)0( )( ) ( − − = = xFxFxXP )( )( YV XV =
Propaganda
ISEG ESTATÍSTICA I - 2º Ano/Gestão 2º semestre, PADEF 1ª Parte - Teórica – 30m 03. 02. 05 Cotação da 1º Parte: 8 Valores. As respostas são efectuadas no espaço a seguir disponível. No decorrer da prova não serão prestados quaisquer esclarecimentos. BOA SORTE! Nome:__________________________________________________________________________Turma:_________ 1. Considere uma colecção de dados e respectiva distribuição de frequências. Indique as respostas verdadeiras (V) ou falsas (F), assinalando com X na quadrícula respectiva: V F A distribuição de frequências é simétrica. Então o primeiro quartil é simétrico do 3º quartil, i.e., Q1 = −Q3 . O diagrama Caixa de Bigodes evidencia algumas características dos dados, tais como: Quartis, máximo, mínimo, amplitude inter-quartis, outliers, simetria/assimetria da distribuição. X X Os outliers só ocorrem quando a distribuição de frequências é muito assimétrica. O desvio padrão dos dados só pode ser calculado se for calculada a média. X X [Atenção: Cada resposta certa vale 2,5 cada resposta errada vale –2,5. A classificação desta questão variará entre um mínimo de zero e um máximo de 10] 2. Sejam os acontecimentos A, B ⊂ Ω com P ( A) > 0 e P( B) > 0 . Sabe-se ainda que P( A | B )= P ( A) . [Cotação: 10] Prove que P( B | A)= P ( B ) . 3. Considere uma v.a. X e a respectiva função distribuição F ( x) . Indique as respostas verdadeiras (V) ou falsas (F), assinalando com X na quadrícula respectiva: V F P( X = x) = F ( x) − F ( x − 0) quer X seja discreta ou contínua. X Seja a um número real. Qualquer que seja X tem-se P (a ≤ X < +∞) = 1 − F (a ) . X Seja h > 0 , então P ( X > x + h) ≤ P ( X > x) . X X é discreta e seja a um ponto de continuidade de F ( x) . Então P( X < a) = P( X ≤ a) . X [Atenção: Cada resposta certa vale 2,5 cada resposta errada vale –2,5. A classificação desta questão variará entre um mínimo de zero e um máximo de 10] 4. Considere as variáveis aleatórias X e Y cujas funções de probabilidade são, respectivamente, as seguintes: y x 0 2 4 -2 0 2 f ( x) 0.3 0.4 0.3 g ( y ) 0.3 0.4 0.3 a) Sem fazer qualquer cálculo, explique, fundamentado cuidadosamente, porque é que apesar de terem médias diferentes. [Cotação: 10] V ( X ) = V (Y ) , b) Sem fazer qualquer cálculo justifique porque é que a mediana de X é igual a 0, e a mediana de Y é igual a 2. [Responda nas linhas seguintes] [Cotação: 10] a) b) vsff → 5. Seja X ~ N (0;1) . Explique porque é que P(− x < X < x) = 2Φ( x) − 1 , sendo x > 0 . [Cotação: 10] 6. Considere a variável aleatória X e a sua distribuição. Indique as respostas verdadeiras (V) ou falsas (F), assinalando com X na quadrícula respectiva: V F X Se X tem distribuição do t-Student, então a sua média e mediana são iguais. Existem µ = E ( X ) e σ 2 = Var ( X ) e seja Z = ( X − µ ) / σ . Qualquer que seja a distribuição de X , tem-se E ( Z ) = 0 e Var ( Z ) = 1 . X Seja X ~ N ( µ , σ 2 ) . Então P( X > µ ) = P( X ≤ µ ) . X Seja X ~ Poisson(λ ) . Então a variância de X é tanto maior quanto menor for a média. X [Atenção: Cada resposta certa vale 2,5 cada resposta errada vale –2,5. A classificação desta questão variará entre um mínimo de zero e um máximo de 10] 7. Considere uma amostra casual ( X 1 , K , X n ) obtida de uma população X. Se a população é Normal e a dimensão da amostra n=1, então a variância de X (média amostral) coincide com a variância da população. V X X ( X 1 , K , X n ) não é uma estatística. Seja X ∩ N (0,1) . Z = n ∑X 2 i é uma estatística. i =1 As variáveis aleatórias X 1 , X 2 , K , X n são independentes e identicamente distribuídas. F X X [Atenção: Cada resposta certa vale 2,5 cada resposta errada vale –2,5. A classificação desta questão variará entre um mínimo de zero e um máximo de 10] ESTATÍSTICA I - 2º Ano/Gestão 2º semestre, PADEF. 