1) Conceito de Força e Campo

Laboratório de Eletromagnetismo
Airton Ramos
Manual de Atividades Práticas no
Laboratório de Eletromagnetismo Básico
Índice
1) Medidas Elétricas....................................................................................................................1
2) Obtenção e Análise do Espectro de Impedância................................................................4
3) Análise Dielétrica de Materiais Isolantes Através do Espectro de Impedância............7
4) Medição do Espectro de um Sinal........................................................................................9
5) Medição de Campo Magnético............................................................................................15
6) Curva de Magnetização de Núcleos de Ferrite.................................................................18
7) Geração e Recepção de Ondas Eletromagnéticas..............................................................21
8) Cálculo de Campo por Diferenças Finitas..........................................................................25
Atividade 1 - Medidas Elétricas
Resumo: Este roteiro de atividade prática no Laboratório de Eletromagnetismo apresenta os
procedimentos de medição para corrente e tensão elétrica usando osciloscópio e sondas de corrente,
bem como a utilização destas medidas na caracterização de impedâncias de componentes simples
como resistor, capacitor e indutor.
Introdução: Realizar medidas elétricas confiáveis é pré-requisito para a avaliação experimental
de fenômenos eletromagnéticos. Com o uso de osciloscópio é possível realizar medidas de tensão e
corrente elétrica variáveis no tempo. Quando essas medidas são realizadas sobre um componente de
um sistema eletromagnético, é possível avaliar a sua impedância a partir dos resultados obtidos. A
impedância está diretamente ligada às propriedades eletromagnéticas dos materiais com os quais o
dispositivo é feito e depende também de sua forma geométrica e dimensões. Um esquema de
medição da impedância de um componente é mostrado na Figura 1. Um gerador de tensão senoidal é
ligado ao dispositivo através de um cabo. Uma sonda de tensão é conectada em paralelo e uma sonda
de corrente é conectada em série com os terminais do dispositivo. Para obter a impedância é
necessário realizar três medidas: a amplitude da tensão (Vp), a amplitude da corrente (Ip) e a
defasagem entre corrente e tensão (). A Figura mostra 2 mostra estes valores em um gráfico de sinais
senoidais no tempo. A impedância é calculada na seguinte forma:
Z
Vp
Ip
e j  R  jX
(1)
1
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Onde R e X são a resistência e a reatância, respectivamente, do dispositivo. Usando a fórmula de
Euler obtemos facilmente as seguintes relações:
R  Z cos()
(2)
X  Z sen()
Figura 1 – Montagem para medição da impedância de um dispositivo.
Figura 2 – Formas de onda de tensão e corrente senoidais.
Métodos: Os equipamentos a serem utilizados nesta atividade prática são: Gerador de sinais
TTi modelo TG2000, osciloscópio Tektronics modelo TDS 2024B, Ponteira de Corrente Tektronix
Modelo P6022, Ponteira de Corrente Tektronix Modelo A622, ponteira de tensão Tektronics modelo
P2022. Os equipamentos devem ser conectados conforme Figura 1. Os dispositivos sob teste são: Um
resistor de resistência nominal 220  (250 mW), um indutor de indutância nominal 470 H e um
capacitor de capacitância nominal 470 nF. As medições para o resistor devem ser realizadas de acordo
com a Tabela 1. Os valores medidos serão lidos diretamente no menu lateral de medição do
osciloscópio. Utilizar a leitura de valor rms, pois são mais estáveis que os valores instantâneos. O
gerador deve ser ajustado para impedância de saída de 50 , impedância de carga de 50  e
amplitude 10 Vpp.
2
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Tabela 1 - Medições com resistor de 220 
f
Vc
Ic622
622
Ic6022
6022
(Hz)
(V)
(mA)
(rad)
(mA)
(rad)
10
100
1K
5K
10 K
20 K
50 K
100 K
500 K
1M
5M
10 M
As medições para o capacitor e indutor devem ser realizadas de acordo com as Tabelas 2 e 3.
Observe que até 10 KHz deve-se usar a sonda A622 e a partir de 50 KHz deve-se usar a sonda P6022.
Tabela 2 - Medições com capacitor de 470 nF
f (Hz)
Vc (V)
Ic (mA)
 (rad)
10
100
1K
10 K
100 K
1M
10 M
3
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Tabela 3 - Medições com indutor de 470 H
f (Hz)
Vc (V)
Ic (mA)
 (rad)
10
100
1K
10 K
100 K
1M
10 M
Análise: Fazer gráficos de módulo e ângulo polar da impedância do resistor. Comparando os
resultados obtidos com as duas sondas de corrente e com o comportamento esperado para um
resistor ideal, defina as faixas de frequência nas quais cada sonda pode ser usada. Até que frequência
o resistor pode ser considerado ideal? O que provoca a não idealidade do resistor? Fazer gráficos da
impedância (módulo e ângulo polar) para o capacitor e indutor. Discuta as semelhanças e diferenças
entre o comportamento ideal e o verificado experimentalmente. Quais as causas de não idealidade
nesses elementos?
Atividade 2 - Obtenção e Análise do Espectro de Impedância
Resumo: Este roteiro de atividade prática no Laboratório de Eletromagnetismo apresenta os
conceitos e métodos para obtenção e análise do espectro de impedância de elementos discretos e
circuitos elétricos.
Introdução: O analisador de impedância é um instrumento de medição que fornece a
impedância de um elemento ou dispositivo através da medição simultânea de corrente e tensão
aplicada nos seus terminais em uma ampla faixa de frequências. O esquema mostrado na Figura 3
ilustra o método de medição e a Figura 4 mostra o espectro de impedância do circuito da Figura 5. O
analisador de impedância gera internamente e disponibiliza em dois terminais uma corrente
precisamente controlada na faixa de frequências de operação do equipamento (de 40 Hz a 110 MHz
para o analisador 4294A da Agilent). Um medidor de tensão disponível entre dois outros terminais é
usado para medir a diferença de potencial elétrico na amostra. A impedância é calculada para cada
uma das freqüências selecionadas a partir dos valores de tensão e corrente medidos. Gráficos de
módulo e ângulo polar da impedância são traçados na tela do analisador. Um programa de
computador é usado para fazer a aquisição dos resultados.
4
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Figura 3 – Esquema de medição em um analisador de impedância.
O circuito mostrado na Figura 5 é constituído de dispositivos discretos (R, L e C) e reatâncias
distribuídas do suporte de amostra (Lp e Cp). A influência desses elementos parasitas na medição da
impedância pode ser compensada por meio dos testes de curto-circuito e de circuito aberto.
No espectro é possível fazer avaliações rápidas a respeito dos valores dos componentes do
circuito. Em baixa frequência a impedância é real. Então podemos verificar que a resistência R do
circuito é aproximadamente 110 . Abaixo de 20 kHz, a impedância é determinada principalmente
pela resistência e indutância. Os valores que podem ser lidos no espectro em 20 kHz são |Z| 163 
e   0.57 rad. Ignorando os demais elementos no circuito, a impedância é dada pela seguinte
expressão:
Z  R  jL
(3)
Figura 4 – Espetro de impedância do circuito mostrado na Figura 5 no intervalo
de frequências de 40 Hz a 40 MHz obtido com analisador 4294A da Agilent.
5
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Figura 5 – Circuito de teste para obtenção do espectro
de impedância mostrado na Figura 4.
E a indutância pode ser estimada a partir do resultado obtido em 20 kHz:
L
Z sen 
2 f
 700 H
(4)
Considerando apenas os elementos discretos R, L e C, a impedância é obtida na seguinte
forma:
Z
R  jL
1  2 LC  jRC
(5)
Na frequência 54 kHz o ângulo polar da impedância se anula, o que indica ressonância do
circuito. Segundo a equação (5), a ressonância ocorre na frequência dada por:
1  R 2C / L

