1) Conceito de Força e Campo

Laboratório de Eletromagnetismo
Airton Ramos
Roteiros das Atividades Práticas no
Laboratório de Eletromagnetismo Básico
Sumário
1) Medição de impedância elétrica; (pag. 1)
2) Obtenção e análise do espectro de impedância; (pag.6)
3) Análise dielétrica de materiais isolantes; (pag.11)
4) Medição do espectro de um sinal; (pag. 14)
5) Medição de campo magnético; (pag. 20)
6) Curva de magnetização de núcleos magnéticos; (pag.24)
7) Geração e recepção de ondas eletromagnéticas; (pag.27)
8) Cálculo de campo com o método das diferenças finitas. (pag.32)
1 ) Medição de impedância elétrica
Este roteiro de atividade prática no Laboratório de Eletromagnetismo apresenta os
procedimentos de medição de corrente e diferença de potencial elétrica usando osciloscópio e sondas
de tensão e corrente com a finalidade de obtenção da impedância elétrica de componentes de circuito
elétrico como resistor, capacitor e indutor.
Realizar medidas elétricas confiáveis é pré-requisito para a avaliação experimental de
fenômenos eletromagnéticos. Com o uso de osciloscópio é possível realizar medidas de tensão e
corrente elétrica variáveis no tempo. Quando essas medidas são realizadas sobre um componente de
um sistema eletromagnético, é possível avaliar a sua impedância a partir dos resultados obtidos. A
impedância está diretamente ligada às propriedades eletromagnéticas dos materiais com os quais o
dispositivo é feito e depende também de sua forma geométrica e dimensões. Um esquema de
medição da impedância de um componente é mostrado na Figura 1. Um gerador de tensão senoidal é
ligado ao dispositivo através de um cabo. Uma sonda de tensão é conectada em paralelo e uma sonda
de corrente é conectada em série com os terminais do dispositivo. Para obter a impedância é
necessário realizar três medidas: a amplitude da tensão (Vp), a amplitude da corrente (Ip) e a
defasagem entre corrente e tensão (). A Figura mostra 2 mostra estes valores em um gráfico de sinais
senoidais no tempo. A impedância é calculada na seguinte forma:
Z
Vp
Ip
e j  R  jX
(1)
1
Laboratório de Eletromagnetismo
Airton Ramos
Onde R e X são a resistência e a reatância, respectivamente, do dispositivo. Usando a fórmula de
Euler obtemos facilmente as seguintes relações:
R  Z cos()
(2)
X  Z sen()
Figura 1 – Montagem para medição da impedância de um dispositivo.
Figura 2 – Formas de onda de tensão e corrente senoidais.
Os equipamentos a serem utilizados nesta atividade prática são:
Gerador de sinais TTi modelo TG2000;
Osciloscópio Tektronics modelo TDS 2024B;
Ponteira de Corrente Tektronix Modelo P6022;
Ponteira de Corrente Tektronix Modelo A622;
Ponteira de tensão Tektronics modelo P2022.
Os equipamentos devem ser conectados conforme Figura 1. Os dispositivos em teste são:
2
Laboratório de Eletromagnetismo
Airton Ramos
 Um resistor de resistência nominal 100 ;
 Um indutor de indutância nominal 470 H;
 Um capacitor de capacitância nominal 470 nF.
As medições para o resistor devem ser realizadas de acordo com a Tabela 1. Os valores
medidos serão lidos diretamente no menu lateral de medição do osciloscópio. Utilizar a leitura de
valor rms, pois são mais estáveis que os valores instantâneos. O gerador deve ser ajustado para
impedância de saída de 50 , impedância de carga de 50  e amplitude 10 Vpp.
Tabela 1 - Medição de resistor de 100 
f
Vm
Im

