Aula sobre Medidas de Posição

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25/02/09
Medidas de Posição
Introdução
‰
Vimos anteriormente que, através de uma distribuição de freqüências se
estabelece um sistema de classificação que descreve o padrão de variação
de um determinado fenômeno estatístico.
‰
Ocorre, todavia, que poderia ser muito difícil trabalhar com a distribuição de
freqüências completa, razão pela qual costuma-se lançar mão de
determinadas medidas. Essas medidas sumarizam certas características
importantes da distribuição de freqüências.
‰
Temos diversas medidas que possibilitam condensar as informações dentro
da fase analítica da Estatística Descritiva. Concentraremos nossa atenção,
de forma mais enfática, em dois tipos mais importantes:
1. Medidas de posição (especialmente as de tendência central)
2. Medidas de dispersão ou de heterogeneidade.
Medidas de Posição
‰
As medidas de posição podem ser apresentar de várias formas,
dependendo daquilo que se pretende conhecer a respeito dos dados
estatísticos.
‰
As medidas de posição mais importantes são as medidas de tendência
central ou promédias. Nossa pretensão aqui é a determinação e o cálculo
de medidas que ofereçam o posicionamento da distribuição dos valores de
uma variável que desejamos analisar. Estas medidas são assim
denominadas em virtude da tendência dos dados observados se agruparem
em torno desses valores centrais.
‰
As três medidas de tendência central ou promédias mais utilizadas para
resumir o conjunto de valores representativos do fenômeno que se deseja
estudar são a moda, a média aritmética e a mediana.
E Nemer
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Média ou média aritmética ou média amostral:
x
‰
É a medida de tendência central mais comumente usada para descrever
resumidamente uma distribuição de freqüências.
‰
A média aritmética de um conjunto de números pode ser de dois tipos:
simples ou ponderada.
Média aritmética simples
‰
É obtida calculando-se o quociente entre a soma dos valores de um
conjunto de dados e o número total de elementos desse conjunto.
‰
Para uma amostra com n observações – x1, x2,...,xn -, a média aritmética
simples é calculada por:
n
x=
soma _ dos _ valores _ de _ x
=
número _ de _ observações
∑x
i =1
Valor genérico da observação
i
n
Número de observações
‰
Exemplo 1: Encontrar a média aritmética para o conjunto de observações 5,
1, 6, 2, 4.
Solução:
5
x=
‰
∑x
i =1
5
i
=
5 + 1 + 6 + 2 + 4 18
=
= 3,6
5
5
Exemplo 2: Suponha que cinco funcionários em um escritório recebam os
seguintes salários: R$ 800,00; R$ 780,00; R$ 820,00; R$ 810,00; R$
790,00. Calcule a média aritmética dos salários.
Solução:
5
x=
E Nemer
∑x
i =1
5
i
=
800,00 + 780,00 + 820,00 + 810,00 + 790,00
= 800,00
5
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‰
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Obs: A média aritmética simples será calculada sempre que os valores não
estiverem tabulados, ou seja, quando aparecerem representados
individualmente, como é o caso, por exemplo, dos dados brutos.
Média aritmética ponderada
‰
A média aritmética é considerada ponderada quando os valores do conjunto
tiverem pesos diferentes. No caso da média aritmética simples, todos os
valores apresentam peso igual.
‰
O cálculo da média aritmética ponderada é executado através do quociente
entre o produto dos valores da variável pelos respectivos pesos e a soma
dos pesos.
‰
Exemplo 3: Um professor realiza quatro provas por ano em sua matéria,
atribuindo a cada uma delas os seguintes pesos: 1, 2, 3, 4. Se um aluno
tiver recebido as notas 8, 7, 9 e 9, nessa ordem, sua nota final será a média
aritmética ponderada obtida da seguinte maneira:
Solução:
x=
(8 × 1) + (7 × 2) + (9 × 3) + (9 × 4)
= 8,5
1+ 2 + 3 + 4
‰
Obs: No exemplo apresentado, os pesos dos valores da variável são
fixados previamente, para efeito de cálculo. Contudo, tratando-se de
distribuições de freqüências, os pesos dos valores da variável não são
atribuídos arbitrariamente, mas correspondem ao número de vezes que
cada valor ocorre.
‰
Exemplo 4: Imagine que tenhamos o quadro abaixo com a nota de 20
alunos.
