EQUAÇÕES DO 1º GRAU Caracterizam-se por

EQUAÇÕES DO 1º GRAU
Caracterizam-se por apresentarem um valor desconhecido chamado de VARIÁVEL ou
INCÓGNITA e um sinal de igualdade (=) que divide o que chamamos de membros da
equação. Veja:
2x + 5 = x + 7
1º membro
2º membro
A letra x é a variável ou incógnita. Vou está chamando de variável.
As partes que compõem cada membro são chamadas de termos, assim os termos dessa
equação são no 1 membro 2x , 5 e no 2º membro x e 7.
RAIZ DE UMA EQUAÇÃO
A raiz de uma equação é o valor da variável que torna a sentença verdadeira.
EX: Vamos verificar se 3 é a raiz da equação 2x + 5 = x + 7 .
Devemos substituir o x pelo 3
2 . 3 + 5 = 3 + 7 no 1º membro fazemos primeiro a multiplicação
6 + 5 = 3 + 7 calculamos a soma nos dois membros
11 = 10 veja que a sentença é falsa, pois 11 é diferente de 10.Se é falsa o 3 não é raiz
da equação.
EX: Vamos verificar se 2 é a raiz da equação 2x + 5 = x + 7 .
Devemos substituir o x pelo 2
2 . 2 + 5 = 2 + 7 no 1º membro fazemos primeiro a multiplicação
4 + 5 = 2 + 7 calculamos a soma nos dois membros
9 = 9 veja que a sentença agora é verdadeira, pois 9 é igual a 9.Se é verdadeira então 2
é raiz da equação.
CÁLCULO DA RAIZ DE EQUAÇÃO
Utilizaremos aqui para resolução de equação um método prático que nos permite seguir
os seguintes passos:
1º Devemos separar os termos variáveis dos ternos numéricos, ou seja, variáveis no 1º
membro e números no 2º membro. O termo que trocar de membro trocará de operação,
ou seja, se está somando é subtrair, se está subtraindo irá somar ,se está multiplicando
irá dividir e se estiver dividindo irá multiplicar.
2º Resolver os termos semelhantes, através das operações nos números inteiros ( quando
tiverem o mesmo sinal somamos e conservamos o mesmo sinal e se tiverem sinais
diferentes subtraímos e conservamos o sinal do maior valor absoluto.)
3º Se tiver algum número multiplicando a variável no 1º membro, levamos para o 2º
membro na forma de divisão.
OBS: É importante observar o conjunto universo para a solução da equação, nesta obra
estou considerando como conjunto universo o conjunto do reais.Assim todos os valores
de x serão aceitos.
OBS: Se o conjunto universo é Conjunto do naturais (IN) e o valor de x é – 2, neste
caso o conjunto solução é vazio, pois – 2 não faz parte do conjunto universo.
EX: Resolver a equação 2x + 5 = x + 7 .
Separamos as variáveis, o + x do 2º membro vai para o 1º como – x e o +5 do 1º
membro vai para o 2º membro como – 5 .
2x – x = 7 – 5 Resolvemos +2x – x sinal diferente subtraímos e conservamos o sinal
do maior e fazemos 7 menos 5.
x=2
EX: Resolver a equação 4 x – 6 = 2x + 8
Separamos as variáveis, o +2x do 2º membro vai para o 1º membro como – 2x e o – 6
do 1º membro vai para o 2º membro como + 6 .
4x – 2x = 8 + 6 Resolvemos 4x menos 2x que é 2x e 8 mais 6 que é 14
2x = 14
Veja 2x significa 2 vezes x como o 2 está multiplicando x ele vai para o 2º
membro dividir o 14.
14
x=
Resolvendo a divisão temos:
2
x=7
EX: Resolver a equação 3x + 8 – 5 = + 2x + 9 – x
Separamos as variáveis, o +2x vem para o 1º membro como – 2x , o – x vem para o 1º
membro como +x e o +8 vai para o 2º membro como – 8, e o – 5 vai para o 2º membro
como + 5.
3x – 2x + x = 9 – 8 + 5
Resolvendo 3x – 2x = x e 9 – 8 = 1
x+x=1+5
Resolvendo x+x e 1+5 temos:
2x = 6
O 2 está multiplicando vai dividir no 2º membro
6
x=
resolvendo a divisão
2
x=3
EX: Resolver a equação 3x + 8 = 5x – 2
Separamos as variáveis, o +5x vem para o 1º membro como – 5x e o + 8 vai para o 2º
membro como – 8
3x – 5x = – 2 – 8
Resolvendo +3x e – 5x tem sinal diferente subtraímos e
conservamos o sinal do maior valor absoluto e -2 com -8 tem mesmo sinal somamos e
conservamos o mesmo sinal.
– 2x = – 10 Se o termo que tem o x for negativo devemos multiplicar o 1º e o 2º
membro por (– 1 ),
– 2x . (– 1 ) = – 10. (– 1 )
fazemos o jogo de sinal e multiplicamos por 1
2x = 10 O 2 que está multiplicando o x vai para dividir o 10
10
x=
Resolvendo a divisão
2
x=5
EQUAÇÕES COM PARÊNTESES
EX: Resolver a equação 3( x + 1 ) = 2x + 8
O 3 que está antes do parêntese significa que ele vai multiplicar o x e o 1, sem esquecer
que ao multiplicar fazemos jogo de sinal,teremos então 3 vezes x e 3 vezes 1.