Vm/Im
(Hz)
(V)
(mA)
(rad)
()
Sonda 622
100
1k
10 k
100 k
Sonda 6022
100 k
1M
10 M
20 M
Analise os dados da Tabela 1 e responda:
 Explique a origem das defasagens.
 O valor de Vc/Ic é compatível com o valor nominal do resistor?
 Quais as possíveis causas das diferenças entre os valores medidos e o valor nominal?
As medições para o capacitor e indutor devem ser realizadas de acordo com as Tabelas 2 e 3.
3
Laboratório de Eletromagnetismo
Airton Ramos
Tabela 2 - Medição de capacitor de 470 nF
f (Hz)
Vm (V)
Im (mA)
 (rad)
(Im/Vm)/2f
Sonda 622
100
1k
10 k
100 k
Sonda 6022
100 k
1M
10 M
20 M
Analise os dados da Tabela 2 e responda:
 Os valores de capacitância obtidos na quarta coluna são compatíveis com o valor
nominal?
 Os valores de defasagens são compatíveis para um capacitor? Por quê?
 Porque ocorre mudança de sinal na defasagem?
Tabela 3 – Medição de indutor de 470 H
f (Hz)
Vm (V)
Im (mA)
 (rad)
(Vm/Im)/2f
Sonda 622
100
1k
10 k
100 k
Sonda 6022
100 k
1M
10 M
20 M
4
Laboratório de Eletromagnetismo
Airton Ramos
Analise os dados da Tabela 3 e responda:
 Os valores de indutância obtidos na quarta coluna são compatíveis com o valor
nominal?
 Os valores de defasagens são compatíveis para um indutor? Por quê?
 Porque ocorre mudança de sinal na defasagem?
Questões para avaliação:
1) Baseado nos resultados obtidos proponha uma faixa de frequência para medir resistência,
capacitância e indutância com erro mínimo com o sistema de medição usado neste
experimento.
2) Porque é necessário usar sondas de corrente diferentes para baixa e alta frequência?
3) Proponha circuitos equivalentes, ou seja, associação de resistor, capacitor e indutor que
tenha comportamento similar ao observado no experimento.
4) Considere que a precisão das medições no osciloscópio é de 3% do valor lido e que a
sonda de corrente apresenta precisão de 5% do valor lido. Estime a precisão da leitura de
resistência pelo método usado neste experimento.
5
Laboratório de Eletromagnetismo
Airton Ramos
2) Obtenção e análise do espectro de impedância
Este roteiro de atividade prática no Laboratório de Eletromagnetismo apresenta os conceitos e
métodos para obtenção e análise do espectro de impedância de elementos discretos e circuitos
elétricos.
O analisador de impedância é um instrumento de medição que fornece a impedância de um
elemento ou dispositivo através da medição simultânea de corrente e tensão aplicada nos seus
terminais em uma ampla faixa de frequências. O esquema mostrado na Figura 3 ilustra o método de
medição e a Figura 4 mostra o espectro de impedância do circuito da Figura 5. O analisador de
impedância gera internamente e disponibiliza em dois terminais uma corrente precisamente
controlada na faixa de frequências de operação do equipamento (de 40 Hz a 110 MHz para o
analisador 4294A da Agilent). Um medidor de tensão disponível entre dois outros terminais é usado
para medir a diferença de potencial elétrico na amostra. A impedância é calculada para cada uma das
frequências selecionadas a partir dos valores de tensão e corrente medidos. Gráficos de módulo e
ângulo polar da impedância são traçados na tela do analisador. Um programa de computador é
usado para fazer a aquisição dos resultados.
Figura 3 – Esquema de medição em um analisador de impedância.
O circuito mostrado na Figura 5 é constituído de dispositivos discretos (R, L e C) e reatâncias
distribuídas do suporte de amostra (Lp e Cp). A influência desses elementos parasitas na medição da
impedância pode ser compensada por meio dos testes de curto-circuito e de circuito aberto.
No espectro é possível fazer avaliações rápidas a respeito dos valores dos componentes do
circuito. Em baixa frequência a impedância é real. Então podemos verificar que a resistência R do
circuito é aproximadamente 110 . Abaixo de 20 kHz, a impedância é determinada principalmente
pela resistência e indutância. Os valores que podem ser lidos no espectro em 20 kHz são |Z| 163 
e   0,57 rad. Ignorando os demais elementos no circuito, a impedância é dada pela seguinte
expressão:
Z  R  jL
(3)
6
Laboratório de Eletromagnetismo
Airton Ramos
Figura 4 – Espetro de impedância do circuito mostrado na Figura 5 no intervalo
de frequências de 40 Hz a 40 MHz obtido com analisador 4294A da Agilent.
Figura 5 – Circuito de teste para obtenção do espectro
de impedância mostrado na Figura 4.
E a indutância pode ser estimada a partir do resultado obtido em 20 kHz:
L
Z sen 
2 f
 700 H
(4)
Considerando apenas os elementos discretos R, L e C, a impedância é obtida na seguinte
forma:
Z
R  jL
1  2LC  jRC
(5)
7
Laboratório de Eletromagnetismo
Airton Ramos
Na frequência 54 kHz o ângulo polar da impedância se anula, o que indica ressonância do
circuito. Segundo a equação (5), a ressonância ocorre na frequência dada por:
1  R 2C / L

LC
(6)
Com isso podemos estimar a capacitância:
C
L
 10nF
R 2  2 L2
(7)
Observe no espectro que ocorre outra ressonância em torno de 6,5 MHz. Isso é devido ao
acoplamento da capacitância C, que domina a impedância acima de primeira ressonância, com a
indutância série parasita Lp. A capacitância parasita Cp não tem muita influência na impedância
medida até 40 MHz. Os valores obtidos nesta análise são aproximações baseadas em informações
pontuais do espectro e modelos matemáticos simples de elementos ideais de circuito. Uma análise
mais precisa pode ser feita usando métodos computacionais para ajuste de parâmetros com modelos
mais elaborados que levem em conta os elementos não ideais dos componentes discretos e
distribuídos do circuito.
Métodos: O equipamento de medição é um analisador de impedância 4294A da Agilent. Os
dispositivos sob teste são:











Resistor de filme de carbono de 10 ;
Resistor de filme de carbono de 1 K;
Resistor de filme de carbono de 1 M;
Resistor de fio de 100 ;
Capacitor de poliéster de 470 nF;
Capacitor cerâmico de 10 nF;
Capacitor de tântalo de 10 F;
Capacitor de alumínio de 10 F;
Indutor de 470 H;
Indutor com núcleo de ferro laminado;
Indutor com núcleo toroidal de ferrite.
Os espectros de impedância fornecidos pelo analisador Agilent 4294A serão salvos em
planilhas Excel. Devem ser transformados em arquivos de texto e analisados no Programa
MatLab. Construir os gráficos de módulo e ângulo das impedâncias dos componentes
medidos.
Para realizar a análise dos espectros recomenda-se antes estudar os conteúdos das
seções 5.1, 5.2, 5.3 e 6.2 do Livro Eletromagnetismo de Airton Ramos. Considere os circuitos
equivalentes mostrados a seguir:
8
Laboratório de Eletromagnetismo
Airton Ramos
1) Resistor de baixa resistência e indutor com núcleo de ar ou núcleo magnético aberto:
2) Resistor de alta resistência:
3) Capacitor em geral:
4) Capacitor com alta capacitância e resistência série elevada (eletrolítico):
5) Indutor com núcleo magnético fechado:
Questões para avaliação:
1) Analise os espectros e obtenha os parâmetros do circuito equivalente de cada componente
medido nesta atividade.
2) Explique a origem dos efeitos parasitas nos componentes eletrônicos passivos: resistor,
capacitor e indutor.
3) Explique quais são os fenômenos físicos que tornam o espectro de impedância de um
capacitor eletrolítico tão diferente de um capacitor com dielétrico sólido (poliéster,
cerâmico).
9
Laboratório de Eletromagnetismo
Airton Ramos
4) Explique quais são os fenômenos físicos que tornam o espectro de impedância de um
indutor com núcleo magnético fechado (ferro ou ferrite) tão diferente de um indutor com
núcleo aberto.
5) Estabeleça critérios para a escolha da faixa de frequência de operação de cada um dos
componentes eletrônicos medidos nesta atividade.
10
Laboratório de Eletromagnetismo
Airton Ramos
3) Análise dielétrica de materiais isolantes
Este roteiro de atividade prática no Laboratório de Eletromagnetismo apresenta os conceitos e
métodos para obtenção da condutividade e constante dielétrica de um material através da análise do
espectro de impedância de uma amostra deste material.
A avaliação das propriedades elétricas de materiais condutivos e dielétricos pode ser realizada
através da medição e análise do espectro de impedância de uma amostra desse material na faixa de
frequências de interesse. Para isso uma amostra desse material deve ser processada ou acondicionada
em uma forma geométrica tal que sua impedância seja facilmente associada com a condutividade e
permissividade do material. Para medir a impedância com materiais dielétricos é necessário usar
eletrodos metálicos para fazer a conexão elétrica entre a amostra e o analisador de impedância. A
Figura 6 apresenta duas geometrias fáceis de serem implementadas. Nos dois casos a estrutura se
assemelha a um capacitor de placas paralelas.
Se a relação entre espaçamento e diâmetro (ou aresta) dos eletrodos é pequena, podemos
assumir que o campo elétrico é uniforme no espaço entre os eletrodos. A impedância nesse caso é
simples de calcular na seguinte forma:
Za 
d/A
  jr o
(8)
Figura 6 – Geometria dos eletrodos adequada para medição
de impedância com materiais dielétricos.
Onde d e A são o espaçamento e a área dos eletrodos, respectivamente.  e r são a
condutividade e constante dielétrica do material. Ao utilizar esta relação, estamos assumindo
também que a impedância de contato dos eletrodos com o material é desprezível em comparação
com a impedância do material, algo que nem sempre é correto. A condutividade e constante
dielétrica são facilmente obtidas a partir da equação (8) na seguinte forma:

