6. O Campo Magnético - Moodle

6. O Campo Magnético
6.1 Introdução
Na Europa os primeiros relatos sobre as propriedades dos magnetes ou ímans,
feitos dos elementos ferro, níquel ou cobalto, ou de minerais que os contêm, como a
magnetite, atribuem-se a Thales, 6 séculos antes de Cristo. Também no oriente, na
China, se encontram abundantes referências aos magnetes desde 3 séculos antes
de Cristo.
O uso dos magnetes como bússola terá aparecido pela primeira vez na China, por
volta do século I. Este instrumento, permitindo a orientação do homem no planeta,
teve uma importância civilizacional imensa. A sua chegada à Europa está datada
provavelmente do século XII. De facto, uma vez que os pólos magnético e
geográfico não coincidem, a orientação da bússola em relação ao pólo Norte não é
perfeita, havendo um efeito importante a considerar, que se designa por declinação
magnética. Este efeito era bem conhecido na China mas só no século XV terá sido
estudado na Europa.
6.2 Pólos magnéticos. As leis qualitativas do magnetismo
Num magnete ou íman é possível destinguir dois pólos. Atendendo às propriedades
de orientação da bússola magnética, convencionou-se chamar a esses pólos de
Norte e Sul, conforme a direcção em que apontam quando suspensos por um fio ou
assentes sobre uma suspensão. Aproximando pólos de magnetes diferentes foi
possível encontrar as conhecidas leis qualitativas do magnetismo, pólos do mesmo
sinal atraem-se e pólos de sinal contrário repelem-se.
Podemos encontrar aqui alguma semelhança com a electrostática, onde ser
reconhecem dois tipos de cargas. No entanto, ao contrário da electrostática, não é
possível no magnetismo isolar um pólo Norte ou um pólo Sul. Quando se parte um
magnete, obtêm-se dois magnetes onde se voltam a reconhecer os dois pólos,
Norte e Sul. O magnetismo manifesta-se assim apenas sobre a forma de dipólos,
uma associação de um pólo Norte com um pólo Sul. Tanto quanto é dado conhecer,
ambos os pólos têm a mesma intensidade, isto é, a mesma capacidade de atrair ou
repelir outros magnetes.
Certos materiais, como o ferro e o aço, podem adquirir e perder facilmente as suas
propriedades magnéticas. Se friccionarmos uma agulha de aço com um magnete
ela adquire propriedades magnéticas. Estas propriedades perdem-se se a agula for
aquecida a cima de uma determinada temperatura ou se a agulha for martelada com
violência.
Uma bússola magnética é apenas um magnete cortado com a forma de uma agulha
e suspenso de forma que possa rodar livremente na horizontal. Para fazer uma
bússola basta magnetizar uma agulha pelo processo indicado no parágrafo anterior
e de seguida colocá-la sobre uma rolha a flutuar num recipiente com água. A agulha
irá rodar até ficar a apontar fixamente numa dada direcção. Sabemos hoje que a
bússola magnética aponta para um ponto do Globo que se designa por pólo Norte
Cap.6-19
Magnético. As suas coordenadas aproximadas
em 2005 são (82.7ºN, 114.4ºW). Estas
coordenadas variam anualmente de forma
apreciável, de tal forma que os mapas
geográficos à escala 1:25 000 (mapas militares)
indicam no seu bordo a variação angular anual
desta direcção (declinação magnética).
O funcionamento da bússola diz-nos que o
Globo é um imenso magnete, como reconheceu
William Gilbert (1544-1603). Por outro lado as
leis qualitativas do magnetismo dizem-nos que,
se o interior do Globo é um íman, então o seu
pólo Sul está próximo do pólo Norte Geográfico
e vice-versa, é o pólo Norte do íman terrestre
que está próximo do pólo Sul geográfico (figura 19).
