Movimento Circular Uniforme
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MovimentoCircularUniforme Prof.MarcoSimões Radiano • Éaaberturaangularcorrespondenteaumarcoigual aoraiodacircunferência (gifanimado; cliquepara iniciar) Radiano • Éaaberturaangularcorrespondenteaumarcoigual aoraiodacircunferência Radiano • Onúmeroderadianoscorrespondeaonúmerode raiosnoperímetrodacircunferência. 1 rad − r ϕ rad − s s ⋅1 = r ⋅ϕ Ex.:numacircunferênciade10cmderaio,3 radianosrepresentamumpercursode30 cm s = ϕ ⋅r Relaçãograus-radianos Para1 volta completa ⇒ s = 2π r(perímetrodacircunferência) Mas s = ϕr Portantoϕr = 2π r ⇒ ϕ = 2π Ouseja,1volta=2π rad Como1 volta completa=360° 360°=2πrad Daí: 180°=π rad π 90°= rad 2 Conversãoradianosxgraus • Converter30°pararadianos π rad − 180° ϕ rad − 30° 30⋅ π ϕ= = 0,524 rad 180 2π • Converterparagraus rad 3 π rad − 180° 180⋅2⋅ π α= = 120° 2π 3⋅ π rad − α ° 3 • Converter1,33radparagraus π rad − 180° 1,33rad − α ° 180⋅1,33 α= = 76,2° π Períodoefrequência • Fenômenosperiódicos:repetem-seemintervalosdetempos sucessivoseiguais • Ciclo:cadaumadasrepeOções • Período:tempodecadarepeOção – Unidade:segundos,minutos,horas • Frequência:númeroderepeOçõesporunidadedetempo. – Unidade:Hz(ciclos/segundo),rpm – Relação: f ⋅T =1 Exemplos • Umarodagiraa120rpm.Calculesuafrequênciaem Hzeseuperíodoems 120 f= = 2 Hz 60 1 1 T = = = 0,5 s f 2 Exemplo • Umpontoleva5segundosparacompletaruma trajetóriacircular.CalculeafrequênciaemHzeem rpm. T =5s 1 1 f = = = 0,2 Hz T 5 f = 0,2⋅60 = 12rpm Exemplo • Umpontocompleta60voltasdeumatrajetória circularem2minutos.CalculeafrequênciaemHze operíodoems. 60 f= = 30 rpm 2 30 f= = 0,5 Hz 60 1 1 T= = =2s f 0,5 Espaçoangularxespaçolinear φ – deslocamento angular, radianos s – deslocamento linear, metros Relaçãoentreosdois ⇒ s = ϕ i r MCU–MovimentoCircularUniforme • Éomovimentodeumapar\culanumatrajetória circular • Avelocidadeangulareavelocidadelinearsão constantes • Nãoháaceleraçãotangencial Velocidadeangular ϕ − ϕ 0 Δϕ ω= = rad/s Δt Δt Se Δϕ = 1 volta, isto é, 2π : 2π ω = = 2π f T Avelocidadeangularéexpressaemrad/s. Nãodependedoraio. Posiçãoangular ϕ − ϕ0 Considerando que ω = Δt Então, ω ⋅Δt = ϕ − ϕ 0 ϕ − ϕ 0 = ω ⋅Δt ϕ = ϕ 0 + ω ⋅Δt Exemplo • UmdiscodevinilgiraaN=33,33rpm.Qualsua velocidadeangular? ⎛ rot ⎞ N 33,33 f= ⇒ f = ⇒ f = 0,556Hz ⎜ = 60 60 ⎝ seg ⎟⎠ rad ω = 2π f = 2π ⋅0,556 = 3,49 s Exemplo • Umarodagiganteleva2minutosparacompletarumavolta. Qualsuavelocidadeangular?Considerandoqueelagirano senOdohorário,emqueposiçãoangularestaráumcarrinhoa parOrdaplataformadeembarquedepoisde50segundos? α Resolução PeríodoT = 2min ⇒ T = 2⋅60 = 120 s 2π 2π π rad Velocidade angular ⇒ ω = = = = 0,052 T 120 60 s π 5π Posição ⇒ ϕ = ϕ 0 + ω ⋅Δt = 0+ ⋅50 = rad 60 6 ⎧ 180! → π ! 