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Medidas de Posição
Introdução
Vimos anteriormente que, através de uma distribuição de freqüências se
estabelece um sistema de classificação que descreve o padrão de variação
de um determinado fenômeno estatístico.
Ocorre, todavia, que poderia ser muito difícil trabalhar com a distribuição de
freqüências completa, razão pela qual costuma-se lançar mão de
determinadas medidas. Essas medidas sumarizam certas características
importantes da distribuição de freqüências.
Temos diversas medidas que possibilitam condensar as informações dentro
da fase analítica da Estatística Descritiva. Concentraremos nossa atenção,
de forma mais enfática, em dois tipos mais importantes:
1. Medidas de posição (especialmente as de tendência central)
2. Medidas de dispersão ou de heterogeneidade.
Medidas de Posição
As medidas de posição podem ser apresentar de várias formas,
dependendo daquilo que se pretende conhecer a respeito dos dados
estatísticos.
As medidas de posição mais importantes são as medidas de tendência
central ou promédias. Nossa pretensão aqui é a determinação e o cálculo
de medidas que ofereçam o posicionamento da distribuição dos valores de
uma variável que desejamos analisar. Estas medidas são assim
denominadas em virtude da tendência dos dados observados se agruparem
em torno desses valores centrais.
As três medidas de tendência central ou promédias mais utilizadas para
resumir o conjunto de valores representativos do fenômeno que se deseja
estudar são a moda, a média aritmética e a mediana.
E Nemer
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Média ou média aritmética ou média amostral:
x
É a medida de tendência central mais comumente usada para descrever
resumidamente uma distribuição de freqüências.
A média aritmética de um conjunto de números pode ser de dois tipos:
simples ou ponderada.
Média aritmética simples
É obtida calculando-se o quociente entre a soma dos valores de um
conjunto de dados e o número total de elementos desse conjunto.
Para uma amostra com n observações – x1, x2,...,xn -, a média aritmética
simples é calculada por:
n
x=
soma _ dos _ valores _ de _ x
=
número _ de _ observações
∑x
i =1
Valor genérico da observação
i
n
Número de observações
Exemplo 1: Encontrar a média aritmética para o conjunto de observações 5,
1, 6, 2, 4.
Solução:
5
x=
∑x
i =1
5
i
=
5 + 1 + 6 + 2 + 4 18
=
= 3,6
5
5
Exemplo 2: Suponha que cinco funcionários em um escritório recebam os
seguintes salários: R$ 800,00; R$ 780,00; R$ 820,00; R$ 810,00; R$
790,00. Calcule a média aritmética dos salários.
Solução:
5
x=
E Nemer
∑x
i =1
5
i
=
800,00 + 780,00 + 820,00 + 810,00 + 790,00
= 800,00
5
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Obs: A média aritmética simples será calculada sempre que os valores não
estiverem tabulados, ou seja, quando aparecerem representados
individualmente, como é o caso, por exemplo, dos dados brutos.
Média aritmética ponderada
A média aritmética é considerada ponderada quando os valores do conjunto
tiverem pesos diferentes. No caso da média aritmética simples, todos os
valores apresentam peso igual.
O cálculo da média aritmética ponderada é executado através do quociente
entre o produto dos valores da variável pelos respectivos pesos e a soma
dos pesos.
Exemplo 3: Um professor realiza quatro provas por ano em sua matéria,
atribuindo a cada uma delas os seguintes pesos: 1, 2, 3, 4. Se um aluno
tiver recebido as notas 8, 7, 9 e 9, nessa ordem, sua nota final será a média
aritmética ponderada obtida da seguinte maneira:
Solução:
x=
(8 × 1) + (7 × 2) + (9 × 3) + (9 × 4)
= 8,5
1+ 2 + 3 + 4
Obs: No exemplo apresentado, os pesos dos valores da variável são
fixados previamente, para efeito de cálculo. Contudo, tratando-se de
distribuições de freqüências, os pesos dos valores da variável não são
atribuídos arbitrariamente, mas correspondem ao número de vezes que
cada valor ocorre.
Exemplo 4: Imagine que tenhamos o quadro abaixo com a nota de 20
alunos.