LC
(6)
Com isso podemos estimar a capacitância:
C
L
 10 nF
R 2  2 L2
(7)
6
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Observe no espectro que ocorre outra ressonância em torno de 6.5 MHz. Isso é devido ao
acoplamento da capacitância C, que domina a impedância acima de primeira ressonância, com a
indutância série parasita Lp. A capacitância parasita Cp não tem muita influência na impedância
medida até 40 MHz. Os valores obtidos nesta análise são aproximações baseadas em informações
pontuais do espectro e modelos matemáticos simples de elementos ideais de circuito. Uma análise
mais precisa pode ser feita usando métodos computacionais para ajuste de parâmetros com modelos
mais elaborados que levem em conta os elementos não ideais dos componentes discretos e
distribuídos do circuito.
Métodos: O equipamento de medição é um analisador de impedância 4294A da Agilent. Os
dispositivos sob teste são: resistor de filme de carbono de valor nominal 10 , resistor de filme de
carbono de 1 K, resistor de filme de carbono de 1 M, indutor encapsulado de valor nominal
470 H, capacitor de poliéster de valor nominal 470 nF, Capacitor de tântalo de valor nominal 10 F,
capacitor de alumínio de 10 F, indutor com núcleo de ferro laminado e indutor com núcleo toroidal
de ferrite.
Análise: Converter os arquivos de dados em arquivos texto e abri-los no programa MatLab.
Construir os gráficos de impedância. Analisar os espectros e obter o circuito equivalente dos
componentes eletrônicos. Comparar valores medidos com valores nominais. Explicar as não
idealidades na resposta em frequência dos elementos discretos.
Atividade 3 - Análise Dielétrica de Materiais Isolantes
Através do Espectro de Impedância
Resumo: Este roteiro de atividade prática no Laboratório de Eletromagnetismo apresenta os
conceitos e métodos para obtenção da condutividade e constante dielétrica de um material através da
análise do espectro de impedância de uma amostra deste material.
Introdução: A avaliação das propriedades elétricas de materiais condutivos e dielétricos pode
ser realizada através da medição e análise do espectro de impedância de uma amostra desse material
na faixa de frequências de interesse. Para isso uma amostra desse material deve ser processada ou
acondicionada em uma forma geométrica tal que sua impedância seja facilmente associada com a
condutividade e permissividade do material. Para medir a impedância com materiais dielétricos é
necessário usar eletrodos metálicos para fazer a conexão elétrica entre a amostra e o analisador de
impedância. A Figura 6 apresenta duas geometrias fáceis de serem implementadas. Nos dois casos a
estrutura se assemelha a um capacitor de placas paralelas.
Se a relação entre espaçamento e diâmetro (ou aresta) dos eletrodos é pequena, podemos
assumir que o campo elétrico é uniforme no espaço entre os eletrodos. A impedância nesse caso é
simples de calcular na seguinte forma:
Za 
d/A
  j r o
(8)
7
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Figura 6 – Geometria dos eletrodos adequada para medição
de impedância com materiais dielétricos.
Onde d e A são o espaçamento e a área dos eletrodos, respectivamente.  e r são a
condutividade e constante dielétrica do material. Ao utilizar esta relação, estamos assumindo
também que a impedância de contato dos eletrodos com o material é desprezível em comparação
com a impedância do material, algo que nem sempre é correto. A condutividade e constante
dielétrica são facilmente obtidas a partir da equação (8) na seguinte forma:
  (d / A)real(Ya )
(9)
imag(Ya )
 r  (d / A)
o
(10)
Onde Ya=1/Za é a admitância da amostra e “real” e “imag” são os operadores de parte real e
imaginária, respectivamente.
Métodos: O equipamento de medição é um analisador de impedância 4294A da Agilent. Os
materiais a serem analisados são: água destilada, etanol, isolante de fibra de placa de circuito
impresso e isolante de polietileno de cabo coaxial. As impedâncias série (Zs) e paralela (Zp) do
suporte de amostra devem ser compensadas através dos ensaios de curto-circuito e circuito aberto.
Para os isolantes de placa e cabo, usaremos a própria estrutura dos condutores como eletrodos. Para
medir os líquidos usaremos um suporte de amostra que retém a substância entre dois eletrodos de
aço inoxidável. Com os ensaios de curto circuito e circuito aberto, obtemos as impedâncias de curto
circuito (Zsc) e circuito aberto (Zoc). Assim, temos:
Zs  Zsc
(11)
8
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Zp  Zoc  Zsc
(12)
Após isso, inclui-se o material a ser analisado e obtém-se a impedância do conjunto (Zm) cujo
circuito equivalente é mostrado na Figura 7. A relação entre as impedâncias é obtida na forma:
Zm  Zs 
Za Zp
Za  Zp
(13)
Desta relação obtemos a impedância da amostra Za.
Figura 7 – Circuito equivalente para compensação da impedância parasita.
Análise: Converter os arquivos de dados do analisador em arquivos texto e abri-los no
programa MatLab. Calcular a condutividade e constante dielétrica dos materiais em toda a faixa de
frequências do ensaio. Analisar se fisicamente as variações de condutividade e constante dielétrica
com a frequência são consistentes. Explique qualitativamente porque essas variações ocorrem.
Atividade 4 - Medição do Espectro de um Sinal
Introdução: Um sinal variável no tempo pode ser medido no domínio do tempo com um
osciloscópio ou medido no domínio da frequência com um analisador de espectro. O esquema
simplificado para realizar a medição do espectro de um sinal é mostrado na Figura 8. O sistema é
composto de um oscilador local, que é um oscilador controlado por tensão (VCO) cuja tensão de
controle tem a forma de uma rampa, partindo de um valor mínimo e atingindo o valor máximo no
final da varredura. Quando o gerador de varredura está no seu valor mínimo, a frequência do
oscilador local é mínima e corresponde exatamente à frequência de sintonia do filtro passa faixa,
denominado de filtro de frequência intermediária (filtro de FI). Quando o gerador de varredura está
no seu valor máximo, o oscilador local está gerando a sua frequência máxima. O sinal a ser medido é
aplicado no misturador junto com o sinal do gerador local. Este dispositivo multiplica os sinais
gerando um deslocamento no espectro do sinal de entrada para a posição da frequência do oscilador
9
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local. Isso é mostrado na Figura 9. A parte do sinal deslocado que se localiza fora da banda passante
do filtro de FI é eliminada do sinal deslocado e o sinal resultante tem uma distribuição espectral bem
concentrada em torno da frequência de FI. A amplitude deste sinal depende da amplitude do sinal
original na frequência (fo – FI). Esta amplitude é medida por um detector que é sensível ao valor de
pico ou valor médio do sinal filtrado e o sinal de baixa frequência que este dispositivo produz é
filtrado adicionalmente para se obter o nível médio que corresponde à intensidade do sinal na saída
do filtro de FI. O sinal produzido pelo gerador de rampa que controla a frequência do oscilador local
também é usado para fazer a varredura horizontal da imagem na tela do analisador de espectro. A
varredura vertical é realizada pelo sinal filtrado na saída do detector e assim forma-se o espectro do
sinal pelo deslocamento simultâneo do ponto de imagem no eixo horizontal (da frequência) e no eixo
vertical (da intensidade de sinal). A largura de banda do filtro de FI (Figura 8) é chamada de banda
de resolução e determina a parte do espectro do sinal que é medida. Quanto menor for a banda de
resolução com mais detalhes o espectro do sinal pode ser analisado.
sinal
misturador
medidor
Filtro
FI
detector
Gerador de
varredura
Oscilador
local
Gm
Gm
0 dB
Filtro FI
3dB
2
f
fo
Figura 8 – Esquema simplificado para obtenção do espectro de um sinal
O espectro de um sinal é representado pela distribuição de amplitudes e fases das
componentes harmônicas desse sinal. A análise de Fourier é a ferramenta matemática que permite
obter as componentes espectrais de uma função. Para funções periódicas, pode-se usar a
decomposição em série de Fourier, descrita pelas equações a seguir onde o é a frequência
fundamental do sinal.
10
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
f (t )  ao    an cos(not )  bn sen(not ) 
n 1
T
ao 
2
f (t ) dt
T 0
an 
2
f (t ) cos(not ) dt
T 0
bn 
2
f (t ) sen(not ) dt
T 0
T
(14)
T
Figura 9 – Representação do processo de deslocamento e filtragem do sinal
para obter a sua componente em torno da frequência de FI.
É possível obter também uma série exponencial de Fourier na seguinte forma:
f (t ) 