180 ⋅5π ⎪ ! ⇒ α ⋅ π = ⇒ α = 150 ⎨ 5π 6 ⎪ α→ 6 ⎩ Velocidadelinear • Omódulodavelocidadelinear(ouescalaroutangencial)éa distânciapercorridapelapar\culadivididapelotempoque levouparapercorrer. Δs Comov = Δt Ecomos = ϕ ⋅r ⇒ Δs = Δϕ ⋅r v = ω ⋅r Δϕ ⋅r Fazemosv = Δt Δϕ Comoω = Δt Fazemosv = ω ⋅r Velocidadelinear Paraamesma velocidadeangular, quantomaioro raio,maiora velocidadelinear Avelocidadelineardependedoraio. Exemplo • Umdiscodevinilde31cmdediâmetrogiraa33,33rpm. Qualavelocidadelinearnabordadodisco?Qualavelocidade linearnatrilhafinal,deraio5,5cm N 33,33 f= ⇒ f = ⇒ f = 0,556Hz 60 60 ⎛ rot ⎞ ⎜⎝ = s ⎟⎠ rad ω = 2π f = 2π ⋅0,556 = 3,49 (velocidadeangular) s 0,31 m Borda ⇒ v = ω r ⇒ v = 3,49⋅ = 0,54 2 s m Trilhainterna ⇒ v = ω r ⇒ v = 3,49⋅0,055 = 0,19 s Exemplo • Umarodagigantede40metrosdediâmetroleva2 minutosparacompletarumavolta.Quala velocidadeescalardoscarrinhos? PeríodoT = 2min ⇒ T = 2⋅60 = 120 s 2π 2π rad ω= = = 0,052 T 120 s 40 m v = ω ⋅r = 0,052⋅ = 1,04 2 s TransmissõesqueusamMCU Rodasecorreiasdentadas Engrenagens Poliasecorreias Rodas de contato Relaçãodetransmissão d2 d1 • Lisa->usarraioou diâmetro • Dentada->usarnúmero dedentes Avelocidade tangencialdaspoliaséamesma. Comov = ω ⋅r N1 N2 ω 1 ⋅r1 = ω 2 ⋅r2 ⇒ 2π f1 ⋅r1 = 2π f2 ⋅r2 ⇒ 2π ⋅r1 = 2π ⋅r2 60 60 N1 ⋅r1 = N2 ⋅r2 ⇔ N1 ⋅d1 = N2 ⋅d2 Exemplo • Umapoliade100mmdeummotorgiraa600rpm. Qualarotaçãodapoliade300mmmovidapelo motor? N1 ⋅d1 = N2 ⋅d2 600⋅100 = ω 2 ⋅300 600⋅100 N2 = = 200 rpm 300 Exemplo • Umabicicletanumacertamarchatem30dentesna engrenagemdianteirae15nacatraca.Arodadabicicleta tem66cmdediâmetro.Quantoelaavançaacadapedalada? N1 i n1 = N2 i n2 N1 N2 N1 = n2 n1 15 1 = = N2 30 2 (1) (2) N2 = 2N1 (istoé,paracadapedaladaarodagiraduasvezes) 0,66 Perímetrodaroda ⇒ P = 2⋅ π ⋅r ⇒ P = 2⋅ π ⋅ ⇒ P = 2,07m 2 Deslocamentoporpedalada ⇒ D = 2⋅2,07 = 4,14 m Aceleraçãocentrípeta • Amudançadedireçãodovetorvelocidadeécausada pelaaceleraçãocentrípeta !" ! v2 ac = = ω 2 ⋅r r !" ! !" ! m⋅v 2 Fc = m⋅ ac ⇒ Fc = r Aforçaeaaceleraçãocentrípetas sempreapontamparaocentro. Exemplo Umaesferade200gpresaporumfiode30cm égirada5vezesporsegundo.Calculeo período,afrequência,avelocidadeangular,a velocidadetangencial,aaceleraçãocentrípetae aforçadetraçãosobreofio. Resolução Massadaesfera=200g=0,2kg Raio=30cm=0,3m voltas s 1 1 Período ⇒ T = = = 0,2s f 5 rad ω = 2π f = 2π ⋅5 = 31,4 s m v = ω ⋅r = 31,4⋅0,3 = 9,42 s v 2 9,422 m ac = = = 296 2 r 0,3 s Frequência ⇒ f = 5 F = m⋅ac = 0,2⋅296 = 59,2 N c Exemplo • Umblocode0,2kgestásobreumdiscoa8cmdo centro.OcoeficientedeatritoestáOcoéde0,5.Qual amaiorrotaçãoqueodiscopodeaOngirsemqueo blocosemova? Resolução !" !" N = P = m⋅ g = 0,2⋅9,81 = 1,96N Fat = µ ⋅N = 0,5⋅1,96 = 0,98N Fc ≤ Fat (aforçacentrípeta*podesernomáximoigualàdeatrito) Fc = m⋅acp ⇒ acp = Fc m = 0,98 m = 4,9 2 0,2 s v2 m acp = ⇒ v = acp ⋅r ⇒ v = 4,9⋅0,08 ⇒ v = 0,626 r s v 0,626 rad v = ω ⋅r ⇒ ω = ⇒ ω = = 7,83 r 0,08 s *arigor,seriaaforça ω 7,83 ω = 2π f ⇒ f = ⇒f= = 1,25 Hz centrífuga,quenessecaso 2π 2π temomesmomóduloque acentrípeta f = 1,25⋅60 = 74,8 rpm MCU-Resumo