6.3 Linhas de força do campo magnético.
As causas do magnetismo
As linhas de força do campo magnético
gerado por magnete paralelepipédico pode
ser facilmente visualizado usando limalha de
ferro. As pequenas aparas de ferro ficam
facilmente magnetizadas pela proximidade
do íman e adquirem então uma orientação
paralela à do campo magnético (figura 20).
Por convenção, as linhas de força do campo
magnético saem do pólo Norte e entram no
pólo Sul, como se ilustra na figura 20. Isto é,
o campo magnético aponta sempre para o
pólo Sul do magnete.
As causas da interacção magnética
permaneceram misteriosas até que no
século XIX Oersted e Ampère descobriram
que a corrente eléctrica tinha efeitos
magnéticos. Numa primeira experiência,
aproximando uma agulha magnética de um
fio onde circula corrente eléctrica contínua é
possível observar que a agulha se desvia. O
efeito cessa assim que a corrente eléctrica é
desligada. Isto é, a passagem da corrente
eléctrica cria um campo magnético (figura
21).
Cap.6-20
Numa segunda experiência, estudou-se a
interacção entre dois fios paralelos onde
circula a corrente eléctrica (figura 22).
Verificou-se que fios onde a corrente tem o
mesmo sentido se atraem enquanto que fios
com correntes em sentido contrário se
repelem.
Esta última experiência mostrou um
segundo facto notável da interacção
magnética. Não só o magnetismo é gerado
por cargas em movimento como também
actua
sobre
cargas
eléctricas
em
movimento. Estava assim descoberta a
causa do magnetismo. A interacção
magnética resulta da cargas eléctricas em
movimento.
No caso do planeta Terra, a causa do seu
campo magnético interno deve ser similar.
Hoje admite-se que o campo magnético
terrestre tem a sua origem em correntes
eléctricas no seu núcleo externo, provavelmente associadas a correntes de
convecção que possam aí ocorrer.
6.4 Acção do campo magnético sobre cargas em movimento. Força de Laplace
Ao contrário do que fizemos anteriormente para o campo eléctrico e gravitacional,
onde começámos por definir quantitativamente as leis que regem as interacções,
antes de definir os vectores campo, vamos neste caso começar por assumir que a
interacção magnética se caracteriza por um vector, o vector campo magnético
representado por . No sistema internacional de unidades, a unidade de campo
magnético é o tesla,
−
−
=
Conhecido o valor do campo magnético, então uma carga eléctrica de valor , que
se desloque no espaço com uma velocidade , fica sujeita à acção de uma força, a
força de Laplace, cuja expressão é dada por
= ×
Pelas propriedades do produto externo, podemos inferir as propriedades do vector
força em termos do seu módulo, direcção e sentido. Se for θ o ângulo que os
vectores e
fazem entre si, então o módulo da força de Laplace vale
=
θ
A força de Laplace será nula se os vectores forem paralelos e terá o seu módulo
máximo quando eles forem perpendiculares. A direcção da força de Laplace é
perpendicular ao plano definido pelos vectores
e
. O sentido da força de
Laplace será dado pela regra do saca-rolhas (ou da mão dirfeita) aplicada aos
Cap.6-21
vectores
negativa.
e
, se a carga for positiva, e terá o sentido contrário, se a carga for
6.4 Movimento de cargas eléctricas num campo magnético uniforme
Consideremos
a
situação
descrita na figura 23, onde numa
certa região do espaço se
estabeleceu
um
campo
magnético uniforme. As linhas de
força desse campo magnético
são perpendiculares ao plano da
figura e por isso se representam
por
círculos.
Segundo
a
convenção da “seta do índio”, um
ponto no meio do círculo significa
que o campo aponta para fora do
plano da figura (como uma seta
vista de frente). Se o campo
estivesse para dentro do plano
da figura, veríamos as penas da
seta que seriam representadas
por uma cruz no interior do círculo.