Solução:
4
5
6
7
5
6
6
7
5
6
7
8
5
6
7
8
5
6
7
8
i. Calculando a média aritmética dos dados brutos: Para este cálculo
vamos usar a fórmula da média aritmética simples. Logo, temos:
20
x=
E Nemer
∑x
i =1
20
i
=
4 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 6 + 6 +K+ 7 + 8 + 8 + 8
= 6,2
20
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ii. Calculando a média aritmética a partir dos dados com suas
freqüências absolutas: Para este cálculo, vamos montar uma tabela
com as observações e suas freqüências absolutas.
Nota
4
5
6
7
8
Fi
1
5
6
5
3
Usando o cálculo da média aritmética ponderada, temos que:
x=
(4 × 1) + (5 × 5) + (6 × 6) + (7 × 5) + (8 × 3)
= 6,2
1+ 5 + 6 + 5 + 3
‰
Observe no exemplo anterior os dois cálculos para a média aritmética.
Verifique que é indiferente somar o número 7 cinco vezes ou multiplicar o
número 7 por cinco.
‰
Genericamente, se os valores x1, x2,..., xk ocorrerem f1, f2,..., fk vezes,
respectivamente, ou seja, se os valores de xi estão agrupados com suas
respectivas freqüências absolutas Fi, a média aritmética ou média amostral
será expressa por:
n
x=
n
∑ xi F ∑ xi F
i
i =1
n
∑F
i =1
=
i =1
i
n
i
‰
Obs: Quando os valores estão agrupados em classes, a tabela requer mais
uma coluna, necessária para dispor os pontos médios de classes.
‰
Exemplo 5: Determinar a idade média para o conjunto dos 50 funcionários
considerados no exemplo da tabela de distribuição de freqüências.
Solução: Da tabela de distribuição de freqüências, temos:
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Classes Intervalos das classes
1
18 |----- 25
2
25 |----- 32
3
32 |----- 39
4
39 |----- 46
5
46 |----- 53
6
53 |----- 60
7
60 |----- 66
Somas
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Bloco
17
24
31
38
45
51
58
Fi
6
10
13
8
6
5
2
50
fi
fi% Fac
fac fac%
0,12
12
6 0,12
12
0,20
20
16 0,32
32
0,26
26
29 0,58
58
0,16
16
37 0,74
74
0,12
12
43 0,86
86
0,10
10
48 0,96
96
0,04
4
50 1,00
100
100
Xi
21,0
28
35
42,5
48,5
55,5
63,5
Logo, temos que:
n
x=
‰
∑ xi F
i =1
n
i
=
1922
= 38,44
50
Obs: O resultado de 38,44 anos é aproximado, uma vez que utilizamos os
pontos médios xi com representantes das classes em que foram agrupadas
as 50 idades. Se voltássemos à tabela original e desconsiderássemos o
agrupamento em classes, o valor da média aritmética seria:
x=
18 + 20 + 20 + K + 65 1916
soma _ das _ idades
=
=
= 38,32
50
50
número _ de _ observações
A diferença entre os resultados foi de 38,22 – 38,44 = -0,12. Assim, quando
o analista dispuser da tabela de distribuição de freqüências, e admitir que
uma aproximação do cálculo da média não vai comprometer suas
conclusões, poderá usar a fórmula para os dados agrupados. Caso
contrário, deverá utilizar a fórmula comum para o cálculo da média
aritmética.
E Nemer
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Moda
‰
Dentre as principais medidas de posição, destaca-se a Moda.
‰
Considerando um conjunto ordenado de valores, a moda será o valor
predominante, o valor mais freqüente desse conjunto.
‰
Um conjunto de valores pode não apresentar moda, sendo, então,
denominado conjunto amodal, caso em que todos os valores da variável em
estudo ocorreram com a mesma intensidade (freqüência). Por outro lado,
podemos ter conjuntos plurimodais, quando houver mais de um valor
predominante.
‰
Exemplo 6: Calcular a moda dos seguintes conjuntos de valores:
x = {4,5,5,6,6,6,7,7,8,8} ⇒ Mo=6
x = {4,4,5,5,6,6} ⇒ Conjunto amodal
x = {1,2,2,2,3,3,4,5,5,5,6,6} ⇒ Conjunto bimodal com Mo1=2 e Mo2 = 5
x = {1,2,3,4,5} ⇒ Conjunto amodal
‰
Os valores da variável dispostos em uma tabela de freqüências podem
apresentar-se individualmente ou agrupados em classes. No primeiro caso,
a determinação da moda é imediata, bastando, para isso, consultar a
tabela, localizando o valor que apresenta a maior freqüência.