Solução:
4
5
6
7
5
6
6
7
5
6
7
8
5
6
7
8
5
6
7
8
i. Calculando a média aritmética dos dados brutos: Para este cálculo
vamos usar a fórmula da média aritmética simples. Logo, temos:
20
x=
E Nemer
∑x
i =1
20
i
=
4 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 6 + 6 +K+ 7 + 8 + 8 + 8
= 6,2
20
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ii. Calculando a média aritmética a partir dos dados com suas
freqüências absolutas: Para este cálculo, vamos montar uma tabela
com as observações e suas freqüências absolutas.
Nota
4
5
6
7
8
Fi
1
5
6
5
3
Usando o cálculo da média aritmética ponderada, temos que:
x=
(4 × 1) + (5 × 5) + (6 × 6) + (7 × 5) + (8 × 3)
= 6,2
1+ 5 + 6 + 5 + 3
Observe no exemplo anterior os dois cálculos para a média aritmética.
Verifique que é indiferente somar o número 7 cinco vezes ou multiplicar o
número 7 por cinco.
Genericamente, se os valores x1, x2,..., xk ocorrerem f1, f2,..., fk vezes,
respectivamente, ou seja, se os valores de xi estão agrupados com suas
respectivas freqüências absolutas Fi, a média aritmética ou média amostral
será expressa por:
n
x=
n
∑ xi F ∑ xi F
i
i =1
n
∑F
i =1
=
i =1
i
n
i
Obs: Quando os valores estão agrupados em classes, a tabela requer mais
uma coluna, necessária para dispor os pontos médios de classes.
Exemplo 5: Determinar a idade média para o conjunto dos 50 funcionários
considerados no exemplo da tabela de distribuição de freqüências.
Solução: Da tabela de distribuição de freqüências, temos:
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Classes Intervalos das classes
1
18 |----- 25
2
25 |----- 32
3
32 |----- 39
4
39 |----- 46
5
46 |----- 53
6
53 |----- 60
7
60 |----- 66
Somas
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Bloco
17
24
31
38
45
51
58
Fi
6
10
13
8
6
5
2
50
fi
fi% Fac
fac fac%
0,12
12
6 0,12
12
0,20
20
16 0,32
32
0,26
26
29 0,58
58
0,16
16
37 0,74
74
0,12
12
43 0,86
86
0,10
10
48 0,96
96
0,04
4
50 1,00
100
100
Xi
21,0
28
35
42,5
48,5
55,5
63,5
Logo, temos que:
n
x=
∑ xi F
i =1
n
i
=
1922
= 38,44
50
Obs: O resultado de 38,44 anos é aproximado, uma vez que utilizamos os
pontos médios xi com representantes das classes em que foram agrupadas
as 50 idades. Se voltássemos à tabela original e desconsiderássemos o
agrupamento em classes, o valor da média aritmética seria:
x=
18 + 20 + 20 + K + 65 1916
soma _ das _ idades
=
=
= 38,32
50
50
número _ de _ observações
A diferença entre os resultados foi de 38,22 – 38,44 = -0,12. Assim, quando
o analista dispuser da tabela de distribuição de freqüências, e admitir que
uma aproximação do cálculo da média não vai comprometer suas
conclusões, poderá usar a fórmula para os dados agrupados. Caso
contrário, deverá utilizar a fórmula comum para o cálculo da média
aritmética.
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Moda
Dentre as principais medidas de posição, destaca-se a Moda.
Considerando um conjunto ordenado de valores, a moda será o valor
predominante, o valor mais freqüente desse conjunto.
Um conjunto de valores pode não apresentar moda, sendo, então,
denominado conjunto amodal, caso em que todos os valores da variável em
estudo ocorreram com a mesma intensidade (freqüência). Por outro lado,
podemos ter conjuntos plurimodais, quando houver mais de um valor
predominante.
Exemplo 6: Calcular a moda dos seguintes conjuntos de valores:
x = {4,5,5,6,6,6,7,7,8,8} ⇒ Mo=6
x = {4,4,5,5,6,6} ⇒ Conjunto amodal
x = {1,2,2,2,3,3,4,5,5,5,6,6} ⇒ Conjunto bimodal com Mo1=2 e Mo2 = 5
x = {1,2,3,4,5} ⇒ Conjunto amodal
Os valores da variável dispostos em uma tabela de freqüências podem
apresentar-se individualmente ou agrupados em classes. No primeiro caso,
a determinação da moda é imediata, bastando, para isso, consultar a
tabela, localizando o valor que apresenta a maior freqüência.