d  1 
Re  
A  Za 
(9)
11
Laboratório de Eletromagnetismo
Airton Ramos
 1 
Im  
d
 Za 
r 
A o
(10)
Onde “Re” e “Im” são os operadores de parte real e imaginária, respectivamente.
Outra geometria que pode ser usada é o capacitor coaxial mostrado na Figura 7. A
impedância nesse caso é dada pela seguinte fórmula.
Za 
Ln  b / a 
2L    j r o 
(11)
Onde b e a são os raios dos condutores externo e interno, respectivamente, e L é o comprimento do
capacitor.
Figura 7 – Geometria do capacitor coaxial para medição
das propriedades dielétricas do isolante.
Usando a fórmula (11), a condutividade e a constante dielétrica do isolante são calculadas
segundo as equações a seguir:
Ln  b / a 
 1 
Re  
 Za 
(12)
 1 
Im  
Ln  b / a   Za 
r 
2L
o
(13)

2L
O equipamento de medição é um analisador de impedância 4294A da Agilent. Os materiais a
serem analisados são:
 água destilada;
 Isolante de placa de circuito impresso (fenolite);
 Isolante de cabo coaxial (polietileno).
12
Laboratório de Eletromagnetismo
Airton Ramos
Os espectros de impedância obtidos no analisador para cada um dos materiais citados devem
ser convertidos em arquivos texto e analisados no programa MatLab. Calcular a condutividade e a
constante dielétrica dos materiais em toda a faixa de frequências do ensaio. Construir os gráficos da
condutividade e constante dielétrica como funções da frequência.
Questões para avaliação (ver Capítulo 7 do Livro Eletromagnetismo de Airton Ramos):
1) Procure resultados publicados em bases de dados na internet sobre os materiais medidos
nesta atividade e verifique se os resultados obtidos são consistentes.
2) Explique qualitativamente os mecanismos físicos envolvidos na variação da condutividade
e da constante dielétrica com a frequência.
3) Descreva qualitativamente o fenômeno de polarização de eletrodo.
4) Avalie possíveis causas de erros na medição da impedância elétrica e na obtenção dos
espectros de condutividade e constante dielétrica.
13
Laboratório de Eletromagnetismo
Airton Ramos
4) Medição do espectro de um sinal
Um sinal elétrico pode ser medido no domínio do tempo com um osciloscópio ou medido no
domínio da frequência com um analisador de espectro. O esquema simplificado para realizar a
medição do espectro de um sinal é mostrado na Figura 8. O sistema é composto de um oscilador
local, que é um oscilador controlado por tensão (VCO), cuja tensão de controle tem a forma de uma
rampa, sendo produzida por um gerador de varredura. O sinal a ser medido é aplicado no
misturador junto com a saída do oscilador local. Esse dispositivo multiplica esses sinais gerando um
deslocamento no espectro do sinal de entrada para a posição da frequência do oscilador. Isso é
mostrado na Figura 9. O filtro de FI é um filtro sintonizado que permite que apenas uma pequena
parte do espectro do sinal de entrada apareça na sua saída. A parte do sinal que se localiza fora da
banda passante do filtro de FI é eliminada e o sinal resultante tem uma distribuição espectral bem
concentrada em torno da frequência de FI. A amplitude desse sinal filtrado é medida por um detector
sensível ao valor quase pico, valor médio ou valor eficaz desse sinal. O sinal produzido pelo gerador
de varredura também é usado para fazer a varredura horizontal da imagem na tela do analisador de
espectro. A varredura vertical é realizada pelo sinal obtido na saída do detector e assim forma-se o
espectro do sinal pelo deslocamento simultâneo do ponto de imagem no eixo horizontal (da
frequência) e no eixo vertical (da intensidade de sinal). A largura de banda do filtro de FI (Figura 8) é
chamada de banda de resolução e determina a parte do espectro do sinal que é medida. Quanto
menor for a banda de resolução com mais detalhes o espectro do sinal pode ser analisado.
Figura 8 – Esquema simplificado para obtenção do espectro de um sinal
O espectro de um sinal é representado pela distribuição de amplitudes e ângulos de fase das
componentes harmônicas desse sinal. A análise de Fourier é a ferramenta matemática que permite
14
Laboratório de Eletromagnetismo
Airton Ramos
obter as componentes espectrais de uma função. Para funções periódicas, pode-se usar a
decomposição em série de Fourier, descrita pelas equações a seguir onde o é a frequência
fundamental do sinal.
∞
f(t) = a o +  a n cos(nωo t) + b n sen(nωo t) 
n=1
T
ao =
2
f(t) dt
T 0
T
2
a n =  f(t) cos(nωo t) dt
T0
(14)
T
bn =
2
f(t) sen(nωo t) dt
T 0
Figura 9 – Representação do processo de deslocamento e filtragem do sinal
para obter a sua componente em torno da frequência de FI.
É possível obter também uma série exponencial de Fourier na seguinte forma:

f(t) =  c n e jnωo t
n=0
T
cn =
2
f(t) e-jnωo t dt

T0
(15)
15
Laboratório de Eletromagnetismo
Airton Ramos
Os coeficientes cn nesta série fornecem diretamente a amplitude e ângulo de fase de cada
componente espectral de frequência  = no do sinal. A Figura 10 mostra alguns termos da série de
Fourier de uma onda quadrada e a soma dos 10 primeiros termos ímpares. Os termos pares da onda
quadrada são todos nulos. A Figura 11 mostra o espectro de módulo da onda quadrada até a
harmônica 30.
0.8
(1)
soma de 10 harmonicas impares
0.6
sinal
Amplitude normalizada
0.4
0.2
(3)
(5)
(7)
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
Tempo (s)
0.7
0.8
0.9
1
-6
x 10
Figura 10 – Sinal onda quadrada de 1 MHz e suas componentes até sétima harmônica.
A soma até a harmônica 20 esta representada na cor vermelha.
A unidade geralmente utilizada na apresentação do espectro de um sinal é o decibel (dB). O
decibel é usado para relacionar dois valores, sendo um tomado como referência. Assim temos as
seguintes unidades:
dB referente a uma potência de 1 W
dBm referente a uma potência de 1 mW
dB referente a uma potência de 1 W
Para valores de tensão ou corrente elétrica, basta acrescentar o símbolo correspondente:
dBV referente a uma tensão de 1 V
dBmV referente a uma tensão de 1 mV
dBV referente a uma tensão de 1 V
dBA referente a uma corrente de 1 A
dBmA referente a uma corrente de 1 mA
dBA referente a uma corrente de 1 A
O valor em dB é calculado usando as seguintes expressões:
16
Laboratório de Eletromagnetismo
Airton Ramos
 P 
P(dB) = 10log 

1 W 
 V 
V(dBV) = 20 log 

1 V 
(16)
 I 
I(dBA) = 20 log 

1 A 
Para outros valores de referência basta acrescentar os símbolos “m” ou “” conforme o caso.
60
50
dBmV
40
30
20
10
0
0
5
10
15
f (MHz)
20
25
30
Figura 11 – Espectro de módulo da onda quadrada de 1 Vpp
com fundamental de 1 MHz até harmônica 30.
Neste experimento usaremos o analisador GSP-830 da GW-INSTEK que permite obter o
espectro de sinais na faixa de 0 a 3 GHz. As funções básicas de ajuste do instrumento para realizar
este experimento são descritas no procedimento a seguir.
1) Inicialmente ajuste o gerador de sinais para tensão senoidal com frequência de 1 MHz e
amplitude pico a pico de 1 Vpp. Observe que a máxima amplitude de tensão de entrada no
analisador de espectro corresponde a uma potência média de 30 dBm sobre uma impedância de 50 .
Isto corresponde a uma tensão senoidal com amplitude de 10 V. Portanto, não ligue o gerador no
analisador de espectro até que a amplitude de sinal tenha sido ajustada para um nível seguro.
17
Laboratório de Eletromagnetismo
Airton Ramos
2) Ajuste a banda de medição do analisador de espectro:
Pressione Frequency
Pressione start F2 e ajuste 100 KHz
Pressione stop F3 e ajuste 20 MHz
Pressione step F4 e ajuste 10 KHz.
3) Ajuste a banda de resolução do analisador de espectro:
Pressione BW
Pressione RBW F1 e ajuste nas teclas de direção o valor 30 KHz
Pressione AVG F4 e ajuste ‘off ’.
4) Ajuste de referência e escala vertical:
Pressione Amplitude
Pressione unit F3 e dBmV F2
Pressione scale dB/div para obter 10 dB/div
Pressione reference F1 e ajuste 60 dBmV
5) Meça o sinal:
Pressione Peak Search e F1 para ler a amplitude do sinal em 1 MHz;
6) Mude para onda quadrada. Para visualizar os demais picos pressione sucessivamente Next
Peak F2. Para visualizar uma tabela com os primeiros picos pressione more e Peak table para obter
‘on’ e habilitar a tabela de valores máximos.
7) Devido ao ruído inerente ao gerador e analisador as amplitudes variam muito. Podemos
obter uma média de um certo número de leituras sucessivas e com isso, eliminar a maior parte do
ruído. Pressione BW e AVG F4 para habilitar média de 20 leituras (para obter outro valor basta
ajustar no teclado).
9) Anote na Tabela 4 os valores obtidos para as componentes da onda quadrada (na coluna Q).
10) Mude para onda triangular e repita as leituras. Anote na Tabela 4 (na coluna T).
18
Laboratório de Eletromagnetismo
Airton Ramos
Tabela 4 – Amplitudes das 20 primeiras harmônicas da onda quadrada ( Q )
e da onda triangular ( T ) com frequência fundamental 1 MHz e amplitude 1 Vpp.
f (MHz)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
| V | (dBmV) Q
| V | (dBmV) T
Questões para avaliação:
1) Crie um programa em MatLab para obter as componentes espectrais usando a análise de
Fourier para a onda quadrada e triangular.
2) Faça gráficos dos espectros teórico e experimental obtidos para as duas formas de onda.
Compare os resultados e justifique as diferenças.
3) Faça um programa em MatLab para reconstruir as formas de onda no tempo a partir das
componentes espectrais obtidas neste experimento para as ondas Q e T.
4) Verifique se a reconstrução ficou semelhante aos sinais originais e justifique as diferenças.
19
Laboratório de Eletromagnetismo
Airton Ramos
5) Medição de campo magnético
Existem diversos tipos de sensores que podem ser usados na medição de campo magnético.
Podem ser classificados de acordo com o princípio de funcionamento, sensibilidade e faixa de
frequência de operação. Os sensores indutivos baseiam-se na lei de Faraday; a variação de fluxo
magnético no tempo através de um conjunto de espiras produz uma tensão elétrica nos terminais do
sensor. Este tipo de sensor é utilizado principalmente em campos variáveis no tempo e, dependendo
do projeto, pode ser usado com campos tão fracos quanto 10 pT e frequências de dezenas de Hertz a
centenas de Megahertz. Os sensores magneto-galvânicos se baseiam na ação do campo magnético em
correntes elétricas que circulam em dispositivos de estado sólido. No sensor de efeito Hall esta ação
produz uma diferença de potencial elétrico entre as faces de um cristal semicondutor proporcional ao
campo magnético. No sensor magnetoresistivo a ação do campo magnético produz uma variação na
resistência elétrica do cristal. Os sensores magneto-galvânicos geralmente apresentam boa
sensibilidade até cerca de 1 MHz e são adequados para campos de 1 T ou maiores. O sensor SQUID
é baseado no efeito Josephson em supercondutores e para funcionar deve ser resfriado a
temperaturas muito baixas. É o sensor de maior sensibilidade, podendo detectar campos da ordem de
10-14 T.
A Figura 12 mostra o esquema de um magnetômetro constituído de um sensor indutivo ligado
a um amplificador de instrumentação. A tensão nos terminais do sensor é obtida a partir da Lei de
Faraday na seguinte forma:
Vs (t) = 
dφm
dB(t)
=  Ns A
dt
dt
(17)
Figura 12 – Esquema de medição de campo magnético usando sensor indutivo.
Onde m é o fluxo magnético no sensor, N é o número de espiras do sensor e A é a área da
seção transversal do sensor. Se o campo magnético varia senoidalmente no tempo segundo a equação
(18):
B(t) = Bmax cos(ω t)
(18)
A tensão induzida no sensor também será senoidal com mesma frequência:
Vs (t) = ωNs A Bmaxsen(ω t)
(19)
20
Laboratório de Eletromagnetismo
Airton Ramos
Assim, medindo-se a amplitude da tensão e a frequência e conhecendo-se as características
construtivas do sensor, podemos calcular a amplitude da indução magnética. A sensibilidade de um
sensor indutivo é definida pela seguinte relação:
S=
Vsmax
= ωNs A
Bmax
(20)
Tendo a unidade em Volts/Testa e depende de características construtivas e da frequência.
Um sensor indutivo de alta sensibilidade pode ser construído usando-se um núcleo magnético
para concentrar a indução magnética no interior da bobina. Nesse caso, a relação entre a indução
aplicada (Ba) e a indução total no sensor (Bs) é:
Bs
= μc
Ba
(21)
Onde c é a permeabilidade magnética efetiva do núcleo.
Devido ao efeito de desmagnetização dos polos magnéticos abertos, a permeabilidade efetiva é
menor que a permeabilidade do material do núcleo. A Figura 13 ilustra o processo de
desmagnetização em um núcleo cilíndrico. A relação aproximada se r >> 1 é a seguinte:
μc =
μr
1+ μ r N d
(22)
Onde Nd é o fator de desmagnetização do núcleo ( Hd=-Nd M). Com isso, a sensibilidade do sensor é
obtida na seguinte forma:
S = ωNs Aμ c
(23)
Figura 13 – A magnetização M do núcleo cria os polos N e S. Os polos magnéticos estabelecem o
campo desmagnetizante Hd que é proporcional à magnetização M.
21
Laboratório de Eletromagnetismo
Airton Ramos
O sistema de medição é composto de um sensor indutivo com núcleo de ferrite com as
características a seguir:





r = 2000
Ls = 47 mm
Ds = 8 mm
Ns = 85
Nd  0,0311)
O sinal gerado no sensor será medido em um osciloscópio.
Para produzir um campo magnético de valor conhecido será usado um solenoide com núcleo
de ar com as seguintes características:
 Comprimento L = 485 mm
 Número de espiras N = 200
 Diâmetro D = 2R = 75 mm
O campo no eixo do solenoide é dado por:


z + L / 2
z  L / 2


μ oi N 

B=

2 
2
2L  R 2 +  z + L / 2 2
R +  z  L / 2 

(24)
Os equipamentos a serem utilizados nesta atividade prática são:
 Gerador de sinais TTi modelo TG2000 para alimentar o solenoide;
 Osciloscópio Tektronics modelo TDS 2024B para medir a tensão induzida no sensor.
Deve-se ajustar o gerador de sinais para fornecer tensão senoidal com 10 Vpp na frequência de
1 kHz. Uma resistência de 100  em série com o solenoide limitará a corrente no valor adequado e
servirá para determinar a corrente através da queda de potencial medida no osciloscópio. Com o
auxílio de uma régua, posicionar o sensor dentro do solenoide e registrar o valor do sinal gerado em
cada uma das posições indicadas na Tabela 5.
22
Laboratório de Eletromagnetismo
Airton Ramos
Tabela 5 – Posições e valores de tensão no sensor indutivo
z ( 10-2 m)
0
2
4
6
8
Vs ( mV )
10
12
14
16
18
20
22
24
Questões para avaliação:
1) Verifique na literatura em quais situações práticas os sensores magnéticos são necessários.
2) Avalie como se deve projetar um sensor indutivo: o que é necessário saber sobre o campo a ser
medido? Quais os materiais que devem ser usados? Quais devem ser as dimensões do sensor?
3) Usando o MatLab faça gráficos da indução magnética teórica e da indução magnética medida.
4) Calcule o erro máximo entre valores experimentais e teóricos.
5) Avalie como deve ser feita a calibração de um medidor de campo magnético.
6) Avalie se as condições de validade da equação (24) são atendidas neste experimento.
7) Avalie os fatores que afetam a exatidão da medição com o sensor indutivo: comprimento da
bobina, área do núcleo, capacitância parasita, permeabilidade magnética e fator de
desmagnetização.
23
Laboratório de Eletromagnetismo
Airton Ramos
6) Curva de magnetização de núcleos magnéticos
A obtenção e análise da curva de magnetização é uma técnica simples e eficiente de
caracterização de propriedades magnéticas de materiais. A estrutura de teste é mostrada na Figura
14. Um núcleo fechado do material em análise é usado para se construir um transformador de
potencial com dois enrolamentos. No primário, aplicamos tensão proveniente de um gerador de
sinais. Uma sonda de corrente é usada para medir a corrente primária. No secundário medimos a
tensão induzida. Através dos valores de tensão e corrente medidos podemos calcular o campo
magnético e a indução magnética no núcleo.
Figura 14 – Esquema experimental para obter a curva de
magnetização de um núcleo magnético.
O campo magnético no interior do núcleo é facilmente calculado através da lei de Ampere. Na
posição de raio médio R, temos:
Ht =
N1I  t 
2πR
(25)
Através da lei de Faraday, podemos deduzir que o fluxo magnético no núcleo está relacionado
à tensão induzida no circuito.
V(t) =  N 2
dφm (t)
dt
(26)
Então, a indução magnética média no núcleo é obtida na seguinte forma em função da tensão
induzida:
t
B(t) = Bo 
1
V(t ) dt 
N 2S o
(27)
Onde Bo é a indução magnética inicial e S é a área da seção transversal do núcleo.
24
Laboratório de Eletromagnetismo
Airton Ramos
O núcleo que será analisado é de ferrite fabricado e comercializado por MAGMATEC –
Tecnologia em Materiais Magnéticos Ltda modelo MMT 107T6325, Formato toroidal com seção
quadrada e as seguintes dimensões:
Diâmetro externo 63 mm
Diâmetro interno 38 mm
Altura 25 mm
 Massa 0,23 Kg.