‰
Assim, para a distribuição, temos que:
xi
Fi
243
245
248
251
307
7
17
23
20
8
⇑
Classe modal (classe com maior freqüência)
A moda será 248 e indica-se : Mo = 248
E Nemer
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‰
No caso de uma tabela de freqüências com valores tabulados e agrupados
em classes, o procedimento não é imediato, sendo disponíveis alguns
métodos de cálculos distintos.
‰
Qualquer que seja o método adotado, o primeiro passo para determinar a
moda é localizar a classe que apresenta a maior freqüência, comumente
chamada de classe modal.
‰
Dentre os métodos existentes, destacaremos o cálculo da moda por meio
da fórmula de Czuber.
M =l
o
mo
+
Δ
1
Δ1 + Δ2
∗h
Onde:
lmo = limite inferior da classe modal.
∆1 = diferença entre a freqüência da classe modal e a freqüência da
classe imediatamente anterior.
∆2 = diferença entre a freqüência da classe modal e a freqüência da
classe imediatamente posterior.
h = amplitude da classe modal.
‰
Exemplo 7: Calcular a moda para a distribuição abaixo:
Classes
Fi
0 |----- 1
3
1 |----- 2
10
2 |----- 3
17
3 |----- 4
8
4 |----- 5
5
Σ
43
⇑
Classe modal
Solução:
1o passo: Indica-se a classe modal. No caso, trata-se da 3a classe.
2o passo: Calcula-se cada elemento da fórmula, da seguinte maneira:
lmo = 2
∆1 = 17 – 10 = 7
∆2 = 17 – 8 = 9
h=1
o
3 passo: Aplica-se a fórmula:
M
E Nemer
o
= 2+
7
∗1 ∴
7+9
7 / 18
M
o
= 2,44
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‰
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Exemplo 8: Calcular a moda para a distribuição abaixo:
Classes
Fi
10 |----- 20
2
20 |----- 30
3
30 |----- 40
10
40 |----- 50
9
50 |----- 60
4
Σ
28
⇑
Classe modal
Solução:
1o passo: Indica-se a classe modal. No caso, trata-se da 3a classe.
2o passo: Calcula-se cada elemento da fórmula, da seguinte maneira:
lmo = 30
∆1 = 10 – 3 = 7
∆2 = 10 – 9 = 1
h = 10
o
3 passo: Aplica-se a fórmula:
M
‰
o
= 30 +
7
∗10 ∴
7 +1
M
o
= 38,75
Exemplo 9: Calcular a moda para a distribuição abaixo:
Salários (US$)
No de empregados
80 |----- 180
70
180 |----- 250
140
250 |----- 300
140
300 |----- 500
60
Solução: Observe que as amplitudes das classes não são iguais.
Nesse caso, é preciso calcular as densidades das classes através da
fórmula Fi / h, para identificar qual é a classe modal (aquela com maior
densidade). Logo, temos que:
Salários (US$)
h
Fi
Fi / h
80 |----- 180
180 |----- 250
250 |----- 300
300 |----- 500
100
70
50
200
70
140
140
60
0,7
2
2,8
0,3
⇐ Classe modal
1o passo: A classe modal é a terceira classe, pois é a que apresenta
maior densidade.
2o passo: Calcula-se cada elemento da fórmula, da seguinte maneira:
lmo = 250
∆1 = 2,8 – 2,0 = 0,8
∆2 = 2,8 – 0,3 = 2,5
h = 50
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3o passo: Aplica-se a fórmula:
M
o
= 250 +
0,8
∗ 50 ∴
0,8 + 2,5
M
o
= 262,12
Portanto, o salário mais freqüente para esse grupo de 410
empregados é US$ 262,12.
~
Mediana : Md ou x
‰
É a terceira medida de tendência central e pode ser definida como o valor
que divide uma série ordenada (uma amostra ou uma população) em duas
partes iguais, de tal forma que pelo menos a metade ou 50% dos itens
sejam iguais ou maiores do que ele, e que haja pelo menos outra metade
ou 50 % dos itens menores do que ele.
‰
Por ser uma separatriz, ou seja, por separar um conjunto de dados em
partes iguais de tal sorte que uma fração (0,5 ou ½) de valores lhe seja
inferior e os restantes superiores, podemos concluir que essa medida
apresenta um número de ordem.