Assim, para a distribuição, temos que:
xi
Fi
243
245
248
251
307
7
17
23
20
8
⇑
Classe modal (classe com maior freqüência)
A moda será 248 e indica-se : Mo = 248
E Nemer
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No caso de uma tabela de freqüências com valores tabulados e agrupados
em classes, o procedimento não é imediato, sendo disponíveis alguns
métodos de cálculos distintos.
Qualquer que seja o método adotado, o primeiro passo para determinar a
moda é localizar a classe que apresenta a maior freqüência, comumente
chamada de classe modal.
Dentre os métodos existentes, destacaremos o cálculo da moda por meio
da fórmula de Czuber.
M =l
o
mo
+
Δ
1
Δ1 + Δ2
∗h
Onde:
lmo = limite inferior da classe modal.
∆1 = diferença entre a freqüência da classe modal e a freqüência da
classe imediatamente anterior.
∆2 = diferença entre a freqüência da classe modal e a freqüência da
classe imediatamente posterior.
h = amplitude da classe modal.
Exemplo 7: Calcular a moda para a distribuição abaixo:
Classes
Fi
0 |----- 1
3
1 |----- 2
10
2 |----- 3
17
3 |----- 4
8
4 |----- 5
5
Σ
43
⇑
Classe modal
Solução:
1o passo: Indica-se a classe modal. No caso, trata-se da 3a classe.
2o passo: Calcula-se cada elemento da fórmula, da seguinte maneira:
lmo = 2
∆1 = 17 – 10 = 7
∆2 = 17 – 8 = 9
h=1
o
3 passo: Aplica-se a fórmula:
M
E Nemer
o
= 2+
7
∗1 ∴
7+9
7 / 18
M
o
= 2,44
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Exemplo 8: Calcular a moda para a distribuição abaixo:
Classes
Fi
10 |----- 20
2
20 |----- 30
3
30 |----- 40
10
40 |----- 50
9
50 |----- 60
4
Σ
28
⇑
Classe modal
Solução:
1o passo: Indica-se a classe modal. No caso, trata-se da 3a classe.
2o passo: Calcula-se cada elemento da fórmula, da seguinte maneira:
lmo = 30
∆1 = 10 – 3 = 7
∆2 = 10 – 9 = 1
h = 10
o
3 passo: Aplica-se a fórmula:
M
o
= 30 +
7
∗10 ∴
7 +1
M
o
= 38,75
Exemplo 9: Calcular a moda para a distribuição abaixo:
Salários (US$)
No de empregados
80 |----- 180
70
180 |----- 250
140
250 |----- 300
140
300 |----- 500
60
Solução: Observe que as amplitudes das classes não são iguais.
Nesse caso, é preciso calcular as densidades das classes através da
fórmula Fi / h, para identificar qual é a classe modal (aquela com maior
densidade). Logo, temos que:
Salários (US$)
h
Fi
Fi / h
80 |----- 180
180 |----- 250
250 |----- 300
300 |----- 500
100
70
50
200
70
140
140
60
0,7
2
2,8
0,3
⇐ Classe modal
1o passo: A classe modal é a terceira classe, pois é a que apresenta
maior densidade.
2o passo: Calcula-se cada elemento da fórmula, da seguinte maneira:
lmo = 250
∆1 = 2,8 – 2,0 = 0,8
∆2 = 2,8 – 0,3 = 2,5
h = 50
E Nemer
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3o passo: Aplica-se a fórmula:
M
o
= 250 +
0,8
∗ 50 ∴
0,8 + 2,5
M
o
= 262,12
Portanto, o salário mais freqüente para esse grupo de 410
empregados é US$ 262,12.
~
Mediana : Md ou x
É a terceira medida de tendência central e pode ser definida como o valor
que divide uma série ordenada (uma amostra ou uma população) em duas
partes iguais, de tal forma que pelo menos a metade ou 50% dos itens
sejam iguais ou maiores do que ele, e que haja pelo menos outra metade
ou 50 % dos itens menores do que ele.
Por ser uma separatriz, ou seja, por separar um conjunto de dados em
partes iguais de tal sorte que uma fração (0,5 ou ½) de valores lhe seja
inferior e os restantes superiores, podemos concluir que essa medida
apresenta um número de ordem.