Na base desta região incide um feixe de partículas neutras e carregadas
positivamente e negativamente, animadas da velocidade . Como se vê pela figura,
umas partículas são desviadas para a direita, outras para a esquerda e ainda outras
seguem uma trajectória rectilínea sem desvio. Este último caso é o mais fácil de
explicar. O campo magnético só actua sobre cargas não nulas em movimento, por
isso o feixe que tem uma trajectória rectilínea é formado pelas partículas neutras.
Relativamente às partículas com carga positiva, elas são desviadas para a direita.
Para o perceber, vamos representar a velocidade e a força que actuam uma
partícula no ponto P1. A força, pelas regras do produto externo, deve ter o sentido
indicado na figura e deve ser sempre perpendicular à velocidade. Por isso esta força
fará sempre a trajectória da partícula desviar-se para a direita.
Para uma partícula negativa, como se mostra no ponto P2, a força tem o sentido
contrário ao do produto externo e por isso ela fará desviar as cargas negativas
sempre para a sua esquerda.
Com a disposição dos vectores indicada na figura 23 vemos que a força é sempre
perpendicular à velocidade, em qualquer das situações em que a carga não é nula.
isto significa que a força de Laplace não pode alterar o módulo do vector velocidade,
mas apenas a sua direcção e sentido. Por outro lado como o campo é uniforme e a
velocidade é constante, então o módulo da força magnética também será sempre
constante. O movimento que as partículas têm, sujeitas a uma força constante e
perpendicular à trajectória é um movimento circular uniforme de raio .
Cap.6-22
Aplicando a 2ª lei de Newton podemos escrever
=
→
=
Daqui deduzimos o valor do raio da trajectória
=
Se o feixe de partículas for formado por iões com a mesma carga e massa, então o
dispositivo da figura 23 funciona como um discriminador de velocidades, pois o raio
da trajectória será proporcional à velocidade de cada ião
=
→
∝
Se, por outro lado, o feixe for formado por partículas com a mesma velocidade e
carga, então o dispositivo da figura funciona como um discriminador de massa, uma
vez que o raio da trajectória é proporcional à massa da partícula
=
→
∝
Como iremos ver mais adiante, este dispositivo é um dos elementos essenciais no
funcionamento de um espectrómetro de massa que tem, hoje em dia, uma grande
aplicação em Geologia.
6.5 Acção do campo magnético sobre a corrente eléctrica
Como vimos anteriormente, a corrente eléctrica que atravessa um fio é
caracterizada pela grandeza intensidade de corrente, que representa a quantidade
de carga que flui no circuito por unidade de tempo,
=
Por outro lado, se as cargas estiverem animadas de uma velocidade
unidade de tempo elas percorrem uma distância
de tal forma que
, então na
=
Se representarmos a força de Laplace elementar
que actua sobre o elemento de
carga
obtemos a expressão
=
×
Usando primeiro a expressão da velocidade e depois da intensidade de corrente,
podemos obter
=
×
=
×
=
×
→
=
×
Esta é a força que actua apenas sobre um pequeno pedaço elementar de fio. Se
quisermos calcular a força que actua sobre um fio finito de comprimento , então
temos de calcular o integral da expressão anterior, ao longo de todo o fio
=
×
Cap.6-23
Se o fio for paralelo ao campo magnético, então pelas propriedades do produto
externo a força magnética é nula. Se o fio for exactamente perpendicular ao campo
magnético então a força magnética actua sobre um fio finito de comprimento tem
de módulo
= ×
→
=
O sentido desta força é, mais uma vez, dado pela regra do saca-rolhas (ou da mão
direita).