‰
Assim é que, ordenando os valores da série, a mediana é um valor que
ocupa uma determinada ordem ou posição na série ordenada. O número
que indica a ordem em que se encontra o valor correspondente à mediana
é denominado elemento mediano, cujo símbolo é EMd.
Mediana a partir de dados não tabulados
‰
É calculada a partir de um rol ou lista ordenada dos dados. Podem ocorrer
duas hipóteses com relação ao número de observações n: que ele seja
ímpar ou par.
1. Número de observações é ímpar
‰
Este cálculo requer primeiro que se determine a ordem em que se encontra
a mediana na série. Deve-se, então, encontrar o valor do elemento
mediano, o que é feito da seguinte forma:
E
E Nemer
Md
=
n +1
2
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‰
O passo seguinte será localizar a mediana na lista de valores, de acordo
com o resultado obtido no cálculo do elemento mediano.
‰
Exemplo 10: Calcular a mediana do seguinte conjunto de números:
x = {2,3,6,12,15,23,30}
Solução:
A primeira providência a ser adotada seria a de ordenar os valores.
Neste exemplo, os valores da série já se encontram ordenados.
Em seguida, determinaremos o valor do elemento mediano para um
conjunto ímpar de observações (observe que n=7).
E
Md
=
n +1 7 +1
=
=4
2
2
Observe que o valor 4 é um número ordinal. Assim, EMd = 4 indica que
a mediana é o valor que se encontra na quarta posição da lista
ordenada de valores, é o quarto número da série.
Finalmente, procuraremos no conjunto qual o valor que se encontra
no quarto lugar da lista. Esse número corresponderá à mediana do
conjunto. No nosso exemplo, temos:
Md = 12
2. Número de observações é par
‰
O procedimento para calcular a mediana de um número par de
observações é ligeiramente diferente do adotado para o caso em que n é
ímpar. Primeiro calculamos o elemento mediano, conforme a fórmula
abaixo:
E
Md
=
n
2
‰
Não podemos usar o mesmo procedimento usado para um número ímpar
de observações pois, neste caso, temos dois valores centrais. Se
usássemos o valor de Emd acima para obter a mediana estaríamos
contrariando a definição de mediana que determina que deva existir uma
mesma proporção de valores menores e maiores do que ela.
‰
Portanto, toda vez que houver um número par de observações, a lista
apresentará dois valores centrais e a mediana será determinada calculando
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a média aritmética entre os elementos da ordem n/2 e (n+1)/2, conforme o
exemplo abaixo:
‰
Exemplo 11: Calcular a mediana do seguinte conjunto de números:
x = {3,6,9,12,14,15,17,20}
Solução:
Observe que n=8. O elemento mediano será:
E
Md
=
n 8
= =4
2 2
Logo, o elemento de ordem n/2 é 12 e o elemento de ordem (n+1)/2 é
14. Logo, a mediana será dada por:
Md =
12 + 14
= 13
2
Observe que agora temos a ocorrência de igual número de valores
maiores (14, 15, 17, 20) e menores (3, 6, 9, 12) do que a mediana.
Mediana a partir de dados tabulados mas não agrupados em classes
‰
Quando os valores já estiverem agrupados, o procedimento será
praticamente o mesmo do item anterior.
1. Número de observações é ímpar
‰
Exemplo 12: Calcular mediana para a distribuição abaixo:
xi
1
2
3
4
Σ
Fi
1
3
5
2
11
Fac
1
4
9
11
Solução:
O conjunto de observações neste caso é ímpar: n = 11.
E Nemer
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O elemento mediano será:
E
Md
=
n + 1 11 + 1
=
=6
2
2
A mediana deverá ser o sexto elemento do conjunto. Para identificá-lo,
fica mais fácil se abrirmos uma coluna com as freqüências
acumuladas, conforme mostrado na tabela.
Por meio da Fac encontra-se o valor (xi) correspondente à mediana.
Neste exemplo, será o 3 ( Md = 3 ). Observe: é o xi correspondente à
classe que contiver a ordem calculada, no caso o sexto elemento.
2. Número de observações é par
‰
Exemplo 13: Calcular mediana para a distribuição abaixo:
xi
82
85
87
89
90
Σ
Fi
5
10
15
8
4
42
Fac
5
15
30
38
42
Solução:
O conjunto de observações neste caso é par: n = 42. O elemento
mediano será:
E
Md
=
n 42
=
= 21
2 2
Logo, o elemento de ordem n/2 é 21 e o elemento de ordem (n+1)/2 é
22. Como no exemplo anterior, identificamos os elementos de ordem
21 e 22 pela Fac. Assim, temos que o elemento 21 corresponde a 87 e
o elemento 22 também corresponde a 87.
