CICLOTÔMICOS
83
deveria implicar que existem 𝑡1 , · · · , 𝑡𝑝 ∈ Z[𝜁] tais que
𝑥 + 𝑦 = 𝑡𝑝1
𝑥 + 𝜁𝑝 𝑦 = 𝑡𝑝2
..
.
𝑝−1
𝑥 + 𝜁𝑝 𝑦 = 𝑡𝑝𝑝 .
(3.13)
A ideia de Lamé era gerar uma descida infinita nos inteiros e
com isso provar o UTF. Segundo Edwards (1977), Lamé apresentou essa
ideia de forma entusiástica, mas reconhecendo que a ideia não tinha sido
ao todo sua, pois surgira de uma conversa com o também matemático da
época, Joseph Liouville (1809–1882), alguns meses antes. Apesar disso,
ao fim da apresentação da ideia de Lamé, foi Liouville que apontou
um problema em sua ideia, e ao mesmo tempo, não se mostrou muito
entusiasmado. Primeiramente, Liouville afirmou que a ideia de usar
números complexos nesse tipo de problemas já havia surgido de mentes
como Euler, Lagrange, Gauss e outros. Além disso, Liouville levantou
a seguinte questão: como Lamé poderia concluir que cada fator 𝑥 + 𝜁𝑝𝑖 𝑦
era uma potência 𝑝−ésima se a única coisa que ele havia mostrado era
que os fatores eram relativamente primos e que o produto era uma
𝑝−ésima potência?
O que Lamé fez foi trabalhar com os complexos considerando
que esses apresentam as mesmas propriedades dos inteiros, o que não é
verdade. A ideia de Lamé só poderia ser levada adiante se a unicidade
da fatoração na Equação (3.12) fosse garantida. Caso contrário, pode
existir uma outra fatoração de 𝑧 𝑝 , a qual retiraria a obrigatoriedade de
cada termo 𝑥 + 𝜁𝑝 𝑦 ser uma 𝑝−ésima potência.
Ainda de acordo com Edwards (1977), apesar do problema
apontado, Lamé continuou considerando que sua ideia era certa e que
ele garantira a unicidade da fatoração de complexos com seus exemplos.
Em 15 de março seguinte, Wantzel (1814-1848) provou a unicidade da
fatoração em primos, mas apenas usou argumentos para os casos em
que 𝑛 é menor que 5, que já haviam sido provados. Segundo ele, uma
84
Capítulo 3. TEORIA DOS NÚMEROS ALGÉBRICOS
pequena adaptação era necessária para estender esse resultado para
qualquer 𝑛 natural. Foi aí que Cauchy (1789-1857) alertou-o para que
não tirasse conclusões precipitadas, pois trabalhava em um algoritmo
da divisão para números complexos, que era muito complicado, ou seja,
a solução do problema não poderia ser tão simples.
A ideia de provar a unicidade da fatoração em primos de números complexos veio abaixo quando Liouville recebeu uma carta de
Ernst Kummer (1810-1893), onde ele dizia apoiar Liouville em suas
contestações em relação a ideia de Lamé. Segundo Singh (2008), Kummer era um dos melhores teóricos de números de todo o mundo, mas
era exacerbadamente patriota e alimentava um ódio contra Napoleão,
pois quando Kummer era criança, o exército francês invadiu sua cidade
natal, Soreu, e espalhou uma epidemia de tifo que matou seu pai, que
era médico da cidade. Isso atrapalhou sua carreira como teórico de números, já que, por isso, após sair da universidade, Kummer dedicou
seu tempo a estudar as leis da balística e estabelecer carreira militar,
querendo a todo custo ajudar a defender seu país.
Ainda assim, Kummer se dedicou à matemática pura juntamente com a carreira militar. Soube da ideia de Lamé e, em 24 de maio
de 1847, enviou uma carta a Liouville incluindo uma cópia de um texto
seu publicado três anos antes, onde ele já havia provado que a unicidade
da fatoração não era válida em casos que Lamé utilizava. Entretanto,
a ideia poderia ser salva introduzindo o conceito, criado por ele, de
‘números ideais’, o qual será explanado no próximo capítulo.
Para começar, precisamos saber mais sobre as raízes da unidade
e como se comportam as adjunções dessas raízes ao corpo dos racionais. Nesta seção finalmente apresentaremos os corpos ciclotômicos e
algumas de suas propriedades.
Definição 3.7. Seja 𝑛 um inteiro positivo. Dizemos que 𝜁 é uma raiz
𝑛−ésima da unidade se 𝜁 𝑛 = 1. Quando 𝜁 𝑚 ̸= 1 para todo 𝑚 ∈
{1, · · · , 𝑛−1}, dizemos que 𝜁 é uma raiz 𝑛−ésima primitiva da unidade.
3.2. CORPOS CICLOTÔMICOS
85
Definição 3.8. Seja 𝜁𝑛 uma raiz 𝑛−ésima primitiva da unidade. O
corpo Q(𝜁𝑛 ) é chamado 𝑛−ésimo corpo ciclotômico.
A partir de agora, denotaremos a 𝑝−ésima raiz da unidade
apenas como 𝜁, para simplificar notações. Sabemos que 𝜁 = e
2𝜋𝑖
𝑝
∈ C,
onde 𝑝 é um primo natural e ímpar. Além disso, 𝜁 é algébrico sobre Q,
pois é raiz do polinômio 𝑥𝑝 − 1. Mas, 𝑥𝑝 − 1 não é o polinômio mínimo
de 𝜁 sobre Q, pois
𝑥𝑝 − 1 = (𝑥 − 1)(𝑥𝑝−1 + 𝑥𝑝−2 + · · · + 𝑥 + 1),
o que implica que 𝜁 é raiz de 𝑓 (𝑥) = 𝑥𝑝−1 + 𝑥𝑝−2 + · · · + 𝑥 + 1. Usando
o Critério de Eisenstein 2 , mostraremos que 𝑓 (𝑥) é irredutível em Q[𝑥].
Temos que a aplicação 𝜙 : Q[𝑥] −→ Q[𝑥] definida por 𝜙(𝑓 (𝑥)) = 𝑓 (𝑥+1)
é, claramente, um isomorfismo. Então, suponhamos que 𝑓 (𝑥 + 1) seja
irredutível em Q[𝑥]. Assim, se 𝑓 (𝑥) = 𝑔(𝑥)ℎ(𝑥), com 𝑔(𝑥), ℎ(𝑥) ∈ Q[𝑥],
temos
𝜙(𝑓 (𝑥)) = 𝑓 (𝑥 + 1) = 𝑔(𝑥 + 1)ℎ(𝑥 + 1).
Como 𝑓 (𝑥 + 1) é irredutível, segue que 𝑔(𝑥 + 1) é inversível ou ℎ(𝑥 + 1)
é inversível. Assim, se 𝑔(𝑥 + 1) = 𝜙(𝑔(𝑥)) é inversível temos que
𝑔(𝑥)𝜙−1 (𝑔(𝑥 + 1)−1 ) = 𝜙−1 (𝑔(𝑥 + 1))𝜙−1 (𝑔(𝑥 + 1)−1 )
= 𝜙−1 (𝑔(𝑥 + 1)𝑔(𝑥 + 1)−1 )
= 1,
ou seja, 𝑔(𝑥) é inversível. Do mesmo modo, supondo ℎ(𝑥) inversível concluímos que ℎ(𝑥) é inversível. Portanto, se 𝑓 (𝑥 + 1) é irredutível, então
𝑓 (𝑥) também o é. Logo, precisamos mostrar que 𝑓 (𝑥 + 1) é irredutível
em Q[𝑥].
Usando 𝑓 (𝑥) =
obtemos
𝑥𝑝 − 1
e a fórmula do Binômio de Newton,
𝑥−1
(︃
)︃
(︃ )︃
(︃ )︃
𝑝
𝑝
𝑝
(𝑥 + 1)𝑝 − 1
𝑓 (𝑥 + 1) =
= 𝑥𝑝−1 +
𝑥𝑝−2 + · · · +
𝑥+
,
(𝑥 + 1) − 1
𝑝−1
2
1
2
Ver Proposição A.3 do Apêndice A
86
Capítulo 3. TEORIA DOS NÚMEROS ALGÉBRICOS
onde
(︃ )︃
𝑝
𝑛
=
𝑝!
𝑝(𝑝 − 1) · · · (𝑝 − 𝑛 + 1)
=
.
𝑛!(𝑝 − 𝑛)!
𝑛!
Ainda, sabemos que os coeficientes de 𝑓 (𝑥 + 1) devem ser inteiros. Logo, 𝑛! deve dividir 𝑝(𝑝 − 1) · · · (𝑝 − 𝑛 + 1). Mas como 𝑛! é um
produto de valores menores que 𝑝 e 𝑝(︁é)︁primo, nenhum desses valores
𝑝
divide 𝑝, o que implica que 𝑝 divide 𝑛 para todo 1 ≤ 𝑛 ≤ 𝑝 − 1. E
como o coeficiente
(︁ )︁ dominante é 1, obtemos que 𝑝 não o divide. Além
𝑝
disso, 𝑝 divide 1 = 𝑝 e 𝑝2 - 𝑝. Portanto, pelo Critério de Eisenstein,
𝑓 (𝑥 + 1) é irredutível em Q[𝑥] e, consequentemente, 𝑓 (𝑥) é irredutível
em Q[𝑥].
Com isso, 𝑓 (𝑥) = 𝑃𝜁/Q (𝑥). Assim, pelo Teorema 3.1, temos que
Q(𝜁) é um Q−espaço vetorial finitamente gerado pelas potências de 𝜁,
de 1 até 𝜁 𝑝−2 , ou seja,
Q(𝜁)
=
{𝑓 (𝜁) : 𝑓 (𝑥) ∈ Q[𝑥]}
= {𝑎0 + 𝑎1 𝜁 + · · · + 𝑎𝑝−2 𝜁 𝑝−2 : 𝑎0 , 𝑎1 , · · · , 𝑎𝑝−2 ∈ Q}.
Observação 3.8. Note que 𝜁 𝑗 ∈ Q(𝜁) para todo 𝑗 inteiro. De fato, se
0 ≤ 𝑗 ≤ 𝑝, isso é óbvio. Se 𝑗 > 𝑝 então devem existir 𝑞, 𝑟 ∈ N tais que
𝑗 = 𝑝𝑞 + 𝑟, com 0 ≤ 𝑟 < 𝑝, Assim,
𝜁 𝑗 = 𝜁 𝑝𝑞+𝑟 = 𝜁 𝑝𝑞 𝜁 𝑟 = 𝜁 𝑟 ∈ Q(𝜁).
Por fim, se 𝑗 é um inteiro negativo, então 𝜁 𝑝−𝑗 ∈ Q(𝜁), pois 𝑝 − 𝑗 > 0.
Além disso, 𝜁 𝑗 é inversível, pois se 𝑗 < 𝑝, então 𝜁 𝑗 𝜁 𝑝−𝑗 = 1 e
se 𝑗 > 𝑝 então 𝜁 𝑗 𝜁 𝑝𝑞−𝑗 = 1. Por isso, denotaremos o inverso de 𝜁 𝑗 por
𝜁 −𝑗 .
Proposição 3.4. O corpo de frações de Z[𝜁] é igual a Q(𝜁).
Demonstração: Suponhamos que K seja o corpo de frações de Z[𝜁].
É óbvio que Z[𝜁] ⊆ Q(𝜁). Ainda,
{︁ 𝑎
}︁
K=
: 𝑎, 𝑏 ∈ Z[𝜁] .
𝑏
3.2. CORPOS CICLOTÔMICOS
87
Então, se 𝑥 ∈ Q(𝜁) temos que
𝑥=
𝑎0
𝑎1
𝑎𝑝−2
+ 𝜁 + ··· +
,
𝑏0
𝑏1
𝑏𝑝−2
com 𝑎𝑖 ∈ Z e 𝑏𝑖 ∈ Z* , para todo 0 ≤ 𝑖 ≤ 𝑝 − 2, pois Q é o corpo de
frações de Z. Assim,
𝑥=
𝑎0 𝑏1 · · · 𝑏𝑝−2 𝜁 + 𝑎1 𝑏0 𝑏2 · · · 𝑏𝑝−2 + · · · + 𝑎𝑝−2 𝑏0 · · · 𝑏𝑝−3 𝜁 𝑝−2
,
𝑏0 𝑏1 · · · 𝑏𝑝−2
donde 𝑥 ∈ K e
Z[𝜁] ⊆ Q(𝜁) ⊆ K.
Por outro lado, se 𝑥 ∈ K, então existem 𝑎, 𝑏 ∈ Z[𝜁], com 𝑏 ̸= 0, tais que
𝑥 = 𝑎𝑏 . Então, de 𝑎, 𝑏 ∈ Z[𝜁] segue que 𝑎, 𝑏 ∈ Q(𝜁) e, como 𝑏 ̸= 0, temos
que 𝑏 é inversível em Q(𝜁). Logo, 𝑏−1 ∈ Q(𝜁) e, consequentemente,
𝑥=
𝑎
= 𝑎𝑏−1 ∈ Q(𝜁).
𝑏
Portanto, K = Q(𝜁).
Observação 3.9. Provaremos, ainda neste capítulo, que Z[𝜁] é o anel
de inteiros algébricos de Q(𝜁). Por esse motivo, dizemos que Z[𝜁] é o
𝑝−ésimo anel de inteiros ciclotômicos.
3.2.1
Norma e traço
Definiremos norma e traço de elementos para qualquer corpo
de números da forma L = Q(𝜃) e, em seguida, aplicaremos a definição
para o corpo dos números ciclotômicos.
Teorema 3.4. Seja L = Q(𝜃) um corpo de números de grau 𝑛 sobre
Q, ou seja, [L : Q] = 𝑛. Então, existem exatamente 𝑛 monomorfismos
distintos 𝜎𝑖 : L → C, 𝑖 = 1, · · · , 𝑛. Os elementos 𝜎𝑖 (𝜃) = 𝜃𝑖 são as
raízes em C do polinômio mínimo de 𝜃 sobre Q.
Observação 3.10. A demonstração do Teorema 3.4 pode ser encontrada em Endler (2007, p. 58) e é feita de maneira construtiva. Os
monomorfismos construídos são extensões do isomorfismo identidade,
88
Capítulo 3. TEORIA DOS NÚMEROS ALGÉBRICOS
ou seja, se 𝑎 ∈ Q então 𝜎𝑖 (𝑎) = 𝑎 para todo 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛. Basta, então,
definir os monomorfismos para o elemento 𝜃 e aplicar as propriedades
de monomorfismos para os elementos não racionais. Ainda, esses monomorfismos são todos distintos, pois do Teorema 3.3 obtemos que as
raízes do polinômio mínimo de 𝜃 são todas distintas.
Definição 3.9. Sejam L = Q(𝜃) um corpo de números de grau 𝑛 sobre
Q e 𝜎1 , · · · 𝜎𝑛 os monomorfismos de L em C. Dado um elemento 𝛼 ∈ L,
define-se a norma e o traço de 𝛼 em relação à extensão L de Q, como
sendo respectivamente:
𝑁 (𝛼) =
𝑛
∏︁
𝜎𝑖 (𝛼)
(3.14)
𝜎𝑖 (𝛼).
(3.15)
𝑖=1
𝑇 𝑟(𝛼) =
𝑛
∑︁
𝑖=1
Observação 3.11. Considere L = Q(𝛼). Se o grau de L é 𝑛, então o
polinômio mínimo de 𝛼 em Q é dado por
𝑃𝛼/Q (𝑥) = 𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑥𝑛−1 + · · · + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0 .
Assim, pelas Relações de Girard3 , obtemos
𝑇 𝑟(𝛼) = −𝑎𝑛−1 ∈ Q
𝑁 (𝛼) = (−1)𝑛 𝑎0 ∈ Q.
(3.16)
Proposição 3.5. Seja L um corpo de números com de grau 𝑛 e sejam
𝑥, 𝑦 ∈ Q(𝛼) e 𝑎 ∈ Q. Valem as seguintes propriedades:
1. 𝑇 𝑟(𝑥 + 𝑦) = 𝑇 𝑟(𝑥) + 𝑇 𝑟(𝑦);
2. 𝑁 (𝑥𝑦) = 𝑁 (𝑥)𝑁 (𝑦);
3. 𝑇 𝑟(𝑎) = 𝑛𝑎;
4. 𝑁 (𝑎) = 𝑎𝑛 .
3
Ver Apêndice B
3.2. CORPOS CICLOTÔMICOS
89
5. 𝑇 𝑟(𝑎𝑥) = 𝑎𝑇 𝑟(𝑥);
Demonstração: As propriedades 1 e 2 são consequências diretas da
definição de monomorfismos. De fato, se 𝜎1 , · · · 𝜎𝑛 são os monomorfismos de L em C, temos que
𝑇 𝑟(𝑥 + 𝑦) =
𝑛
∑︁
𝜎𝑖 (𝑥 + 𝑦) =
𝑖=1
e
𝜎𝑖 (𝑥) +
𝑖=1
𝑛
∏︁
𝑁 (𝑥𝑦) =
𝑛
∑︁
𝜎𝑖 (𝑥𝑦) =
𝑛
∏︁
𝜎𝑖 (𝑦) = 𝑇 𝑟(𝑥) + 𝑇 𝑟(𝑦)
𝑖=1
𝜎𝑖 (𝑥)
𝑖=1
𝑖=1
𝑛
∑︁
𝑛
∏︁
𝜎𝑖 (𝑦) = 𝑁 (𝑥)𝑁 (𝑦).
𝑖=1
Já as propriedades 3 e 4 vêm da Observação 3.10. Com efeito,
𝑇 𝑟(𝑎) =
𝑛
∑︁
𝜎𝑖 (𝑎) =
𝑖=1
e
𝑁 (𝑎) =
𝑛
∏︁
𝑖=1
𝜎𝑖 (𝑎) =
𝑛
∑︁
𝑎 = 𝑛𝑎
𝑖=1
𝑛
∏︁
𝑎 = 𝑎𝑛 .
𝑖=1
Por fim, para a propriedade 5, temos
𝑇 𝑟(𝑎𝑥) =
𝑛
∑︁
𝑖=1
𝜎𝑖 (𝑎𝑥) =
𝑛
∑︁
𝜎𝑖 (𝑎)𝜎𝑖 (𝑥) = 𝑎
𝑖=1
𝑛
∑︁
𝜎𝑖 (𝑥) = 𝑎𝑇 𝑟(𝑥).
𝑖=1
Exemplo 3.5. Seja L = Q(𝑖). No Exemplo 3.3, concluímos que 𝑃𝑖/Q (𝑥) =
𝑥2 + 1, que possui como raízes os números complexos 𝑖, −𝑖. Logo, os
monomorfismos de Q(𝑖) em C são definidos como
𝜎1 (𝑎) = 𝜎2 (𝑎) = 𝑎, para todo 𝑎 ∈ Q
𝜎1 (𝑖) = 𝑖 e 𝜎2 (𝑖) = −𝑖.
Assim, pelas Equações (3.16), temos que
𝑇 𝑟(𝑖) = −𝑎1 = 0
𝑁 (𝑖) = (−1)2 𝑎0 = 1.
90
Capítulo 3. TEORIA DOS NÚMEROS ALGÉBRICOS
Considerando 𝛼 = 𝑎 + 𝑏𝑖 ∈ Q(𝑖), obtemos
𝑇 𝑟(𝑎 + 𝑏𝑖) = 𝑇 𝑟(𝑎) + 𝑏𝑇 𝑟(𝑖) = 2𝑎
𝑁 (𝑎 + 𝑏𝑖) = 𝜎1 (𝑎 + 𝑏𝑖)𝜎2 (𝑎 + 𝑏𝑖)
=
[𝜎1 (𝑎) + 𝜎1 (𝑏)𝜎1 (𝑖)][𝜎2 (𝑎) + 𝜎2 (𝑏)𝜎2 (𝑖)]
=
(𝑎 + 𝑏𝑖)[𝑎 + 𝑏(−𝑖)]
=
𝑎2 + 𝑏2 .
Exemplo 3.6. Finalmente, podemos definir a norma e o traço de elementos em Q(𝜁). Já vimos que 𝑃𝜁/Q (𝑥) = 𝑥𝑝−1 + 𝑥𝑝−2 + · · · + 𝑥 + 1.