ce
n 
T
cn 
jno t
n
2
f (t ) e  jnot dt

T 0
(15)
11
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Os coeficientes cn nesta série fornecem diretamente a amplitude e fase de cada componente
espectral de frequência  = no do sinal. A Figura 10 mostra alguns termos da série de Fourier de
uma onda quadrada e a soma dos 10 primeiros termos ímpares. Os termos pares da onda quadrada
são todos nulos. A Figura 11 mostra o espectro de módulo da onda quadrada até a harmônica 30.
0.8
(1)
soma de 10 harmonicas impares
0.6
sinal
Amplitude normalizada
0.4
0.2
(3)
(5)
(7)
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
Tempo (s)
0.7
0.8
0.9
1
-6
x 10
Figura 10 – Sinal onda quadrada de 1 MHz e suas componentes até sétima harmônica.
A soma até a harmônica 20 esta representada na cor vermelha.
A unidade geralmente utilizada na apresentação do espectro de um sinal é o decibel (dB). O
decibel é usado para relacionar dois valores, sendo um tomado como referência. Assim temos as
seguintes unidades:
dB referente a uma potência de 1 W
dBm referente a uma potência de 1 mW
dB referente a uma potência de 1 W
Para valores de tensão ou corrente elétrica, basta acrescentar o símbolo correspondente:
dBV referente a uma tensão de 1 V
dBmV referente a uma tensão de 1 mV
dBV referente a uma tensão de 1 V
dBA referente a uma corrente de 1 A
dBmA referente a uma corrente de 1 mA
dBA referente a uma corrente de 1 A
O valor em dB é calculado usando as seguintes expressões:
12
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 P 
P(dB)  10 log 

 1W 
V 
V (dBV )  20 log 

 1V 
 I 
I (dBA)  20 log 

1 A 
(16)
Para outros valores de referência basta acrescentar os símbolos “m” ou “” conforme o caso.
60
50
dBmV
40
30
20
10
0
0
5
10
15
f (MHz)
20
25
30
Figura 11 – Espectro de módulo da onda quadrada de 1 Vpp
com fundamental de 1 MHz até harmônica 30.
Métodos: Neste experimento usaremos o analisador GSP-830 da GW-INSTEK que permite
obter o espectro de sinais na faixa de 0 a 3 GHz. As funções básicas de ajuste do instrumento para
realizar este experimento são descritas no procedimento a seguir.
1) Inicialmente ajuste o gerador de sinais para tensão senoidal com frequência de 1 MHz e
amplitude pico a pico de 1 Vpp. Observe que a máxima amplitude de tensão de entrada no
analisador de espectro corresponde a uma potência média de 30 dBm sobre uma impedância de 50
. Isto corresponde a uma tensão senoidal com amplitude de 10 V. Portanto, não ligue o gerador
no analisador de espectro até que a amplitude de sinal tenha sido ajustada para um nível seguro.
2) Ajuste a banda de medição do analisador de espectro:
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Pressione Frequency
Pressione start F2 e ajuste 100 KHz
Pressione stop F3 e ajuste 20 MHz
Pressione step F4 e ajuste 10 KHz.
3) Ajuste a banda de resolução do analisador de espectro:
Pressione BW
Pressione RBW F1 e ajuste nas teclas de direção o valor 30 KHz
Pressione AVG F4 e ajuste ‘off ’.
4) Ajuste de referência e escala vertical:
Pressione Amplitude
Pressione unit F3 e dBmV F2
Pressione scale dB/div para obter 10 dB/div
Pressione reference F1 e ajuste 60 dBmV
5) Meça o sinal:
Pressione Peak Search e F1 para ler a amplitude do sinal em 1 MHz;
6) Mude para onda quadrada. Para visualizar os demais picos pressione sucessivamente Next
Peak F2. Para visualizar uma tabela com os primeiros picos pressione more e Peak table para obter
‘on’ e habilitar a tabela de valores máximos.
7) Devido ao ruído inerente ao gerador e analisador as amplitudes variam muito. Podemos
obter uma média de um certo número de leituras sucessivas e com isso, eliminar a maior parte do
ruído. Pressione BW e AVG F4 para habilitar média de 20 leituras (para obter outro valor basta
ajustar no teclado).
9) Anote na Tabela 4 os valores obtidos para as componentes da onda quadrada (na coluna Q).
10) Mude para onda triangular e repita as leituras. Anote na Tabela 4 (na coluna T).
Tabela 4 – Amplitudes das 20 primeiras harmônicas da onda quadrada ( Q )
e da onda triangular ( T ) com frequência fundamental 1 MHz e amplitude 1 Vpp.
f (MHz)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
| V | (dBmV) Q
| V | (dBmV) T
14
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11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Análise: Faça um programa em MatLab para obter as componentes espectrais usando a análise