Logo, a mediana será dada por:
Md =
E Nemer
87 + 87
= 87
2
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Mediana a partir de dados tabulados agrupados em classes
‰
Quando os valores da variável estiverem agrupados em classes, o cálculo
da mediana será realizado por interpolação. Tratando-se de dados
agrupados, admite-se que os valores da variável na distribuição de
freqüências distribuam-se continuamente.
‰
O procedimento para o cálculo da mediana apresenta os seguintes passos:
o Passo 1: Calcula-se a ordem n/2. A variável é contínua,
independentemente se n é par ou ímpar.
o Passo 2: Pela Fac, identifica-se a classe que contém a mediana (classe
Md).
o Passo 3: Utiliza-se a fórmula:
⎛n
⎞
⎜ −∑ f ⎟
2
⎠ ∗h
Md = l Md + ⎝
F
Onde:
Md
lMd = limite inferior da classe Md.
n = tamanho da amostra ou número de elementos.
∑f = soma das freqüências anteriores à classe Md.
h = amplitude da classe Md.
FMd = freqüência da classe Md.
‰
Exemplo 14: Dada a distribuição amostral, calcular a mediana:
Intervalos das classes
35 |----- 45
45 |----- 55
55 |----- 65
65 |----- 75
75 |----- 85
85 |----- 95
Soma
Fi
5
12
18
14
6
3
58
Fac
5
17
35
49
55
58
⇐ Classe Md
Solução:
1o passo: Calcula-se a ordem n/2. A variável é contínua,
independentemente se n é par ou ímpar. Como n=58, temos que o
elemento n/2=29.
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2o passo: Identifica-se a classe Md pela Fac. Nesse caso, a classe Md
é a 3a classe.
3o passo: Calcula-se cada elemento da fórmula e aplica-se a fórmula:
lMd = 55
n = 58
∑f = 17
h = 10
FMd = 18
Logo, temos que:
⎛ 58
⎞
⎜ − 17 ⎟
2
⎠ ∗10 = 61,57
Md = 55 + ⎝
18
Então, 50% das observações têm medidas abaixo de 61,57 e 50%
acima desse valor
Quartis
‰
Há uma outra medida de posição semelhante à mediana, embora não seja
uma medida de tendência central.
‰
Como vimos anteriormente, a mediana divide a distribuição em duas partes
iguais quanto ao número de elementos de cada parte. Temos agora o
quartil, que permite dividir a distribuição em quatro partes iguais quanto ao
número de elementos de cada uma.
0%
‰
25%
50%
75%
Q1
Q2 = Md
Q3
100%
Com relação à figura acima, temos que:
o Q1 = 1o quartil, apanha 25% dos elementos
o Q2 = 2o quartil, coincide com a mediana, apanha 25% dos
elementos
o Q3 = 3o quartil, apanha 75% dos elementos
E Nemer
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Determinação do 1o quartil:
‰
‰
‰
Passo 1: Calcula-se a ordem n/4.
Passo 2: Identifica-se a classe Q1 pela Fac.
Passo 3: Aplica-se a fórmula:
⎛n
⎜ −∑
4
+⎝
Q = lQ
1
1
FQ
⎞
f⎟
⎠ ∗h
1
Determinação do 3o quartil:
‰
‰
‰
Passo 1: Calcula-se a ordem 3n/4.
Passo 2: Identifica-se a classe Q3 pela Fac.
Passo 3: Aplica-se a fórmula:
Q = lQ
3
‰
⎛ 3n
⎜ −∑
4
+⎝
FQ
3
⎞
f⎟
⎠ ∗h
3
Exemplo 15: Dada a distribuição amostral, determinar os quartis (Q1 e Q3)
e mediana:
Intervalos das classes
7 |----- 17
17 |----- 27
27 |----- 37
37 |----- 47
47 |----- 57
Soma
Fi
6
15
20
10
5
56
Fac
6
21
41
51
56
⇐ Classe Q (contém o 28 elemento)
⇐ Classe Md (contém o 28 elemento)
⇐ Classe Q (contém o 28 elemento)
1
3
o
o
o
Solução:
1o passo: n = 56
n 56
=
= 14
4 4
E Nemer
n 56
=
= 28
2 2
15 / 18
3n 3 (56)
=
= 42
4
4
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2o passo: Pela Fac identificam-se a classe Q1 (2a), a classe Md (3a) e a
classe Q3 (4a).
