BC 0303: Fenômenos Térmicos – 2 Lista de Exercícios ** Onde for

BC 0303: Fenômenos Térmicos – 2a Lista de Exercícios
** Onde for necessário adote a constante universal dos gases R = 8,31 J/mol K e o número de
Avogadro NA = 6,02.1023 **
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Caminho Livre Médio
1. Em um dado experimento, certo gás é mantido em uma câmara na pressão de 2.10−6 mmHg e na
temperatura de 290 K.
a) Calcule o número de moléculas por centímetro cúbico dentro da câmara supondo que o gás é
ideal.
b) Qual é o livre caminho médio das moléculas do gás sob essas condições se o diâmetro molecular
é de, aproximadamente, 10−8 cm?
2. Moléculas de hidrogênio (diâmetro 1.10-8 cm) escapam de um forno a uma temperatura de 4000K
e entram em uma câmara que contém átomos de argônio (diâmetro 3.10-8 cm), com densidade de
4.1019 átomos/cm3.
a) Qual a velocidade típica das moléculas de hidrogênio ao deixarem o forno?
b) Considerando a molécula de hidrogênio e os átomos de argônio como esferas, qual será a
distância mínima de aproximação de seus centros em uma colisão?
c) Qual o número inicial de colisões por unidade de tempo que sofre a molécula de hidrogênio?
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Distribuição de Velocidades Moleculares
3. Seja Ni o número de partículas com velocidade vi , dadas na tabela abaixo.
Ni
vi (m/s)
1
1,5
2
1,8
3
2,0
15
3,0
8
3,5
6
2,5
5
2,8
Determine a velocidade média das partículas, a velocidade quadrática média e a velocidade mais
provável.
4. Um certo gás com N partículas tem a seguinte distribuição de velocidades:
c
v
v0
p (v ) = c
c
p (v) = (3v0 − v)
v0
p (v ) = 0
p (v ) =
para 0 ≤ v ≤ v 0
para v0 ≤ v ≤ 2v0
para 2v0 ≤ v ≤ 3v0
para v ≥ 3v0
onde c e v0 são constantes.
a) Expresse c em termos de N e v0.
b) Quantas moléculas tem velocidades entre 1.5v0 e 2v0 ?
c) Expresse a velocidade média das moléculas em termos de v0.
d) Encontre a velocidade quadrática média, vrms.
5. Mostre que a velocidade mais provável de uma molécula de um gás obedecendo a distribuição de
velocidades de Maxwell-Boltzman é dada por
v mp =
2kT
m
Observe que a velocidade mais provável corresponde ao ponto em que a inclinação da curva da
distribuição de velocidades é nula.
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Calores Específicos
6. Considere n moles de um gás ideal constituído por moléculas com f graus de liberdade ativos a
uma dada temperatura T. Mostre que:
a) a energia interna total do sistema é Eint = fnRT/2
b) o calor específico molar a volume constante é CV = fR/2
c) o calor específico molar a pressão constante é CP = (f+2)R/2
d) qual a razão γ = CP / CV ?
7. Suponha que 6 moles de um gás ideal de atômico, com rotação molecular porém sem oscilação,
experimenta um aumento na temperatura de 120 K na condição de pressão constante.
a) Quanto calor foi adicionado ao gás?
b) Qual foi o aumento da energia interna do gás?
c) Quanto trabalho foi feito pelo gás?
d) Calcule o aumento na energia cinética translacional do gás.
8. Um container armazena uma mistura de três gases não interagentes: n1 moles do primeiro gás
com calor específico molar a volume constante CV1, e assim por diante. Encontre o calor específico
molar a volume constante da mistura, em termos dos calores específicos molares e das quantidades
dos três gases separados.
9. Para um gás diatômico ideal, CV = 5R/2. Um mol deste gás exerce uma pressão p e ocupa um
volume V. Quando o gás é aquecido, sua pressão triplica e o seu volume duplica. Se esse processo
de aquecimento inclui dois passos, o primeiro à pressão constante e o segundo à volume constante,
determine a quantidade de energia transferida para o gás sob a forma de calor.
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Transformações Adiabáticas
10. Um gás ideal diatômico se expande adiabaticamente para um volume 1,35 vezes maior que seu
volume inicial. A temperatura inicial é de 18oC. Encontre a temperatura final.