Assim, por (3.16), obtemos
𝑇 𝑟(𝜁) = −1
𝑁 (𝜁) = 1.
(3.17)
Além disso, sabemos que as raízes de 𝑃𝜁/Q são 𝜁, 𝜁 2 , · · · , 𝜁 𝑝−1 . Assim,
os monomorfismos 𝜎𝑖 de Q(𝜁) em C são definidos por
𝜎𝑖 (𝜁) = 𝜁 𝑖 e 𝜎𝑖 (𝑎) = 𝑎,
para todo 𝑎 ∈ Q.
Agora que já definimos traço e norma de elementos de Q(𝜁),
somos capazes de encontrar o anel de inteiros algébricos do mesmo.
Proposição 3.6. Os elementos 1 − 𝜁 e 1 − 𝜁 𝑗 são associados em 𝐼Q(𝜁) ,
para todo 0 ≤ 𝑗 ≤ 𝑝 − 1.
Demonstração: Temos que
1 − 𝜁 𝑗 = (1 − 𝜁)(𝜁 𝑗−1 + 𝜁 𝑗−2 + · · · + 𝜁 + 1).
(3.18)
Assim, 1 − 𝜁 divide 1 − 𝜁 𝑗 . Ainda, note que a unidade é um MDC entre
𝑗 e 𝑝 − 1, e, pela Identidade de Bezout (Teorema 2.1), devem existir
𝑡, 𝑠 ∈ Z tais que 𝑗𝑡 = 𝑝𝑠 + 1. E como
𝑥𝑝 − 1 = (𝑥 − 1)(𝑥𝑝−1 + · · · + 𝑥 + 1),
3.2. CORPOS CICLOTÔMICOS
91
basta tomarmos 𝑥 = 𝜁 𝑗 e 𝑝 = 𝑡 para obtermos
1 − 𝜁 𝑗𝑡 = (1 − 𝜁 𝑗 )(𝜁 𝑗(𝑡−1) + 𝜁 𝑗(𝑡−2) + · · · + 𝜁 𝑗𝑡 + 1).
Logo, 1 − 𝜁 𝑗 divide 1 − 𝜁 𝑗𝑡 , que é igual a 1 − 𝜁, pois
𝜁 𝑗𝑡 = 𝜁 𝑝𝑠+1 = e
2𝜋(𝑝𝑠+1)𝑖
𝑝
= e2𝜋𝑠𝑖 e
2𝜋𝑖
𝑝
= 𝜁.
Portanto, 1 − 𝜁 e 1 − 𝜁 𝑗 são associados em 𝐼Q(𝜁) .
Lema 3.4. O traço e a norma de 𝜁 𝑗 são iguais ao traço e a norma de
𝜁, respectivamente, para todo 𝑗 inteiro e positivo.
Demonstração: Primeiramente,
𝑁 (𝜁 𝑗 ) = 𝑁 (𝜁)𝑗 = 1 = 𝑁 (𝜁).
Ainda,
𝑇 𝑟(𝜁 𝑗 ) =
𝑝−1
∑︁
𝑖=1
𝜎𝑖 (𝜁 𝑗 ) =
𝑝−1
∑︁
𝑖=1
𝜎𝑖 (𝜁)𝑗 =
𝑝−1
∑︁
𝜁 𝑖𝑗 = 𝜁 𝑗 + 𝜁 2𝑗 + · · · + 𝜁 (𝑝−1)𝑗 .
𝑖=1
(3.19)
𝑗
Multiplicando ambos os lados da Equação (3.19) por 𝜁 , obtemos
𝜁 𝑗 𝑇 𝑟(𝜁 𝑗 ) = 𝜁 2𝑗 + 𝜁 3𝑗 + · · · + 𝜁 𝑝𝑗 .
(3.20)
E subtraindo a Equação (3.20) da Equação (3.19),
𝜁 𝑗 𝑇 𝑟(𝜁 𝑗 ) − 𝑇 𝑟(𝜁 𝑗 ) = 𝜁 𝑝𝑗 − 𝜁 𝑗 ⇒ 𝑇 𝑟(𝜁 𝑗 ) =
𝜁 𝑝𝑗 − 𝜁 𝑗
= −1 = 𝑇 𝑟(𝜁).
𝜁𝑗 − 1
Proposição 3.7. O anel dos inteiros algébricos de Q(𝜁) é igual a Z[𝜁].
Demonstração: De 𝑃𝜁/Q (𝑥) = 𝑥𝑝−1 + 𝑥𝑝−2 + · · · + 𝑥 + 1, segue que
𝑃𝜁/Q (𝑥) = (𝑥 − 𝜁)(𝑥 − 𝜁 2 ) · · · (𝑥 − 𝜁 𝑝−1 ) =
𝑝−1
∏︁
𝑖=1
(𝑥 − 𝜁 𝑖 )
92
Capítulo 3. TEORIA DOS NÚMEROS ALGÉBRICOS
e
𝑝 = 𝑃𝜁/Q (1) =
𝑝−1
∏︁
(1 − 𝜁 𝑖 ) = 𝑢(1 − 𝜁)𝑝−1 ,
(3.21)
𝑖=1
onde 𝑢 é inversível em 𝐼Q(𝜁) . Dessa forma, conclui-se que 1 − 𝜁 não é
inversível em 𝐼Q(𝜁) , pois se fosse o inverso multiplicativo de 𝑝 estaria
em 𝐼Q(𝜁) e em Q. Mas 𝐼Q(𝜁) ∩ Q = Z, pois Z é integralmente fechado,
como visto no Exemplo 3.1. Aí temos uma contradição, pois 𝑝 não é
inversível em Z.
Dado 𝑏 ∈ 𝐼Q(𝜁) , temos que existem únicos 𝑎0 , · · · , 𝑎𝑝−2 ∈ Q
tais que
𝑏 = 𝑎0 + 𝑎1 𝜁 + · · · + 𝑎𝑝−2 𝜁 𝑝−2 .
(3.22)
Assim, para mostrarmos que 𝐼Q(𝜁) é igual a Z[𝜁] basta mostrar que
𝑎𝑖 ∈ Z, para todo 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑝 − 2. Multiplicando ambos os lados da
Equação (3.22) por 𝜁 obtemos
𝑏𝜁 = 𝑎0 𝜁 + 𝑎1 𝜁 2 + · · · + 𝑎𝑝−2 𝜁 𝑝−1 .
(3.23)
E subtraindo a Equação (3.23) da Equação (3.22), obtemos
𝑏(1 − 𝜁) = 𝑎0 (1 − 𝜁) + 𝑎1 (𝜁 − 𝜁 2 ) + · · · + 𝑎𝑝−2 (𝜁 𝑝−2 − 𝜁 𝑝−1 ). (3.24)
Agora vamos calcular o traço do elemento 𝑏(1 − 𝜁). Do Lema
3.4, segue que o traço de 𝜁 é igual ao traço de 𝜁 𝑗 para qualquer 𝑗
natural, ou seja, 𝑇 𝑟(𝜁) = 𝑇 𝑟(𝜁 𝑗 ). Com isso,
𝑇 𝑟(𝑏(1 − 𝜁)) = 𝑇 𝑟(𝑎0 (1 − 𝜁))
=
𝑎0 [𝑇 𝑟(1) − 𝑇 𝑟(𝜁)]
=
𝑎0 [(𝑝 − 1) − (−1)]
=
𝑎0 𝑝 ∈ Q.
(3.25)
Por outro lado, sendo 𝜎𝑖 (𝑏) = 𝑏𝑖 , com 𝑖 = 1, · · · , 𝑝 − 1, temos
𝑇 𝑟(𝑏(1 − 𝜁)) = 𝑇 𝑟(𝑏 − 𝑏𝜁)
=
=
=
=
𝑇 𝑟(𝑏) − 𝑇 𝑟(𝑏𝜁)
𝑏1 + · · · + 𝑏𝑝−1 − (𝑏1 𝜁 + · · · + 𝑏𝑝−1 𝜁 𝑝−1 )
𝑏1 (1 − 𝜁) + · · · + 𝑏𝑝−1 (1 − 𝜁
′
𝑏 (1 − 𝜁) ∈ Q(𝜁).
𝑝−1
)
(3.26)
3.2. CORPOS CICLOTÔMICOS
93
Comparando os resultados encontrados em (3.25) e em (3.26),
concluímos que 𝑎0 𝑝 ∈ ⟨1 − 𝜁⟩, onde ⟨1 − 𝜁⟩ é o ideal de 𝐼Q(𝜁) gerado
por 1 − 𝜁. Ainda, podemos concluir que 𝑇 𝑟(𝑏(1 − 𝜁)) ∈ 𝐼Q(𝜁) ∩ Q.
Com isso, 𝑇 𝑟(𝑏(1 − 𝜁)) ∈ Z, pois Z é integralmente fechado. Por outro
lado, sabemos que 𝑝Z é um ideal maximal de Z e é fácil concluir que
⟨1 − 𝜁⟩ ∩ Z é um ideal de Z. Além disso, pela Equação (3.21), temos
que 𝑝Z ⊆ ⟨1 − 𝜁⟩ ∩ Z. Logo, se ⟨1 − 𝜁⟩ ∩ Z ̸= 𝑝Z então ⟨1 − 𝜁⟩ ∩ Z = Z
e como 1 ∈ Z deve existir 𝑥 ∈ 𝐼Q(Z) tal que 1 = 𝑥(1 − 𝜁), o que é
uma contradição, pois provamos que 1 − 𝜁 não é inversível em 𝐼Q(𝜁) .
Portanto, temos
𝑎0 𝑝 = 𝑇 𝑟(𝑏(1 − 𝜁)) ∈ 𝑝Z ⇒ 𝑎0 𝑝 ∈ 𝑝Z ⇒ 𝑎0 ∈ Z.
Assim, falta mostrar que 𝑎1 , · · · , 𝑎𝑝−2 ∈ Z. Então, considerando 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑝 − 2 e multiplicando ambos os lados da Equação (3.22)
por 𝜁 𝑝−𝑗 obtemos
𝑏𝜁 𝑝−𝑗 =
𝑎0 𝜁 𝑝−𝑗 + 𝑎1 𝜁 𝑝−𝑗+1 + · · · + 𝑎𝑗−1 𝜁 𝑝−1 + 𝑎𝑗 + 𝑎𝑗+1 𝜁+
+ · · · + 𝑎𝑝−2 𝜁 𝑝−𝑗−2 .
(3.27)
Subtraindo a Equação (3.27) da Equação (3.22), temos
𝑏(1 − 𝜁 𝑝−𝑗 ) = 𝑎0 (1 − 𝜁 𝑝−𝑗 ) + · · · + 𝑎𝑗−1 (𝜁 𝑗−1 − 𝜁 𝑝−1 )+
+𝑎𝑗 (𝜁 𝑗 − 1) + · · · + 𝑎𝑝−2 (𝜁 𝑝−2 − 𝜁 𝑝−𝑗−2 ).
(3.28)
E assim,
𝑇 𝑟(𝑏(1 − 𝜁 𝑝−𝑗 )) = 𝑇 𝑟(𝑎0 (1 − 𝜁 𝑝−𝑗 )) + 𝑇 𝑟(𝑎𝑗 (𝜁 𝑗 − 1))
=
𝑎0 [(𝑝 − 1) − (−1)] + 𝑎𝑗 [−1 − (𝑝 − 1)]
=
𝑎0 𝑝 − 𝑎𝑗 𝑝 ∈ Q
(3.29)
De maneira parecida com a realizada anteriormente, podemos mostrar
que 𝑇 𝑟(𝑏(1 − 𝜁 𝑝−𝑗 )) ∈ 𝑝Z. E assim, pela Equação (3.29), temos que
𝑎𝑗 𝑝 ∈ 𝑝Z e consequentemente, 𝑎𝑗 ∈ Z para todo 0 ≤ 𝑗 ≤ 𝑝 − 1.
Portanto,
𝐼Q(𝜁) = Z[𝜁].
(3.30)
94
Capítulo 3. TEORIA DOS NÚMEROS ALGÉBRICOS
Por causa desse resultado, chamaremos o anel Z[𝜁] de anel de
inteiros ciclotômicos. Agora, podemos voltar ao problema da fatoração
única de elementos. Kummer provou que a unicidade da fatoração de
elementos não ocorre em todos os anéis de inteiros ciclotômicos. A teoria
de Lamé, então, não poderia ser aplicada a todos os primos. Precisavase de uma nova estratégia. A nova estratégia foi criada por Kummer e
generalizada por Dedekind, uma generalização que foi revolucionária.
Por isso, o próximo capítulo é dedicado a essas descobertas.
95
4 DOMÍNIOS DE DEDEKIND
Segundo Stewart (2002), a unicidade da fatoração em irredutíveis em um anel acontecia em alguns anéis importantes, mas não
acontecia em muitos outros. Então, os teóricos de números começaram
a procurar uma maneira de minimizar esse problema. Dois deles foram
Kummer e Dedekind (1831-1916). De acordo com Edwards (1977), em
11 de abril de 1847, pouco mais de um mês após o anúncio de Lamé,
Kummer completava sua teoria sobre os chamados por ele de números
ideais, introduzidos com o objetivo de “salvar” a unicidade da fatoração em irredutíveis para tais números. Para Kummer, se a fatoração em
irredutíveis não era única em um determinado anel, ele poderia estender esse anel a um outro onde a unicidade acontecesse. Assim, seriam
introduzidos novos elementos ao anel, os números ideais.
Como exemplo simples dessa técnica, sabemos que existem
√
duas fatorações para o número 10 no corpo Z( 15) : 10 = 2 · 5 =
√
√
√
(5 + 15)(5 − 15). Introduzindo 5 à fatoração,
5+
√
15 =
√ √
√
5( 5 + 3)
e 5−
√
15 =
√ √
√
5( 5 − 3).
Assim,
√ √
√
√ √ √
10 = 5 5( 5 + 3)( 5 − 3),
√ √
√ √ √ √
onde 5 = 5 5 e 2 = ( 5+ 3)( 5− 3). Assim, podemos estender o
√
√ √
corpo Z( 15) ao corpo Z( 3, 5), o que, segundo a teoria de Kummer,
restaura a unicidade da fatoração para este caso.
A partir da ideia de Kummer, Dedekind introduziu o conceito
de ideal de um anel, fazendo uma correspondência com os números ideais de Kummer. Em vez de fatorar elementos de um anel em elementos
irredutíveis, Dedekind desenvolveu uma teoria de fatoração de ideais
de um anel em ideais primos (conceito adaptado de elementos primos).
96
Capítulo 4. DOMÍNIOS DE DEDEKIND
E notou que vários anéis não apresentam a unicidade da fatoração de
elementos, mas apresentam a fatoração única de ideais.
A definição da fatoração única de ideais é mais simples que a
de elementos, já que podemos desconsiderar os elementos inversíveis,
pois se 𝐼 é um ideal de um domínio 𝐴 e 𝑢 um elemento inversível então
𝑢𝐼 = 𝐼, ou seja, não precisamos considerar os elementos inversíveis
na fatoração, como acontecia na fatoração de elementos. Por isso, o
objetivo desta seção é provar a unicidade da fatoração de ideais em Z[𝜁],
que é importantíssima para a demonstração do Teorema de Kummer.
A unicidade da fatoração de ideais em ideais primos não acontece apenas em Z[𝜁]. Dedekind definiu condições suficientes para que
um domínio apresente essa unicidade. Esses domínios são conhecidos
como domínios de Dedekind. É possível provar que todo anel de inteiros algébricos de um corpo de números é um domínio de Dedekind,
apesar de que, aqui, focaremos esses resultados para o anel de inteiros
ciclotômicos Z[𝜁].
4.1 DOMÍNIOS DE DEDEKIND
Definição 4.1 (Domínio de Dedekind). Um domínio 𝐴 é dito domínio
de Dedekind se é integralmente fechado, noetheriano e todos os seus
ideais primos não nulos são maximais.
Lema 4.1. Todo ideal primo não nulo de Z é maximal.
Demonstração: Seja 𝐼 um ideal primo não nulo de Z. Então, deve
existir 𝑚 ∈ Z positivo e não nulo tal que 𝐼 = 𝑚Z, pois Z é um domínio
principal pelo Exemplo 2.5. Vamos mostrar, primeiramente, que 𝑚 é
primo.
Seja 𝑡 ∈ N tal que 𝑡 | 𝑚. Assim, 𝑚 = 𝑡𝑠, para algum 𝑠 ∈ N, o
que implica que 𝑡𝑠 ∈ 𝑚Z. Como 𝑚Z é ideal primo, 𝑡 ∈ 𝑚Z ou 𝑠 ∈ 𝑚Z.
4.1. DOMÍNIOS DE DEDEKIND
97
Se 𝑡 ∈ 𝑚Z, temos que existe 𝑢 ∈ N tal que 𝑡 = 𝑚𝑢. Logo,
𝑚 = 𝑡𝑠 = (𝑚𝑢)𝑠 ⇒ 𝑚(1 − 𝑢𝑠) = 0 ⇒ 𝑢𝑠 = 1,
pois 𝑚 é não nulo e Z é domínio. Assim, 𝑠 = 1, o que implica que
𝑚 = 𝑡.
Agora, se 𝑠 ∈ 𝑚Z, obtemos 𝑠 = 𝑚𝑣, para algum 𝑣 ∈ N. Então,
𝑚 = 𝑡𝑚𝑣 ⇒ 𝑚(1 − 𝑡𝑣) = 0 ⇒ 𝑡𝑣 = 1.
Logo, 𝑡 = 1. Portanto, se 𝑡 | 𝑚, obtemos 𝑡 = 1 ou 𝑡 = 𝑚, o que implica
que 𝑚 é primo em Z.
Suponhamos, então, que exista 𝑛 ∈ Z tal que
𝑚Z ⊆ 𝑛Z ⊆ Z.
Temos que 𝑚 ∈ 𝑛Z, ou seja, 𝑛 | 𝑚. Como 𝑚 é primo, obtemos 𝑛 = 1
ou 𝑛 = 𝑚. Se 𝑛 = 1 então 𝑛Z = Z. Já se 𝑛 = 𝑚 então 𝑛Z = 𝑚Z.
Portanto, 𝐼 = 𝑚Z é ideal maximal de Z.
Corolário 4.1. O anel Z é um domínio de Dedekind.
Demonstração: De fato, temos que Z é um domínio noetheriano, pois
é um domínio principal pelo Exemplo 2.5. Além disso, Z é integralmente
fechado, como visto no Exemplo 3.1. Por fim, todo ideal primo não nulo
de Z é maximal, fato mostrado no Lema 4.1.
Proposição 4.1. O anel Z[𝜁] é um domínio de Dedekind.
Demonstração: Devemos mostrar que
1. Z[𝜁] é um domínio noetheriano.
Sabemos, do Exemplo 2.5, que Z é um domínio principal e, do
visto no Teorema 3.1, que Z[𝜁] é um Z−módulo finitamente gerado. Ainda, temos que se 𝐼 é um ideal de Z[𝜁]. Então, 𝐼 é um
98
Capítulo 4. DOMÍNIOS DE DEDEKIND
Z−submódulo de Z[𝜁], consequência direta da definição de submódulos (Ver Apêndice C), pois 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐼 implica em 𝑥 + 𝑦 ∈ 𝐼 e
se 𝑎 ∈ 𝑍 ⊆ 𝑍[𝜁] e 𝑥 ∈ 𝐼 então 𝑎𝑥 ∈ 𝐼.. Assim, usando a Proposição C.1, obtemos que 𝐼 é finitamente gerado. Portanto, Z[𝜁] é
noetheriano.
2. Z[𝜁] é integralmente fechado.
Segue da Proposição 3.4 que Q(𝜁) é o corpo de frações de Z[𝜁].
Logo, precisamos mostrar que 𝐼Q(𝜁) (Z[𝜁]) é igual a Z[𝜁]. É fácil
ver que Z[𝜁] ⊆ 𝐼Q(𝜁) (Z[𝜁]). Ainda, temos que 𝐼Q(𝜁) (Z[𝜁]) é inteiro sobre Z[𝜁], que por sua vez é inteiro sobre Z, como visto na
Proposição 3.7. Logo, pela Proposição 3.1 podemos concluir que
𝐼Q(𝜁) (Z[𝜁]) é inteiro sobre Z, ou seja, 𝐼Q(𝜁) (Z[𝜁]) ⊆ 𝐼Q(𝜁) = Z[𝜁].