O transformador foi construído com 20 espiras de fio de cobre 26 AWG no primário e 40 no
secundário. A magnetização do núcleo é obtida com o uso de uma fonte de corrente construída com
um amplificador operacional de potência OPA548 e conectada a um gerador de sinais TTi modelo
TG2000 conforme mostra a Figura 15. A corrente primária é medida com um sensor Hall LTSR6NP
conectado a um amplificador de instrumentação modelo INA163. A tensão secundária é medida com
divisor resistivo conectado a um amplificador de instrumentação INA163. Os circuitos de
sensoriamento são lidos por uma placa de microcontrolador freescale modelo KL25Z com resolução
de 16 bits e taxa de amostragem 100 kS/s. Um aplicativo escrito e executado no programa MatLab é
usado para realizar as leituras dos valores medidos, calcular os campos H e B segundo as equações
(25) e (27) e construir os gráficos de curva de magnetização, curva de permeabilidade magnética e
curva de potência dissipada no núcleo magnético.
Figura 15– Sistema eletrônico para obtenção das curvas de magnetização.
Os ensaios serão feitos com três frequências: 100 Hz, 500 Hz e 1 kHz. A amplitude da tensão
do gerador em cada ensaio será ajustada em doze valores no intervalo de 50 mV até 600 mV (passos
de 50 mV). Para cada frequência e amplitude da tensão do gerador as formas de onda da corrente no
primário e tensão no secundário serão adquiridas e armazenadas no computador. A Figura 16 mostra
as formas de onda típicas para a tensão e corrente neste ensaio.
Questões para avaliação:
1) Ao final deste ensaio, serão fornecidos os arquivo .txt das curvas de tensão e corrente obtidos
experimentalmente. Construir um aplicativo em MatLab para calcular o campo e a indução
magnética no núcleo usando as equações (25) e (27). O programa deve gerar os gráficos de
BH e MH, nos quais será possível obter o campo coercitivo, a indução e magnetização de
25
Laboratório de Eletromagnetismo
Airton Ramos
saturação e a indução e magnetização remanentes do material. A energia dissipada por
unidade de volume no ciclo de magnetização será calculada usando a equação (28):
w diss =

ciclo
H  dB = μ o

H  dM
(28)
ciclo
2) Usando as diversas curvas de magnetização com diferentes amplitudes de campo e frequência,
obtenha:
 As curvas normal de magnetização para as três frequências;
 As curvas de permeabilidade magnética para as três frequências;
 As curvas de potência dissipada por unidade de volume para as três frequências.
3) Avalie porque a magnetização de saturação, a magnetização remanente e o campo coercitivo
são características importantes na aplicação de um material magnético.
4) Compare essas características (Bsat,Br e Hc) do ferrite analisado neste experimento com valores
típicos para o ferro silício usado em motores e transformadores elétricos.
5) Avalie porque é necessário que a permeabilidade magnética seja alta e a potência dissipada
seja baixa nas aplicações tanto em máquinas elétricas quanto em sistemas eletrônicos.
Compare essas características (r e pdiss) do ferrite analisado neste experimento com valores
típicos para o ferro silício.
6) Explique a relação que existe entre a potência dissipada e a frequência.
7) Explique a relação que existe entre a potência dissipada e o campo coercitivo.
Figura 16 – Formas de onda de tensão e corrente no transformador.
26
Laboratório de Eletromagnetismo
Airton Ramos
7) Geração e recepção de ondas eletromagnéticas
Uma antena é um dispositivo de transição entre uma linha de transmissão ou guia de ondas e
o espaço livre. Tem por finalidade acoplar esses dois meios de modo que a onda guiada possa se
propagar para o espaço sem reflexão e na direção e sentido desejado. Embora existam muitos tipos
diferentes de antenas, o princípio básico é o mesmo para todas: a circulação de corrente elétrica
variável no tempo em um condutor qualquer gera campos elétrico e magnético variáveis no tempo e
parte da energia fornecida pela fonte no estabelecimento dessa corrente, é transportada na onda
eletromagnética que se forma como resultado do acoplamento entre os campos segundo determina as
leis de Faraday e Ampere.
A irradiação de uma antena pode ser modelada a partir do potencial magnético gerado pela
sua distribuição de corrente. O exemplo mais simples é do dipolo hertziano (Figura 17), na qual um
segmento de fio condutor de comprimento muito pequeno posicionado na origem do sistema de
coordenadas irradia potencial magnético de acordo com a seguinte equação:
μIl e- jβ r
A=
uz
4π r
(29)
Figura 17 – Irradiação de um dipolo hertziano
Onde I é o fasor de corrente no dipolo, l é seu comprimento e =/u é a constante de fase para a
propagação no espaço livre com frequência angular  e velocidade de fase u.
A partir do potencial magnético, os campos irradiados podem ser obtidos através das
seguintes equações:
H
E
 A
o
H  A

jo
joo
(30)
(31)
Na região de campo distante do dipolo hertziano (r>>/2), os campos são obtidos na
seguinte forma:
27
Laboratório de Eletromagnetismo
Iolβ 2 senθ - jβ r
Eθ = j
e
4πωε r
E
H  
Zo
Airton Ramos
(32)
(33)
Onde Zo=(o/o)1/2  376,8  é a impedância característica do vácuo. Usando o vetor de Poynting,
podemos calcular a densidade de potência irradiada:
2
2
1 E
1
Z o Io2l 2 2 sen 2
P
u r  Zo H u r 
ur
2 Zo
2
322
r2
(34)
Observamos que a irradiação ocorre preferencialmente no plano azimutal do dipolo Hertziano
(=/2) e diminui de intensidade com o inverso do quadrado da distância radial.
A partir desse modelo simples é possível obter os campos irradiados por antenas reais, desde
que se conheça a distribuição de corrente nos condutores. A antena mais comum é a dipolo,
representada na Figura 18. Quando alimentada pelo centro com corrente senoidal, esta antena
apresenta a seguinte distribuição espacial de corrente (z é a distância medida a partir de seu centro):
 L