Assim é que, ordenando os valores da série, a mediana é um valor que
ocupa uma determinada ordem ou posição na série ordenada. O número
que indica a ordem em que se encontra o valor correspondente à mediana
é denominado elemento mediano, cujo símbolo é EMd.
Mediana a partir de dados não tabulados
É calculada a partir de um rol ou lista ordenada dos dados. Podem ocorrer
duas hipóteses com relação ao número de observações n: que ele seja
ímpar ou par.
1. Número de observações é ímpar
Este cálculo requer primeiro que se determine a ordem em que se encontra
a mediana na série. Deve-se, então, encontrar o valor do elemento
mediano, o que é feito da seguinte forma:
E
E Nemer
Md
=
n +1
2
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O passo seguinte será localizar a mediana na lista de valores, de acordo
com o resultado obtido no cálculo do elemento mediano.
Exemplo 10: Calcular a mediana do seguinte conjunto de números:
x = {2,3,6,12,15,23,30}
Solução:
A primeira providência a ser adotada seria a de ordenar os valores.
Neste exemplo, os valores da série já se encontram ordenados.
Em seguida, determinaremos o valor do elemento mediano para um
conjunto ímpar de observações (observe que n=7).
E
Md
=
n +1 7 +1
=
=4
2
2
Observe que o valor 4 é um número ordinal. Assim, EMd = 4 indica que
a mediana é o valor que se encontra na quarta posição da lista
ordenada de valores, é o quarto número da série.
Finalmente, procuraremos no conjunto qual o valor que se encontra
no quarto lugar da lista. Esse número corresponderá à mediana do
conjunto. No nosso exemplo, temos:
Md = 12
2. Número de observações é par
O procedimento para calcular a mediana de um número par de
observações é ligeiramente diferente do adotado para o caso em que n é
ímpar. Primeiro calculamos o elemento mediano, conforme a fórmula
abaixo:
E
Md
=
n
2
Não podemos usar o mesmo procedimento usado para um número ímpar
de observações pois, neste caso, temos dois valores centrais. Se
usássemos o valor de Emd acima para obter a mediana estaríamos
contrariando a definição de mediana que determina que deva existir uma
mesma proporção de valores menores e maiores do que ela.
Portanto, toda vez que houver um número par de observações, a lista
apresentará dois valores centrais e a mediana será determinada calculando
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a média aritmética entre os elementos da ordem n/2 e (n+1)/2, conforme o
exemplo abaixo:
Exemplo 11: Calcular a mediana do seguinte conjunto de números:
x = {3,6,9,12,14,15,17,20}
Solução:
Observe que n=8. O elemento mediano será:
E
Md
=
n 8
= =4
2 2
Logo, o elemento de ordem n/2 é 12 e o elemento de ordem (n+1)/2 é
14. Logo, a mediana será dada por:
Md =
12 + 14
= 13
2
Observe que agora temos a ocorrência de igual número de valores
maiores (14, 15, 17, 20) e menores (3, 6, 9, 12) do que a mediana.
Mediana a partir de dados tabulados mas não agrupados em classes
Quando os valores já estiverem agrupados, o procedimento será
praticamente o mesmo do item anterior.
1. Número de observações é ímpar
Exemplo 12: Calcular mediana para a distribuição abaixo:
xi
1
2
3
4
Σ
Fi
1
3
5
2
11
Fac
1
4
9
11
Solução:
O conjunto de observações neste caso é ímpar: n = 11.
E Nemer
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O elemento mediano será:
E
Md
=
n + 1 11 + 1
=
=6
2
2
A mediana deverá ser o sexto elemento do conjunto. Para identificá-lo,
fica mais fácil se abrirmos uma coluna com as freqüências
acumuladas, conforme mostrado na tabela.
Por meio da Fac encontra-se o valor (xi) correspondente à mediana.
Neste exemplo, será o 3 ( Md = 3 ). Observe: é o xi correspondente à
classe que contiver a ordem calculada, no caso o sexto elemento.
2. Número de observações é par
Exemplo 13: Calcular mediana para a distribuição abaixo:
xi
82
85
87
89
90
Σ
Fi
5
10
15
8
4
42
Fac
5
15
30
38
42
Solução:
O conjunto de observações neste caso é par: n = 42. O elemento
mediano será:
E
Md
=
n 42
=
= 21
2 2
Logo, o elemento de ordem n/2 é 21 e o elemento de ordem (n+1)/2 é
22. Como no exemplo anterior, identificamos os elementos de ordem
21 e 22 pela Fac. Assim, temos que o elemento 21 corresponde a 87 e
o elemento 22 também corresponde a 87.