Portanto,
𝐼Q(𝜁) (Z[𝜁]) = Z[𝜁].
3. Todo ideal primo não nulo de Z[𝜁] é maximal.
Seja 𝐼 um ideal primo não nulo de Z[𝜁]. Inicialmente, vamos mostrar que 𝐼 ∩ Z é um ideal primo de Z. De fato, 𝐼 ∩ Z ⊆ Z e
𝑎, 𝑏 ∈ 𝐼 ∩ Z ⇒ 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐼 e 𝑎, 𝑏 ∈ Z ⇒
⇒ 𝑎 − 𝑏 ∈ 𝐼 e 𝑎 − 𝑏 ∈ Z ⇒ 𝑎 − 𝑏 ∈ 𝐼 ∩ Z.
(4.1)
Além disso,
𝑐 ∈ Z e 𝑎 ∈ 𝐼 ∩ Z ⇒ 𝑐𝑎 ∈ 𝐼 e 𝑐𝑎 ∈ Z ⇒ 𝑐𝑎 ∈ 𝐼 ∩ Z.
Portanto, 𝐼 ∩ Z é um ideal de Z. Então, consideremos 𝑎, 𝑏 ∈ Z
tais que 𝑎𝑏 ∈ 𝐼 ∩ Z. Como 𝐼 é um ideal de Z[𝜁], temos que
𝑎𝑏 ∈ 𝐼 ∩ Z ⇒ 𝑎𝑏 ∈ 𝐼 ⇒ 𝑎 ∈ 𝐼 ou 𝑏 ∈ 𝐼 ⇒ 𝑎 ∈ 𝐼 ∩ Z ou 𝑏 ∈ 𝐼 ∩ Z.
Logo, 𝐼 ∩ Z é um ideal primo de Z.
Agora vamos mostrar que 𝐼 ∩ Z é não nulo. Como 𝐼 é não nulo,
podemos tomar 𝛼 ∈ 𝐼 tal que 𝛼 ̸= 0. De 𝐼 ⊆ Z[𝜁] concluímos que
4.1. DOMÍNIOS DE DEDEKIND
99
𝛼 é inteiro sobre Z. Logo, existem 𝑎0 , · · · , 𝑎𝑛−1 ∈ Z, não todos
nulos tais que
𝑎0 + 𝑎1 𝛼 + · · · + 𝑎𝑛−1 𝛼𝑛−1 + 𝛼𝑛 = 0,
(4.2)
onde 𝑛 é o menor natural tal que isso acontece. Assim, 𝑎0 não pode
ser nulo, pois caso contrário, 𝛼(𝑎1 + ... + 𝑎𝑛−1 𝛼𝑛−2 + 𝛼𝑛−1 ) = 0
implicaria 𝑎1 + ... + 𝑎𝑛−1 𝛼𝑛−2 = 0, e isso contrariaria a minimalidade de 𝑛. Então, da Equação (4.2) obtemos
𝑎0 = 𝛼(−𝑎1 − 𝑎2 𝛼 + · · · − 𝑎𝑛−1 𝛼𝑛−2 − 𝛼𝑛−1 ).
Assim, 𝑎0 ∈ ⟨𝛼⟩∩Z, onde ⟨𝛼⟩ é o ideal de Z[𝜁] gerado por 𝛼. Como
𝛼 ∈ 𝐼, temos que ⟨𝛼⟩ ⊆ 𝐼 e consequentemente, ⟨𝛼⟩ ∩ Z ⊆ 𝐼 ∩ Z,
ou seja, 𝑎0 ∈ 𝐼 ∩ Z. Portanto, 𝐼 ∩ Z é não nulo.
Como Z é um domínio de Dedekind, temos que 𝐼 ∩ Z é um ideal
maximal não nulo de Z. Sabendo que o quociente de um anel por
um de seus ideais é corpo se, e somente se, esse ideal é maxiZ
é corpo. Consideremos as
mal, temos que o anel quociente
𝐼 ∩Z
aplicações
𝑖
𝜙 : Z −→
𝜋
Z[𝜁] −→
Z[𝜁]
,
𝐼
onde 𝑖 é o homomorfismo identidade e 𝜋 é o homomorfismo canônico (𝜋(𝑥) = 𝑥 + 𝐼). Assim, o núcleo de 𝜙 = 𝜋 ∘ 𝑖 é dado por
𝐾𝑒𝑟(𝜙) = {𝑎 ∈ Z : 𝜋(𝑖(𝑎)) = 𝐼}
=
{𝑎 ∈ Z : 𝜋(𝑎) = 𝐼}
= {𝑎 ∈ Z : 𝑎 + 𝐼 = 𝐼}
(4.3)
= {𝑎 ∈ Z : 𝑎 ∈ 𝐼}
= 𝐼 ∩ Z.
Então, pelo Teorema dos Isomorfismos de Anéis, obtemos
Z
Z[𝜁]
≃ 𝐼𝑚(𝜙) ⊆
.
𝐼 ∩Z
𝐼
(4.4)
100
Capítulo 4. DOMÍNIOS DE DEDEKIND
Ainda, como Z[𝜁] é inteiro sobre Z, segue que
Z[𝜁]
𝐼
é inteiro sobre
Z[𝜁]
𝐼 ,
Com efeito, se 𝛽 ∈
então 𝛽 = 𝛼 = 𝛼 + 𝐼 para algum
𝛼 ∈ Z[𝜁]. Como 𝛼 é inteiro sobre Z, devem existir 𝑎0 , · · · , 𝑎𝑟 ∈ Z
Z
𝐼∩Z .
não todos nulos tais que
𝑎0 + 𝑎1 𝛼 + · · · + 𝑎𝑛 𝛼𝑛 = 0.
Tomando a classe em ambos os lados dessa equação e vendo a
classe dos elementos de Z como a classe em
Z
𝐼∩Z ,
temos
𝑎0 + 𝑎1 𝛼 + · · · + 𝑎𝑛 𝛼𝑛 = 0
𝑎0 + 𝑎1 𝛼 + · · · + 𝑎𝑛 𝛼𝑛 = 0
e, consequentemente, 𝛽 é inteiro sobre
ção 3.2 concluímos que
Z[𝜁]
𝐼
Z
𝐼∩Z .
Assim, pela Proposi-
é corpo e consequentemente, 𝐼 é ideal
maximal de Z[𝜁].
A grande sacada da demonstração do UTF, de Kummer, para
os primos regulares, é a passagem da fatoração de elementos de Z[𝜁]
para a fatoração de ideais de Z[𝜁] em ideais primos. Para alcançar a
unicidade dessa fatoração, é introduzido nesta seção o conceito de ideais
fracionários, que apesar do nome, nem sempre são ideais, mas sim, um
caso especial de módulos.
4.2 IDEAIS FRACIONÁRIOS
Antes de definirmos ideais fracionários, vejamos algumas proposições e conceitos sobre o produto de ideais e a existência de sua
fatoração em ideais primos. Primeiramente, lembramos que se 𝐴 é um
anel comutativo com unidade, 𝐼 é um ideal maximal de 𝐴 se, e somente
𝐴
𝐼 é um corpo. Além disso, 𝐼 é um ideal primo de
𝐴
𝐼 é um domínio. Segue daí que todo ideal maximal
𝐼 ser maximal implica em 𝐴
𝐼 ser corpo e, portanto,
se, o anel quociente
𝐴 se, e somente se,
de 𝐴 é primo, pois
domínio, o que, por sua vez, implica que 𝐼 é primo.
4.2. IDEAIS FRACIONÁRIOS
101
Seguem, então, mais algumas proposições necessárias para a
nossa construção da fatoração de ideais, juntamente com a definição de
ideais fracionários.
Definição 4.2. Sejam 𝐼 e 𝐽 dois ideais de um domínio 𝐴. O produto
𝐼𝐽 é definido da forma
{︃ 𝑠
}︃
∑︁
𝐼𝐽 =
𝑥𝑖 𝑦𝑖 : 𝑥𝑖 ∈ 𝐼, 𝑦𝑖 ∈ 𝐽 e 𝑠 ∈ N .
𝑖=1
Proposição 4.2. Se 𝐴 é um domínio e 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴 então
⟨𝑎𝑏⟩ = ⟨𝑎⟩⟨𝑏⟩.
Demonstração: Devemos mostrar que ⟨𝑎𝑏⟩ ⊆ ⟨𝑎⟩⟨𝑏⟩ e que ⟨𝑎⟩⟨𝑏⟩ ⊆
⟨𝑎𝑏⟩. Primeiramente, se 𝛼 ∈ ⟨𝑎⟩⟨𝑏⟩, então existem 𝑎𝑖 ∈ ⟨𝑎⟩, 𝑏𝑖 ∈ ⟨𝑏⟩ e
𝑠 ∈ N tais que
𝛼=
𝑠
∑︁
𝑎𝑖 𝑏𝑖 .
𝑖=1
Como 𝑎𝑖 ∈ ⟨𝑎⟩ e 𝑏𝑖 ∈ ⟨𝑏⟩, devem existir 𝑝𝑖 , 𝑞𝑖 ∈ 𝐴 tais que
𝛼=
𝑠
∑︁
𝑖=1
𝑎𝑝𝑖 𝑏𝑞𝑖 = 𝑎𝑏
𝑠
∑︁
𝑝𝑖 𝑞𝑖 ∈ ⟨𝑎𝑏⟩.
𝑖=1
Portanto, ⟨𝑎⟩⟨𝑏⟩ ⊆ ⟨𝑎𝑏⟩. Por outro lado, temos claramente que 𝑎𝑏 ∈
⟨𝑎⟩⟨𝑏⟩. Logo, qualquer elemento de ⟨𝑎𝑏⟩ será um produto de um elemento de ⟨𝑎⟩ com um elemento de ⟨𝑏⟩. Dessa forma, obtemos ⟨𝑎𝑏⟩ ⊆
⟨𝑎⟩⟨𝑏⟩ e consequentemente, ⟨𝑎𝑏⟩ = ⟨𝑎⟩⟨𝑏⟩.
Observação 4.1. Vemos que dessa proposição podemos tirar uma conclusão importante para este trabalho. Se 𝑥 = 𝑎𝑏 no domínio 𝐴, obtemos que ⟨𝑥⟩ = ⟨𝑎𝑏⟩ = ⟨𝑎⟩⟨𝑏⟩. E podemos ser ainda mais gerais. Se
𝑥 = 𝑝1 · · · 𝑝𝑛 , então ⟨𝑥⟩ = ⟨𝑝1 ⟩ · · · ⟨𝑝𝑛 ⟩ e, consequentemente, o produto
de ideais principais é um ideal principal.
Proposição 4.3. Seja 𝐴 um domínio. O ideal 𝐼 de 𝐴 é primo se, e
somente se, 𝑀 𝑁 ⊆ 𝐼 implicar em 𝑀 ⊆ 𝐼 ou 𝑁 ⊆ 𝐼, para quaisquer
𝑀, 𝑁 ideais de 𝐴.
102
Capítulo 4. DOMÍNIOS DE DEDEKIND
Demonstração: (⇒) Suponhamos que o ideal 𝐼 de 𝐴 seja um ideal
primo, ou seja, se 𝑎𝑏 ∈ 𝐼, então 𝑎 ∈ 𝐼 ou 𝑏 ∈ 𝐼, para quaisquer 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴.
Assim, sejam 𝑀 e 𝑁 ideais de 𝐴 tais que 𝑀 𝑁 ⊆ 𝐴 e tomemos 𝑚 ∈ 𝑀
e 𝑛 ∈ 𝑁. Temos que 𝑚𝑛 ∈ 𝑀 𝑁 ⊆ 𝐼, ou seja, 𝑚𝑛 ∈ 𝐼. Logo, devemos
ter 𝑚 ∈ 𝐼 ou 𝑛 ∈ 𝐼, pois 𝐼 é ideal primo.
(⇐) Sejam 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴 tais que 𝑎𝑏 ∈ 𝐼. Então,
⟨𝑎⟩⟨𝑏⟩ = ⟨𝑎𝑏⟩ ⊂ 𝐼.
Assim, temos que ⟨𝑎⟩ ⊆ 𝐼 ou ⟨𝑏⟩ ⊆ 𝐼. Portanto, 𝑎 ∈ 𝐼 ou 𝑏 ∈ 𝐼.
Proposição 4.4. Seja 𝐴 um domínio. Se 𝑝 é primo em 𝐴, então ⟨𝑝⟩
é um ideal primo de 𝐴.
Demonstração: Sejam 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴 tais que 𝑎𝑏 ∈ ⟨𝑝⟩. Assim, temos que
𝑎𝑏 = 𝑝𝑡, para algum 𝑡 ∈ 𝐴 e 𝑝 | 𝑎𝑏. Como 𝑝 é primo, concluímos que
𝑝 | 𝑎 ou 𝑝 | 𝑏, ou seja, 𝑎 ∈ ⟨𝑝⟩ ou 𝑏 ∈ ⟨𝑝⟩.
Definição 4.3. Sejam L um corpo de números, 𝐼 e 𝐽 ideais de 𝐼L .
Dizemos que 𝐼 divide 𝐽 se existe um ideal 𝐾 de 𝐼L tal que 𝐽 = 𝐼𝐾.
Definição 4.4 (Ideal Fracionário). Seja L um corpo de números e
𝑀 subconjunto de L. Dizemos que 𝑀 é um ideal fracionário de 𝐼L se
existe 𝑑 ∈ 𝐼L tal que 𝑑𝑀 ⊆ 𝐼L e é um 𝐼L −módulo, ou seja, satisfaz as
seguintes propriedades:
(i) 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑀 ⇒ 𝑥 + 𝑦 ∈ 𝑀 ;
(ii) 𝑥 ∈ 𝑀 e 𝛼 ∈ 𝐼L implica em 𝛼𝑥 ∈ 𝐼L .
Teorema 4.1. O conjunto dos ideais fracionários de Z[𝜁] é um grupo
multiplicativo.
Demonstração: Note, primeiramente, que o conjunto dos ideais fracionários é não vazio, já que todos os ideais de Z[𝜁] satisfazem a definição
de ideal fracionário de Z[𝜁]. Faremos, então, uma sequência de sete passos para demonstrar esse Teorema.
4.2. IDEAIS FRACIONÁRIOS
103
(i) Primeiramente, considerando 𝐼 um ideal não nulo de Z[𝜁], provaremos que existem 𝐼1 , · · · , 𝐼𝑟 ideais primos de Z[𝜁] tais que
𝐼1 · · · 𝐼𝑟 ⊆ 𝐼.
Por contradição, suponhamos que 𝑆 é o conjunto de todos os
ideais de Z[𝜁] tais que não existem 𝐼1 , · · · , 𝐼𝑟 ideais primos de
Z[𝜁] com 𝐼1 · · · 𝐼𝑟 ⊆ 𝐼. Como Z[𝜁] é noetheriano podemos tomar
𝐼 um elemento maximal de 𝑆. Com isso, 𝐼 não pode ser primo,
pois se fosse poderíamos tomar 𝐼1 = 𝐼 ⊆ 𝐼. Assim, pela definição
de ideal primo, devem existir 𝑀, 𝑁 ideais de Z[𝜁] tais que
𝑀 𝑁 ⊆ 𝐼,
mas
𝑀 * 𝐼 e 𝑁 * 𝐼.
Tomemos, então, os ideais 𝐽1 = 𝐼 + 𝑀 e 𝐽2 = 𝐼 + 𝑁. Afirmamos
que 𝐽1 𝐽2 ⊆ 𝐼. De fato,
{︃ 𝑠
}︃
∑︁
𝐽1 𝐽2 =
(𝑎𝑖 + 𝑚𝑖 )(𝑏𝑖 + 𝑛𝑖 ) : 𝑠 ∈ N ,
𝑖=1
onde 𝑎𝑖 , 𝑏𝑖 ∈ 𝐼, 𝑚𝑖 ∈ 𝑀, e 𝑛𝑖 ∈ 𝑁 para todo 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑠. Então,
𝑠
∑︁
(𝑎𝑖 + 𝑚𝑖 )(𝑏𝑖 + 𝑛𝑖 ) = 𝑎𝑖 𝑏𝑖 + 𝑎𝑖 𝑛𝑖 + 𝑏𝑖 𝑚𝑖 + 𝑚𝑖 𝑛𝑖 ∈ 𝐼,
𝑖=1
pois 𝑎𝑖 𝑏𝑖 + 𝑎𝑖 𝑛𝑖 + 𝑏𝑖 𝑚𝑖 ∈ 𝐼 e 𝑚𝑖 𝑛𝑖 ∈ 𝑀 𝑁 ⊆ 𝐼. Por outro lado,
temos que 𝐼 ( 𝐽1 e 𝐼 ( 𝐽2 . Logo, 𝐽1 , 𝐽2 não pertencem a 𝑆, ou
seja, existem 𝐼1 , · · · , 𝐼𝑡 , 𝐼𝑡+1 , · · · 𝐼𝑟 ideais primos de Z[𝜁] tais que
𝐼1 · · · 𝐼𝑡 ⊆ 𝐽1 e 𝐼𝑡+1 · · · 𝐼𝑟 ⊆ 𝐽2 . Logo, pela Proposição 4.2 temos
que
𝐼1 · · · 𝐼𝑟 ⊆ 𝐽1 𝐽2 ⊆ 𝐼,
o que contradiz que 𝐼 é um elemento de 𝑆. Logo, 𝑆 = ∅.
(ii) Agora, vamos definir o que se tornará o elemento inverso de um
ideal de Z[𝜁]. Para cada ideal 𝐼 de Z[𝜁], definimos
𝐼 −1 = {𝑥 ∈ Q(𝜁) : 𝑥𝐼 ⊆ Z[𝜁]}.
104
Capítulo 4. DOMÍNIOS DE DEDEKIND
Da definição de 𝐼 −1 temos que 𝐼 −1 é um subgrupo aditivo de
Q(𝜁) e que Z[𝜁] ⊆ 𝐼 −1 . Se tomarmos 𝑥 ∈ 𝐼 −1 e 𝑦 ∈ Z[𝜁] obtemos
(𝑦𝑥)𝐼 = 𝑦(𝑥𝐼) ⊆ Z[𝜁] ⇒ 𝑦𝑥 ∈ 𝐼 −1 .
Logo, 𝐼 −1 é um Z[𝜁]−submódulo. Ainda, pela definição de 𝐼 −1
temos que 𝑑 · 𝐼 −1 ⊆ Z[𝜁] para todo 𝑑 ∈ 𝐼 ⊆ Z[𝜁], ou seja, 𝐼𝐼 −1 =
𝐼 −1 𝐼 ⊆ Z[𝜁]. Consequentemente, 𝐼 −1 é um ideal fracionário de
Z[𝜁]. Outro fato importante é que se 𝐽 é um ideal de Z[𝜁] com
𝐼 ⊆ 𝐽, então Z[𝜁] ⊆ 𝐽 −1 ⊆ 𝐼 −1 . Com efeito,
𝑦 ∈ 𝐽 −1 ⇒ 𝑦 · 𝑗 ∈ Z[𝜁] ∀ 𝑗 ∈ 𝐽 ⊇ 𝐼 ⇒ 𝑦 ∈ 𝐼 −1 ,
o que mostra que 𝐽 −1 ⊆ 𝐼 −1 . O fato de Z[𝜁] ⊆ 𝐽 −1 decorre
diretamente da definição de 𝐽 −1 .
(iii) Vamos mostrar que se 𝐼 é um ideal próprio de Z[𝜁], então Z[𝜁] (
𝐼 −1 . De fato, como Z[𝜁] é noetheriano podemos tomar 𝐽 ⊃ 𝐼 um
ideal maximal de Z[𝜁]. Pelo item (ii), temos que Z[𝜁] ⊆ 𝐽 −1 ⊆
𝐼 −1 . Logo, para mostrar o que queremos basta provar que 𝐽 −1 ̸=
Z[𝜁]. Assim, devemos encontrar em 𝐽 −1 um elemento que não é
um inteiro algébrico.