11. Mostre que as seguintes relações valem para uma expansão reversível adiabática de um gás
ideal:
TV
γ −1
1
Tp
γ
= c1
−1
= c2
A bola de fogo da bomba de fissão de urânio consiste de uma esfera de gás de raio de 12 m e
temperatura de 310000 K imediatamente após a detonação. Supondo que a expansão é adiabática e
que a bola de fogo permanece esférica, estime o raio da bola de fogo quando a temperatura é de
3000 K e quando é de 300 K.(Considere γ= 1,4)
12. Uma câmara termicamente isolada contém n1 moles de gás hélio em alta pressão p1 e
temperatura T1. O gás é então permitido escapar lentamente para a atmosfera, cuja pressão é p0,
através de uma pequena válvula. Mostre que a temperatura final dos n2 moles restantes na câmara é
p 
T2 = T1  0 
 p1 
•
1−
1
1
γ
com
 p γ
n 2 = n1  0 
 p1 
Entropia
13. Determine a variação na entropia que ocorre quando um cubo de gelo de 27g a -12oC é
transformado, à pressão constante, em vapor a temperatura de 115oC.
14. Um cubo de gelo de 10g a -10oC é colocado em um lago cuja temperatura é 15oC. Calcule a
variação na entropia do sistema cubo de gelo/lago quando o cubo de gelo atingir o equilíbrio
térmico com o lago. O calor específico do gelo é 2220 J/kg K.
15. Um mol de um gás monoatômico ideal, inicialmente à pressão de 1 atm e com um volume de
0,025 m3, é aquecido até um estado final com pressão de 2 atm e um volume de 0,04 m3. Determine
a variação da entropia do gás neste processo.
16. Duas quantidades iguais de água, de massa m e temperaturas T1 e T2, são adiabaticamente
misturadas, com a pressão mantida constante. Mostre que a mudança de entropia no universo é
 T + T2
∆S univ = 2mc P ln 1
2 TT
1 2





onde cP é o calor específico da água a pressão constante. Mostre que ∆Suniv > 0.
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Ciclos e Máquinas Térmicas
17. Um mol de um gás ideal monoatômico é submetido ao seguinte ciclo: transformação isocórica
(volume constante) de volume Va=10−3 m3 de um estado A até o estado B onde a pressão é pb=10
atm; expansão adiabática do estado B até o estado C onde o volume é 8Vb; transformação isobárica
do estado C de volta ao estado A. Calcule :
a) o calor adicionado ao gás,
b) o calor perdido pelo gás
c) o trabalho líquido realizado pelo gás e a eficiência do ciclo.
18. Um mol de um gás ideal monoatômico é submetido a seguinte ciclo: expansão isobárica à
pressão p0 de um ponto A onde o volume é V0 até o ponto B onde volume é 4V0; transformação
isocórica do ponto B até o ponto C, onde a pressão é 2p0; e uma compressão do ponto C de volta ao
ponto A.
a) Quanto trabalho é realizado pelo gás partindo de A até C na trajetória abc?
b) Quais são as mudanças na energia interna e na entropia indo de B até C?
c) Quais são as mudanças na energia interna e na entropia ao se realizar o ciclo completo?
Expresse todas as respostas em termos da pressão p0, do volume V0 e da temperatura inicial T0 no
ponto A.
19. No ponto A de um ciclo de Carnot, 2,34 moles de um gás ideal monoatômico tem uma pressão
de 1400 kPa, volume de 10 litros e uma temperatura de 720K. Ele se expande isotermicamente até o
ponto B e, então, expande-se adiabaticamente até o ponto C, onde o seu volume é de 24 litros. Uma
compressão isotérmica o leva ao ponto D, onde seu volume passa a ser de 15 litros. Um processo
adiabático faz o gás retornar ao ponto A.
a) Determine a todas as pressões, volumes e temperaturas desconhecidos na tabela abaixo.
b) Encontre a energia adicionada na forma de calor, o trabalho realizado pela máquina e a mudança
na energia interna para cada uma das etapas de A para B, de B para C, de C para D, de D para A.
c) Calcule o rendimento Wmaq/ |Qabs|. Demonstre que ele é igual ao rendimento da máquina de
Carnot.