3x + 3 = 2x + 8
Separamos as variáveis, o 2x vem para o 1º membro como – 2x e o +3 vai para o 2º
membro como – 3 .
3x – 2x = 8 – 3 Resolvendo 3x – 2x é x e 8 – 3 é 5
x=5
EX: Resolver a equação 4( 2x – 3 ) = 2 ( x + 8 )
Eliminamos os parênteses fazendo a multiplicação no 1º membro de 4 vezes 2x e 4
vezes -3 , no 2º membro multiplicamos 2 vezes x e 2 vezes +8.
8x – 12 = 2x + 16
Separamos as variáveis, o 2x vem para o 1º membro como – 2x e o – 12 vai para o 2º
membro como + 12
8x – 2x = 16 + 12 Resolvemos 8x-2x e 16 + 12
6x = 28 O 6 que está multiplicando x vai para o 2º membro dividir o 28
28
x=
Podemos simplificar a fração por 2
6
14
x=
3
EX: Resolver a equação 3x – 2 ( x – 1 ) = – 3 ( 2x + 4 ) + 4x
Eliminamos os parênteses fazendo a multiplicação no 1º membro de – 2 vezes x fazendo
jogo de sinal e – 2 vezes – 1 também fazendo jogo de sinal e no 2º membro – 3 vezes 2x
e – 3 vezes +4 todos fazendo jogo de sinal.
3x – 2x + 2 = – 6x – 12 + 4x
Separamos as variáveis, o – 6x vem para o 1º membro como + 6x e o + 4x vem para o
1º membro como – 4x, o + 2 vai para o 2º membro como – 2.
3x – 2x + 6x – 4x = – 12 – 2 Resolvemos 3x – 2x que é x e – 12 – 2 tem o mesmo sinal
,somamos e conservamos o mesmo sinal ficando – 14
x + 6x – 4x = – 14 fazemos agora x + 6x que é 7x
7x – 4x = – 14 fazemos então 7x – 4x que é 3x
3x = – 14 O 3 que está multiplicando x vai para o 2º membro dividir o –14
14
x=−
não podemos simplificar, então é o resultado final.
3
EX: Resolver a equação 2( x + 7 ) – 5 ( 2x – 3 ) = 8 x – 2 ( 3x + 4 )
Eliminamos o 1º parêntese multiplicando 2 vezes x e 2 vezes +7 , eliminamos o 2º
parêntese multiplicando – 5 vezes 2x e – 5 vezes – 3 e o 3º parêntese eliminamos
multiplicando – 2 vezes 3x e – 2 vezes +4 sempre fazendo jogo de sinal.
2x + 14 – 10x + 15 = 8x – 6x – 8
Separamos as variáveis, o +8x vem para o 1º membro como – 8x e o – 6x vem para o 1º
membro como + 6x, o +14 e o +15 vai para o 2º membro como – 14 e – 15 .
2x – 10x – 8x + 6x = – 8 – 14 – 15
Resolvemos +2x – 10x que é – 8x e no 2º membro – 8 – 14 – 15 que é – 37
– 8x – 8x + 6x = – 37 Resolvemos – 8x – 8x mesmo sinal soma e conserva o sinal
– 16x + 6x = – 37
Resolvemos – 16x + 6x sinal diferente subtrai e conserva sinal do maior
– 10x = – 37
O 1º membro é negativo multiplicamos e equação por – 1 fazendo jogo de sinal
10x = 37 O 10 está multiplicando vai para o 2º membro dividir o 37
37
x=
10
EX: Resolver a equação 3 – ( 5x + 2) + ( x + 4 ) = 17
Veja que antes do parêntese só tem o sinal de – no 1º e o sinal de + no 2º neste caso
eliminamos o parêntese apenas fazendo o jogo de sinal ou se tem sinal de – é só trocar o
sinal de quem está dentro do parêntese se tem sinal de + antes do parêntese que está
dentro fica do mesmo jeito.
3 – 5x – 2 + x + 4 = 17
Separamos as variáveis, o +3 e +4 vai para o 2º membro como –3 e –4 e o –2 vai para o
2º membro como +2
–5x + x = 17 –3 + 2 – 4
Resolve –5x+x que tem sinal diferente subtraímos e conservamos o sinal do maior e 17
menos 3 é 14
– 4x = 14 + 2 – 4 Resolvemos 14 + 2 que é 16 menos 4 vai ser 12
– 4x = 12 Como o valor de 4x é negativo multiplicamos a equação por –1
4x = 12 O 4 que está multiplicando x vai para o 2º membro dividir o 12
12
x=
dividimos 12 por 4
4
x=3
EQUAÇÕES COM DENOMINADORES
EX: Resolver a equação
x x 1
+ =
2 4 2
EX: Resolver a equação
2x
x 1 x
−4+ = +
3
2 4 3
EX: Resolver a equação
x 2 − 2x + 1
+ =
2 3
3
EX: Resolver a equação
3x + 2 x − 3 1
=
−
4
2
3
EX: Resolver a equação
2( x + 3) 2 x + 1
=
3
4