Seja 𝑎 ∈ 𝐽, 𝑎 ̸= 0. Usando o item (i) podemos escolher o menor 𝑟
tal que
𝐽1 · . . . · 𝐽𝑟 ⊆ ⟨𝑎⟩,
(4.5)
onde 𝐽𝑖 é ideal primo de Z[𝜁] para todo 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑟. Como ⟨𝑎⟩ ⊆ 𝐽
e 𝐽 é ideal maximal, temos que 𝐽 é ideal primo e, consequentemente, 𝐽𝑖 ⊆ 𝐽 para algum 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑟. Suponhamos sem perda de
generalidade que 𝐽1 ⊆ 𝐽. Ainda, sabemos que Z[𝜁] é um domínio
de Dedekind. Logo, como 𝐽1 é um ideal primo não nulo de Z[𝜁]
temos que 𝐽1 é um ideal maximal de Z[𝜁]. Consequentemente, 𝐽1
e 𝐽 são iguais.
Pela minimalidade de 𝑟, temos que 𝐽2 · · · 𝐽𝑟 * ⟨𝑎⟩. Desse modo,
podemos tomar 𝑏 ∈ 𝐽2 · · · 𝐽𝑟 tal que 𝑏 ∈
/ ⟨𝑎⟩. Por outro lado, da
4.2. IDEAIS FRACIONÁRIOS
105
Equação (4.5) segue que 𝑏 · 𝐽1 ⊆ ⟨𝑎⟩, ou seja, 𝑏 · 𝐽 ⊆ ⟨𝑎⟩. Assim,
se 𝑗 ∈ 𝐽, então existe 𝑐 ∈ Z[𝜁] tal que
𝑏𝑗 = 𝑎𝑞 ⇒ 𝑏𝑎−1 𝑗 = 𝑞 ⇒ 𝑏𝑎−1 𝐽 ⊆ Z[𝜁].
Daí, obtemos que 𝑏𝑎−1 ∈ 𝐽 −1 , mas como 𝑏 ∈
/ ⟨𝑎⟩ = 𝑎Z[𝜁], temos
que 𝑏𝑎−1 ∈
/ Z[𝜁]. Portanto, Z[𝜁] ( 𝐽 −1 ⊆ 𝐼 −1 .
(iv) A próxima afirmação a ser provada é a de que se 𝐼 é um ideal
não nulo de Z[𝜁] e 𝐼𝑆 ⊆ 𝐼 para algum 𝑆 ⊆ Q(𝜁), então 𝑆 ⊆ Z[𝜁],
ou equivalentemente, que se 𝛼𝐼 ⊆ 𝐼 para 𝛼 ∈ 𝑆, então 𝛼 ∈ Z[𝜁].
Como Z[𝜁] é noetheriano, devem existir 𝑥1 , · · · , 𝑥𝑛 ∈ Z[𝜁] não
nulos tais que 𝐼 = ⟨𝑥1 , · · · , 𝑥𝑛 ⟩.
Se 𝛼𝐼 ∈ 𝐼, então existem 𝑏𝑖𝑗 ∈ Z[𝜁] tais que
𝛼𝑥1
..
.
=
𝑏11 𝑥1 + · · · + 𝑏1𝑛 𝑥𝑛
𝛼𝑥𝑛
=
𝑏𝑛1 𝑥1 + · · · + 𝑏𝑛𝑛 𝑥𝑛 ,
gerando o sistema matricial
⎡
𝛼 − 𝑏11
⎢
..
⎢
.
⎣
−𝑏𝑛1
···
..
.
−𝑏1𝑛
..
.
···
𝛼 − 𝑏𝑛𝑛
⎤⎡
⎤ ⎡
𝑥1
⎥⎢ . ⎥ ⎢
⎥⎢ . ⎥ = ⎢
⎦⎣ . ⎦ ⎣
𝑥𝑛
⎤
0
.. ⎥
⎥
. ⎦
0
como no Teorema 3.1. Sendo 𝐷 o determinante da matriz dos
coeficiente, temos pela Regra de Cramer que 𝐷𝑥𝑖 = 0 para todo
1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛. Como Z[𝜁] é domínio e os elementos 𝑥𝑖 não são todos
nulos, obtemos 𝐷 = 0. Por outro lado, o determinante 𝐷 é dado
por
𝐷 = 𝛼𝑛 + 𝑐𝑛−1 𝛼𝑛−1 + · · · + 𝑐1 𝛼 + 𝑐0 = 0,
com 𝑐𝑖 ∈ Z[𝜁] para todo 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1. Assim, 𝛼 é inteiro sobre
Z[𝜁], que é integralmente fechado, por ser domínio de Dedekind.
Portanto, 𝛼 ∈ Z[𝜁].
106
Capítulo 4. DOMÍNIOS DE DEDEKIND
(v) Afirmamos que se 𝐼 é um ideal maximal de Z[𝜁], então 𝐼𝐼 −1 =
Z[𝜁]. Do item (ii), temos que 𝐼𝐼 −1 ⊆ Z[𝜁]. E pelo fato de a unidade
estar em 𝐼 −1 temos que 𝐼 ⊆ 𝐼𝐼 −1 ⊆ Z[𝜁. Como 𝐼 é ideal maximal
de Z[𝜁], temos que 𝐼𝐼 −1 = 𝐼 ou 𝐼𝐼 −1 = Z[𝜁]. Mas se 𝐼𝐼 −1 = 𝐼,
então do item (iv) obtemos que 𝐼 −1 ⊆ Z[𝜁], contradizendo o item
(iii). Portanto, 𝐼𝐼 −1 = Z[𝜁].
(vi) Agora vamos estender o resultado do item (v) para qualquer ideal
não nulo de Z[𝜁], ou seja, vamos mostrar que se 𝐼 é um ideal de
Z[𝜁] então 𝐼𝐼 −1 = Z[𝜁]. Para isso, consideremos
𝑆 = {𝐼 ⊆ Z[𝜁] tal que 𝐼 é ideal não nulo e 𝐼𝐼 −1 ̸= Z[𝜁]}.
Suponhamos, por contradição, que 𝑆 ̸= ∅. Temos que Z[𝜁] ∈
/
𝑆, pois como 1 ∈ Z[𝜁], temos que se 𝑥 ∈ Z[𝜁]−1 então 𝑥 · 1 ∈
Z[𝜁] e consequentemente, 𝑥 ∈ Z[𝜁]. Portanto, Z[𝜁]−1 = Z[𝜁] e
Z[𝜁]Z[𝜁]−1 = Z[𝜁].
Como Z[𝜁] é noetheriano, podemos escolher 𝐼 ∈ 𝑆 um elemento
maximal de 𝑆. Além disso, 𝐼 ̸= Z[𝜁]. Logo, deve existir um ideal
maximal 𝐽 de Z[𝜁] tal que 𝐼 ⊆ 𝐽. Pelo item (ii), Z[𝜁] ⊆ 𝐽 −1 ⊆ 𝐼 −1 .
Assim,
𝐼 ⊆ 𝐼𝐽 −1 ⊆ 𝐼𝐼 −1 ⊆ Z[𝜁].
De 𝐼𝐽 −1 ⊆ Z[𝜁], temos que 𝐼𝐽 −1 é um ideal de Z[𝜁]. Ainda, 𝐼𝐽 −1
não pode ser igual a 𝐼, pois se fosse, teríamos pelo item (iv) que
𝐽 −1 ⊆ Z[𝜁], o que novamente contraria o item (iii). Portanto,
𝐼𝐽 −1 ∈
/ 𝑆, ou seja,
𝐼𝐽 −1 (𝐼𝐽 −1 )−1 = Z[𝜁].
Assim, 𝑦𝐼 ∈ Z[𝜁] para todo 𝑦 ∈ 𝐽 −1 (𝐼𝐽 −1 )−1 . Dessa forma, obtemos que 𝐽 −1 (𝐼𝐽 −1 )−1 ⊆ 𝐼 −1 . Com isso,
Z[𝜁] = 𝐼𝐽 −1 (𝐼𝐽 −1 )−1 ⊆ 𝐼𝐼 −1 ⊆ Z[𝜁] ⇒ 𝐼𝐼 −1 = Z[𝜁],
contradizendo a hipótese de que 𝑆 é não vazio.
4.2. IDEAIS FRACIONÁRIOS
107
(vii) Neste passo mostraremos que o conjunto dos ideais fracionários
de Z[𝜁] forma um grupo multiplicativo abeliano. O produto de
ideais fracionários é comutativo, associativo e possui o elemento
neutro Z[𝜁]. Falta apenas encontrar para cada ideal fracionário 𝐼
de Z[𝜁] um outro ideal fracionário 𝐼 −1 tal que 𝐼𝐼 −1 = Z[𝜁].
Pela definição de ideal fracionário, existe 𝑑 ∈ Z[𝜁] tal que 𝑑𝐼 ⊆
Z[𝜁]. Assim, 𝑑𝐼 é um ideal de Z[𝜁], ou seja, existe um ideal 𝐽 de
Z[𝜁] tal que
𝑑𝐼 = 𝐽 ⇒ 𝐼 = 𝑑−1 𝐽.
Tomando 𝐼 −1 = 𝑑𝐽 −1 , obtemos pelo item (vi) que
𝐼𝐼 −1 = 𝑑−1 𝐽𝑑𝐽 −1 = 𝐽𝐽 −1 = Z[𝜁].
Portanto, o conjunto dos ideais fracionários de Z[𝜁] é um grupo
multiplicativo com a operação de multiplicação usual de ideais.
Corolário 4.2. Sejam 𝐼 e 𝐽 dois ideais de Z[𝜁]. Então, 𝐼 divide 𝐽 se,
e somente se, 𝐽 ⊆ 𝐼.
Demonstração: Claramente, se 𝐼 divide 𝐽, então existe um ideal 𝐾
de Z[𝜁] tal que 𝐽 = 𝐾𝐼. Logo, 𝐽 ⊆ 𝐼. Por outro lado, suponhamos que
𝐽 ⊆ 𝐼. Assim,
𝐽𝐼 −1 ⊆ 𝐼𝐼 −1 = Z[𝜁].
Logo, 𝐽𝐼 −1 é um ideal de Z[𝜁]. Como (𝐽𝐼 −1 )𝐼 = 𝐽, segue que 𝐼 divide
𝐽.
Observação 4.2. Toda essa teoria de ideais fracionários é necessária
para a prova da unicidade da fatoração de ideais em ideais primos. Lembramos que, aqui, o foco é Z[𝜁], mas todos esses resultados encontrados
neste capítulo foram desenvolvidos por Dedekind e são resultados de
domínios de Dedekind. Como Z[𝜁] é um domínio de Dedekind, toda
essa teoria é válida, em particular, para Z[𝜁]. Segue, então, o principal
Teorema deste capítulo.
108
Capítulo 4. DOMÍNIOS DE DEDEKIND
Teorema 4.2. Todo ideal não nulo de Z[𝜁] pode ser escrito como o
produto de ideais primos, que são únicos a menos da ordem dos fatores.
Demonstração: Primeiro, provaremos a existência da fatoração de
ideais não nulos de Z[𝜁] em ideais primos. Suponhamos, por contradição, que o conjunto 𝑆 formado pelos ideais não nulos de Z[𝜁] que não
possuem fatoração em ideais primos seja não vazio.
Novamente, como Z[𝜁] é um domínio de Dedekind, podemos
tomar 𝐼 como sendo um elemento maximal de 𝑆. Assim, 𝐼 não é primo,
pois se fosse, o próprio 𝐼 seria sua fatoração em ideais primos. Assim,
existe 𝐽 um ideal maximal de Z[𝜁] tal que 𝐼 ⊆ 𝐽. No item (vi) da
demonstração do Teorema 4.1, obtivemos 𝐼 ( 𝐼𝐽 −1 ⊆ Z[𝜁]. Logo,
𝐼𝐽 −1 ∈
/ 𝑆, o que implica que existem 𝐽2 , · · · , 𝐽𝑟 ideais primos não
nulos de Z[𝜁] tais que
𝐼𝐽 −1 = 𝐽2 · · · 𝐽𝑟 ⇒ 𝐼𝐽 −1 𝐽 = 𝐽𝐽2 · · · 𝐽𝑟 .
Portanto, 𝐼 = 𝐽𝐽2 · · · 𝐽𝑟 é a fatoração em ideais primos de 𝐼, lembrando
que todo ideal maximal é primo.
Logo, falta apenas provar a unicidade dessa fatoração. Sejam 𝐼
e 𝐽 ideais de Z[𝜁] tais que 𝐼 divide 𝐽. Assim, existe um ideal 𝐾, também
de Z[𝜁], tal que 𝐽 = 𝐼𝐾, o que implica que 𝐾 = 𝐽𝐼 −1 . Suponhamos,
então, que existam 𝐼1 , · · · , 𝐼𝑟 , 𝐽1 , · · · , 𝐽𝑠 ideais primos não nulos de Z[𝜁]
tais que
𝐼1 𝐼2 · · · 𝐼𝑟 = 𝐽1 𝐽2 · · · 𝐽𝑠 ,
(4.6)
com 𝑟 ≤ 𝑠. Como Z[𝜁] é um domínio de Dedekind, todo ideal primo
não nulo de Z[𝜁] é maximal. Por outro lado, temos que 𝐼1 divide 𝐽𝑖
para algum 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑠. Suponhamos, sem perda de generalidade, que
𝐼1 divide 𝐽1 . Assim, existe um ideal 𝐾 de Z[𝜁] tal que 𝐽1 = 𝐼1 𝐾 ⊆ 𝐼1 .
Mas 𝐽1 e 𝐼1 são ideais maximais, então devem ser iguais. Multiplicando
ambos os lados da Equação (4.6) por 𝐼 −1 , obtemos
𝐼2 · · · 𝐼𝑟 = 𝐽2 · · · 𝐽𝑠 .
4.2. IDEAIS FRACIONÁRIOS
109
Repetindo esse processo, obtemos
Z[𝜁] = 𝐽𝑟+1 · · · 𝐽𝑠 .
o que implica que 𝐽𝑟+2 · · · 𝐽𝑠 = (𝐽𝑟+1 )−1 ) Z[𝜁], o que não pode acontecer, pois 𝐽𝑟+2 · · · 𝐽𝑠 ⊆ Z[𝜁]. Logo, a única possibilidade restante é a
de que 𝑟 = 𝑠. Portanto, a fatoração de ideais não nulos em ideais primos
é única a menos da ordem dos fatores.
Com esse resultados, estamos aptos a provar um teorema muito
importante sobre a fatoração em Z[𝜁] :
Teorema 4.3. A fatoração de elementos em Z[𝜁] é única se, e somente
se, Z[𝜁] é um domínio principal.
Demonstração: (⇐) Já provado na Proposição 2.4.
(⇒) Para mostrar que todo ideal é principal basta mostrar que todo
ideal primo é principal, já que pelo Teorema 4.2, temos que todo ideal
não nulo de Z[𝜁] pode ser decomposto em um produto de ideais primos.
Logo, se os ideais primos são principais, então todos os ideais o são,
conforme Proposição 4.2.
Seja 𝐼 um ideal primo não nulo de Z[𝜁] e 𝛼 ∈ 𝐼, com 𝛼 ̸=
0. Assim, 𝛼 é não inversível, pois caso contrário, teríamos 𝐼 = Z[𝜁],
contradizendo o fato de que 𝐼 é ideal primo. Ainda, por hipótese, Z[𝜁]
é fatorial. Com isso, existem elementos irredutíveis 𝑝1 , · · · , 𝑝𝑚 ∈ Z[𝜁]
tais que
𝛼 = 𝑝1 · · · 𝑝𝑚 ∈ 𝐼,
com 𝑚 um inteiro positivo. Como 𝐼 é ideal primo, temos que 𝑝𝑖 ∈ 𝐼 para
algum 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚, o que implica que ⟨𝑝𝑖 ⟩ ⊆ 𝐼. Ainda, pela Proposição
2.1, temos que 𝑝𝑖 é primo em Z[𝜁] e consequentemente, ⟨𝑝𝑖 ⟩ é primo,
pela Proposição 4.4. Logo, ⟨𝑝𝑖 ⟩ é ideal maximal, pois Z[𝜁] é domínio
noetheriano. Por fim, como ⟨𝑝𝑖 ⟩ ⊆ 𝐼 ⊆ Z[𝜁] e 𝐼 ̸= Z[𝜁] por ser ideal
primo, obtemos que 𝐼 = ⟨𝑝𝑖 ⟩. Portanto, Z[𝜁] é um domínio principal.
110
Capítulo 4. DOMÍNIOS DE DEDEKIND
Observação 4.3. Note que esse resultado nos dá um novo ponto de
vista sobre a ideia de Lamé. A ideia de Lamé só funciona quando 𝑝
faz de Z[𝜁] um domínio principal. Veremos, no Capítulo 5, que existe
uma outra condição para que Z[𝜁] seja um domínio principal. Nesse
momento, vemos que a fatoração de elementos não nos ajuda a provar
o UTF, pois nem sempre é única. É hora de trocar essa fatoração de
elementos pela fatoração de ideais, pois vimos que a unicidade da fatoração de ideais é sempre garantida em Z[𝜁]. Lembrando que, para nos
aprofundarmos na fatoração de elementos, definimos norma de elementos, similarmente, vamos definir norma de ideais, com o objetivo de nos
aprofundarmos na fatoração de ideais.
4.3 NORMA DE UM IDEAL
Definição 4.5. Seja L um corpo de números e 𝐼 um ideal do 𝐼L . Definimos a norma do ideal 𝐼 como a quantidade de elementos do anel
𝐼L
, ou seja,
quociente
𝐼
⃒ ⃒
⃒ 𝐼L ⃒
𝑁 (𝐼) = ⃒⃒ ⃒⃒ .
𝐼
Observação 4.4. Podemos definir a norma de um ideal dessa maneira
porque a quantidade de elementos do anel quociente entre o anel de
inteiros algébricos e um de seus ideais é sempre finito, como se vê na
próxima proposição.
Proposição 4.5. Seja 𝐼 um ideal não nulo de Z[𝜁]. Então, 𝑁 (𝐼) é
finita.
Demonstração: Primeiramente, vamos mostrar que a norma de um
ideal principal é finita. Segue do Teorema 3.1 que Z[𝜁] é um Z−módulo
finitamente gerado pelos 𝑝 − 1 elementos 1, 𝜁, · · · , 𝜁 𝑝−2 , onde 𝑝 − 1 é o
grau do polinômio mínimo de 𝜁 sobre Q. Se 𝛼 ∈ Z[𝜁], podemos definir
a aplicação 𝜙 : Z[𝜁] −→ ⟨𝛼⟩ por 𝜙(𝑥) = 𝛼𝑥, que é um isomorfismo de
grupos aditivos e, consequentemente, ⟨𝛼⟩ é também um Z−submódulo
gerado por 𝑝 − 1 elementos e contido em Z[𝜁].
4.3. NORMA DE UM IDEAL
111
Da Proposição C.1 segue que existe uma base {𝑎1 , · · · , 𝑎𝑝−1 }
de Z[𝜁] e 𝑏1 , · · · , 𝑏𝑝−1 ∈ Z tais que {𝑎1 𝑏1 , · · · , 𝑎𝑝−1 𝑏𝑝−1 } é uma base de
⟨𝛼⟩ sobre Z. A aplicação
𝜃 : Z[𝜁] −→
definida por 𝜃(
∑︀𝑝−1
𝑖=1
Z
Z
× ··· ×
𝑏1 Z
𝑏𝑝−1 Z
𝑐𝑖 𝑎𝑖 ) = (¯
𝑐1 , 𝑐¯2 , · · · , 𝑐¯𝑝−1 ) é um homomorfismo so-
brejetor com núcleo dado por
=
{︃𝑝−1
∑︁
}︃
𝑐𝑖 𝑎𝑖 ∈ Z : 𝑐𝑖 = 𝑑𝑖 𝑏𝑖 , 𝑑𝑖 ∈ Z[𝜁]
𝑖=1
= ⟨𝛼⟩.
Logo, do Teorema do Isomorfismo de Anéis, segue que
Z
Z
Z[𝜁]
≃
× ··· ×
,
⟨𝛼⟩
𝑏1 Z
𝑏𝑝−1 Z
⃒ ⃒
⃒ ⃒
onde ⃒ 𝑏Z𝑖 Z ⃒ = 𝑏𝑖 . Com isso,
⃒
⃒ ⃒
⃒
⃒ Z[𝜁] ⃒ ⃒ Z
Z ⃒⃒
⃒
⃒
⃒
𝑁 (⟨𝛼⟩) = ⃒
=
× ··· ×
= 𝑏1 · · · 𝑏𝑝−1 .