Logo, a mediana será dada por:
Md =
E Nemer
87 + 87
= 87
2
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Mediana a partir de dados tabulados agrupados em classes
Quando os valores da variável estiverem agrupados em classes, o cálculo
da mediana será realizado por interpolação. Tratando-se de dados
agrupados, admite-se que os valores da variável na distribuição de
freqüências distribuam-se continuamente.
O procedimento para o cálculo da mediana apresenta os seguintes passos:
o Passo 1: Calcula-se a ordem n/2. A variável é contínua,
independentemente se n é par ou ímpar.
o Passo 2: Pela Fac, identifica-se a classe que contém a mediana (classe
Md).
o Passo 3: Utiliza-se a fórmula:
⎛n
⎞
⎜ −∑ f ⎟
2
⎠ ∗h
Md = l Md + ⎝
F
Onde:
Md
lMd = limite inferior da classe Md.
n = tamanho da amostra ou número de elementos.
∑f = soma das freqüências anteriores à classe Md.
h = amplitude da classe Md.
FMd = freqüência da classe Md.
Exemplo 14: Dada a distribuição amostral, calcular a mediana:
Intervalos das classes
35 |----- 45
45 |----- 55
55 |----- 65
65 |----- 75
75 |----- 85
85 |----- 95
Soma
Fi
5
12
18
14
6
3
58
Fac
5
17
35
49
55
58
⇐ Classe Md
Solução:
1o passo: Calcula-se a ordem n/2. A variável é contínua,
independentemente se n é par ou ímpar. Como n=58, temos que o
elemento n/2=29.
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2o passo: Identifica-se a classe Md pela Fac. Nesse caso, a classe Md
é a 3a classe.
3o passo: Calcula-se cada elemento da fórmula e aplica-se a fórmula:
lMd = 55
n = 58
∑f = 17
h = 10
FMd = 18
Logo, temos que:
⎛ 58
⎞
⎜ − 17 ⎟
2
⎠ ∗10 = 61,57
Md = 55 + ⎝
18
Então, 50% das observações têm medidas abaixo de 61,57 e 50%
acima desse valor
Quartis
Há uma outra medida de posição semelhante à mediana, embora não seja
uma medida de tendência central.
Como vimos anteriormente, a mediana divide a distribuição em duas partes
iguais quanto ao número de elementos de cada parte. Temos agora o
quartil, que permite dividir a distribuição em quatro partes iguais quanto ao
número de elementos de cada uma.
0%
25%
50%
75%
Q1
Q2 = Md
Q3
100%
Com relação à figura acima, temos que:
o Q1 = 1o quartil, apanha 25% dos elementos
o Q2 = 2o quartil, coincide com a mediana, apanha 25% dos
elementos
o Q3 = 3o quartil, apanha 75% dos elementos
E Nemer
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Determinação do 1o quartil:
Passo 1: Calcula-se a ordem n/4.
Passo 2: Identifica-se a classe Q1 pela Fac.
Passo 3: Aplica-se a fórmula:
⎛n
⎜ −∑
4
+⎝
Q = lQ
1
1
FQ
⎞
f⎟
⎠ ∗h
1
Determinação do 3o quartil:
Passo 1: Calcula-se a ordem 3n/4.
Passo 2: Identifica-se a classe Q3 pela Fac.
Passo 3: Aplica-se a fórmula:
Q = lQ
3
⎛ 3n
⎜ −∑
4
+⎝
FQ
3
⎞
f⎟
⎠ ∗h
3
Exemplo 15: Dada a distribuição amostral, determinar os quartis (Q1 e Q3)
e mediana:
Intervalos das classes
7 |----- 17
17 |----- 27
27 |----- 37
37 |----- 47
47 |----- 57
Soma
Fi
6
15
20
10
5
56
Fac
6
21
41
51
56
⇐ Classe Q (contém o 28 elemento)
⇐ Classe Md (contém o 28 elemento)
⇐ Classe Q (contém o 28 elemento)
1
3
o
o
o
Solução:
1o passo: n = 56
n 56
=
= 14
4 4
E Nemer
n 56
=
= 28
2 2
15 / 18
3n 3 (56)
=
= 42
4
4
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2o passo: Pela Fac identificam-se a classe Q1 (2a), a classe Md (3a) e a
classe Q3 (4a).
