Com a obtenç˜ao de uma matriz em escada U termina a parte

Com a obtenção de uma matriz em escada U termina a parte “descendente” do método
de eliminação de Gauss. Neste momento verifica-se se o sistema obtido, U x = c, é possı́vel,
isto é, se não há equações com o primeiro membro nulo e o segundo não nulo.
Se o sistema for possı́vel, resolve-se “de baixo para cima” (parte “ascendente” do
algoritmo), se necessário obtendo algumas incógnitas — aquelas que estão a multiplicar
por pivots — em função das outras.
Às primeiras incógnitas chamamos incógnitas básicas, e às outras, que podem tomar
qualquer valor em R, chamamos incógnitas livres. Se houver incógnitas livres, o sistema
é indeterminado. Se só houver incógnitas básicas, o sistema é determinado.
O que governa o método de eliminação é a matriz A do sistema, e podemos olhar para
os sucessivos passos do algoritmo como respeitando apenas à matriz: o primeiro passo
a21
consiste em adicionar à segunda linha a primeira multiplicada por − , etc.
a11
Definição 2.6 A caracterı́stica de A — abreviadamente, car(A) — é o número de
pivots que aparecem quando se aplica a A o método de eliminação. Equivalentemente, car(A) é o número de linhas não nulas da matriz em escada U produzida
pelo algoritmo de eliminação aplicado a A. Uma matriz quadrada A n × n diz-se
não-singular se tiver caracterı́stica n. Se car(A) < n, a matriz A diz-se singular.
Exemplo 2.3 Considere as matrizes A, B e C do exemplo anterior. Tem-se car(A) = 2,
car(B) = 2 e car(C) = 3.


1 1 2
Exemplo 2.4 Considere a matriz A =  1 3 3  . Apliquemos a A o método de
2 8 12
eliminação de Gauss. Começamos por adicionar à segunda e terceira linhas de A a
primeira
por −1 e −2, respectivamente. A matriz resultante será
 linha multiplicada

1 1 2
A0 =  0 2 1 . Esta matriz não é ainda uma matriz em escada. Prosseguimos adicio0 6 8
nando à terceira linha de A0 a segundalinha multiplicada por −3. A matriz que obtemos
1 1 2

é a matriz em escada U = 0 2 1  . Tem-se car(A) = 3 (pois há três pivots : 1, 2 e
0 0 5
5) e A é não-singular.


1 1 2
Considere-se agora B =  2 6 6  . Adicionando à segunda e terceira linhas de B
2 2 4


1 1 2
a primeira linha multiplicada por −2 obtemos a matriz em escada U =  0 4 2  . Há
0 0 0
apenas dois pivots, 1 e 4. Logo car(B) = 2 e B é singular.
28