⟨𝛼⟩ ⃒ ⃒ 𝑏1 Z
𝑏𝑝−1 Z ⃒
Portanto, a norma de um ideal principal é finita.
Agora, sejam 𝐼 um ideal não nulo de Z[𝜁], 𝑎 ∈ 𝐼 e ⟨𝑎⟩ o ideal
de Z[𝜁] gerado por 𝑎. Então, ⟨𝑎⟩ ⊆ 𝐼 é
𝐼
Z[𝜁]
⊆
,
⟨𝑎⟩
⟨𝑎⟩
onde
1
Z[𝜁]
é finito. Então, segue do Teorema de Lagrange1 que
⟨𝑎⟩
⃒
⃒ (︂
⃒
)︂ ⃒
⃒ Z[𝜁] ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ = Z[𝜁] : 𝐼 ⃒ 𝐼 ⃒ .
⃒ ⟨𝑎⟩ ⃒
⃒
⟨𝑎⟩ ⟨𝑎⟩ ⟨𝑎⟩ ⃒
Se 𝐻 é um subgrupo de 𝐺, então |𝐺| = (𝐺 : 𝐻)|𝐻|, onde (𝐺 : 𝐻) é o índice de
𝐺 em 𝐻
112
Capítulo 4. DOMÍNIOS DE DEDEKIND
⃒
⃒
⃒ Z[𝜁] ⃒
⃒ é finita. Logo, 𝐼 é finita. A
Pela Proposição 4.6, temos que ⃒⃒
⟨𝑎⟩ ⃒
⟨𝑎⟩
Z[𝜁]
−→
definida
por
aplicação 𝜑 : Z[𝜁]
⟨𝑎⟩
𝐼
𝜑(𝑥 + ⟨𝑎⟩) = 𝑥 + 𝐼.
Temos que 𝜑 é um homomorfismo de anéis, que é claramente sobrejetor.
Os anéis quociente
Z[𝜁]
⟨𝑎⟩
e
Z[𝜁]
𝐼
são, em particular, grupos aditivos abe-
Z[𝜁]
𝐼
tem 𝐼 como elemento neutro e o elemento inverso
lianos. O grupo
de 𝑥 + 𝐼 é −𝑥 + 𝐼. Assim, o núcleo de 𝜑 é dado por
}︂
{︂
Z[𝜁]
:𝑥+𝐼 =𝐼
𝐾𝑒𝑟(𝜑) = 𝑥 + ⟨𝑎⟩ ∈
⟨𝑎⟩
{︂
}︂
Z[𝜁]
= 𝑥 + ⟨𝑎⟩ ∈
:𝑥∈𝐼 .
⟨𝑎⟩
Portanto, 𝐾𝑒𝑟(𝜑) =
𝐼
⟨𝑎⟩
e, pelo Teorema do Isomorfismo de Anéis,
Z[𝜁]
⟨𝑎⟩
𝐼
⟨𝑎⟩
Logo, 𝑁 (𝐼) =
≃
Z[𝜁]
é finito, pois
𝐼
𝑍[𝜁]
.
𝐼
Z[𝜁]
⟨𝑎⟩
𝐼
⟨𝑎⟩
(4.7)
é finito, pelo Teorema de La-
grange.
Proposição 4.6. Seja 𝐽 = ⟨𝛼⟩ um ideal principal de Z[𝜁]. Então,
𝑁 (⟨𝛼⟩) = |𝑁 (𝛼)|.
Observação 4.5. A demonstração dessa proposição necessita da definição de discriminante de uma base de um anel, que não é feita neste
trabalho. Por esse motivo, não faremos essa demonstração, que pode
ser encontrada em Stewart (2002, p. 115).
Proposição 4.7. Se 𝐼 e 𝐽 são ideais não nulos de Z[𝜁], então 𝑁 (𝐼𝐽) =
𝑁 (𝐼)𝑁 (𝐽).
Demonstração: Como mostramos que a fatoração de ideais é única
em Z[𝜁], é suficiente mostrar que
𝑁 (𝐼𝐽) = 𝑁 (𝐼)𝑁 (𝐽)
4.3. NORMA DE UM IDEAL
113
com 𝐽 ideal primo de Z[𝜁]. Consideremos, então, a aplicação 𝜑 :
Z[𝜁]
𝐼
Z[𝜁]
𝐼𝐽
−→
definida por
𝜑(𝑥 + 𝐼𝐽) = 𝑥 + 𝐼.
Temos que 𝜑 é um homomorfismo de anéis, que é claramente sobrejetor.
Z[𝜁]
𝐼𝐽
Os anéis quociente
lianos. O grupo
Z[𝜁]
𝐼
e
Z[𝜁]
𝐼
são, em particular, grupos aditivos abe-
tem 𝐼 como elemento neutro e o elemento inverso
de 𝑥 + 𝐼 é −𝑥 + 𝐼. Assim, o núcleo de 𝜑 é dado por
{︂
}︂
Z[𝜁]
𝐾𝑒𝑟(𝜑) = 𝑥 + 𝐼𝐽 ∈
:𝑥+𝐼 =𝐼
𝐼𝐽
{︂
}︂
Z[𝜁]
= 𝑥 + 𝐼𝐽 ∈
:𝑥∈𝐼 .
𝐼𝐽
Portanto, 𝐾𝑒𝑟(𝜑) =
𝐼
𝐼𝐽
e, pelo Teorema do Isomorfismo de Anéis,
Z[𝜁]
𝐼𝐽
𝐼
𝐼𝐽
Já vimos que
Z[𝜁]
𝐼𝐽
≃
𝑍[𝜁]
.
𝐼
é finito. Além disso,
𝐼
𝐼𝐽
(4.8)
é um subgrupo normal de
𝐼
por ser abeliano.
Com
isso, o número de classes de 𝐼𝐽
em
(︁
)︁
Z[𝜁]
𝐼
denotado por 𝐼𝐽 : 𝐼𝐽 . Então, da Equação (4.8), obtemos
Z[𝜁]
𝐼𝐽 ,
(︂
Z[𝜁] 𝐼
:
𝐼𝐽 𝐽
)︂
Z[𝜁]
𝐼𝐽
é
⃒
⃒
⃒ Z[𝜁] ⃒
⃒
⃒ = 𝑁 (𝐼)
=⃒
𝐼 ⃒
e usando o Teorema de Lagrange para
Z[𝜁]
𝐼𝐽
e
𝐼
𝐼𝐽 ,
⃒ (︂
⃒⃒ ⃒
⃒
)︂ ⃒ ⃒ ⃒
⃒ Z[𝜁] ⃒
⃒ ⃒ ⃒
⃒⃒ ⃒
⃒
⃒ = Z[𝜁] : 𝐼 ⃒ 𝐼 ⃒ = ⃒ Z[𝜁] ⃒ ⃒ 𝐼 ⃒ .
⃒ 𝐼𝐽 ⃒
⃒
⃒
⃒
𝐼𝐽 𝐽
𝐼𝐽
𝐼 ⃒ ⃒ 𝐼𝐽 ⃒
Assim, encontramos
⃒ ⃒
⃒ 𝐼 ⃒
𝑁 (𝐼𝐽) = 𝑁 (𝐼) ⃒⃒ ⃒⃒ .
𝐼𝐽
(4.9)
⃒𝐼 ⃒
⃒ . Primeiramente, devemos
Devemos mostrar, então, que 𝑁 (𝐽) = ⃒ 𝐼𝐽
ter 𝐼 ̸= 𝐼𝐽, pois 𝐼 = 𝐼𝐽 implica em 𝐼 −1 𝐼 = 𝐼 −1 𝐼𝐽, ou seja, 𝐽 = Z[𝜁],
contradizendo o fato de 𝐽 ser ideal primo. Logo, 𝐼𝐽 ( 𝐼. Além disso,
114
Capítulo 4. DOMÍNIOS DE DEDEKIND
vamos mostrar que não existe um ideal 𝐾 de Z[𝜁] diferente de 𝐼𝐽 e de
𝐼 tal que
𝐼𝐽 ⊆ 𝐾 ⊆ 𝐼.
De fato, se isso ocorrer, temos
𝐼 −1 𝐼𝐽 ⊆ 𝐼 −1 𝐾 ⊆ 𝐼 −1 𝐼
⇒ 𝐽 ⊆ 𝐼 −1 𝐾 ⊆ Z[𝜁],
lembrando que 𝐼 −1 é um ideal fracionário. Como Z[𝜁] é um domínio de
Dedekind e supomos 𝐽 ideal primo, temos que 𝐽 é um ideal maximal.
Logo,
𝐼 −1 𝐾 = 𝐽
ou 𝐼 −1 𝐾 = Z[𝜁],
donde
𝐾 = 𝐼𝐽
ou 𝐾 = 𝐼,
o que prova o desejado. Isso significa que para qualquer 𝑎 ∈ 𝐼 tal que
𝑎∈
/ 𝐼𝐽, temos que 𝐼𝐽 + ⟨𝑎⟩ = 𝐼, pois esse é um ideal e
𝐼𝐽 ( 𝐼𝐽 + ⟨𝑎⟩ ⊆ 𝐼.
Então, fixando 𝑎, consideremos a aplicação 𝜃𝑎 : Z[𝜁] −→
𝐼
𝐼𝐽
definida
por
𝜃𝑎 (𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝐼𝐽,
que é um homomorfismo de grupos e é sobrejetivo, pois ⟨𝑎⟩ + 𝐼𝐽 = 𝐼.
Seu núcleo é dado por
𝐾𝑒𝑟(𝜃𝑎 ) = {𝑥 ∈ Z[𝜁] : 𝑎𝑥 + 𝐼𝐽 = 𝐼𝐽} = {𝑥 ∈ Z[𝜁] : 𝑎𝑥 ∈ 𝐼𝐽} ⊇ 𝐽,
ou seja,
𝐽 ⊆ 𝐾𝑒𝑟(𝜃𝑎 ) ⊆ Z[𝜁],
donde 𝐾𝑒𝑟(𝜃𝑎 ) = Z[𝜁] ou 𝑘𝑒𝑟(𝜃𝑎 ) = 𝐽. Mas se 𝐾𝑒𝑟(𝜃𝑎 ) = Z[𝜁], temos
pelo Teorema do Isomorfismo de Grupos que
𝐼
Z[𝜁]
≃
≃ {0} ⇒ 𝐼 = 𝐼𝐽,
𝐼𝐽
Z[𝜁]
4.3. NORMA DE UM IDEAL
115
contradizendo o fato de que 𝐼𝐽 ( 𝐼. Portanto, 𝐾𝑒𝑟(𝜃𝑎 ) = 𝐽 e, consequentemente
Z[𝜁]
𝐼
≃
.
𝐽
𝐼𝐽
⃒𝐼 ⃒
⃒ e da Equação (4.9), obtemos
Logo, 𝑁 (𝐽) = ⃒ 𝐼𝐽
𝑁 (𝐼𝐽) = 𝑁 (𝐼)𝑁 (𝐽).
Corolário 4.3. Seja 𝐼 um ideal não nulo de Z[𝜁]. Se 𝑁 (𝐼) é primo em
Z, então 𝐼 é um ideal primo de Z[𝜁].
Demonstração: Seja 𝑁 (𝐼) = 𝑝, que é um primo inteiro e positivo.
Suponhamos, por contradição, que 𝐼 não seja um ideal primo. Então,
existem 𝐼1 , · · · , 𝐼𝑛 ideais primos de Z[𝜁] tais que 𝐼 = 𝐼1 · · · 𝐼𝑛 . Então,
𝑁 (𝐼) = 𝑁 (𝐼1 ) · · · 𝑁 (𝐼𝑛 ) = 𝑝.
(4.10)
Como 𝑁 (𝐼𝑖 ) é um número natural, a Equação (4.10) contradiz o fato
de que 𝑝 é primo em Z. Portanto, 𝐼 é ideal primo de 𝐼L .
Neste ponto, estamos quase prontos para atacar o Teorema de
Kummer. Já provamos a unicidade da fatoração de ideais em ideais
primos em Z[𝜁] e temos todas as propriedades necessárias de norma de
ideais. Falta, apenas, definir os primos regulares, para saber que propriedade tão importante eles satisfazem para que o Teorema de Kummer
seja válido para eles. Por isso, o próximo capítulo, que é o último, é
destinado à definição dos primos regulares e, finalmente, à prova do
Teorema de Kummer.
117
5 TEOREMA DE KUMMER
Segundo Edwards (1977), quando Kummer enviou a carta para
Liouville que apontava o erro na ideia de Lamé, alguns, como Lamé
e Cauchy, desistiram de provar o UTF. Já Kummer tentou salvar a
ideia introduzindo o conceito de números ideais e, cerca de três anos
após o anúncio de Lamé, em 1850, conseguiu solucionar parcialmente
o problema da fatoração única de elementos, de forma a solucionar
parcialmente, também, o UTF. Lembramos que toda essa teoria foi
generalizada por Dedekind, que criou o conceito de ideais.
Kummer provou o UTF para os chamados primos regulares,
dividindo o problema em dois casos. Antes de vermos o primeiro caso,
precisamos compreender o conceito de primos regulares, que serão definidos na primeira seção. Kummer criou um grupo conhecido como
grupo de classes, que na generalização realizada por Dedekind, é definido como o grupo quociente dos ideais fracionários com ideais fracionários principais. Novamente, essa teoria é válida para qualquer domínio
de Dedekind.
Kummer chegou a afirmar que os primos regulares seriam infinitos. A esperança era a de que se os primos irregulares (que não são
regulares) fossem finitos, então bastaria provar cada caso desses separadamente, mas essa abordagem se mostrou muito complicada. Com isso,
tornou-se necessário criar uma nova abordagem para provar o UTF para
primos irregulares, que não surgiu antes da demonstração completa do
UTF, apresentada em 1995 pelo inglês Andrew Wiles. Wiles usou uma
teoria totalmente diferente, que relacionava equações elípticas e formas
modulares. Entretanto, a teoria não foi criada por ele. Os primeiros a
imaginarem uma conexão entre as formas modulares e as curvas elípticas, ou mais exatamente, um isomorfismo entre elas, foram os japoneses
Yutaka Taniyama e Goro Shimura. Em cima dessa conjectura, o ale-
118
Capítulo 5. TEOREMA DE KUMMER
mão Gerhard Frey afirmou que essa conjectura implicava na prova do
UTF. Tal afirmação foi provada pelo norte-americano Ken Ribet. Por
fim, o último passo, provavelmente o mais difícil, foi dado por Wiles,
em uma demonstração da conjectura de Taniyama-Shimura com mais
de 100 páginas.
Mas voltemos ao trabalho de Kummer. Precisamos, agora, definir primos regulares, o que é feito na próxima seção.
5.1 GRUPO DE CLASSES
Já mostramos que o conjunto ℱ dos ideais fracionários de Z[𝜁]
é um grupo multiplicativo. Chamamos de ideais fracionários principais
aos ideais fracionários que são gerados por apenas um elemento. É fácil
notar que os ideais fracionários principais de Z[𝜁] formam um subgrupo
𝒫 de ℱ. Como ℱ é abeliano, podemos definir o grupo de classes de Z[𝜁]
como o quociente de grupos
ℋ=
ℱ
𝒫
e chamamos a ordem de ℋ de número de classe ℎ de Z[𝜁]. Dizemos
que dois ideais fracionários 𝐼 e 𝐽 de Z[𝜁] estão relacionados (𝐼 ∼ 𝐽) se
𝐼𝐽 −1 ∈ 𝒫, ou seja, existe um ideal fracionário principal 𝐾 de Z[𝜁] tal
que 𝐼 = 𝐾𝐽.
Assim, a classe de equivalência de 𝐼 é definida por
[𝐼] = {𝐽 ∈ ℱ | 𝐼 = 𝐾𝐽, para algum 𝐾 ∈ 𝒫}
Vimos que se 𝐼 é um ideal fracionário, então existem 𝑑 ∈ Z[𝜁]
e um ideal 𝐽 de Z[𝜁] tais que 𝐼 = 𝑑−1 𝐽. Assim,
𝐽 = 𝑑𝐼 = ⟨𝑑⟩𝐼.
Como ⟨𝑑⟩ ∈ 𝒫, obtemos 𝐽 ∼ 𝐼 e com isso, concluímos que toda classe
de equivalência possui um ideal de Z[𝜁]. Por outro lado, se 𝐼, 𝐽 ∈ ℱ
5.1. GRUPO DE CLASSES
119
são equivalentes, existe 𝐾 ∈ 𝒫 tal que 𝐼 = 𝐾𝐽, onde 𝐾 = 𝑐−1 𝐿 para
algum 𝑐 ∈ Z[𝜁] e 𝐿 um ideal principal de Z[𝜁]. Logo,
𝐼 = 𝐾𝐽 ⇒ 𝐼 = 𝑐−1 𝐿𝐽 ⇒ 𝐼⟨𝑐⟩ = 𝐿𝐽.
Do mesmo modo, se 𝐼𝑀 = 𝐽𝑁 com 𝑀, 𝑁 ∈ 𝒫, então 𝐼 e 𝐽 são equivalentes. Assim, podemos redefinir a classe de equivalência de 𝐼 da forma
[𝐼] = {𝐽 ∈ ℱ | 𝐼𝑀 = 𝐽𝑁 com 𝑀, 𝑁 ∈ 𝒫}.
Chamamos ℋ de grupo de classes de Z[𝜁] porque podemos definir a operação de grupo
[𝐼][𝐽] = [𝐼𝐽],
que é claramente comutativa e associativa. Além disso, apresenta como
elemento neutro o próprio [Z[𝜁]], pois
[𝐼][Z[𝜁]] = [𝐼Z[𝜁]] = [𝐼]
e o elemento inverso de [𝐼] é [𝐼 −1 ], pois
[𝐼][𝐼 −1 ] = [𝐼𝐼 −1 ] = [Z[𝜁]].
Portanto, essa operação constrói no conjunto das classes de equivalências ℋ de Z[𝜁] uma estrutura de grupo multiplicativo abeliano.
Definição 5.1. Dizemos que 𝑝 é um primo regular se 𝑝 não divide o
número de classe ℎ de Z[𝜁], onde 𝜁 =e
2𝜋𝑖
𝑝
.
Lema 5.1. Seja 𝐼 um ideal de Z[𝜁]. Se 𝑞 e o número de classe ℎ de
Z[𝜁] são relativamente primos e 𝐼 𝑞 é um ideal principal, então 𝐼 é um
ideal principal.
Demonstração: Pela Identidade de Bezout, temos que existem 𝑎, 𝑏 ∈
Z tais que 𝑎𝑞 + 𝑏ℎ = 1. Ainda, como ℎ = |ℋ|, temos que [𝐼]ℎ = [Z[𝜁]],
pois Z[𝜁] é o elemento neutro de ℋ. E de 𝐼 𝑞 ser um ideal principal,
120
Capítulo 5. TEOREMA DE KUMMER
temos que 𝐼 𝑞 = 𝐼 𝑞 Z[𝜁], ou seja 𝐼 𝑞 ∼ Z[𝜁] e, consequentemente, [𝐼 𝑞 ] =
[𝐼]𝑞 = [Z[𝜁]]. Logo,
[𝐼] = [𝐼]𝑎𝑞+𝑏ℎ = ([𝐼]𝑞 )
𝑎
(︀
[𝐼]ℎ
)︀𝑏
= [Z[𝜁]]𝑎 [Z[𝜁]]𝑏 = [Z[𝜁]].
Portanto, 𝐼 ∼ Z[𝜁], o que implica que existe 𝐾 ∈ 𝒫 tal que 𝐼 = 𝐾Z[𝜁] =
𝐾, donde 𝐼 é um ideal principal.
Teorema 5.1. A fatoração de elementos é única em Z[𝜁] se, e somente
se, o número de classe ℎ de Z[𝜁] é igual a 1.