O
motor
eléctrico,
representado em esquema na
figura 24, é um exemplo
simples de aplicação da lei
que acabámos de ver. O motor
é formado por um par de
magnetes com os pólos Norte
e Sul apontando um para o
outro. por simplicidade vamos
admitir
que
o
campo
magnético que se estabelece
entre os ímans é uniforme com
as linhas de força indicadas na figura. No interior do campo magnético temos uma
espira de fio rectangular onde circula a corrente eléctrica, de acordo com o sentido
indicado na figura. A espira é formada por 4 segmentos, numerados de 1 a 4. Nos
segmentos 2 e 4 a corrente eléctrica é paralela ao campo magnético e por isso a
força é nula. Nos segmentos 1 e 3 as forças são perpendiculares à espira e têm o
sentido indicado na figura. Como a corrente e o campo são os mesmos em 1 e 3, o
e
forma assim um binário, cujo
módulo destas forças é igual. O par de forças
efeito é o de fazer rodar a espira no sentido contrário ao do ponteiro dos relógios. O
comutador formado por dois contactos semicirculares garante que na espira nunca
há inversão da corrente eléctrica e por isso o binário provoca uma rotação sempre
no mesmo sentido, como se deseja num motor eléctrico.
6.6 Acção do campo eléctrico e magnético sobre uma carga em movimento.
Força de Lorentz
Quando uma carga eléctrica se encontra em movimento com velocidade
no
interior de um campo magnético
e também de um campo eléctrico
então essa
carga sofre a acção simultânea de ambos os campos. A força resultante é
designada por força de Lorentz:
=
+ × =
+ ×
A situação da figura 25 descreve um dispositivo, que se pode chamar selector de
velocidades, onde cargas eléctricas sofrem a acção simultânea de um campo
eléctrico e magnético que são perpendiculares. O campo magnético
é uniforme e
aponta para dentro do plano da figura, como mostram as linhas de força
representadas por uma “seta de índio” vista de trás. O campo eléctrico
também é
uniforme e encontra-se estabelecido por duas placas paralelas a potenciais distintos
Cap.6-24
V1 e V2, situados a uma distância . As
linhas de força do campo eléctrico são
horizontais, da esquerda para a direita,
o que indica que o potencial V1 está
>
positivo em relação a V2,
. O
módulo do campo eléctrico é dado
então em função da diferença de
potencial entre as placas,
−
= =
=
Consideremos então um feixe de
partículas carregadas positivamente
que
incidem
verticalmente
no
dispositivo, com velocidade , como
se mostra na figura. No ponto
indicado, a partícula estará sujeita à
acção de uma força magnética
e de uma força eléctrica
indicados na figura
= ×
→
=
=
→
, com os sentidos
=
Para que o feixe de partículas não sofra deflexão, é necessário que a força total seja
nula,
+
=
→
−
=
→
=
Esta última igualdade só se verifica se a velocidade das partículas for exactamente
dada pela expressão
=
→
=
=
→
=
A velocidade que é seleccionada não depende da carga eléctrica nem do seu sinal,
nem depende da massa das partículas. Apenas depende dos valores dos dois
campos aplicados. Por isso este dispositivo funciona como um selector de
velocidades.
6.7 Princípio de funcionamento de um espectrómetro de massa
O espectrómetro de massa é um aparelho de funcionamento na prática bastante
complexo mas cujos princípios de funcionamento são bastante simples e resultam
daquilo que já foi exposto sobre a acção dos campos eléctrico e magnético sobre
cargas. O espectrómetro de massa permite determinar a composição isotópica dos
elementos que compõem um determinado mineral, algo que não é possível fazer por
separação química ou numa micro-sonda. A composição isotópica tem hoje em dia
imensa importância em Geologia, e não só, pois ela permite-nos proceder à datação
de rochas, à determinação dos reservatórios químicos que originam as rochas
ígneas, determinação das condições paleo-ambientais, etc.
Um espectrómetro de massa é formado essencialmente por três elementos: i) a
câmara de ionização; ii) um acelerador linear; iii) o discriminador de massa
Cap.6-25
propriamente dito. Um esquema do
espectrómetro de massa está ilustrado
na figura 26.
Na câmara de ionização procede-se à
ionização do elemento ou mineral que
se pretende analisar. Esta ionização
pode
ser
feita
mediante
um
bombardeamento por um feixe de
electrões. Formam-se assim um
conjunto de iões positivos animados
de uma velocidade que podemos
desprezar. À saída da câmara de
ionização
consideramos
que
a
velocidade dos iões é nula, como se
indica na figura.
