prova 4 - Escola Carlos Nabais

PROVA 4
Exercício 1:
Considere um consumidor cuja função de utilidade pode ser descrita por:
U ( x, y ) 
xy
,
x y
onde x e y representam as quantidades consumidas de cada bem. Os preços dos bens são
1 e 4, respectivamente. O rendimento é igual a 45.
a) Quais as quantidades que o indivíduo desejará consumir de cada bem? (Cotação: 2
valores)
Resolução: As quantidades a consumir resultam de:
xy
Max
 45  x  4 y  ,
x y
de onde decorre:
 y x  y   xy
 0

2
 x  y 
 xx  y   xy
 y  7.5
.
 4  0  

2
 x  15
 x  y 
45  x  4 y  0


O indivíduo deve consumir 15 unidades de x e 7.5 unidades de y.
b) Suponha que o preço do bem x aumentava para 4. Qual o impacto sobre o cabaz
óptimo de consumo? Os bens são substitutos ou complementos? (Cotação: 1.5 valores)
ou seja:
 y x  y   xy
 4  0

2
 x  y 
 xx  y   xy
 y  5.625
. Resolução: Se o preço do bem x aumentar para 4 o
 4  0  

2
 x  5.625
 x  y 
45  x  4 y  0


novo cabaz óptimo de consumo será o que permita resolver:
xy
Max
 45  4 x  4 y  ,
x y
1/7
O indivíduo deve consumir 5.625 unidades de cada bem. O consumo do bem y
diminuiu, em resposta ao aumento do preço do bem x, contudo isso não significa que os
bens sejam complementares, na medida em que a variação do preço de x não foi
infinitesimal. Não podemos portanto dizer nada sobre a relação de substituibilidadecomplementaridade entre os bens, necessitando de determinar as curvas de procura.
c) Determine a curva de procura de cada bem para este consumidor? (Cotação: 1.5
valores)
Resolução: As curvas de procura dos bens resultam de:
xy
Max
 45  p x x  p y y ,
x y
conduzindo a:
M

y
 y x  y   xy

 p x  0


2
p x 

p y 1 
 x  y 


p y 
 xx  y   xy


.


p

0



y
2
M
 x  y 
x 
M  p x  p y  0


p y 
x
y


p x 1 


px 




Agora podemos através da derivada preço cruzada ver se os bens são substitutos ou
complementares. Por exemplo,
2M p x
x

0,
2
p y


py 
p x2 1 
py

px 


ou seja os bens são substitutos.


Exercício 2:
O Sr. Rogério produz um bem (x) que é vendido a retalhistas que o colocam à venda no
mercado. A produção deste bem envolve custos totais que podem ser descritos pela
expressão CT(x,K)  0.05x 3  1.45x 2  ( 14.25  K)x  5K 2 onde x é a produção e K a
capacidade instalada.
a) Sabendo que a expressão acima representa uma família de curvas de custos totais de
curto-prazo determine o efeito de uma variação de K nos custos variáveis e nos custos
fixos. Verifique que a curva de custos totais de longo-prazo é descrita por
CT ( x)  0.05x 3  1.5x 2  14.25x . (Cotação: 1.5 valores)
2/7
Resolução: O efeito de uma variação de K nos custos variáveis e fixo é:
CV
Custo variável:
  x , o aumento do factor fixo implica uma diminuição do custo
K
variável igual ao número de unidades produzidas;
CF
Custo fixo:
 10 K , o aumento do factor fixo implica um aumento do custo fixo
K
igual ao decuplo da capacidade instalada.
Para determinar o custo total de longo prazo determina-se a capacidade óptima:
CT CP
 0  K  0.1x ,
K
e substitui-se na função de custo de curto prazo, para obter:
CT (q)  0.05 x 3  1.5x 2  14.25 x .
b) Dado que o Sr. Rogério produz ao nível mínimo do seu custo médio de longo prazo,
determine a quantidade de x produzida. Será que nesse ponto existem economias de
escala? (Cotação: 1 valor)
Resolução: A quantidade de q produzida é igual a 15, não existindo neste ponto economias ou
deseconomias de escala.
c) O Sr. Rogério vende o seu produto x aos retalhistas a um preço de 50. Estes por sua
vez colocam-no à venda no mercado a um preço de 60. Enquanto consumidor, o Sr.
 3 
Rogério tem um nível de utilidade descrito pela função U ( x, y)  2 min 3x, y  , que
 2 
depende quer do consumo de x, quer do consumo de um outro bem, y, que pode adquirir
ao preço de 25. O único rendimento do Sr. Rogério é o proveniente dos lucros da
empresa que produz x.
i) Verifique que a restrição orçamental é dada pela expressão y  28.2  2 x .
Represente-a graficamente e interprete-a. (Cotação: 1 valor)
Resolução: A restrição orçamental pode ser escrita por:
25 y  5015  x  45 ,
onde x e y são as quantidades consumidas de cada bem e 45 é o custo total de
produzir 15 unidades de x. Rescrevendo-a, obtemos a expressão indicada na
questão, cuja representação gráfica é a seguinte:
3/7
30
25
y
20
15
10
5
0
0
5
10
15
x
ii) Calcule as quantidades consumidas pelo Sr. Rogério de x e de y, a
quantidade vendida do bem x, o rendimento (lucro) e o nível de utilidade
alcançada. Represente o cabaz óptimo graficamente. (Cotação: 1 valor)
Resolução: Tendo em conta a função de utilidade ter-se-á:
3

 x  7.05
3x  y
,

2

y  14.1


 y  28.2  2 x
pelo que se venderão 7.95 unidades de x, o rendimento será 352.2 e o nível de
utilidade será 42.3. Esta situação está representada no seguinte gráfico:
30
25
y
20
15
10
5
0
0
5
10
15
x
iii) Suponha que o governo criava um imposto sobre os lucros de 10%.
Explique, sem tornar a resolver de novo o problema de maximização, quais
serão os novos valores de consumo de ambos os bens. Em quanto é que teria
de aumentar o preço de venda do bem x para que o Sr. Rogério mantivesse o
mesmo nível de lucro. (Cotação: 1 valor)
Resolução: Mantendo-se o preço, o lucro reduzir-se-ia em 10%, pelo que o consumo de
cada bem também se reduziria em 10%, isto é:
4/7
 x  6.345
.