Demonstração: (⇒) Pelo Teorema 4.3, a unicidade da fatoração de
elementos é garantida em Z[𝜁] se, e somente se, Z[𝜁] é um domínio
principal. Ainda, se 𝐼 ∈ ℱ, então existe um ideal 𝐽 de Z[𝜁] e 𝑑 ∈
Z[𝜁] tais que 𝐼 = 𝑑−1 𝐽, onde 𝐽 é um ideal principal. Logo, 𝐼 ∈ 𝒫 e,
consequentemente, ℱ = 𝒫, donde
[𝐼] = {𝐽 ∈ ℱ | 𝐼𝑀 = 𝐽𝑁 com 𝑀, 𝑁 ∈ 𝒫} = {𝐽 ∈ ℱ},
pois podemos tomar 𝑀 = 𝐽 e 𝐽 = 𝐼, o que implica que o número de
classe ℎ de Z[𝜁] é igual a 1.
(⇐) Como ℎ = 1, temos que se 𝐼 é um ideal fracionário de Z[𝜁], então
𝐼 ∼ 𝐽, para qualquer 𝐽 ∈ ℱ. Tomando 𝐽 = Z[𝜁], obtemos que 𝐽 =
𝐾Z[𝜁], para algum 𝐾 ∈ 𝒫. Portanto, 𝒫 = ℱ, donde Z[𝜁] é um domínio
principal e, consequentemente, fatorial.
O Teorema 5.1 mostra que se ℎ = 1, então Z[𝜁] é fatorial.
Segundo Stewart (2002), os anéis ciclotômicos com 𝑝 = 3, 5, 7, 11, 13, 17
e 19 possuem número de classe igual a 1. Logo, são domínios fatoriais.
A Tabela 1 apresenta os números de classe dos anéis ciclotômicos com
𝑝 menor que 100, com a qual podemos identificar os primeiros primos
regulares.
Assim, a ideia de Lamé é válida apenas para os primeiros números primos da tabela. Já Kummer mostra o UTF para todos os primos
regulares. Logo, a ideia de Kummer só não é válida para três primos
5.2. TEOREMA DE KUMMER
121
Tabela 1: Primos regulares menores que 100.
𝑝
3
5
7
11
13
17
19
23
29
31
37
41
ℎ
1
1
1
1
1
1
1
3
23
32
37
112
𝑝
43
47
53
59
61
67
71
73
79
83
89
97
ℎ
211
5· 139
4889
3· 59· 233
41· 1861
67· 12739
72 · 79241
89· 134353
5· 53· 377911
3· 279405653
113· 118401449
577· 3457· 206209
Tabela 1 – Fonte: Stewart, 2002
da tabela: 37, 59 e 67. Mais do que isso, com a prova de Kummer, o
UTF fica provado para todos os números de 3 a 100, com exceção dos
números 37, 59 e 67, que são primos irregulares, e 74, pois 74 não é
múltiplo de 4 nem de nenhum primo regular.
5.2 TEOREMA DE KUMMER
Kummer mostrou o UTF para os primos regulares, que claramente incluem os casos em que ℎ = 1, dividindo o UTF em dois casos,
como Sophie Germain: o caso em que nenhum dos elementos da solução pode ser divisível por 𝑝 e o caso em que apenas um é divisível por
𝑝. Nesta seção, que é a última, mostramos o primeiro caso, já que os
conceitos mostrados até aqui nos deixam habilitados a mostrar apenas
esse.
Lema 5.2. Considere o ideal 𝐼 = ⟨1 − 𝜁⟩ de Z[𝜁]. Então, 𝐼 𝑝−1 = ⟨𝑝⟩ e
𝑁 (𝐼) = 𝑝.
122
Capítulo 5. TEOREMA DE KUMMER
Demonstração: Sabemos que o polinômio mínimo de 𝜁 em Q é
𝑃𝜁/Q (𝑥) = 𝑥𝑝−1 + 𝑥𝑝−2 + · · · + 𝑡 + 1 =
𝑝−1
∏︁
(𝑥 − 𝜁 𝑖 ).
(5.1)
𝑖=1
Tomando 𝑥 = 1 na Equação (5.1) temos
𝑝=
𝑝−1
∏︁
(1 − 𝜁 𝑖 ).
(5.2)
𝑖=1
Logo,
⟨𝑝⟩ =
⟨𝑝−1
∏︁
⟩
𝑖
(1 − 𝜁 )
𝑖=1
=
𝑝−1
∏︁
⟨1 − 𝜁 𝑖 ⟩.
(5.3)
𝑖=1
Ainda, pelo Lema 2.2 segue que 1 − 𝜁 e 1 − 𝜁 𝑖 são associados. Com isso,
podemos concluir facilmente que ⟨1 − 𝜁⟩ = ⟨1 − 𝜁 𝑖 ⟩, com 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑝 − 1.
Assim,
⟨𝑝⟩ = ⟨1 − 𝜁⟩𝑝−1 = 𝐼 𝑝−1 .
(5.4)
Falta provar então que 𝑁 (𝐼) = 𝑝. Com efeito, da Proposição 4.6 e da
Equação (5.2), segue que
⃒𝑝−1
⃒ ⃒𝑝−1
⃒
⃒ ∏︁
⃒ ⃒ ∏︁
⃒
⃒
⃒ ⃒
𝑖 ⃒
𝑁 (𝐼) = |𝑁 (1 − 𝜁)| = ⃒ [𝜎𝑖 (1) − 𝜎𝑖 (𝜁)]⃒ = ⃒ (1 − 𝜁 )⃒ = 𝑝.
⃒
⃒ ⃒
⃒
𝑖=1
𝑖=1
Observação 5.1. Observemos
que, com esse resultado, temos que
⃒
⃒
⃒ Z[𝜁] ⃒
𝑁 (⟨1 − 𝜁⟩) = 𝑁 (𝐼) = ⃒ 𝐼 ⃒ = 𝑝. Sabemos que 𝐼 ∩ Z é um ideal primo de
Z, fato visto na demonstração da Proposição 4.1. Assim, deve existir
𝑚 ∈ Z primo tal que 𝐼 ∩ Z = 𝑚Z, pois Z é um domínio principal e
mostramos no Lema 4.1 que se 𝑚Z é um ideal primo, então 𝑚 é primo.
Logo,
Z
= {0, 1, · · · , 𝑚 − 1},
𝐼 ∩Z
ou seja,
Z
possui 𝑚 elementos. Por outro lado, temos que
𝐼 ∩Z
Z
Z[𝜁]
⊆
𝐼 ∩Z
𝐼
5.2. TEOREMA DE KUMMER
123
Z
Z[𝜁]
é um subgrupo normal de
. Do Teorema de Lagrange,
𝐼 ∩Z
𝐼
obtemos que
⃒ (︂
⃒
⃒
)︂ ⃒
⃒ Z ⃒
⃒ Z[𝜁] ⃒
⃒
⃒ = Z[𝜁] : Z
⃒.
⃒
⃒ 𝐼 ⃒
𝐼
𝐼 ∩ Z ⃒𝐼 ∩ Z⃒
e
Logo, concluímos que 𝑚 | 𝑝. Assim, 𝑚 deve ser igual a 𝑝, pois ambos
são primos e, consequentemente,
Z[𝜁]
= {0, 1, · · · , 𝑝 − 1},
𝐼
donde podemos concluir que cada elemento de Z[𝜁] é congruente em
módulo 𝐼 a um dos números 0, 1, · · · , 𝑝 − 1, considerando o homomorfismo natural 𝜙 : Z[𝜁] −→
Z[𝜁]
𝐼
definido por 𝜙(𝑥) = 𝑥 + 𝐼.
Lema 5.3. Se 𝛼 ∈ Z[𝜁], então existe 𝑎 ∈ Z tal que 𝛼𝑝 ≡ 𝑎(mod 𝐼 𝑝 ),
onde 𝐼 = ⟨1 − 𝜁⟩.
Demonstração: Sabemos pelo Teorema 3.1 que se 𝛼 ∈ Z[𝜁], então 𝛼
pode ser escrito como 𝛼 = 𝑎0 + 𝑎1 𝜁 + · · · + 𝑎𝑝−2 𝜁 𝑝−2 , com 𝑎𝑖 ∈ Z, para
todo 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑝 − 2. Considerando 𝑝(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + · · · + 𝑎𝑝−2 𝑥𝑝−2 ,
temos pelo algoritmo da divisão em Z[𝑥], Proposição A.1, que existem
𝑞(𝑥), 𝑟(𝑥) ∈ Z[𝑥] tais que
𝑝(𝑥) = (1 − 𝑥)𝑞(𝑥) + 𝑟(𝑥),
com 𝑟(𝑥) = 0 ou 𝜕𝑟 = 0, o que implica que 𝑟(𝑥) = 𝑟 ∈ Z. Assim,
𝛼 = 𝑝(𝜁) = (1 − 𝜁)𝑞(𝜁) + 𝑟 ⇒ 𝛼 ≡ 𝑟 (mod 𝐼),
(5.5)
onde 𝐼 = ⟨1 − 𝜁⟩. Por outro lado, temos que
𝑝
𝑝
𝛼 −𝑟 =
𝑝−1
∏︁
(𝛼 − 𝑟𝜁 𝑗 ).
(5.6)
𝑗=0
Ainda, como 1 − 𝜁 ∈ 𝐼, segue que 𝜁 ≡ 1 (mod 𝐼), o que implica que
𝜁 𝑗 ≡ 1 (mod 𝐼). Assim,
𝛼 − 𝑟𝜁 𝑗 ≡ 𝑟 − 𝑟𝜁 𝑗 ≡ 𝑟(1 − 𝜁 𝑗 ) ≡ 0 (𝑚𝑜𝑑 𝐼),
124
Capítulo 5. TEOREMA DE KUMMER
pois 1 − 𝜁 𝑗 ∈ 𝐼. Com isso, temos que
𝛼𝑝 − 𝑟 𝑝 =
𝑝−1
∏︁
(𝛼 − 𝑟𝜁 𝑗 ) = 𝑞(1 − 𝜁)𝑝 ∈ 𝐼 𝑝 .
𝑗=0
Assim, tomando 𝑎 = 𝑟𝑝 , obtemos que 𝛼 ≡ 𝑎 (mod 𝐼 𝑝 ).
Lema 5.4. As únicas raízes da unidade em Q[𝜁] são da forma ±𝜁 𝑠 ,
com 𝑠 inteiro.
Observação 5.2. A demonstração do Lema 5.4 é encontrada em Stewart
(2002, p. 189).
Lema 5.5. Se 𝑝(𝑥) ∈ Z[𝑥] é um polinômio mônico e todas as suas
raízes tem valor absoluto 1, então cada raiz é uma raiz da unidade.
Demonstração: Suponhamos que 𝛼1 , 𝛼2 , · · · , 𝛼𝑛 as raízes do polinômio 𝑝(𝑥). Para cada 𝑘 inteiro e positivo obtemos o polinômio
𝑝𝑘 (𝑡) = (𝑥 − 𝛼1𝑘 )(𝑥 − 𝛼2𝑘 ) · · · (𝑥 − 𝛼𝑛𝑘 ).
Do Apêndice B, temos que as funções simétricas elementares de 𝑝𝑘 (𝑡)
são da forma
𝜎1 = 𝛼1𝑘 + 𝛼2𝑘 + · · · + 𝛼𝑛𝑘
𝑘
𝛼𝑛𝑘
𝜎2 = 𝛼1𝑘 𝛼2𝑘 + 𝛼1𝑘 𝛼3𝑘 + · · · + 𝛼𝑛−1
..
.
𝜎𝑛 = 𝛼1𝑘 𝛼2𝑘 · · · 𝛼𝑛𝑘 ,
onde cada 𝜎𝑖 possui uma soma com
(︃ )︃
𝑛
parcelas de produtos das
𝑖
raízes de 𝑝(𝑥). Assim, 𝑝𝑘 (𝑥) pode ser escrito na forma
𝑝𝑘 (𝑥) = 𝑥𝑛 − 𝜎1 𝑥𝑛−1 + 𝜎2 𝑥𝑛−2 − · · · + (−1)𝑛−1 𝜎𝑛−1 𝑥 + (−1)𝑛 𝜎𝑛 (5.7)
Cada uma das funções simétricas descritas é um polinômio 𝑓 (𝑥1 , · · · ,
𝑥𝑛 ) ∈ Z[𝑥1 , · · · , 𝑥𝑛 ]. Logo, da Proposição B.1, segue que 𝑓 (𝛼1 , · · · , 𝛼𝑛 )
5.2. TEOREMA DE KUMMER
125
∈ Z, ou seja, 𝜎𝑖 ∈ Z para todo 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛. Portanto, pela Equação 5.7,
𝑝𝑘 (𝑥) ∈ Z[𝑥].
Reescrevendo 𝑝𝑘 (𝑥) como
𝑝𝑘 (𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + · · · + 𝑎𝑛−1 𝑥𝑛−1 + 𝑥𝑛 ,
com 𝑎𝑖 ∈ Z, para 0 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1, temos que
|𝑎1 | =
|𝛼1𝑘
+
𝛼2𝑘
+ ··· +
𝛼𝑛𝑘 |
𝑘
𝑘
𝑘
≤ |𝛼1 | + |𝛼2 | + · · · + |𝛼𝑛 | =
(︃ )︃
𝑛
1
= 𝑛,
pois |𝛼𝑖 | = 1. Com isso, concluímos que
(︃ )︃
𝑛
|𝑎𝑗 | ≤
,
𝑗
para todo 0 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛 − 1. Como 𝑎𝑗 é sempre inteiro, observamos que
pode ser gerada apenas uma quantidade finita de polinômios com esses
possíveis 𝑎𝑗 , satisfazendo a desigualdade acima. Entretanto, mostramos
que isso é válido para qualquer 𝑘 inteiro e positivo. Logo, deve existir
algum 𝑚 ̸= 𝑘 tal que
𝑝𝑚 (𝑥) = 𝑝𝑘 (𝑥).
Assim, existe uma permutação 𝜋 dos índices {1, · · · , 𝑛} tal que
𝑚
𝛼𝑗𝑘 = 𝛼𝜋(𝑗)
,
com 𝑗 de 1 a 𝑛. Com isso, temos que
(︀ )︀𝑘
2
2
𝑚
𝑚
𝛼𝑗𝑘 = 𝛼𝑗𝑘 = (𝛼𝜋(𝑗)
)𝑘 = (𝛼𝜋(𝜋(𝑗))
)𝑚 = 𝛼𝜋𝑚2 (𝑗) .
Indutivamente, obtemos
𝑟
𝑟
𝛼𝑗𝑘 = 𝛼𝜋𝑚𝑟 (𝑗) .
Por outro lado, temos que para qualquer permutação 𝜋 dos índices
{1, · · · , 𝑛}, existe 1 ≤ 𝑙 ≤ 𝑛 tal que 𝜋 𝑙 (𝑗) = 𝑗 para todo 𝑗 ∈ {1, · · · , 𝑛}.
Com isso, concluímos que
𝜋 𝑛! (𝑗) = 𝑗,
126
Capítulo 5. TEOREMA DE KUMMER
para qualquer permutação dos índices {1, · · · , 𝑛}, donde
𝑘!
𝑘!
𝑘!
𝛼𝑗𝑙 = 𝛼𝜋𝑚𝑘! (𝑗) = 𝛼𝑗𝑚 .
Assim,
𝑘!
𝛼𝑗𝑙
−𝑚𝑘!
= 1,
e como 𝑙𝑘! ̸= 𝑚𝑘! , obtemos que 𝛼𝑗 é uma raiz da unidade, para qualquer
1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛.
Lema 5.6. Se 𝑢 é um inversível em Z[𝜁], então existem 𝑟 ∈ R e 𝑔 ∈ Z
tais que 𝑢 = 𝑟𝜁 𝑔 .
Demonstração: Seja 𝑢 ∈ 𝒰(Z[𝜁]). Temos pelo Teorema 3.1 que Z[𝜁] é
um Z−módulo finitamente gerado pelas potências 𝜁 𝑗 , com 0 ≤ 𝑗 ≤ 𝑝−2.
Assim, deve existir um polinômio 𝑝(𝑥) ∈ Z[𝑥] tal que
𝑢 = 𝑝(𝜁) = 𝑎0 + 𝑎1 𝜁 + · · · + 𝑎𝑝−2 𝜁 𝑝−2 ,
donde obtemos que
𝑁 (𝑢) =
𝑝−1
∏︁
[𝜎𝑖 (𝑎0 ) + 𝜎𝑖 (𝑎1 )𝜎𝑖 (𝜁) + · · · + 𝜎𝑖 (𝑎𝑝−2 )𝜎𝑖 (𝜁 𝑝−2 )]
𝑖=1
=
𝑝−1
∏︁
[𝑎0 − 𝑎1 − · · · − 𝑎𝑝−2 ] ∈ Z,
𝑖=1
pois 𝑁 (𝜁) = 𝑁 (𝜁 𝑗 ) = −1 para todo 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑝 − 2. Ainda, como 𝑢 é
inversível, deve existir 𝑣 ∈ Z[𝜁] tal que 𝑢𝑣 = 1. Logo,
𝑁 (𝑢𝑣) = 𝑁 (1) ⇒ 𝑁 (𝑢)𝑁 (𝑣) = 1𝑝−1 = 1 ⇒ 𝑁 (𝑢) = ±1.
5.2. TEOREMA DE KUMMER
127
Definindo, então, 𝑢𝑠 = 𝑝(𝜁 𝑠 ) com 𝑠 = 1, · · · , 𝑝 − 1, obtemos que
𝑁 (𝑢) =𝑁 (𝑝(𝜁))
(︀
)︀
=𝑁 𝑎0 + 𝑎1 𝜁 + · · · + 𝑎𝑝−2 𝜁 𝑝−2
=
𝑝−1
∏︁
(︀
)︀
𝜎𝑖 𝑎0 + 𝑎1 𝜁 + · · · + 𝑎𝑝−2 𝜁 𝑝−2
𝑖=1
=
𝑝−1
∏︁
(︀
)︀
𝜎𝑖 (𝑎0 ) + 𝜎𝑖 (𝑎1 𝜁) + · · · + 𝜎𝑖 𝑎𝑝−2 𝜁 𝑝−2
𝑖=1
=
𝑝−1
∏︁
𝑎0 + 𝑎1 𝜁 𝑖 + · · · + 𝑎𝑝−2 𝜁 𝑖(𝑝−2)
𝑖=1
=
𝑝−1
∏︁
𝑝(𝜁 𝑖 ),
𝑖=1
sendo 𝜎𝑖 os monomorfismos de Q(𝜁) em C. Portanto, obtemos que ±1 =
𝑁 (𝑢) = 𝑢1 · · · 𝑢𝑝−1 . Além disso, o conjugado complexo de 𝑢𝑠 é dado
por
𝑢𝑠 = 𝑝(𝜁 𝑠 ) = 𝑝(𝜁 −𝑠 ) = 𝑝(𝜁 𝑝−𝑠 ) = 𝑢𝑝−𝑠 ,
donde 𝑢𝑠 𝑢𝑝−2 = |𝑢𝑠 |2 > 0. Logo, 𝑁 (𝑢) = (𝑢1 𝑢𝑝−1 )(𝑢2 𝑢𝑝−2 ) · · · > 0 e
consequentemente, 𝑁 (𝑢) = 1.
Agora, temos que cada
gado complexo é
𝑢𝑝−𝑠
, pois
𝑢𝑠
𝑢𝑠
é inversível em Z[𝜁] e seu conju𝑢𝑝−𝑠
𝑢𝑠
𝑢𝑝−𝑠
= 𝑢𝑠 (𝑢𝑝−𝑠 )−1 = 𝑢𝑝−𝑠 𝑢𝑝−𝑠 −1 = 𝑢𝑝−𝑠 (𝑢𝑠 )−1 =
.
𝑢𝑝−𝑠
𝑢𝑠
𝑢𝑠
é 1, já que
𝑢𝑝−𝑠
⃒
⃒
⃒ 𝑢𝑠 ⃒2
𝑢𝑠 𝑢𝑝−𝑠
⃒
⃒
⃒ 𝑢𝑝−𝑠 ⃒ = 𝑢𝑝−𝑠 𝑢𝑠 = 1.
