Bases Matemáticas - Aula 4 – Conjuntos Numéricos

Bases Matemáticas
Aula 4 – Conjuntos Numéricos
Rodrigo Hausen
v. 2014-7-1
1/8
Números Naturais, Inteiros e Racionais
I
naturais:
N = {0, 1, 2, . . .}
I
inteiros:
Z = {. . . − 2, −1, 0, 1, 2, . . .}
I
racionais:
Q=
v. 2014-7-1
p
| p, q ∈ Z, q 6= 0
q
2/8
Subconjuntos
Dado um conjunto numérico X. . .
I
. . . usa-se X∗ para denotar um subconjunto numérico sem o
zero.
I
. . . usa-se X+ para denotar um subconjunto apenas com os
números maiores ou iguais a zero.
I
. . . usa-se X− para denotar um subconjunto apenas com os
números menores ou iguais a zero.
v. 2014-7-1
3/8
Subconjuntos
Dado um conjunto numérico X. . .
I
. . . usa-se X∗ para denotar um subconjunto numérico sem o
zero.
I
. . . usa-se X+ para denotar um subconjunto apenas com os
números maiores ou iguais a zero.
I
. . . usa-se X− para denotar um subconjunto apenas com os
números menores ou iguais a zero.
Exemplos 1.
I
v. 2014-7-1
N∗ = {x ∈ N | x 6= 0} = {1, 2, . . .}
3/8
Subconjuntos
Dado um conjunto numérico X. . .
I
. . . usa-se X∗ para denotar um subconjunto numérico sem o
zero.
I
. . . usa-se X+ para denotar um subconjunto apenas com os
números maiores ou iguais a zero.
I
. . . usa-se X− para denotar um subconjunto apenas com os
números menores ou iguais a zero.
Exemplos 1.
I
N∗ = {x ∈ N | x 6= 0} = {1, 2, . . .}
I
Z+ = {x ∈ Z | x ≥ 0} = {0, 1, 2, . . .}
v. 2014-7-1
3/8
Subconjuntos
Dado um conjunto numérico X. . .
I
. . . usa-se X∗ para denotar um subconjunto numérico sem o
zero.
I
. . . usa-se X+ para denotar um subconjunto apenas com os
números maiores ou iguais a zero.
I
. . . usa-se X− para denotar um subconjunto apenas com os
números menores ou iguais a zero.
Exemplos 1.
I
N∗ = {x ∈ N | x 6= 0} = {1, 2, . . .}
I
Z+ = {x ∈ Z | x ≥ 0} = {0, 1, 2, . . .}
I
Z− = {x ∈ Z | x ≤ 0} = {. . . , −2, −1, 0}
v. 2014-7-1
3/8
Subconjuntos
Dado um conjunto numérico X. . .
I
. . . usa-se X∗ para denotar um subconjunto numérico sem o
zero.
I
. . . usa-se X+ para denotar um subconjunto apenas com os
números maiores ou iguais a zero.
I
. . . usa-se X− para denotar um subconjunto apenas com os
números menores ou iguais a zero.
Exemplos 1.
I
N∗ = {x ∈ N | x 6= 0} = {1, 2, . . .}
I
Z+ = {x ∈ Z | x ≥ 0} = {0, 1, 2, . . .}
I
Z− = {x ∈ Z | x ≤ 0} = {. . . , −2, −1, 0}
I
Z∗− =
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3/8
Subconjuntos
Dado um conjunto numérico X. . .
I
. . . usa-se X∗ para denotar um subconjunto numérico sem o
zero.
I
. . . usa-se X+ para denotar um subconjunto apenas com os
números maiores ou iguais a zero.
I
. . . usa-se X− para denotar um subconjunto apenas com os
números menores ou iguais a zero.
Exemplos 1.
I
N∗ = {x ∈ N | x 6= 0} = {1, 2, . . .}
I
Z+ = {x ∈ Z | x ≥ 0} = {0, 1, 2, . . .}
I
Z− = {x ∈ Z | x ≤ 0} = {. . . , −2, −1, 0}
I
Z∗− = {x ∈ Z | x < 0} =
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3/8
Subconjuntos
Dado um conjunto numérico X. . .