I(z)  Io sen    z    z  0

 2
 L

I(z)  Io sen    z    z  0

 2
(35)
28
Laboratório de Eletromagnetismo
Airton Ramos
Figura 18 – Modelo para análise de uma antena dipolo.
Os campos irradiados são obtidos pela integração da equação (32) no comprimento da antena,
considerando cada segmento dz como um dipolo hertziano e usando a distribuição de corrente I(z)
dada pela equação (35). Com diversas aproximações válidas quando a distância da antena até a
posição de observação é muito maior que a comprimento da antena, a integração pode ser realizada
analiticamente, resultando na seguinte expressão para o campo elétrico irradiado:
Zo Io e j r
E  j
F()
2 r
 L

 L 
cos  cos    cos  
 

  
F() 
sen 
(36)
(37)
A antena cujo comprimento é metade do comprimento de onda, denominada de dipolo de
meia onda, é a mais popular de todas as antenas lineares. Neste caso específico, temos:


cos  cos  
2

F() 
sen 
(38)
O diagrama de irradiação é uma representação em coordenadas polares da distribuição
espacial da intensidade de campo (|F()|) ou potência irradiada (F2()) pela antena segundo a função
F() (para outras antenas o ângulo azimutal pode ser necessário também). A Figura 19 apresenta os
diagramas de irradiação de potência e de campo para o dipolo de meia onda no plano vertical, ou
seja, com variação do ângulo polar, e no plano horizontal, com variação do ângulo azimutal.
Figura 19 – Diagramas de irradiação da antena dipolo de meia onda. O diagrama de campo é a
representação da função |F()| e o diagrama de potência é a representação da função F2().
29
Laboratório de Eletromagnetismo
Airton Ramos
O ganho diretivo é um parâmetro usado para caracterizar as propriedades direcionais de
antenas. É definido a partir da relação entre a intensidade da irradiação em uma direção específica e a
intensidade média irradiada pela antena. A intensidade da irradiação é definida pela seguinte relação
com a densidade de potência ou módulo do vetor de Poynting:
(39)
U(θ, ) = r 2 P(θ, )
Desse modo, a intensidade da irradiação não depende da distância à antena. O ganho diretivo
de uma antena é definido e calculado pela seguinte relação:
GD =
U(θ, )
U med
(40)
A intensidade média, por sua vez é calculada como segue:
2π π
  U(θ, ) senθ dθ d
U med =
0 0
=
2π π
  senθ dθ d
Pirr
4π
(41)
0 0
Onde Pirr é a potência total irradiada pela antena. Assim, o ganho diretivo é obtido na seguinte forma:
G D = 4π
U(θ, )
Pirr
(42)
Uma vez que a densidade de potência irradiada é proporcional ao quadrado da função F(),
podemos reescrever a equação anterior na forma dessa função que pode ser obtida através do
diagrama de irradiação da antena:
U(θ, )
G D = 4π
= 4π 2π π
Pirr
F2 (θ, )
2
  F (θ, )senθ dθ d
(43)
0 0
No caso de uma antena omnidirecional (irradiação isotrópica no plano azimutal), o cálculo do
ganho diretivo é simplificado para:
GD =
2F 2 ()

2
 F ()sen d
(44)
0
A diretividade (D) de uma antena é o seu ganho diretivo máximo (geralmente expresso em
dB):
D = 10 Log(GDmax )
(45)
30
Laboratório de Eletromagnetismo
Airton Ramos
A diretividade é então uma medida do quanto a antena concentra a densidade de potência
irradiada em uma determinada direção do espaço.
Para avaliar qualitativamente como um sistema de comunicação por ondas de rádio funciona,
faremos a seguinte montagem:
 Um sistema de transmissão usando o gerador de RF Agilent N9310A e uma antena dipolo de
meia onda sintonizada em 500 MHz;
 Um sistema de recepção usando uma antena dipolo de meia onda sintonizada em 500 MHz e o
analisador de espectros Instek GSP830;
 Separar os sistemas em pelo menos 3 metros e alinhar as antenas para mesma polarização
horizontal e mesma altura;
 Ajustar a potência gerada para 10 dBm e variar a frequência do sinal transmitido de 100 MHz a
1 GHz (com passos de 100 MHz);
 Analisar a variação da intensidade do sinal recebido e discutir a influência da frequência no
resultado;
 Variar o ângulo de orientação da antena dipolo com passos de 10 graus ao longo de 360 graus
e medir o sinal recebido em 500 MHz;
 Analisar porque a intensidade do sinal varia com o ângulo de orientação das antenas;
 Mudar as antenas para monopolos de quarto de onda verticais.
 Ajustar o sinal transmitido para 100 MHz com modulação FM de um sinal senoidal de 1 kHz.
 Captar o sinal transmitido em um receptor FM.
 Discutir o processo de comunicação por ondas de rádio.
Questões para avaliação:
1) Por que a intensidade do sinal transmitido/captado pelas antenas depende da frequência?
2) Por que a intensidade do sinal recebido depende da orientação (polarização) relativa das
antenas?
3) Que fatores ambientais influem no diagrama de irradiação de uma antena?
4) Explique qualitativamente como ocorre a comunicação por ondas de rádio.
31
Laboratório de Eletromagnetismo
Airton Ramos
8) Cálculo de campo com o método das diferenças finitas
O método das diferenças finitas é baseado na transformação de equações diferenciais em
equações de diferenças e solução dessas equações em uma malha discreta de pontos no espaço sob
condições de contorno pré-estabelecidas. A partir da definição de derivada de uma função, podemos
estabelecer uma forma aproximada para calcular a taxa de variação de uma função com base em
variações finitas de sua variável independente:

f ( xo  x)  f ( xo )
df ( x)
( xo )  lim
x 0
dx
x

f ( xo )  f ( xo  x)
df ( x)
( xo )  lim
x 0
dx
x
(46)
Para a derivada existir, é necessário que os dois termos acima sejam finitos e iguais. Se
desejamos obter uma aproximação por diferenças finitas devemos ignorar o processo de passagem ao
limite e apenas considerar um incremento finito x arbitrariamente pequeno. Nesse caso, não se pode
garantir que os termos acima sejam iguais, portanto a melhor alternativa é tomar a média aritmética
deles. Assim, temos:
df ( x)
1  f ( xo  x)  f ( xo ) f ( xo )  f ( xo  x) 
( xo )  


dx
2
x
x

f ( xo  x)  f ( xo  x)