de Fourier para a onda quadrada e triangular. Faça gráficos dos espectros teórico e experimental
obtidos. Compare os resultados. Justifique as diferenças. Faça um programa em MatLab para
reconstruir as formas de onda no tempo a partir das componentes espectrais obtidas neste
experimento para as ondas Q e T. Verifique se a reconstrução ficou semelhante aos sinais originais.
Atividade 5 - Medição de Campo Magnético
Introdução: Existem diversos tipos de sensores que podem ser usados na medição de campo
magnético. Podem ser classificados de acordo com o princípio de funcionamento, sensibilidade e
faixa de frequência de operação. Os sensores indutivos baseiam-se na lei de Faraday; a variação de
fluxo magnético no tempo através de um conjunto de espiras produz uma tensão elétrica nos
terminais do sensor. Este tipo de sensor é utilizado principalmente em campos variáveis no tempo e,
dependendo do projeto, pode ser usado com campos tão fracos quanto 10 pT e frequências de
dezenas de Hertz a centenas de Megahertz. Os sensores magneto-galvânicos se baseiam na ação do
campo magnético em correntes elétricas que circulam em dispositivos de estado sólido. No sensor de
efeito Hall esta ação produz uma diferença de potencial elétrico entre as faces de um cristal
semicondutor proporcional ao campo magnético. No sensor magnetoresistivo a ação do campo
magnético produz uma variação na resistência elétrica do cristal. Os sensores magneto-galvânicos
geralmente apresentam boa sensibilidade até cerca de 1 MHz e são adequados para campos de 1 T
ou maiores. O sensor SQUID é baseado no efeito Josephson em supercondutores e para funcionar
deve ser resfriado a temperaturas muito baixas. É o sensor de maior sensibilidade, podendo detectar
campos da ordem de 10-14 T.
A Figura 12 mostra o esquema de um magnetômetro constituído de um sensor indutivo ligado
a um amplificador de instrumentação. A tensão nos terminais do sensor é obtida a partir da Lei de
Faraday na seguinte forma:
Vs (t )  
d
dB(t )
  Ne A
dt
dt
(17)
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Figura 12 – Esquema de medição de campo magnético usando sensor indutivo.
Onde  é o fluxo magnético no sensor, Ne é o número de espiras do sensor e A é a área da
seção transversal do sensor. Se o campo magnético varia senoidalmente no tempo segundo a equação
(18):
B(t )  Bmax cos(2 f t )
(18)
A tensão induzida no sensor também será senoidal com mesma frequência:
Vs (t )  2 f Ne A Bmax sen(2 f t )
(19)
Assim, medindo-se a amplitude da tensão e a frequência e conhecendo-se as características
construtivas do sensor, podemos calcular a amplitude da indução magnética. A sensibilidade de um
sensor indutivo é definida pela seguinte relação:
S
Vs max
 2 N e A
f Bmax
(20)
Tendo a unidade em Volts/(Testa Hertz) e depende unicamente de características construtivas.
Um sensor indutivo de alta sensibilidade pode ser construído usando-se um núcleo magnético
para concentrar a indução magnética no interior da bobina. Neste caso, a relação entre a indução
aplicada (Ba) e a indução total no sensor (Bs) é:
Bs
 c
Ba
(21)
Onde c é a permeabilidade magnética efetiva do núcleo.
Devido ao efeito de desmagnetização dos polos magnéticos abertos, a permeabilidade efetiva é
menor que a permeabilidade do material do núcleo. A Figura 13 ilustra o processo de
desmagnetização em um núcleo cilíndrico. A relação aproximada se r >> 1 é a seguinte:
c 
r
1  r N d
(22)
16
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Onde Nd é o fator de desmagnetização do núcleo ( Hd=-Nd M). Com isso, a sensibilidade do sensor é
obtida na seguinte forma:
S  2 Ne Ac
(23)
Figura 13 – Magnetização de um núcleo cilíndrico. A indução magnética no núcleo é maior do que a
indução aplicada. O campo magnético é menor dentro do núcleo devido ao campo desmagnetizante
Hd que é proporcional à magnetização M.
Métodos - O sistema de medição é composto de um sensor indutivo com núcleo de ferrite
(r=2000, Ls=47mm, Ds=8mm, Ns=85, Nd0.0311) conectado ao osciloscópio. Para gerar um campo
magnético de valor conhecido será usado um solenoide com núcleo de ar de comprimento L (485mm)
e com N (200) espiras de diâmetro 2R (75mm). O campo no eixo do solenoide é dado por:


z  L / 2

o i N   z  L / 2 

B

2 
2
2 L  R 2   z  L / 2 2
R   z  L / 2 

(24)
Também será usada uma bobina de Helmholtz com três espiras de raio R=400mm em cada lado. A
equação para a indução magnética nesse caso é:


μoiR2N 
1
1

B(z) =
+
3/2
3/2 

2
2
2
2
2
 R +  z - R / 2  
  R +  z + R / 2 

 
(25)
Onde z é a distância axial em relação ao centro.
Os equipamentos a serem utilizados nesta atividade prática são: Gerador de sinais TTi modelo
TG2000 para alimentar o solenoide (Bobina de Helmholtz) e osciloscópio Tektronics modelo TDS
2024B para medir a tensão induzida no sensor. Deve-se ajustar o gerador de sinais para fornecer
tensão senoidal com 10 Vpp na frequência de 1 kHz. Uma resistência de 100  (50 ) em série com o
17
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solenoide (Bobina de Helmholtz) limitará a corrente no valor adequado. Com o auxílio de uma régua,
posicionar o sensor dentro do solenoide (Bobina de Helmholtz) e registrar o valor do sinal gerado em
cada uma das posições indicadas na Tabela 1.
Tabela 5 – Posições e valores de tensão no sensor
no interior do solenoide e Bobina de Helmholtz.
z ( 10-2 m)
Vs ( mV )
Solenoide
Vs ( mV )
Helmholtz
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
Análise: Faça gráficos da indução magnética teórica e da indução magnética medida. Use a
sensibilidade estimada com a equação (23). Explique as razões das diferenças observadas entre
valores experimentais e teóricos.
Atividade 6 - Curva de Magnetização de Núcleos de Ferrite
Introdução: A obtenção e análise da curva de magnetização é uma técnica simples e eficiente
de caracterização de propriedades magnéticas de materiais. A estrutura de teste é mostrada na Figura
14. Um núcleo fechado do material em análise é usado para se construir um transformador de
potencial com dois enrolamentos. No primário, aplicamos tensão proveniente de um gerador de
sinais. Uma sonda de corrente é usada para medir a corrente primária. No secundário medimos a
tensão induzida. Através dos valores de tensão e corrente medidos podemos calcular o campo
magnético e a indução magnética no núcleo.
18
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Figura 14 – Esquema experimental para obter a curva de
magnetização de um núcleo magnético.
O campo magnético no interior do núcleo é facilmente calculado através da lei de Ampere. Na
posição de raio médio R, temos:
H
N1i
2 R
(26)
Através da lei de Faraday, podemos deduzir que o fluxo magnético no núcleo está relacionado
à tensão induzida no circuito.
V (t )   N 2
dm (t )
dt
(27)
Então, a indução magnética média no núcleo é obtida na seguinte forma em função da tensão
induzida:
t
B  Bo 
1
V (t ) dt 
N 2 S o
(28)
Onde Bo é a indução magnética inicial e S é a área da seção transversal do núcleo.
Métodos: O núcleo que será analisado é de ferrite fabricado e comercializado por
MAGMATEC – Tecnologia em Materiais Magnéticos Ltda (ver link abaixo), modelo MMT 107T6325,
Formato toroidal com seção quadrada. Dimensões: diâmetro externo 63 mm, diâmetro interno 38
mm, altura 25 mm e massa 0.23 Kg. (http://www.magmattec.com/magnetico/)
O transformador foi construído com 60 espiras de fio de cobre 26 AWG em cada enrolamento.
O transformador será alimentado pelo sinal de tensão proveniente de um gerador de sinais TTi
modelo TG2000 e amplificado por um circuito inversor com amplificador operacional OPA 548,
conforme mostra a Figura 15. A corrente e a tensão serão medidas em um osciloscópio Tektronix
modelo TDS 2024B. A corrente de entrada será medida através da queda de tensão em um resistor de
19
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1  em série com o enrolamento primário. Para obter ambos os sinais, serão usadas sondas de tensão
Tektronix modelo P2022. Os valores armazenados no osciloscópio serão transferidos para um
computador PC através de pen drive e gravados em um arquivo texto. A partir daí toda a análise
matemática dos sinais para obtenção dos campos e traçado da curva de magnetização, bem como os
cálculos complementares relativos às propriedades magnéticas do núcleo serão realizados através de
um aplicativo construído em linguagem MatLab. Os valores de tensão e frequência a serem usados
nos ensaios são mostrados na Tabela 6.
Figura 15– Circuito de amplificação e sensoriamento do transformador.