3o passo: Aplica-se, então, a fórmula:
Para Q1, temos: lQ1=17; n=56; ∑f = 6; h=10; FQ1 =15
Para Md, temos: lQ1=27; n=56; ∑f = 21; h=10; FMd =20
Para Q3, temos: lQ3=37; n=56; ∑f = 41; h=10; FQ1 =10
Logo:
⎛ 56
⎞
⎜ − 6⎟
4
Q1 = 17 + ⎝ 15 ⎠ ∗10 = 22,33
⎛ 56
⎞
⎜ − 21⎟
2
⎠ ∗10 = 30,5
Md = 27 + ⎝
20
⎛ 3 (56)
⎞
− 41⎟
⎜
Q3 = 37 + ⎝ 4 10 ⎠ ∗10 = 38
Diante desses resultados, pode-se afirmar que, nessa distribuição,
tem-se:
25%
7
25%
22,33
25%
30,5
25%
38
Logo, observamos que:
- 25% das observações estão entre 7 e 22,33
- 25% das observações estão entre 22,33 e 30,5
- 25% das observações estão entre 30,5 e 38
- 25% das observações estão entre 38 e 57
E Nemer
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57
Estatística - exEstatMedPosic.doc
25/02/09
Decis
Continuando o estudo das medidas separatrizes: mediana e quartis, tem-se
os decis. São os valores que dividem a série em 10 partes iguais.
O cálculo para um decil (Di) é dado por:
Passo 1: Calcula-se a ordem in/10, em que: i=1,2,3,4,5,6,7,8 e 9.
Passo 2: Identifica-se a classe Di pela Fac.
Passo 3: Aplica-se a fórmula:
⎛ in
⎞
⎜ −∑ f ⎟
⎠ ∗h
⎝ 10
Di = l D i +
F Di
Em que:
LDi = limite inferior da classe Di
i=1,2,3, ..., 9
n = tamanho da amostra
∑f = soma das freqüências anteriores à classe Di.
h = amplitude da classe Di.
FDi = freqüência da classe Di.
Percentis
São as medidas que dividem a série em 100 partes iguais.
O cálculo de um percentil (Pi) é dado por:
Passo 1: Calcula-se a ordem in/100, em que: i=1,2,3,...,98 e 99.
Passo 2: Identifica-se a classe Pi pela Fac.
Passo 3: Aplica-se a fórmula:
⎛ in
⎞
−∑ f ⎟
⎜
⎝ 100
⎠ ∗h
Pi = l P i +
F Pi
E Nemer
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Estatística - exEstatMedPosic.doc
25/02/09
Em que:
LDi = limite inferior da classe Di
i=1,2,3, ..., 9
n = tamanho da amostra
∑f = soma das freqüências anteriores à classe Di.
h = amplitude da classe Di.
FDi = freqüência da classe Di.
Exemplo 16: Determinar o 4o decil e o 72o percentil da seguinte distribuição:
Intervalos das classes
4 |----- 9
9 |----- 14
14 |----- 19
19 |----- 24
Soma
Fi
8
12
17
3
40
Fac
8
20
37
40
⇐ Classe D
⇐ Classe P
4
72
Solução:
Cálculo de D4:
Cálculo de P72:
1o passo: n = 56
in 4 (40)
=
= 16
10
10
in 72 (40)
=
= 28,8
100
100
2o passo: Pela Fac identificam-se a classe D4 e P72.
3o passo: Aplica-se, então, a fórmula:
Para D4, temos: lD4=9; n=40; ∑f = 8; h=5; FD4 =12
Para P72, temos: lP72=14; n=40; ∑f = 20; h=5; FP72 =17
Logo:
⎛ 4 (40) ⎞
− 8⎟
⎜
10
⎝
⎠
D4 = 9 + 12 ∗ 5 = 12,33
⎛ 72 (40)
⎞
− 20 ⎟
⎜
⎝ 100
⎠ ∗ 5 = 16,89
P72 = 14 +
17
Portanto, nessa distribuição, o valor 12,33 divide a distribuição em
duas partes: uma (à esquerda) com 40% dos elementos e a outra com
60%. O valor 16,89 indica que 72% dos elementos da distribuição
estão abaixo de 16,89 e 28% acima.
E Nemer
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