I
. . . usa-se X∗ para denotar um subconjunto numérico sem o
zero.
I
. . . usa-se X+ para denotar um subconjunto apenas com os
números maiores ou iguais a zero.
I
. . . usa-se X− para denotar um subconjunto apenas com os
números menores ou iguais a zero.
Exemplos 1.
I
N∗ = {x ∈ N | x 6= 0} = {1, 2, . . .}
I
Z+ = {x ∈ Z | x ≥ 0} = {0, 1, 2, . . .}
I
Z− = {x ∈ Z | x ≤ 0} = {. . . , −2, −1, 0}
I
Z∗− = {x ∈ Z | x < 0} = {. . . , −2, −1}
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3/8
Subconjuntos
Dado um conjunto numérico X. . .
I
. . . usa-se X∗ para denotar um subconjunto numérico sem o
zero.
I
. . . usa-se X+ para denotar um subconjunto apenas com os
números maiores ou iguais a zero.
I
. . . usa-se X− para denotar um subconjunto apenas com os
números menores ou iguais a zero.
Exemplos 1.
I
N∗ = {x ∈ N | x 6= 0} = {1, 2, . . .}
I
Z+ = {x ∈ Z | x ≥ 0} = {0, 1, 2, . . .}
I
Z− = {x ∈ Z | x ≤ 0} = {. . . , −2, −1, 0}
I
Z∗− = {x ∈ Z | x < 0} = {. . . , −2, −1}
Da mesma forma, podemos definir Z∗+ , Q∗ , Q− , Q+ , Q∗− , Q∗+ , . . .
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3/8
Soma e multiplicação
Para os conjuntos N, Z e Q estão bem definidas as operações de
soma e multiplicação, com as seguintes propriedades:
1.
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a+b =b+a
(comutatividade da soma)
4/8
Soma e multiplicação
Para os conjuntos N, Z e Q estão bem definidas as operações de
soma e multiplicação, com as seguintes propriedades:
1.
2.
v. 2014-7-1
a+b =b+a
a·b =b·a
(comutatividade da soma)
(comutatividade da multiplicação)
4/8
Soma e multiplicação
Para os conjuntos N, Z e Q estão bem definidas as operações de
soma e multiplicação, com as seguintes propriedades:
1.
2.
3.
v. 2014-7-1
a+b =b+a
a·b =b·a
(a + b) + c = a + (b + c)
(comutatividade da soma)
(comutatividade da multiplicação)
(associatividade da soma)
4/8
Soma e multiplicação
Para os conjuntos N, Z e Q estão bem definidas as operações de
soma e multiplicação, com as seguintes propriedades:
1.
2.
3.
4.
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a+b =b+a
a·b =b·a
(a + b) + c = a + (b + c)
(a · b) · c = a · (b · c)
(comutatividade da soma)
(comutatividade da multiplicação)
(associatividade da soma)
(associatividade da multiplicação)
4/8
Soma e multiplicação
Para os conjuntos N, Z e Q estão bem definidas as operações de
soma e multiplicação, com as seguintes propriedades:
1.
2.
3.
4.
5.