3o passo: Aplica-se, então, a fórmula:
Para Q1, temos: lQ1=17; n=56; ∑f = 6; h=10; FQ1 =15
Para Md, temos: lQ1=27; n=56; ∑f = 21; h=10; FMd =20
Para Q3, temos: lQ3=37; n=56; ∑f = 41; h=10; FQ1 =10
Logo:
⎛ 56
⎞
⎜ − 6⎟
4
Q1 = 17 + ⎝ 15 ⎠ ∗10 = 22,33
⎛ 56
⎞
⎜ − 21⎟
2
⎠ ∗10 = 30,5
Md = 27 + ⎝
20
⎛ 3 (56)
⎞
− 41⎟
⎜
Q3 = 37 + ⎝ 4 10 ⎠ ∗10 = 38
Diante desses resultados, pode-se afirmar que, nessa distribuição,
tem-se:
25%
7
25%
22,33
25%
30,5
25%
38
Logo, observamos que:
- 25% das observações estão entre 7 e 22,33
- 25% das observações estão entre 22,33 e 30,5
- 25% das observações estão entre 30,5 e 38
- 25% das observações estão entre 38 e 57
E Nemer
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Estatística - exEstatMedPosic.doc
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Decis
‰
Continuando o estudo das medidas separatrizes: mediana e quartis, tem-se
os decis. São os valores que dividem a série em 10 partes iguais.
O cálculo para um decil (Di) é dado por:
‰
‰
‰
Passo 1: Calcula-se a ordem in/10, em que: i=1,2,3,4,5,6,7,8 e 9.
Passo 2: Identifica-se a classe Di pela Fac.
Passo 3: Aplica-se a fórmula:
⎛ in
⎞
⎜ −∑ f ⎟
⎠ ∗h
⎝ 10
Di = l D i +
F Di
Em que:
LDi = limite inferior da classe Di
i=1,2,3, ..., 9
n = tamanho da amostra
∑f = soma das freqüências anteriores à classe Di.
h = amplitude da classe Di.
FDi = freqüência da classe Di.
Percentis
‰
São as medidas que dividem a série em 100 partes iguais.
O cálculo de um percentil (Pi) é dado por:
‰
‰
‰
Passo 1: Calcula-se a ordem in/100, em que: i=1,2,3,...,98 e 99.
Passo 2: Identifica-se a classe Pi pela Fac.
Passo 3: Aplica-se a fórmula:
⎛ in
⎞
−∑ f ⎟
⎜
⎝ 100
⎠ ∗h
Pi = l P i +
F Pi
E Nemer
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Estatística - exEstatMedPosic.doc
25/02/09
Em que:
LDi = limite inferior da classe Di
i=1,2,3, ..., 9
n = tamanho da amostra
∑f = soma das freqüências anteriores à classe Di.
h = amplitude da classe Di.
FDi = freqüência da classe Di.
‰
Exemplo 16: Determinar o 4o decil e o 72o percentil da seguinte distribuição:
Intervalos das classes
4 |----- 9
9 |----- 14
14 |----- 19
19 |----- 24
Soma
Fi
8
12
17
3
40
Fac
8
20
37
40
⇐ Classe D
⇐ Classe P
4
72
Solução:
Cálculo de D4:
Cálculo de P72:
1o passo: n = 56
in 4 (40)
=
= 16
10
10
in 72 (40)
=
= 28,8
100
100
2o passo: Pela Fac identificam-se a classe D4 e P72.
3o passo: Aplica-se, então, a fórmula:
Para D4, temos: lD4=9; n=40; ∑f = 8; h=5; FD4 =12
Para P72, temos: lP72=14; n=40; ∑f = 20; h=5; FP72 =17
Logo:
⎛ 4 (40) ⎞
− 8⎟
⎜
10
⎝
⎠
D4 = 9 + 12 ∗ 5 = 12,33
⎛ 72 (40)
⎞
− 20 ⎟
⎜
⎝ 100
⎠ ∗ 5 = 16,89
P72 = 14 +
17
Portanto, nessa distribuição, o valor 12,33 divide a distribuição em
duas partes: uma (à esquerda) com 40% dos elementos e a outra com
60%. O valor 16,89 indica que 72% dos elementos da distribuição
estão abaixo de 16,89 e 28% acima.
E Nemer
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