A Tabela 6 indica os valores de frequência e tensão de fonte que serão usados neste ensaio.
Tabela 6 – Tensão de fonte e frequência para
o ensaio de curva de magnetização
VF
(V)
frequência (Hz)
100
200
300
1.0
2.0
3.0
1.2
2.4
3.6
1.4
2.8
4.2
1.6
3.2
4.8
1.8
3.6
5.4
2.0
4.0
6.0
2.2
4.4
6.6
Análise: A Figura 16 mostra as formas de onda típicas para a tensão e corrente neste ensaio. O
programa de análise deve adquirir estas formas de onda e calcular o campo e a indução magnética no
núcleo usando as equações (26) e (28).
O programa deve gerar os gráficos de B x H e M x H, nos quais será possível obter o campo
coercitivo, a indução e magnetização de saturação e a indução e magnetização remanente do material.
20
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A energia dissipada por unidade de volume no ciclo de magnetização será calculada a partir
de da equação (29):
wdiss 

ciclo
H  dB  o

H  dM
(29)
ciclo
Figura 16 – Formas de onda de tensão e corrente no transformador
usado no ensaio de curva de magnetização.
Adquirindo diversas curvas de magnetização com diferentes amplitudes de campo e
frequência, pode-se obter as curvas de energia dissipada em função da amplitude da indução
magnética. Além disso, pode-se obter uma curva normal de magnetização e a partir dela calcular a
susceptibilidade e permeabilidade magnética do núcleo.
Tarefas a serem realizadas nesta análise:
a) Traçar as famílias de curvas de magnetização para cada frequência de ensaio;
b) Obter a indução remanente e o campo coercitivo do material em cada frequência;
c) Obter a curva normal de magnetização do material em cada frequência;
d) Obter a curva de permeabilidade magnética relativa do material em cada frequência.
Atividade 7 – Geração e Recepção de Ondas Eletromagnéticas
Introdução: Uma antena é um dispositivo de transição entre uma linha de transmissão ou guia
de ondas e o espaço livre. Tem por finalidade acoplar esses dois meios de modo que a onda guiada
possa se propagar para o espaço sem reflexão e na direção e sentido desejado. Embora existam
muitos tipos diferentes de antenas, o princípio básico é o mesmo para todas: a circulação de corrente
elétrica variável no tempo em um condutor qualquer gera campos elétrico e magnético variáveis no
tempo e parte da energia fornecida pela fonte no estabelecimento dessa corrente, é transportada na
21
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onda eletromagnética que se forma como resultado do acoplamento entre os campos segundo
determina as leis de Faraday e Ampere.
A irradiação de uma antena pode ser modelada a partir do potencial magnético gerado pela
sua distribuição de corrente. O exemplo mais simples é do dipolo infinitesimal ou dipolo hertziano
(Figura 17), na qual um segmento de fio condutor de comprimento infinitesimal posicionado na
origem do sistema de coordenadas irradia potencial magnético de acordo com a seguinte equação:
A
(30)
Iz e j r
uz
4 r
z
ur

u
r
u
z
y
i
x

Figura 17 – Irradiação de um dipolo hertziano
Onde I é o fasor de corrente no dipolo, z é seu comprimento e =/u é a constante de fase para a
propagação no espaço livre com frequência angular  e velocidade de fase u.
A partir do potencial magnético, os campos irradiados podem ser obtidos através das
seguintes equações:
H
E
 A
o
H  A

jo
joo
(31)
(32)
Na região de campo distante do dipolo hertziano (r>>/2), os campos são obtidos na
seguinte forma:
Io z2 sen  j r
E  j
e
4 r
H 
E
Zo
(33)
(34)
Onde Zo=(o/o)1/2  376,8  é a impedância característica do vácuo. Usando o vetor de Poynting,
podemos calcular a densidade de potência irradiada:
22
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2
1 E
sen 2
P
ur  C 2 ur
2 Zo
r
(35)
Onde C é uma constante que depende da amplitude da corrente, frequência e comprimento do
dipolo. Observamos que a irradiação ocorre preferencialmente no plano azimutal do dipolo
Hertziano (=/2) e diminui de intensidade com o inverso do quadrado da distância radial.
A partir desse modelo simples é possível obter os campos irradiados por antenas reais, desde
que se conheça a distribuição de corrente nos condutores. A antena mais comum é a dipolo linear,
representada na Figura 18. Quando alimentada pelo centro com corrente senoidal, esta antena
apresenta a seguinte distribuição espacial de corrente (z é a distância medida a partir de seu centro):
 L