2ª Parte – Prática – 1h30m Cotação da 2ª Parte: 12 Valores. 03. 02. 05 As perguntas de resposta múltipla são respondidas no enunciado, que deve ser devolvido conjuntamente e dentro da folha de prova. Durante o decorrer da prova não serão prestados quaisquer esclarecimentos. Justifique todos os preocedimentos. BOA SORTE! Nome:__________________________________________________________________________Turma:_________ 1. Num estudo sobre obesidade, num organismo estatal com mais de 1000 funcionários, verificou-se que 25% eram mulheres e que destas, 5% eram obesas e 55% tinham peso considerado normal. As restantes tinham peso inferior ao normal. A percentagem de homens obesos da empresa foi de 8% e com o peso normal de 62%. a) Escolhido um funcionário ao acaso, qual a probabilidade de ser mulher sabendo que tem peso considerado normal? b) Seleccionados dois funcionários ao acaso, qual a probabilidade de serem mulheres com peso inferior ao normal? (Assinale com uma cruz no quadrado adequado) 1) 0.1000 2) 0.1600 3) 0.010 x 4) 0.0625 [Atenção: Resposta certa vale 10, resposta errada vale –2,5] 2. O número de clientes que chegam a uma loja segue um processo de Poisson (homogéneo) dcom intensidade de 12 por hora. a) Acabou de chegar um cliente, qual a probabilidade de decorrerem mais de 10 minutos até chegar o próximo? b) A loja está aberta 5 horas por dia, calcule a probabilidade de num dia entrarem no mínimo 50 e no máximo 70 clientes. (Assinale com uma cruz no quadrado adequado) 1) 0.3030 2) 0.9131 3) 0.9015 4) 0.8262 x [Atenção: Resposta certa vale 10, resposta errada vale –2,5] 3. O tempo (em minutos) que um aluno demora a resolver a parte prática de um teste de Estatística é uma variável aleatória com distribuição normal de média 75 e desvio padrão 15. a) Qual a percentagem de alunos que resolvem a parte prática do teste em menos de hora e meia? b) Numa amostra casual de 25 alunos que fizeram a prova, calcule a probabilidade do tempo médio gasto por eles ser inferior a 70 minutos. (Assinale com uma cruz no quadrado adequado) 1) 0.9525 2) 0.0250 3) 0.9750 4) 0.0475 x [Atenção: Resposta certa vale 10, resposta errada vale –2,5] 4. O tempo (em minutos) de execução de uma certa transacção em determinada aplicação informática é uma variável aleatória X com função densidade: f ( x) = x com 0 < x < k 8 1. Mostre que k=4 e calcule o tempo médio para a execução da transacção. 2. Em 10 execuções dessa transacção qual a probabilidade do menor tempo de execução ser inferior a dois minutos. (Assinale com uma cruz no quadrado adequado) 1) 0.9437 x 2) 0.2500 3) 0.7500 4) 0.0563 [Atenção: Resposta certa vale 10, resposta errada vale –2,5] Cotação: 1.a) 20 b) 10 2.a) 20 b) 10 3.a) 20 b) 10 4.a) 20 b) 10 Tópicos de Resolução: 1. a) Sejam: M-Mulher, A-peso normal, B-peso inferior ao normal, C-obeso P(M|A)=P(A|M)P(M)/P(A)=0.25x0.55/(.25x.55+.62x.75) b) Seja X – nº de mulheres, em 2 dois funcionários, com peso inferior ao normal. X~B(2;0.1). P(X=2). 2. a) Seja X – tempo, em horas, que decorre entre duas chegadas consecutivas. X ~ exp(λ = 12) . P( X > 1 / 6) . b) Seja Y – nº clientes por dia, Y ~ Po(λ = 60) . 70 + 1 / 2 − 60 50 − 1 / 2 − 60 − Φ . P(50 ≤ Y ≤ 70) ≈ Φ 2 15 2 15 ( ) 3. a) P( X < 90) = Φ (1) . b) X ~ N (75;15 2 / 25) . P X < 70 . 4. a) E ( X ) = ∫ 4 0 x 2 / 8dx . b) Pr (min( X 1 ,..., X 10 ) < 2 ) .