De seguida, estes iões são acelerados
através da aplicação de um potencial
eléctrico. Na figura está representado
um acelerador linear. Para os iões
positivos serem acelerados torna-se
necessário que a placa C2 esteja a um
potencial muito negativo relativamente
<< . No trajecto dos iões entre as placas C1 e C2 vamos desprezar
à placa C1,
a acção do peso. O trajecto processa-se no vazio e por isso não há atrito. Devemos
então ter conservação de energia mecânica entre C1 e C2. Em C1 apenas temos
energia potencial eléctrica, enquanto que em C2 temos energia potencial eléctrica e
energia cinética,
−
=
→
=
+
→
=
A velocidade à saída do acelerador tem assim o valor
=
Estes iões com esta velocidade entram agora no discriminador de massa onde
existe um campo magnético uniforme perpendicular ao plano da figura. Como já
vimos anteriormente, nestas circunstâncias as cargas positivas vão ter um
movimento circular uniforme desviado para a direita, como se indica na figura. O raio
desta trajectória foi calculado anteriormente e a distância a que as partículas
embatem no alvo é apenas o dobro do raio,
=
=
Usando a expressão da velocidade à saída do acelerador, obtida anteriormente,
obtemos então
=
=
=
=
Isto é, a distância apenas depende da massa da partícula (para iões com a mesma
carga).
Cap.6-26
6.8 Campo magnético produzido por uma corrente eléctrica. Lei de Biot-Savart
Vamos finalmente apresentar a lei que
relaciona o campo magnético
com
as suas causas, nomeadamente a
passagem da corrente eléctrica num
fio. Consideremos então um elemento
de circuito eléctrico de comprimento
, onde passa uma corrente de
intensidade , como se mostra na
figura 27. O campo elementar
que
é produzido no ponto P à distância
do elemento de circuito é dado pela lei
de Biot-Savart
×
=
A constante de proporcionalidade que aparece nesta lei é uma propriedade material
e no vazio vale
=
µ
=
π
−
−
µ0 representa a permeabilidade magnética do vazio. A direcção e sentido deste
campo elementar são dadas pelas regras do produto externo. Quanto ao módulo do
campo, se for θ o ângulo entre o fio e o vector posição, teremos
=
θ
Repare-se que obtemos de novo uma lei que varia com o quadrado da distância,
como já se tinha no campo eléctrico e campo gravítico
=
=
Esta analogia sublinha o facto já notado antes que as causas da interacção eléctrica
são cargas eléctricas em movimento.
Se
tivermos
um
fio
de
comprimento
onde circula uma
corrente , então o campo total
num ponto P do espaço deve ser
obtido pelo integral do campo
elementar aplicado a todos os
pontos do fio
×
=
=
Este integral pode ser calculado
de forma simples para alguns
casos particulares. Seja por
exemplo o caso de um fio
rectilíneo onde circula uma
corrente de intensidade , como
Cap.6-27
se indica na figura 28. Neste caso, se o fio for considerado infinito, é possível
determinar que o campo magnético a uma distância do fio tem uma intensidade
dada pela expressão
=
µ
π
As linhas de força deste campo são círcunferências em torno do fio (figura 28) e o
seu sentido é dado pela regra da mão direita. Como se mostra na figura devemos
rodear o fio com a mão direita, de forma que o polegar indique o sentido da corrente
eléctrica. O sentido das linhas de força é dado pela curvatura dos restantes dedos
da mão direita.
Desta forma já é possível
entender o resultado das
experiências efectuadas com
fios paralelos atravessados por
corrente
eléctrica.
Esta
situação encontra-se ilustrada
na figura 29. Fios com a
corrente no mesmo sentido
atraem-se, mas fios com
corrente em sentido contrário repelem-se. Esta força é bastante diminuta e é
necessário um dispositivo experimental cuidado para a pôr em evidência.