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a+b =b+a
a·b =b·a
(a + b) + c = a + (b + c)
(a · b) · c = a · (b · c)
0+a =a
(comutatividade da soma)
(comutatividade da multiplicação)
(associatividade da soma)
(associatividade da multiplicação)
(elemento neutro da soma)
4/8
Soma e multiplicação
Para os conjuntos N, Z e Q estão bem definidas as operações de
soma e multiplicação, com as seguintes propriedades:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
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a+b =b+a
a·b =b·a
(a + b) + c = a + (b + c)
(a · b) · c = a · (b · c)
0+a =a
1·a =a
(comutatividade da soma)
(comutatividade da multiplicação)
(associatividade da soma)
(associatividade da multiplicação)
(elemento neutro da soma)
(elemento neutro da multiplicação)
4/8
Soma e multiplicação
Para os conjuntos N, Z e Q estão bem definidas as operações de
soma e multiplicação, com as seguintes propriedades:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
v. 2014-7-1
a+b =b+a
a·b =b·a
(a + b) + c = a + (b + c)
(a · b) · c = a · (b · c)
0+a =a
1·a =a
a · (b + c) = a · b + a · c
(comutatividade da soma)
(comutatividade da multiplicação)
(associatividade da soma)
(associatividade da multiplicação)
(elemento neutro da soma)
(elemento neutro da multiplicação)
(distributividade)
4/8
Existência de Elementos Opostos e Inversos
Dado um número a:
I
v. 2014-7-1
dizemos que a0 é o oposto aditivo de a se
a + a0 = 0
5/8
Existência de Elementos Opostos e Inversos
Dado um número a:
I
dizemos que a0 é o oposto aditivo de a se
a + a0 = 0
I
se a 6= 0, dizemos que a é o inverso multiplicativo de a se
a·a =1
v. 2014-7-1
5/8
Existência de Elementos Opostos e Inversos
Dado um número a:
I
dizemos que a0 é o oposto aditivo de a se
a + a0 = 0
I
se a 6= 0, dizemos que a é o inverso multiplicativo de a se
a·a =1
Existência de opostos e inversos:
I
v. 2014-7-1
Para o conjunto N:
5/8
Existência de Elementos Opostos e Inversos
Dado um número a:
I
dizemos que a0 é o oposto aditivo de a se
a + a0 = 0
I
se a 6= 0, dizemos que a é o inverso multiplicativo de a se
a·a =1
Existência de opostos e inversos:
I
Para o conjunto N:
I
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0 é o único elemento que possui oposto
5/8
Existência de Elementos Opostos e Inversos
Dado um número a:
I
dizemos que a0 é o oposto aditivo de a se
a + a0 = 0
I
se a 6= 0, dizemos que a é o inverso multiplicativo de a se
a·a =1
Existência de opostos e inversos:
I
Para o conjunto N:
I
I
v. 2014-7-1
0 é o único elemento que possui oposto
1 é o único elemento que possui inverso
5/8
Existência de Elementos Opostos e Inversos
Dado um número a:
I
dizemos que a0 é o oposto aditivo de a se
a + a0 = 0
I
se a 6= 0, dizemos que a é o inverso multiplicativo de a se
a·a =1
Existência de opostos e inversos:
I
Para o conjunto N:
I
I
I
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0 é o único elemento que possui oposto
1 é o único elemento que possui inverso
Para o conjunto Z:
5/8
Existência de Elementos Opostos e Inversos
Dado um número a:
I
dizemos que a0 é o oposto aditivo de a se
a + a0 = 0
I
se a 6= 0, dizemos que a é o inverso multiplicativo de a se
a·a =1
Existência de opostos e inversos:
I
Para o conjunto N:
I
I
I
Para o conjunto Z:
I
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0 é o único elemento que possui oposto
1 é o único elemento que possui inverso
todo elemento possui oposto
5/8
Existência de Elementos Opostos e Inversos
Dado um número a:
I
dizemos que a0 é o oposto aditivo de a se
a + a0 = 0
I
se a 6= 0, dizemos que a é o inverso multiplicativo de a se
a·a =1
Existência de opostos e inversos:
I
Para o conjunto N:
I
I
I
Para o conjunto Z:
I
I
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0 é o único elemento que possui oposto
1 é o único elemento que possui inverso
todo elemento possui oposto
1 e −1 são os únicos que possuem inverso
5/8
Existência de Elementos Opostos e Inversos
Dado um número a:
I
dizemos que a0 é o oposto aditivo de a se
a + a0 = 0
I
se a 6= 0, dizemos que a é o inverso multiplicativo de a se
a·a =1
Existência de opostos e inversos:
I
Para o conjunto N:
I
I
I
Para o conjunto Z:
I
I
I
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0 é o único elemento que possui oposto