estado
A
B
C
D
P (kPa)
1400
V (litros)
10
T (K)
720
24
15
20. Demonstre que para um refrigerador ideal de Carnot o trabalho realizado pelo motor, W,
relaciona-se com o calor absorvido do reservatório frio, Qf , e as temperaturas dos reservatórios frio
e quente, Tf e Tq, respectivamente, da seguinte forma:
W = Qf
Tq − T f
Tf
a) Para um refrigerador cujas bobinas de refrigeração estão na temperatura de -13oC, e cujo gás
comprimido no condensador encontra-se na temperatura de 26oC, qual é o coeficiente teórico de
rendimento?
b) Se o motor do refrigerador estiver com potência de 200W, qual é a quantia máxima de calor que
pode ser extraída do congelador em dez minutos quando a temperatura do congelador é de 270K e a
temperatura do exterior de 300K?
21. Uma máquina de Carnot que funciona entre as temperaturas T1 e T2 (T1 > T2), fornece trabalho
a um refrigerador de Carnot, que trabalha entre as temperaturas T3 e T4 (T3 > T4), conforme ilustra a
figura. Encontre a razão do calor liberado pelo refrigerador para o reservatório na temperatura T3
em relação ao calor absorvido do reservatório à temperatura T1 pela máquina, isto é, |Q3| / |Q1| em
termos das quatro temperaturas.
22. O ciclo de Otto na figura abaixo modela a operação do motor de combustão interna de um
automóvel. Uma mistura de vapor de gasolina e ar é injetada em um cilindro enquanto o pistão
abaixa durante o curso A da entrada. O pistão sobe para a extremidade fechada do cilindro para
comprimir adiabaticamente a mistura no processo de A para B. A razão r = V1/V2 é a razão de
compressão do motor. Em B a gasolina é inflamada pela vela e a pressão eleva-se rapidamente
enquanto ela se queima no processo de B para C. No curso de potência de C para D, os produtos da
combustão se expandem adiabaticamente enquanto forçam o pistão para baixo. Os produtos da
combustão esfriam mais ainda em um processo isocórico de D para A e no curso de A para O da
exaustão, quando os gases de exaustão são eliminados do cilindro. Suponha que um único valor da
razão de capacidades caloríficas caracteriza tanto a mistura ar-combustível quanto os gases de
exaustão após a combustão. Prove que o rendimento do motor é
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1 − r 1−γ
Interpretação Estatística da Entropia
23. Considere o lançamento de dois dados. Construa uma tabela com o número de microestados
correspondentes a cada macroestado possível. Quais são os macroestados mais e menos prováveis?
Em termos de entropia qual o macroestado mais desordenado? E o mais ordenado?
24. Uma caixa fechada contém N moléculas idênticas. Considere três configurações: a configuração
A com uma divisão igual de moléculas entre as duas metades da caixa, a configuração B com 60%
das moléculas na metade esquerda da caixa e 40% na metade direita e a configuração C com todas
as moléculas na metade esquerda da caixa. Determine a multiplicidade (o número de microestados
independentes) para cada configuração e as razões entre o tempo que o sistema passa na
configuração A e o tempo que passa em cada uma das outras configurações B e C (tA/tB e tA/tC),
quando:
a) N = 50
b) N = 200
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Potenciais Termodinâmicos
25. Um mol de calcita, CaCO3, transforma-se em aragonita com um aumento ∆U = 0,22 kJ na
energia interna. Calcule as variações na entalpia e na entropia quando esse processo se realiza a
uma pressão constante p = 1,0 bar. As densidades da calcita e da aragonita são ρc = 2,71 g/cm3 e ρa
= 2,93 g/cm3, respectivamente.
26. A variação de entalpia acompanhando a formação de um mol de NH3 na forma gasosa a partir
de seus elementos é dada por ∆H = - 46,1 kJ. Qual a variação da energia interna quando esse
processo ocorre a 300K?
27. Utilize o princípio de Clausius, dS ≥ dQ/T, e a definição da energia livre de Gibbs para mostrar
que dG ≤ SdT − pdV .
28. Medidas calorimétricas mostram que a variação da entropia na oxidação do ferro em Fe2O3
sólido é de ∆S = - 272 J/Kmol. Esse processo ocorre espontaneamente à 20oC? A entalpia de
formação de um mol de óxido de ferro no processo é de ∆H = - 824,2 kJ/mol.