Logo, o valor absoluto de
Ainda, o polinômio
𝑓 (𝑥) =
𝑝−1
∏︁ (︂
𝑠=1
𝑢𝑠
𝑥−
𝑢𝑝−𝑠
)︂
128
Capítulo 5. TEOREMA DE KUMMER
tem todos os seus coeficientes em Z, pelo argumento de polinômios simétricos. Logo, pelo Lema 5.5, temos que as raízes de 𝑓 (𝑥) são também
raízes da unidade. Assim, do Lema 5.4 obtemos
𝑢
= ±𝜁 𝑠 ,
𝑢𝑝−1
para algum 𝑠 ∈ Z. Como 𝑝 é um primo ímpar e 𝜁 𝑠 = 𝜁 𝑝−𝑠 , temos que
ou 𝑠 é par ou 𝑝 − 𝑠 é par. Logo, existe 𝑔 ∈ Z tal que
𝑢
𝑢𝑝−1
= ±𝜁 2𝑔 .
(5.8)
Precisamos, então, definir se esse sinal é positivo ou negativo. Como foi
comentado na Observação 5.1, deve existir 𝑡 ∈ Z tal que
𝜁 −𝑔 𝑢 ≡ 𝑡 (𝑚𝑜𝑑 𝐼).
Logo, 𝜁 −𝑔 𝑢 = (1 − 𝜁)𝑞 + 𝑡 para algum 𝑞 ∈ Z[𝜁] e tomando o conjugado
disso, temos
𝜁 −𝑔 𝑢 = 𝜁 𝑔 𝑢𝑝−1 = (1 − 𝜁 𝑝−1 )𝑞 ′ + 𝑡,
com 𝑞 ′ ∈ Z[𝜁]. Como (1 − 𝜁 𝑝−1 ) é divisível por 1 − 𝜁, obtemos
𝜁 𝑔 𝑢𝑝−1 ≡ 𝑡 (𝑚𝑜𝑑 𝐼),
onde 𝐼 = ⟨1 − 𝜁⟩. Daí, segue que
𝜁 −𝑔 𝑢 ≡ 𝜁 𝑔 𝑢𝑝−1 (𝑚𝑜𝑑 𝐼)
e, consequentemente,
𝑢
𝑢𝑝−1
≡ 𝜁 2𝑔 (𝑚𝑜𝑑 𝐼).
(5.9)
Assim, considerando o sinal negativo na Equação (5.8) e comparando-a
com a Equação (5.9), obtemos
−𝜁 2𝑔 ≡ 𝜁 2𝑔 (𝑚𝑜𝑑 𝐼) ⇒ 2𝜁 2𝑔 ∈ 𝐼,
donde ⟨2𝜁 2𝑔 ⟩ ⊆ 𝐼, o que implica, pelo Corolário 4.2, que 𝐼 | ⟨2𝜁 2𝑔 ⟩ e,
portanto, 𝑁 (𝐼) divide 𝑁 (⟨2𝜁 2𝑔 ⟩). Mas,
𝑁 (⟨2𝜁 2𝑔 ⟩) = |𝑁 (2𝜁 2𝑔 )| = 2𝑝−1 (−1)2𝑔 = 2𝑝−1 ,
5.2. TEOREMA DE KUMMER
129
o que contradiz o fato já provado na Lema 5.2 de que 𝑁 (𝐼) = 𝑝. Assim,
segue da Equação (5.8) que
𝜁 −𝑔 𝑢 = 𝜁 𝑔 𝑢𝑝−1 ,
ou seja, 𝜁 −𝑔 𝑢 e seu conjugado são iguais. Logo, 𝜁 −𝑔 𝑢 = 𝑟 para algum
𝑟 ∈ R e, consequentemente,
𝑢 = 𝑟𝜁 𝑔 .
Teorema 5.2 (Teorema de Kummer). Se 𝑝 é um primo natural ímpar
e regular, então a equação 𝑥𝑝 + 𝑦 𝑝 = 𝑧 𝑝 não tem solução não trivial em
Z satisfazendo 𝑝 - 𝑥𝑦𝑧.
Demonstração: Para essa demonstração, mostraremos que a Equação
𝑥𝑝 + 𝑦 𝑝 + 𝑧 𝑝 = 0
(5.10)
não possui soluções inteiras não triviais, já que 𝑝 é um primo ímpar e
isso implica que o mesmo ocorre com a equação 𝑥𝑝 + 𝑦 𝑝 = 𝑧 𝑝 . Suponhamos que (𝑥, 𝑦, 𝑧) seja uma solução não trivial da Equação (5.10), onde
𝑥, 𝑦 e 𝑧 são dois a dois relativamente primos e 𝑝 - 𝑥𝑦𝑧. Da Equação
(5.10) e da Equação (3.12), obtemos
−𝑧 𝑝 = 𝑥𝑝 + 𝑦 𝑝 =
𝑝−1
∏︁
(𝑥 + 𝜁 𝑖 𝑦),
𝑖=0
donde
𝑝
⟨𝑧 ⟩ =
⟨𝑝−1
∏︁
𝑖=0
⟩
𝑖
(𝑥 + 𝜁 𝑦)
=
𝑝−1
∏︁
⟨𝑥 + 𝜁 𝑖 𝑦⟩.
(5.11)
𝑖=0
Vamos mostrar que os ideais ⟨𝑥 + 𝜁 𝑖 𝑦⟩ são dois a dois relativamente
primos. Com efeito, suponhamos que o ideal primo 𝐼 de Z[𝜁] divida
⟨𝑥 + 𝜁 𝑙 𝑦⟩ e ⟨𝑥 + 𝜁 𝑚 𝑦⟩, ou seja, ⟨𝑥 + 𝜁 𝑙 𝑦⟩ ⊆ 𝐼 e ⟨𝑥 + 𝜁 𝑚 𝑦⟩ ⊆ 𝐼, com
0 ≤ 𝑙 < 𝑚 ≤ 𝑝 − 1. Então, 𝑥 + 𝜁 𝑙 𝑦, 𝑥 + 𝜁 𝑚 𝑦 ∈ 𝐼 e, consequentemente,
(𝑥 + 𝜁 𝑙 𝑦) − (𝑥 + 𝜁 𝑚 𝑦) = 𝜁 𝑙 𝑦(1 − 𝜁 𝑚−𝑙 ) ∈ 𝐼.
130
Capítulo 5. TEOREMA DE KUMMER
Já vimos que 1 − 𝜁 𝑚−𝑙 e 1 − 𝜁 são associados. Além disso, 𝜁 𝑙 é inversível
em Z[𝜁], fato visto na Observação 3.8. Logo, 𝑦(1 − 𝜁) ∈ 𝐼, e como 𝐼 é
ideal primo, devemos ter 𝑦 ∈ 𝐼 ou 1−𝜁 ∈ 𝐼. Por outro lado, da Equação
(5.11) segue que 𝐼 divide ⟨𝑧 𝑝 ⟩ = ⟨𝑧⟩𝑝 , o que implica que ⟨𝑧 𝑝 ⟩ ⊆ 𝐼, e
consequentemente, ⟨𝑧⟩ ⊆ 𝐼, pois 𝐼 é primo, e 𝐼 divide ⟨𝑧⟩. Portanto,
𝑧 ∈ 𝐼.
Ainda, como supomos 𝑦 e 𝑧 são relativamente primos, existem
𝑎, 𝑏 ∈ Z tais que 𝑎𝑦 + 𝑏𝑧 = 1. Logo, se 𝑦, 𝑧 ∈ 𝐼 então 1 ∈ 𝐼, donde
𝐼 = Z[𝜁], o que contradiz o fato de que 𝐼 é um ideal primo.
A possibilidade restante é a de que 1−𝜁 ∈ 𝐼, donde ⟨1−𝜁⟩ ⊆ 𝐼 e,
consequentemente, 𝐼 divide ⟨1−𝜁⟩. Do Lema 5.2, segue que 𝑁 (⟨1−𝜁⟩) =
𝑝, que é primo em Z. Pelo Corolário 4.3, obtemos que ⟨1 − 𝜁⟩ é um ideal
primo de Z[𝜁]. Portanto, como 𝐼 divide ⟨1 − 𝜁⟩ e 𝐼 também é primo,
segue da unicidade da fatoração em ideais primos que 𝐼 = ⟨1 − 𝜁⟩.
Assim, temos que ⟨1 − 𝜁⟩ divide ⟨𝑧⟩. Então,
𝑝 = 𝑁 (⟨1 − 𝜁⟩) | 𝑁 (⟨𝑧⟩) = 𝑧 𝑝−1 ,
o que implica que 𝑝 | 𝑧, contrariando a hipótese inicial do teorema.
Concluímos, então, que ⟨𝑥 + 𝜁 𝑖 𝑦⟩ são dois a dois relativamente
primos. Como sabemos que a fatoração em ideais primos é única, o fato
de o produto dos ideais do lado esquerdo da Equação (5.2) ser uma
𝑝−ésima potência e o fato de que os ideais ⟨𝑥 + 𝜁 𝑖 𝑦⟩ são relativamente
primos implicam que cada ⟨𝑥 + 𝜁 𝑖 𝑦⟩ deve ser uma 𝑝−ésima potência de
um ideal de Z[𝜁]. Em particular, deve existir um ideal 𝐽 de Z[𝜁] tal que
⟨𝑥 + 𝜁𝑦⟩ = 𝐽 𝑝 .
Então, 𝐽 𝑝 é principal e 𝑝 não divide o número de classe ℎ de Z[𝜁].
Portanto, segue do Lema 5.1 que 𝐽 é um ideal principal de Z[𝜁]. Logo,
existe 𝛼 ∈ Z[𝜁] tal que 𝐽 = ⟨𝛼⟩ e
𝑥 + 𝜁𝑦 = 𝑢𝛼𝑝 ,
5.2. TEOREMA DE KUMMER
131
onde 𝑢 é inversível em Z[𝜁]. Pelo Lema 5.6, existem 𝑟 ∈ R e 𝑔 ∈ Z tais
que
𝑥 + 𝜁𝑦 = 𝑟𝜁 𝑔 𝛼𝑝
(5.12)
e segue do Lema 5.3 que existe 𝑐 ∈ Z tal que 𝛼𝑝 ≡ 𝑐 (𝑚𝑜𝑑 ⟨1 − 𝜁⟩𝑝 ).
Aplicando isso na Equação (5.12), obtemos
𝑥 + 𝜁𝑦 ≡ 𝑟𝑐𝜁 𝑔 (𝑚𝑜𝑑 ⟨1 − 𝜁⟩𝑝 ).
O Lema 5.2 mostra que ⟨𝑝⟩ = ⟨1 − 𝜁⟩𝑝−1 ⊇ 𝐼 𝑝 . Logo,
𝑥 + 𝜁𝑦 ≡ 𝑟𝑐𝜁 𝑔 (𝑚𝑜𝑑 ⟨𝑝⟩).
Agora, como o inverso de 𝜁 𝑔 em Z[𝜁] é 𝜁 −𝑔 , fato visto na Observação
3.8, temos
𝜁 −𝑔 (𝑥 + 𝜁𝑦) ≡ 𝑟𝑐 (𝑚𝑜𝑑 ⟨𝑝⟩),
(5.13)
𝜁 −𝑔 (𝑥 + 𝜁𝑦) = 𝑝𝑞 + 𝑟𝑐,
(5.14)
donde
para algum 𝑞 ∈ Z[𝜁]. Observando que
𝜁𝑗 = e
2𝑗𝜋𝑖
𝑝
=e
−2𝑗𝜋𝑖
𝑝
= 𝜁 −𝑗 ,
para qualquer 𝑗 inteiro e tomando os conjugados complexos na Equação
(5.14), obtemos
𝜁 𝑔 (𝑥 + 𝜁 −1 𝑦) = 𝑝𝑞 + 𝑟𝑐,
o que implica que
𝜁 𝑔 (𝑥 + 𝜁 −1 𝑦) ≡ 𝑟𝑐 (𝑚𝑜𝑑 ⟨𝑝⟩).
(5.15)
Comparando as Equações (5.13) e (5.15), segue que
𝜁 −𝑔 (𝑥 + 𝜁𝑦) ≡ 𝜁 𝑔 (𝑥 + 𝜁 −1 𝑦) (𝑚𝑜𝑑 ⟨𝑝⟩),
ou seja,
𝜁 −𝑔 𝑥 + 𝜁 1−𝑔 𝑦 − 𝜁 𝑔 𝑥 − 𝜁 𝑔−1 𝑦 ≡ 0 (𝑚𝑜𝑑 ⟨𝑝⟩).
(5.16)
132
Capítulo 5. TEOREMA DE KUMMER
Vamos provar agora que 1 + 𝜁 é inversível em Z[𝜁]. De fato, temos que
𝑃𝜁/Q (𝑡) = 𝑡𝑝−1 + 𝑡𝑝−2 + · · · + 𝑡 + 1 = (𝑡 − 𝜁)(𝑡 − 𝜁 2 ) · · · (𝑡 − 𝜁 𝑝−1 ).
Assim,
1 = 𝑃𝜁/Q (−1) = (−1 − 𝜁)(−1 − 𝜁 2 ) · · · (−1 − 𝜁 𝑝−1 ),
o que prova o desejado. Agora podemos investigar os valores de 𝑔 na
Equação (5.16). Primeiramente, seja 𝑔 ≡ 0 (𝑚𝑜𝑑 𝑝). Assim, 𝑔 é um
múltiplo de 𝑝 e, consequentemente, 𝜁 𝑔 = 1. Da Equação (5.16), obtemos
𝑦(𝜁 − 𝜁 −1 ) ≡ 0 (𝑚𝑜𝑑 ⟨𝑝⟩). Então,
0 ≡ 𝑦(𝜁 − 𝜁 −1 ) ≡ 𝑦(−𝜁 −1 )(1 − 𝜁 2 ) ≡ 𝑦(1 − 𝜁 2 ) ≡ 𝑦(1 − 𝜁)(1 + 𝜁)
≡ 𝑦(1 − 𝜁) (𝑚𝑜𝑑 ⟨𝑝⟩),
pois 1 + 𝜁 também é inversível. Com isso, temos que 𝑦(1 − 𝜁) ∈ ⟨𝑝⟩. Mas
segue do Lema 5.2 que ⟨𝑝⟩ = ⟨1 − 𝜁⟩𝑝−1 , donde 𝑦(1 − 𝜁) ∈ ⟨1 − 𝜁⟩𝑝−1 .
Então, deve existir 𝑞 ∈ Z[𝜁] tal que 𝑦(1 − 𝜁) = 𝑞(1 − 𝜁)𝑝−1 . Como
𝑝 − 1 ≥ 2, podemos escrever
[︀
]︀
(1 − 𝜁) 𝑦 − 𝑞(1 − 𝜁)𝑝−2 = 0,
o que implica que 𝑦 = 𝑞(1 − 𝜁)𝑝−2 , pois Z[𝜁] é um domínio. Logo, 1 − 𝜁
divide 𝑦, e tomando as normas, temos
𝑝𝑝−2 𝑁 (𝑞) = 𝑁 (1 − 𝜁 𝑝−2 )𝑁 (𝑞) = 𝑁 (𝑦) = 𝑦 𝑝−1 ⇒ 𝑝 | 𝑦 𝑝−1
e, consequentemente, 𝑝 | 𝑦, pois 𝑝 é primo em Z. Assim, 𝑔 ≡ 0 (𝑚𝑜𝑑 𝑝)
nos leva a 𝑝 | 𝑦, contradizendo a hipótese do teorema.
Do mesmo modo, se 𝑔 ≡ 1 (𝑚𝑜𝑑 𝑝), então da Equação (5.16)
temos que
𝜁 −1 𝑥 − 𝜁𝑥 = 𝑥(𝜁 −1 − 𝜁) = 𝑥𝜁 −1 (1 − 𝜁 2 ) ≡ 𝑥(1 − 𝜁) ≡ 0 (𝑚𝑜𝑑 ⟨𝑝⟩),
o que implica que 𝑝 | 𝑥, contradizendo a hipótese novamente. Assim,
concluímos que 𝑔 não é congruente nem a 0, nem a 1 no módulo 𝑝.
5.2. TEOREMA DE KUMMER
133
Agora, da Equação (5.16) segue que
𝜁 −𝑔 𝑥 + 𝜁 1−𝑔 𝑦 − 𝜁 𝑔 𝑥 − 𝜁 𝑔−1 𝑦 = 𝛽𝑝,
para algum 𝛽 ∈ Z[𝜁]. Logo,
𝜁 −𝑔
𝑥
𝑦
𝑥
𝑦
+ 𝜁 1−𝑔 − 𝜁 𝑔 − 𝜁 𝑔−1 = 𝛽,
𝑝
𝑝
𝑝
𝑝
(5.17)
onde 𝑝 não divide nenhum dos expoentes de 𝜁. Ainda, como 𝛽 ∈ Q(𝜁),
segue da Proposição 3.3 que a sua representação como combinação das
potências {1, 𝜁, · · · , 𝜁 𝑝−1 } é única, e o fato de que 𝛽 ∈ Z[𝜁] garante a sua
combinação como combinação dessas potências com escalares inteiros.
Por isso, se todos os expoentes da Equação (5.17) não forem congruentes
no módulo 𝑝, então
𝑥
𝑝
e
𝑦
𝑝
devem ser inteiros, contradizendo a hipótese.
Logo, algum par de expoentes devem apresentar congruência no módulo
𝑝. Vamos considerar, então, todas as possibilidades, sabendo que 𝑔 não
é congruente nem a 0 e nem a 1 em módulo 𝑝.
∙ se −𝑔 ≡ 1 − 𝑔 (𝑚𝑜𝑑 𝑝), então existe 𝑞 ∈ Z tal que
−𝑔 = 𝑝𝑞 + 1 − 𝑔 ⇒ 𝑝𝑞 = −1,
donde 𝑝 = ±1, contradizendo a hipótese do teorema. Notemos
que o mesmo ocorre se 𝑔 ≡ 𝑔 − 1 (𝑚𝑜𝑑 𝑝).
∙ se −𝑔 ≡ 𝑔 (𝑚𝑜𝑑 𝑝), então, novamente, existe 𝑞 ∈ Z tal que
−𝑔 = 𝑝𝑞 + 𝑔 ⇒ 2𝑔 = 𝑝𝑞 ⇒ 𝑝 | 𝑔 ⇒ 𝑔 ≡ 0 (𝑚𝑜𝑑 𝑝),
contradizendo o fato de que 𝑔 não é congruente a 0 em módulo 𝑝.
∙ se 1 − 𝑔 ≡ 𝑔 − 1 (𝑚𝑜𝑑 𝑝), então existe 𝑞 ∈ Z tal que
1−𝑔 = 𝑝𝑞 +𝑔 −1 ⇒ 2(𝑔 −1) = −𝑝𝑞 ⇒ 𝑝 | 𝑔 −1 ⇒ 𝑔 ≡ 1 (𝑚𝑜𝑑 𝑝),
contradizendo a não congruência de 𝑔 a 1.
134
Capítulo 5. TEOREMA DE KUMMER
Portanto, as únicas possibilidades restantes são 1 − 𝑔 ≡ 𝑔 (𝑚𝑜𝑑 𝑝) e
−𝑔 ≡ 𝑔 − 1 (𝑚𝑜𝑑 𝑝), ambas resultando em 2𝑔 ≡ 1 (𝑚𝑜𝑑 𝑝).
Voltando, então, na Equação (5.17), temos
𝛽𝑝𝜁 𝑔 = 𝑥 + 𝜁𝑦 − 𝜁 2𝑔 𝑥 − 𝜁 2𝑔−1 𝑦 = 𝑥 + 𝜁𝑦 − 𝜁𝑥 − 𝑦 = (𝑥 − 𝑦)(1 − 𝜁).
Tomando a norma em ambos os lados e lembrando que 𝑁 (𝜁 𝑗 ) = 1 para
todo 𝑗 inteiro, pela Observação 3.8 e que 𝑁 (1 − 𝜁) = 1, pelo Lema 5.2,
obtemos
𝑁 (𝛽𝑝𝜁 𝑔 ) = 𝑁 ((𝑥 − 𝑦)(1 − 𝜁)
⇒
𝑁 (𝛽)𝑁 (𝑝)𝑁 (𝜁 𝑔 ) = (𝑥 − 𝑦)𝑁 (1 − 𝜁)
⇒
𝑁 (𝛽)𝑝𝑝−1 = (𝑥 − 𝑦)𝑝
⇒
𝑝(𝑁 (𝛽)𝑝𝑝−2 − 𝑥 + 𝑦) = 0.