2x
(47)
Para a segunda derivada podemos usar um raciocínio semelhante. A expressão exata é a
seguinte:
(48)
f ( xo  x)  f ( xo )
d 2 f ( x)
( xo )  lim
2
x 0
dx
x
Onde usamos o símbolo f´(x) para representar a primeira derivada. Para obter a segunda derivada
em diferenças finitas ignoramos o limite e representamos as derivadas no segundo termo pelas
respectivas aproximações.
d 2 f ( x)
1   f ( xo  x)  f ( xo )   f ( xo )  f ( xo  x)  
( xo ) 

2


dx
x  
x
x
 

f ( xo  x)  f ( xo  x)  2 f ( xo )

2
 x 
(49)
Consideremos a seguir a equação de Laplace em coordenadas retangulares:
d 2V ( x, y, z ) d 2V ( x, y, z ) d 2V ( x, y, z )


0
dx 2
dy 2
dz 2
(50)
32
Laboratório de Eletromagnetismo
Airton Ramos
Substituímos as derivadas pelas aproximações em diferenças finitas para obter no ponto
(xo,yo,zo) do espaço:
V ( xo  x, yo , zo ) V ( xo , yo  y, zo ) V ( xo , yo , zo  z )


2
2
2
 x 
 y 
 z 
V ( xo  x, yo , zo ) V ( xo , yo  y, zo ) V ( xo , yo , zo  z )


2
2
2
 x 
 y 
 z 
(51)
 1
1
1 
 2V ( xo , yo , zo ) 



2
2
  x   y   z 2 


O método das diferenças finitas consiste em discretizar o espaço com pequenos volumes
regulares como paralelepípedos em 3D ou retângulos em 2D. A Figura 20 ilustra esse processo para
uma análise bidimensional. Considerando apenas duas dimensões, a equação (51) pode ser reescrita
da seguinte forma no espaço discretizado:
 y 
V (i, j ) 
2
V (i  1, j )   x  V (i, j  1)   y  V (i  1, j )   x  V (i, j  1)
2
2
2
2
2
2  y    x  


(52)
Figura 20 – Esquema de discretização para um problema bidimensional.
Por esta equação, podemos concluir que o potencial em uma posição qualquer do espaço
discreto é uma média ponderada dos potenciais vizinhos. A fim de obter os potenciais em cada nó da
malha de discretização espacial do problema analisado devemos escrever e resolver o sistema de
33
Laboratório de Eletromagnetismo
Airton Ramos
equações algébricas semelhantes à equação (52), uma para cada nó da malha. As condições de
contorno são usadas para completar as equações para os nós nas fronteiras da malha. Qualquer
método de solução de sistemas de equações lineares pode ser usado para obter a solução na forma de
um vetor de potencias.
Vamos avaliar o exemplo da Figura 20. Neste caso as condições de contorno são de potencial
prescrito nas superfícies externas do domínio. Quando o potencial é especificado em uma superfície
denominamos de condição de contorno de Dirichlet. Outra opção geralmente utilizada é a
especificação do campo elétrico normal na superfície, o que é denominado de condição de contorno
de Neumann.
No caso apresentado, o domínio de análise é um retângulo de arestas Lx e Ly e o Número de
divisões é Nx e Ny, os incrementos nos dois eixos são x=Lx/Nx e y=Ly/Ny. As coordenadas no
espaço discreto são dadas xi=(i-1) x e yj=(j-1) y com i=1,2,3,...,Nx e j=1,2,3,...Ny. As condições de
contorno indicadas na Figura são:




V=0 para
V=0 para
V=0 para
V=Vo para
0  x  Lx e y < 0
x < 0 e 0  y  Ly
x > Lx, 0  y  Ly
0  x  Lx e y > Ly
A equação (52) fornece o potencial no caso geral. Nas fronteiras, devemos substituir os termos
que estão fora do domínio de análise pelo valor da condição de fronteira correspondente. Por
exemplo, na posição (1,1) temos o seguinte:
 y 
V (1,1) 
2
V (2,1)   x  V (1, 2)
2
(53)
2
2
2  y    x  


Na posição (1,Ny) temos o seguinte:
V (1, N y ) 
 y 
2
V (2, N y )   x  Vo   x  V (1, N y  1)
2
2
2
2
2  y    x  


(54)
E na posição (Nx,1<j<Ny) temos o seguinte:
V (Nx
 x 
, j) 
2
V ( N x , j  1)   y  V ( N x  1, j )   x  V ( N x , j  1)
2
2
2
2  y    x  


2
(55)
Questões para avaliação:
1) Construir um programa em MatLab para resolver o problema mostrado na Figura 20.
2) Traçar gráficos do potencial nas direções x e y e comparar com o resultado analítico (observe
que o resultado analítico é obtido na forma de uma série de funções sen( ) e senh( ) conforme
mostra a equação (56) abaixo).
34
Laboratório de Eletromagnetismo
Airton Ramos
3) Traçar linhas equipotenciais e a superfície de potencial em 3D no domínio de análise.
4) Calcular numericamente o campo elétrico no interior da caixa de potencial. Comparar com a
solução analítica.
5) Discutir como obter a densidade de carga elétrica e a carga elétrica total acumulada nas
superfícies da caixa de potencial.
6) Construir um programa para fazer a análise de um capacitor de placas paralelas conforme
Figura 21.
7) Como poderíamos calcular a capacitância dessa estrutura?
8) Como poderíamos aplicar a condição de contorno de Neumann nesse caso?
V(x, y) 
4Vo

 n ímpar
 n 
 n 
sen  x  senh  y 
 Lx 
 Lx 
 nL y 
n senh 

 Lx 
(56)
Figura 21 – Uma representação bidimensional de um capacitor de placas paralelas com potenciais
simétricos nas placas condutoras. O tracejado indica os limites do domínio de análise.
35