 y  12.69
O lucro só se manteria se o preço de X aumentasse para 59.43 (isto é 9.85%).
Exercício 3:
Uma dada empresa produz para dois mercados com curvas de procura Q1  16  2P1 e
Q2  10  P2 . A sua tecnologia pode ser descrita pela função de custos C (Q ) 
1 2
Q .
2
a) Suponha que os dois mercados são completamente segmentados. Quais os preços que
deverão ser praticados em cada mercado e as quantidades vendidas? (Cotação: 1 valor)
Resolução: Sendo os mercados segmentados, pode maximizar-se o lucro global resolvendo:
1 
1

2
Max  8  q1 q1  10  q 2 q 2  q1  q 2  ,
2 
2

e as quantidades óptimas serão:
8  q1  q1  q 2
q  2.8
 1

.
10  2q 2  q1  q 2
q 2  2.4
Uma dada empresa produz para dois mercados com curvas de procura p1  6.6 e
p 2  7 .6 .
b) Suponha agora que não é possível praticar preços distintos entre os mercados. Qual o
preço que deveria ser praticado e que quantidades seriam vendidas em cada mercado.
Comente e explique o resultado. (Cotação: 1 valor)
Resolução: Não sendo possível praticar preços distintos começamos por agregar as curvas de
procura dos dois mercados para obter Q  26  3 p . A quantidade total a ser produzida
será então a que resolve o problema:
1
 26 1 
Max   Q Q  Q 2 ,
2
 3 3 
ou seja:
26 2
26
 QQQ
.
3 3
5
104
32
O preço será p 
e as quantidades vendidas em cada mercado serão q1 
e
15
15
46
.
q2 
15
5/7
c) Suponha agora que era possível utilizar preços não lineares (como tarifas de duas
partes ou descontos de quantidade) para criar diferenças entre os dois mercados. Qual a
estrutura do mecanismo óptimo? (Cotação: 1.5 valores)
Resolução: Vamos continuar a manter a hipótese de que os mercados são segmentados. A
possibilidade de utilizar tarifas de duas partes ou descontos depende da estrutura da
procura em cada mercado. Em certas condições, pode ser possível extrair todo o
excedente dos consumidores, situação em que se transaccionarão quantidades tais que:
 1
q1  3
8  q1  q1  q 2


2

7.
10  q 2  q1  q 2
q 2  2
Esta solução pode alcançar-se com tarifas de duas partes em que cada unidade custa 6.5
e a tarifa fixa varia entre os mercados:

1 
13 
9

F1 
 F1  2   8  2   3





4


.
 F  1  10  13   7
 F  49
 2 8
 2 2 
2 2
d) Admita que uma nova empresa entrava nestes mercados. Esta nova empresa tem a
mesma estrutura de custos da empresa já instalada. As empresas escolherão
simultaneamente as quantidades globais a vender, distribuindo-as depois pelos dois
mercados por forma a que o preço em ambos os mercados seja o mesmo. Determine o
equilíbrio de Nash deste jogo. Calcule o lucro de cada empresa. (Cotação: 1.5 valores)
Resolução: Se o preço final será o mesmo em cada mercado, o problema pode ser tratado com
um jogo estático em que as empresas escolhem simultaneamente as quantidades
(globais) a produzir de um bem homogéneo. A função objectivo será:
2
1
 26 1

Max   Q A  Q B Q A  Q A ,
2
 3 3

pelo que a função de reacção resulta de:
26  Q B
26 2 A 1 B
 Q  Q QA  0  QA 
.
3 3
3
5
13
O equilíbrio de Nash obtém-se então com Q A  Q B  , pelo que o preço será
3
20
52
e
p  , e a produção será dividida pelos mercados de forma a ter q1A  q1B 
9
9
19
q 2A  q 2B  .
9


6/7
Exercício 4:
Responda brevemente (não mais de uma página por questão) às seguintes questões.
a) Dê exemplo de dois tipos de investimentos específicos e descreva a forma como estes
afectam a actividade das empresas. (Cotação: 1.5 valores)
Resolução:
b) Descreva os diversos tipos de problemas de informação assimétrica e quais as suas
consequências para o funcionamento dos mercados. (Cotação: 1.5 valores)
Resolução: A informação assimétrica pode ser resultar de os agentes terem diferentes tipos de
informação (selecção adversa e sinalização) ou de as acções escolhidas por uns agentes
(e sua adequação) não serem observáveis por outros (risco moral). Em qualquer dos
casos o aspecto mais importante da existência de assimetria de informação é o da
introdução de ineficiências no funcionamento dos mercados.
c) Um monopolista maximizador do lucro que tenha duas fábricas com a mesma função
de custos em cada fábrica, deve produzir a mesma quantidade em cada fábrica.
Comente. (Cotação: 1.5 valores)
Resolução: A afirmação é correcta se os custos marginais forem sempre crescentes. Se os
custos marginais forem constantes é irrelevante a forma como se distribui a produção
pelas duas fábricas. Se os custos marginais forem decrescentes, deve produzir-se apenas
numa fábrica.
7/7