Logo, como Z[𝜁] é domínio e 𝑝 − 2 > 0, concluímos que 𝑁 (𝛽)𝑝𝑝−2 =
𝑥 − 𝑦, donde 𝑝𝑝−2 | 𝑥 − 𝑦 e, consequentemente, 𝑝 | 𝑥 − 𝑦, pois 𝑝 é
primo em Z. Assim, 𝑥 ≡ 𝑦 (𝑚𝑜𝑑 𝑝) e pela simetria da Equação (5.10),
devemos ter 𝑥 ≡ 𝑧 (𝑚𝑜𝑑 𝑝), pois poderíamos ter feito todo o processo
realizado até aqui isolando 𝑥𝑝 na Equação (5.10). Com isso,
0 = 𝑥𝑝 + 𝑦 𝑝 + 𝑧 𝑝 ≡ 3𝑥𝑝 (𝑚𝑜𝑑 𝑝),
o que implica que 𝑝 | 3𝑥𝑝 e, consequentemente, 𝑝 = 3, pois 𝑝 - 𝑥 por
hipótese. Entretanto, como 𝑥, 𝑦 e 𝑧 são primos em relação a 𝑝 = 3,
cada um deles dever ser congruente a 1 ou a −1 no módulo 3. Logo, se
𝑥 ≡ 1 (𝑚𝑜𝑑 3) existe 𝑑 ∈ Z tal que 𝑥 = 3𝑞 + 1. Com isso,
𝑥3 = 27𝑞 3 + 27𝑞 2 + 9𝑞 + 1 ≡ 1 (𝑚𝑜𝑑 9).
Do mesmo modo, obtemos 𝑥3 ≡ −1 (𝑚𝑜𝑑 9), se 𝑥 ≡ −1 (𝑚𝑜𝑑 3).
Então,
𝑥𝑝 + 𝑦 𝑝 + 𝑧 𝑝 ≡ ±1 ± 1 ± 1 ≡ 0 (𝑚𝑜𝑑 9),
o que é impossível. Portanto, a Equação (5.10) não possui soluções
inteiras não triviais satisfazendo 𝑝 - 𝑥𝑦𝑧.
135
CONCLUSÃO
O Último Teorema de Fermat demorou mais de 350 anos para
ser demonstrado. Durante todo esse tempo, muitos matemáticos dedicaram suas vidas a tentando fazê-lo. Segundo Singh (2008), o próprio
Andrew Wiles, passou boa parte de sua vida, desde a infância até seus
42 anos, sonhando em demonstrar o UTF.
Com tantos matemáticos tentando demonstrar o UTF, é natural que a Teoria de Números tenha se desenvolvido muito durante
esses 350 anos, tanto na Teoria de Números Naturais quanto na Teoria
de Números Algébricos. Além disso, a prova de Wiles usou matemática
muito avançada e, segundo Singh (2008), existem poucos matemáticos
no mundo que são capazes de entendê-la, já que ele ligou duas áreas até
então tão distantes uma da outra, as formas modulares e as equações
elípticas.
É por isso que muitos duvidam de que Fermat tenha provado
realmente o UTF. A Matemática da época era muito menos avançada,
o que torna a possibilidade de Fermat ter resolvido o problema, apenas
com a Teoria de Números Naturais, muito remota. Seria necessária uma
sacada tão grande que nenhum outro matemático pudesse tê-la depois
dele. Apesar disso, é inegável que Fermat foi um gênio impulsionador
da Teoria de Números Naturais e que já é impressionante o fato dele
ter proposto o problema que suscitou gerações de matemáticos a se empenharem na solução, produzindo pesquisas acadêmicas interessantes e
que contribuíram para o desenvolvimento da matemática.
Observamos que a resposta ao UTF envolveu a contribuição de
pesquisas de vários matemáticos e a conexão de diversas áreas da matemática. Desta forma, fica claro que o desenvolvimento da matemática
não se faz isoladamente mas por meio de intercâmbio de idéias entre
136
Conclusão
diversas pessoas e o estudo minucioso de pesquisadores já consagrados
pela relevância de seus trabalhos.
A grande sacada da demonstração do Teorema de Kummer,
principal objetivo de exploração nesse trabalho, foi o uso da fatoração
de ideais em ideais primos. Além de essa ser única em todos os anéis de
inteiros ciclotômicos, é muito mais simples de se lidar do que a fatoração
de elementos.
Estudamos a teoria da fatoração de elementos, concluindo que
não era a melhor estratégia para a resolução do problema do UTF e,
então, passamos a investigar a fatoração de ideais, que solucionou parte
do problema. O uso de ideais na resolução do problema nos levou a mais
uma barreira: saber se o fato de o ideal 𝐼 𝑝 ser principal implica em 𝐼
ser principal, pois isso não acontece sempre. Para isso, 𝑝 deve ser um
primo regular e, para entender sua definição, abordamos o grupo de
classes de Z[𝜁]. Como se vê, o caminho que leva à demonstração do
Teorema de Kummer é longo, caminho que percorremos até finalmente
conseguirmos provar que a equação 𝑥𝑝 + 𝑦 𝑝 = 𝑧 𝑝 com 𝑝 primo ímpar
e regular, não possui soluções inteiras não triviais quando 𝑝 não divide
nem 𝑥, nem 𝑦 e nem 𝑧. Apesar do tempo curto e de algumas referências
um tanto confusas, a ideia inicial deste trabalho pôde ser mantida e foi
possível construir a maioria dos conceitos que nos levam ao Teorema
de Kummer.
O caminho a ser trilhado com essa teoria juntamente com o
UTF parece acabar aqui, já que a prova para os primos irregulares
parece tão distante, especialmente no tempo exíguo de um trabalho de
graduação. Podemos levantar a hipótese que este caminho possa, quem
sabe, ser retomado em pesquisas futuras, haja vista que ele contêm
direções fascinantes a serem percorridas. Além disso, poderíamos nos
aprofundar no estudo dos domínios de Dedekind e anéis de inteiros
algébricos em geral, já que aqui focamos os nossos estudos nos anéis de
inteiros ciclotômicos.
É certo afirmar que grandes conhecimentos foram adquiridos
137
durante os estudos realizados para este trabalho. Além dos novos conhecimentos em Álgebra, foi muito interessante conhecer um pouco da
história da Matemática, que deve alguma de suas descobertas na área
da Teoria de Números Algébricos, ao estudo do UTF.
Uma reflexão interessante deste UTF, para nós professores de
Matemática, é que a matemática não é uma ciência exata, onde há sempre uma solução para cada problema e essas soluções se desenvolvem
naturalmente sem dificuldades. Na matemática, tão importante quanto
a solução de um problema é a maneira como se chega a ele, pois é durante esse processo que ocorre a aprendizagem e não simplesmente a
memorização de uma resposta pronta e acabada. E portanto, como professores devemos sempre nos inspirar no bom teorema de Fermat, pois
como diz Stewart (1992), “O Último Teorema de Fermat é um exemplo
de um teorema tão bom, que até os seus fracassos têm enriquecido a
matemática de uma forma impossível de quantificar.”
REFERÊNCIAS
DASSEN, Erwin L. T. Teoria Algébrica de Números, Extensões
Ciclotômicas e o Último Teorema de Fermat: a demonstração
de Ernst Kummer. Dissertação (Mestrado) - UFSC, Florianópolis,
2005.
DOMINGUES, Hygino H. Álgebra Moderna. 4a. ed. São Paulo: Atual,
2003.
GONÇALVES, Adilson. Introdução à álgebra. Rio de Janeiro: Instituto de Matematica Pura e Aplicada, 1999.
EDWARDS, Harold M. Fermat’s Last Theorem. New York: SpringerVerlag, 1977.
ENDLER, Otto. Teoria dos Corpos. Rio de Janeiro: Instituto de Matemática Pura e Aplicada, 2012.
GARCIA, Arnaldo; LEQUAIN, Yves. Elementos de Álgebra. 5a. ed.
Rio de Janeiro: Instituto de Matemática Pura e Aplicada, 2008.
MAZUCCHI, Elen C. Reticulados Numéricos. Dissertação (Mestrado) - UNESP, São José do Rio Preto, 2006.
RIEHL, Emily. Kummer’s Special Case of Fermat’s Last Theorem. Disponível em <modular.math.washington.edu/129- 05/final_
papers/Emily_Riehl.pdf>. Acesso em: 7 de nov. 2013.
SINGH, Simon. O Último Teorema de Fermat: a história do
enigma que confundiu as maiores mentes do mundo durante
358 anos. 18a. ed. Rio de Janeiro: Record, 2011.
STEWART, Ian. The Problems of Mathematics. 2a. ed. Oxford:
Oxford University Press, Incorporated, 1992.
STEWART, Ian; TALL, David. Algebraic Number Theory and
Fermat’s Last Theorem. 3a. ed. Massachussets: A K Peters, 2002.
Apêndices
143
APÊNDICE A – Anéis de
Polinômios
Definição A.1 (Anel de Polinômios). Seja 𝐴 um anel com unidade.
Um polinômio numa variável sobre 𝐴 é uma sequência (𝑎0 , 𝑎1 , · · · ,
𝑎𝑛 , · · · ) tal que 𝑎𝑖 ∈ 𝐴 para todo índice 𝑖 natural e 𝑎𝑖 ̸= 0 para uma
quantidade finita de índices. Denotamos o polinômio na variável 𝑥 sobre
𝐴 por
𝑓 (𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + · · · + 𝑎𝑛 𝑥𝑛 ,
com 𝑎𝑛 ̸= 0. Então, dizemos que 𝑛 é o grau de 𝑓, ou 𝜕𝑓 = 𝑛, 𝑎𝑛 é o
coeficiente dominante de 𝑓 e 𝐴[𝑥] é o conjunto de todos esses polinômios.
Sendo 𝑓 (𝑥), 𝑔(𝑥) polinômios em 𝐴[𝑥], existem 𝑎1 , · · · , 𝑎𝑛 ∈ 𝐴,
e 𝑏1 , · · · , 𝑏𝑚 ∈ 𝐴, com 𝑛 ≤ 𝑚, tais que
𝑓 (𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + · · · + 𝑎𝑛 𝑥𝑛
e
𝑔(𝑥) = 𝑏0 + 𝑏1 𝑥 + · · · + 𝑏𝑚 𝑥𝑚 .
Definindo as operações soma e produto de polinômios em 𝐴[𝑥] por
𝑓 (𝑥) + 𝑔(𝑥) = (𝑎0 + 𝑏0 ) + · · · + (𝑎𝑛 + 𝑏𝑛 )𝑥𝑛 + · · · + 𝑏𝑚 𝑥𝑚
e
𝑓 (𝑥)𝑔(𝑥) = 𝑐0 + 𝑐1 𝑥 + · · · + 𝑐𝑛+𝑚 𝑥𝑛+𝑚 ,
144
APÊNDICE A. Anéis de Polinômios
onde
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
𝑐0 = 𝑎0 𝑏0
𝑐1 = 𝑎0 𝑏1 + 𝑎1 𝑏0
..
.
𝑐𝑛 = 𝑎0 𝑏𝑛 + 𝑎1 𝑏𝑛−1 + · · · + 𝑎𝑛 𝑏0
..
.
𝑐𝑛+𝑚 = 𝑎𝑛 𝑏𝑚
vemos facilmente que 𝐴[𝑥] é um anel com essas duas operações.
Proposição A.1 (Algoritmo Euclidiano). Sejam 𝐴 um anel e 𝑓 (𝑥), 𝑔(𝑥) ∈
𝐴[𝑥], com 𝑔 ̸= 0 com coeficiente dominante inversível em 𝐴, então existem 𝑞(𝑥), 𝑟(𝑥) ∈ 𝐴[𝑥] tais que
𝑓 (𝑥) = 𝑔(𝑥)𝑞(𝑥) + 𝑟(𝑥),
com 𝜕𝑟 ≤ 𝜕𝑔 ou 𝑟(𝑥) = 0.
Demonstração em Hygino, página 293.
Proposição A.2. Seja 𝐴 um anel, 𝑓 (𝑥) ∈ 𝐴[𝑥] e 𝛼 ∈ 𝐴. Então,
𝑓 (𝛼) = 0 se, e somente se, existe 𝑔(𝑥) ∈ 𝐴[𝑥] tal que
𝑓 (𝑥) = (𝑥 − 𝛼)𝑔(𝑥).
Demonstração: (⇒) Como 𝐴[𝑥] é euclidiano 𝑥 − 𝛼 ∈ 𝐴[𝑥] temos que
existem 𝑔(𝑥), 𝑟(𝑥) ∈ 𝐴[𝑥] tais que
𝑓 (𝑥) = (𝑥 − 𝛼)𝑔(𝑥) + 𝑟(𝑥),
com 𝜕𝑟 = 0 ou 𝑟(𝑥) = 0. Com isso, deve existir 𝑎 ∈ 𝐴 tal que 𝑟(𝑥) = 𝑎.
Assim,
0 = 𝑓 (𝛼) = 𝑎 ⇒ 𝑟(𝑥) = 0 ⇒ 𝑓 (𝑥) = (𝑥 − 𝛼)𝑔(𝑥).
(⇐) Temos que
𝑓 (𝛼) = (𝛼 − 𝛼)𝑔(𝛼) = 0.
145
Proposição A.3 (Critério de Eisenstein). Seja 𝑓 (𝑥) ∈ Z[𝑥] da forma
𝑓 (𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + · · · + 𝑎𝑛 𝑥𝑛 ,
com 𝑎0 , · · · , 𝑎𝑛 ∈ Z e 𝑛 ≥ 1. Se existe um número primo 𝑝 ∈ Z tal
que 𝑝 - 𝑎𝑛 , 𝑝 | 𝑎𝑖 para todo 𝑖 = 0, · · · , 𝑛 − 1 e 𝑝2 - 𝑎0 . Então, 𝑓 (𝑥) não
pode ser escrito como o produto de dois polinômios em Z[𝑥] de grau
não nulo. Em particular, 𝑓 (𝑥) é irredutível em Q[𝑥].
Demonstração em Gonçalves, página 83.
147
APÊNDICE B – Polinômios
Simétricos
Seja 𝑓 (𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + · · · + 𝑎𝑛 𝑥𝑛 ∈ 𝐴[𝑥] um polinômio de grau
𝑛, com 𝐴 sendo um anel com unidade. Suponhamos que 𝛼1 , · · · , 𝛼𝑛
sejam as raízes de 𝑓. Definimos as funções simétricas elementares da
seguinte forma
𝜎1 = 𝛼1 + 𝛼2 + · · · + 𝛼𝑛
𝜎2 = 𝛼1 𝛼2 + 𝛼1 𝛼3 + · · · + 𝛼𝑛−1 𝛼𝑛
..
.
𝜎𝑛 = 𝛼1 𝛼2 · · · 𝛼𝑛 .
Então, podemos relacionar as funções simétricas com os coeficientes de
𝑓 da forma
𝑎𝑛−1
𝜎1 = −
𝑎
𝑎𝑛−2𝑛
𝜎2 =
𝑎𝑛
..
.
𝑎0
𝜎𝑛 = (−1)𝑛 ,
𝑎𝑛
sendo essas relações conhecidas como as Relações de Girardi. Portanto,
𝑓 (𝑥) = 𝑎𝑛 [𝑥𝑛 − 𝜎1 𝑥𝑛−1 + 𝜎2 𝑥𝑛−2 − · · · + (−1)𝑛−1 𝜎𝑛−1 𝑥 + (−1)𝑛 𝜎𝑛 ].
Proposição B.1. Sejam 𝐴 um anel com unidade, 𝑓 (𝑥) ∈ 𝐴[𝑥] e
𝛼1 , 𝛼2 , · · · , 𝛼𝑛 são as raízes de 𝑓 em uma extensão 𝐵 de 𝐴. Se 𝑝(𝑥1 , 𝑥2 ,
· · · , 𝑥𝑛 ) ∈ 𝐴[𝑥1 , 𝑥2 , · · · , 𝑥𝑛 ] é simétrico, então 𝑝(𝛼1 , 𝛼2 , · · · , 𝛼𝑛 ) ∈ 𝐴.
Demonstração em Dassen, página 9.
149
APÊNDICE C – Módulos e Espaços
Vetoriais
Definição C.1 (Módulos). Seja 𝐴 um anel comutativo com unidade.
Dizemos que um grupo abeliano 𝑀 é um módulo sobre 𝐴 (ou 𝐴−módulo)
se a operação multiplicação de elementos de 𝐴 por 𝑀 definida abaixo
satisfaz as propriedades (i)-(iv):
·: 𝐴×𝑀
(𝑎, 𝑀 )
→ 𝑀
↦→ 𝑎 · 𝑚
Para quaisquer 𝑎, 𝑎1 , 𝑎2 ∈ 𝐴 e 𝑚, 𝑚1 , 𝑚2 ∈ 𝑀,
(i) (𝑎1 𝑎2 ) · 𝑚 = 𝑎1 · (𝑎2 𝑚);
(ii) (𝑎1 + 𝑎2 ) · 𝑚 = 𝑎1 · 𝑚 + 𝑎2 · 𝑚;
(iii) 𝑎 · (𝑚1 + 𝑚2 ) = 𝑟 · 𝑚1 + 𝑟 · 𝑚2 ;
(iv) 1 · 𝑚 = 𝑚.
Definição C.2. Dizemos que um 𝐴−módulo 𝑀 é um 𝐴−módulo livre
se existe uma família (𝑥𝑖 )𝑖∈𝐼 de elementos de 𝑀 linearmente independentes tal que todo elemento de 𝑀 é combinação linear desses elementos. Se 𝐼 é finito com 𝑛 elementos, dizemos que 𝑀 é um 𝐴−módulo
livre de posto 𝑛.
Definição C.3 (Submódulos). Sejam 𝐴 um anel comutativo com unidade, 𝑀 um 𝐴−módulo e 𝑁 ⊆ 𝑀 com 𝑁 ̸= ∅. Dizemos que 𝑁 é um
𝐴−submódulo de 𝑀 se
(i) 𝑁 é um subgrupo aditivo de 𝑀 ;
(ii) 𝑛 · 𝑎 ∈ 𝑁 para todo 𝑎 ∈ 𝐴 e para todo 𝑛 ∈ 𝑁.
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APÊNDICE C. Módulos e Espaços Vetoriais
Proposição C.1. Sejam 𝐴 um domínio principal, 𝑀 um 𝐴−módulo
livre de posto 𝑛 e 𝑀 ′ um 𝐴−submódulo de 𝑀. Então,
(i) 𝑀 ′ é livre de posto 𝑞, com 0 ≤ 𝑞 ≤ 𝑛.
(ii) Se 𝑀 ′ ̸= {0} então existe uma base {𝑚1 , · · · , 𝑚𝑛 } ⊆ 𝑀 e elementos não nulos 𝑎1 , · · · , 𝑎𝑛 ∈ 𝐴 tais que {𝑚1 𝑎1 , · · · , 𝑚𝑛 , 𝑎𝑛 } é
uma base de 𝑀 ′ ,
Demonstração em Mazucchi, página 7.
Definição C.4 (Espaços Vetoriais). Seja K um corpo. Dizemos que
um grupo abeliano 𝑀 é um espaço vetorial sobre K (ou K−módulo)
se a operação multiplicação de elementos de K por 𝑀 definida abaixo
satisfaz as propriedades (i)-(iv):
·: K×𝑀
(𝑎, 𝑀 )
→ 𝑀
↦→ 𝑎 · 𝑚
Para quaisquer 𝑎, 𝑎1 , 𝑎2 ∈ 𝐴 e 𝑚, 𝑚1 , 𝑚2 ∈ 𝑀,
(i) (𝑎1 𝑎2 ) · 𝑚 = 𝑎1 · (𝑎2 𝑚);
(ii) (𝑎1 + 𝑎2 ) · 𝑚 = 𝑎1 · 𝑚 + 𝑎2 · 𝑚;
(iii) 𝑎 · (𝑚1 + 𝑚2 ) = 𝑟 · 𝑚1 + 𝑟 · 𝑚2 ;
(iv) 1 · 𝑚 = 𝑚.
Observação C.1. Observe que um espaço vetorial é um caso particular
de módulo, já que a única diferença entre eles é que o módulo é definido
sobre um anel e o espaço vetorial, sobre um corpo. Com isso, sempre
podemos encontrar uma base para um K−espaço vetorial em relação
a K, mesmo que nem sempre ela seja finita. Mas há casos em que não
podemos encontrar uma base para um 𝐴−módulo.