I(z)  Io sen    z    z  0

 2
 L

I(z)  Io sen    z    z  0

 2
(36)
Figura 18 – Modelo para análise de uma antena dipolo linear.
Os campos irradiados são obtidos pela integração da equação (4) no comprimento da antena.
O resultado é sumarizado a seguir:
E  j
Zo Io e j r
F ()
2 r
 L

 L 
cos  cos    cos  



  
F () 
sen 
(37)
(38)
23
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A antena cujo comprimento é metade do comprimento de onda, denominada de dipolo de
meia onda, é a mais popular de todas as antenas lineares. Neste caso específico, temos:


cos  cos  
2


F () 
sen 
(39)
O diagrama de irradiação é uma representação em coordenadas polares da distribuição
espacial da intensidade de campo (|F()|) ou potência irradiada (F2()) pela antena segundo a função
F() (para outras antenas o ângulo azimutal pode ser necessário também). A Figura 19 apresenta os
diagramas de irradiação de potência e de campo para o dipolo de meia onda no plano vertical, ou
seja, com variação do ângulo polar, e no plano horizontal, com variação do ângulo azimutal.
Figura 19 – Diagramas de irradiação da antena dipolo de meia onda. O diagrama de campo é a
representação da função |F()| e o diagrama de potência é a representação da função F2().
O ganho diretivo é um parâmetro usado para caracterizar as propriedades direcionais de
antenas. É definido a partir da relação entre a intensidade da irradiação em uma direção específica e a
intensidade média irradiada pela antena. A intensidade da irradiação é definida pela seguinte relação
com a densidade de potência ou módulo do vetor de Poynting:
U ( , )  r 2 P( , )
(40)
Desse modo, a intensidade da irradiação não depende da distância à antena. O ganho diretivo
de uma antena é definido e calculado pela seguinte relação:
GD =
U (  , )
U med
(41)
24
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A intensidade média, por sua vez é calculada como segue:
2 
Umed  r Pmed  r
2
2 
  P(, )r sen d d   U(, )sen d d
2 0 0
2
2 

0 0
  r sen d d
2 
  sen d d
2
0 0

Pirr
4
(42)
0 0
Onde Pirr é a potência total irradiada pela antena. Assim, o ganho diretivo é obtido na seguinte forma:
GD = 4 
U (  , )
Pirr
(43)
Uma vez que a densidade de potência irradiada é proporcional ao quadrado da função F(),
podemos reescrever a equação anterior na forma dessa função que pode ser obtida através do
diagrama de irradiação da antena:
U (  , )
GD = 4
 4 2  
Pirr
F 2 (  , )
2
  F (, )sen d d
(44)
0 0
No caso de uma antena omnidirecional (irradiação isotrópica no plano azimutal), o cálculo do
ganho diretivo é simplificado para:
GD =
2F 2 ()

2
 F ()sen d
(45)
0
A diretividade (D) de uma antena é o seu ganho diretivo máximo (geralmente expresso em
dB):
D = 4
Umax ( , )
 4 2  
Pirr
2
Fmax
2
  F (, )sen d d
(46)
0 0
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Método e análise: Montar um sistema de transmissão usando o gerador de RF Agilent N9310A
e uma antena Yagi-Uda sintonizada em 500 MHz. Montar um sistema de recepção usando uma
antena dipolo de meia onda sintonizada em 500 MHz e o analisador de espectros Instek GSP830.
Separar os sistemas em pelo menos 10 metros e alinhar as antenas para mesma polarização e mesma
altura. Ajustar a potência gerada para 10 dBm e variar a frequência do sinal transmitido de 100 MHz
a 1 GHz (em passos de 100 MHz). Medir e anotar o sinal recebido. Analisar a resposta e discutir a
influência da frequência no resultado. Variar o ângulo de orientação da antena dipolo em passos de 5
graus ao longo de 360 graus e medir o sinal recebido em 500 MHz. Traçar o diagrama de irradiação
da antena dipolo de meia onda e calcular a sua diretividade.
Atividade 8 - Cálculo de Campo por Diferenças Finitas
Introdução: O método das diferenças finitas é baseado na transformação de equações
diferenciais em equações de diferenças e solução dessas equações em uma malha discreta de pontos
no espaço sob condições de contorno pré-estabelecidas. A partir da definição de derivada de uma
função, podemos estabelecer uma forma aproximada para calcular a taxa de variação de uma função
com base em variações finitas de sua variável independente:

f ( xo  x)  f ( xo )
df ( x)
( xo )  lim
x 0
dx
x

f ( xo )  f ( xo  x)
df ( x)
( xo )  lim

x

0
dx
x
(47)
Para a derivada existir, é necessário que os dois termos acima sejam finitos e iguais. Se
desejamos obter uma aproximação por diferenças finitas devemos ignorar o processo de passagem ao
limite e apenas considerar um incremento finito x arbitrariamente pequeno. Nesse caso, não se pode
garantir que os termos acima sejam iguais, portanto a melhor alternativa é tomar a média aritmética
deles. Assim, temos:
df ( x)
1  f ( xo  x)  f ( xo ) f ( xo )  f ( xo  x) 
( xo )  


dx
2
x
x

f ( xo  x)  f ( xo  x)