1 é o único elemento que possui inverso
todo elemento possui oposto
1 e −1 são os únicos que possuem inverso
Para o conjunto Q
5/8
Existência de Elementos Opostos e Inversos
Dado um número a:
I
dizemos que a0 é o oposto aditivo de a se
a + a0 = 0
I
se a 6= 0, dizemos que a é o inverso multiplicativo de a se
a·a =1
Existência de opostos e inversos:
I
Para o conjunto N:
I
I
I
Para o conjunto Z:
I
I
I
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0 é o único elemento que possui oposto
1 é o único elemento que possui inverso
todo elemento possui oposto
1 e −1 são os únicos que possuem inverso
Para o conjunto Q todo elemento possui oposto
5/8
Existência de Elementos Opostos e Inversos
Dado um número a:
I
dizemos que a0 é o oposto aditivo de a se
a + a0 = 0
I
se a 6= 0, dizemos que a é o inverso multiplicativo de a se
a·a =1
Existência de opostos e inversos:
I
Para o conjunto N:
I
I
I
Para o conjunto Z:
I
I
I
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0 é o único elemento que possui oposto
1 é o único elemento que possui inverso
todo elemento possui oposto
1 e −1 são os únicos que possuem inverso
Para o conjunto Q todo elemento possui oposto e inverso
5/8
Existência de Elementos Opostos e Inversos
Dado um número a:
I
dizemos que a0 é o oposto aditivo de a se
a + a0 = 0
I
se a 6= 0, dizemos que a é o inverso multiplicativo de a se
a·a =1
Existência de opostos e inversos:
I
Para o conjunto N:
I
I
I
Para o conjunto Z:
I
I
I
0 é o único elemento que possui oposto
1 é o único elemento que possui inverso
todo elemento possui oposto
1 e −1 são os únicos que possuem inverso
Para o conjunto Q todo elemento possui oposto e inverso
O oposto de a é denotado −a. O inverso de a é denotado a−1 .
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5/8
Potenciação
Seja a um número (natural, inteiro, racional) e n ∈ N. Definimos a
n-ésima potência de a como:
(
an =
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a · a · . . . · a (n vezes)
, se n 6= 0
6/8
Potenciação
Seja a um número (natural, inteiro, racional) e n ∈ N. Definimos a
n-ésima potência de a como:
(
an =
v. 2014-7-1
a · a · . . . · a (n vezes)
1
, se n 6= 0
, se n = 0 e a 6= 0
6/8
Potenciação
Seja a um número (natural, inteiro, racional) e n ∈ N. Definimos a
n-ésima potência de a como:
(
an =
a · a · . . . · a (n vezes)
1
, se n 6= 0
, se n = 0 e a 6= 0
Na operação de potenciação, dizemos que a é a base e n é o
expoente.
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6/8
Potenciação
Seja a um número (natural, inteiro, racional) e n ∈ N. Definimos a
n-ésima potência de a como:
(
an =
a · a · . . . · a (n vezes)
1
, se n 6= 0
, se n = 0 e a 6= 0
Na operação de potenciação, dizemos que a é a base e n é o
expoente.
Note que 00 é indeterminado! (Há motivos para não o definirmos.)
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6/8
Potenciação
Seja a um número (natural, inteiro, racional) e n ∈ N. Definimos a
n-ésima potência de a como:
(
an =
a · a · . . . · a (n vezes)
1
, se n 6= 0
, se n = 0 e a 6= 0
Na operação de potenciação, dizemos que a é a base e n é o
expoente.
Note que 00 é indeterminado! (Há motivos para não o definirmos.)
Propriedades:
1. an · am = an+m
2.
an
m
= an·m
3. (a · b)n = an · b n
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6/8
Potenciação: expoentes negativos
Seja n ∈ N. Definimos:
a−n =
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1
an
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Potenciação: expoentes negativos
Seja n ∈ N. Definimos:
a−n =
1
an
Propriedades:
5. an−m = an · a−m =
n
6.
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a
b
=
an
am
an
bn
7/8
Potenciação: expoentes negativos
Seja n ∈ N. Definimos:
a−n =
1
an
Propriedades:
5. an−m = an · a−m =
n
6.
a
b
=
an
am
an
bn
Mais adiante no curso, veremos como definir a operação potência
para expoentes racionais.
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Princípio da Indução Finita
Questão filosófica:
Em uma fileira de dominós, por que quando derrubamos o primeiro
(na direção da próxima peça), todos os demais caem?
Crédito da imagem: http://www.isallaboutmath.com/
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