Uma outra situação que importa referir é
o caso do campo magnético produzido
por uma espira de corrente, como se
ilustra na figura 30. As linhas de força do
campo
que
se
estabelecem-se
assemelham-se muito às geradas por um
pequeno íman. De facto, a grande
distância, o campo magnético de uma
espira é idêntico ao campo magnético
produzido por um magnete com um pólo
Norte e um pólo Sul. Podemos assim
dizer
que
o
campo
magnético
macroscópico observado em muitos
materiais se deve à sobreposição do
campo magnético gerado por um grande
número de espiras microscópicas.
Exactamente no centro da espira de raio
, a intensidade do campo magnético
tem uma expressão simples dada por
=
µ
Cap.6-28
Para caracterizar a capacidade de uma espira
em gerar um campo magnético, introduzimos
uma nova grandeza física designada por
momento magnético da espira. Esta grandeza
define-se em termos da intensidade de corrente
que atravessa a espira e da sua área. Sendo
uma grandeza vectorial, a direcção e sentido do
momento magnético são os mesmos do vector
superfície, definido na figura 31. A direcção é
perpendicular ao plano da espira e o sentido é
dado pela regra da mão direita. Os dedos
acompanham a corrente na espira e o polegar
. O momento
dá o sentido do vector
magnético de uma espira define-se então por
=
No sistema internacional de unidades o momento magnético exprime-se em
Com esta definição, o módulo do campo magnético exactamente no centro da
espira passa a valer
=
µ
π
6.9 O campo magnético dipolar. Lei fundamental do paleomagnetismo
O campo magnético que se observa à superfície da Terra tem na sua maioria uma
origem interna e pode ser descrito em primeira aproximação como um campo
dipolar. Isto é, tudo se passa como se no centro do planeta existisse um dipólo
magnético de momento magnético
a gerar esse campo.
O
sistema
de
coordenadas
adequado a estudar este campo
está indicado na figura 32. A
posição de um ponto P à superfície
da Terra e a uma distância R do
seu centro é dada pelo ângulo θ,
designado por co-latitude. Num
Globo em que os pólos magnético
e geográfico coincidissem, a
latitude e a co-latitude devem
somar 90º
θ +λ =
O sistema de eixos no ponto P tem
dois versores, um radial apontando
para fora do centro da Terra e um
meridional, apontando no sentido
dos ângulos θ crescentes.
Cap.6-29
Neste sistema de eixos, o campo magnético dipolar tem a expressão
=−
µ
π
θ
θ
=−
µ
π
θ
Em magnetismo terrestre a componente vertical do campo magnético é
habitualmente identificada pela letra , a componente horizontal pela letra
e o
módulo do campo magnético pela letra ,
=
=
+
θ
=
µ
π
(
θ )=
θ+
Actualmente, o momento magnético
aproximadamente !"×#$ % .
do
µ
π
(+
campo
dipolar
θ)
terrestre
vale
A inclinação do campo magnético no ponto P é o ângulo que esse vector faz com a
horizontal. Conhecendo as componentes
e θ que formam os catetos de um
triângulo rectângulo, a função trigonométrica que podemos calcular da inclinação é
a sua tangente
=
=
θ
Esta equação
θ
=
θ
=
θ=
λ
λ
é a equação fundamental do Paleomagnetismo. Através da medição da
inclinação do campo magnético terrestre, memorizado nas rochas na altura da sua
formação, é possível conhecer a paleo-latitude do lugar em que se deu a formação
da rocha. Este conhecimento é fundamental, sobretudo para as rochas mais
antigas, pois devemos recordar que os oceanos mais antigos têm apenas 180
milhões de anos. As reconstituições tectónicas para idades mais antigas têm de ser
feitas com base na informação fornecida pelo Paleomagnetismo e também pelo
estudo dos paleo-ambientes.
Cap.6-30