2x
(48)
Para a segunda derivada podemos usar um raciocínio semelhante. A expressão exata é a
seguinte:
(49)
f ( xo  x)  f ( xo )
d 2 f ( x)
( xo )  lim
2
x 0
dx
x
26
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Onde usamos o símbolo f´(x) para representar a primeira derivada. Para obter a segunda derivada
em diferenças finitas ignoramos o limite e representamos as derivadas no segundo termo pelas
respectivas aproximações.
d 2 f ( x)
1   f ( xo  x)  f ( xo )   f ( xo )  f ( xo  x)  
( xo ) 

2


dx
x  
x
x
 

f ( xo  x)  f ( xo  x)  2 f ( xo )

2
 x 
(50)
Método: Consideremos a equação de Laplace em coordenadas retangulares
d 2V ( x, y, z ) d 2V ( x, y, z ) d 2V ( x, y, z )


0
dx 2
dy 2
dz 2
(51)
Substituímos as derivadas pelas aproximações em diferenças finitas para obter no ponto
(xo,yo,zo) do espaço:
V ( xo  x, yo , zo ) V ( xo , yo  y, zo ) V ( xo , yo , zo  z )


2
2
2
 x 
 y 
 z 
V ( xo  x, yo , zo ) V ( xo , yo  y, zo ) V ( xo , yo , zo  z )


2
2
2
 x 
 y 
 z 
(52)
 1
1
1 
 2V ( xo , yo , zo ) 



  x 2  y 2  z 2 


O método das diferenças finitas consiste em discretizar o espaço com pequenos volumes
regulares como paralelepípedos em 3D ou retângulos em 2D. A Figura 20 ilustra esse processo para
uma análise bidimensional. Considerando apenas duas dimensões, a equação (51) pode ser reescrita
da seguinte forma no espaço discretizado:
 y 
V (i, j ) 
2
V (i  1, j )   x  V (i, j  1)   y  V (i  1, j )   x  V (i, j  1)
2
2
2
2
2  y    x  


2
(53)
27
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Figura 20 – Esquema de discretização para um problema bidimensional.
Por esta equação, podemos concluir que o potencial em uma posição qualquer do espaço
discreto é uma média ponderada dos potenciais vizinhos. A fim de obter os potenciais em cada nó da
malha de discretização espacial do problema analisado devemos escrever e resolver o sistema de
equações algébricas semelhantes à equação (53), uma para cada nó da malha. As condições de
contorno são usadas para completar as equações para os nós nas fronteiras da malha. Qualquer
método de solução de sistemas de equações lineares pode ser usado para obter a solução na forma de
um vetor de potencias.
Vamos avaliar o exemplo da Figura 20. Neste caso as condições de contorno são de potencial
prescrito nas superfícies externas do domínio. Quando o potencial é especificado em uma superfície
denominamos de condição de contorno de Dirichlet. Outra opção geralmente utilizada é a
especificação do campo elétrico normal na superfície, o que é denominado de condição de contorno
de Neumann. No caso apresentado, o domínio de análise é um retângulo de arestas Lx e Ly e o
Número de divisões é Nx e Ny, os incrementos nos dois eixos são x=Lx/Nx e y=Ly/Ny. As
coordenadas no espaço discreto são dadas xi=(i-1) x e yj=(j-1) y com i=1,2,3,...Nx e j=1,2,3,...Ny As
condições de contorno indicadas na Figura são: V=0 para (0xLx,y<0), (x<0,0yLy) e (x>Lx,
0yLy). V=Vo para (0xLx,y>Ly). A equação (53) fornece o potencial no caso geral. Nas fronteiras,
devemos substituir os termos que estão fora do domínio de análise pelo valor da condição de
fronteira correspondente. Por exemplo, na posição (1,1) temos o seguinte:
 y 
V (1,1) 
2
V (2,1)   x  V (1, 2)
2
2
2
2  y    x  


(54)
Na posição (1,Ny) temos o seguinte:
28
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V (1, N y ) 
 y 
2
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V (2, N y )   x  Vo   x  V (1, N y  1)
2
2
2
2
2  y    x  


(55)
E na posição (Nx,1<j<Ny) temos o seguinte:
V (Nx
 x 
, j) 
2
V ( N x , j  1)   y  V ( N x  1, j )   x  V ( N x , j  1)
2
2
2
2
2  y    x  


(56)
Análise: Construir um programa em MatLab para resolver o problema mostrado na Figura 20.
Traçar gráficos do potencial nas direções x e y e comparar com o resultado analítico (observe que o
resultados analítico é obtido na forma de uma série de senos conforme mostra a equação (57) abaixo).
Traçar linhas equipotenciais e obter a superfície de potencial no domínio de análise. Construir um
programa para fazer a análise de um capacitor de placas paralelas conforme Figura 21. Como
poderíamos calcular a capacitância dessa estrutura? Como poderíamos aplicar a condição de
contorno de Neumann neste caso?
V(x, y) 
4Vo

 n ímpar
 n 
 n 
sen  x  senh  y 
 Lx 
 Lx 
 nL y 
n senh 

 Lx 
(57)
Figura 21 – Uma representação bidimensional de um capacitor
de placas paralelas com potenciais simétricos nas placas condutoras.
O tracejado indica os limites do domínio de análise.
29