Uma esfera de 3 kg, caindo de

Física II
Ariana Fernandes Arantes
Camila Lumi Sakata
Mariane Bardella de Castro
Questão 14.83: Uma esfera de 3 kg, caindo de grande altura na atmosfera, tem
velocidade terminal de 25 m/s. (Admita-se que a força de arraste seja da forma
–bv). Imagine que a esfera seja pendurada numa certa mola com constante de força
k = 400 N/m e que ocile com amplitude inicial de 20 cm.
a) Qual a constante de tempo τ?
b) Em que instante a amplitude será de 10 cm?
c) Que energia terá sido dissipada até a amplitude chegar a 10 cm?
Resolução:
a) Ao cair da atmosfera, a esfera de massa m está sujeita uma força de
arraste dada por F = -bv. Considerando esta a única força atuando na esfera, pela
2ª Lei de Newton temos:
F=-b.v
m . a = -b . v
Como o movimento é devido a força gravitacional exercida pela Terra, a
aceleração neste caso é igual a g = - 9,81 m/s². Substituindo na esquação acima:
m . (- 9,81 m/s²) = -b . v
.(
,
)
b=
Pelo enunciado do exercício, temos:
m = 3 kg
v = 25 m/s
Logo,
b=
.(
,
/ ²)
/
= 1,177 kg/s
Para verificar o tipo de ocilação sofrida pela esfera, calculamos a relação entre
ω, frequência angular, e γ, coeficiente de amortecimento, onde γ =
ω=
k
m
400N/m
=
3kg
= 11,55 rad/s
1,177kg/s
b
γ = 2m =
= 0,1961/s
6kg
Assim ω >> γ, ou seja, temos uma ocilação sub-amortecida. Como γ é pequeno,
uma solução para a equação diferencial do movimento é dada por:
( /
x(t) = A .
)
. cos(ω’t + δ)
e a constante de tempo τ é dada por:
τ=
=
,
= 2,549 s
/
τ = 2,55 s
b) Pela equação do movimento, queremos o valor de t quando x(t) = 10cm = 0,1m
Pelo enunciado, A = 20 cm = 0,20 m. Calculamos a frequencia com amortecimento,
ω’ :
ω’ =
ω² − γ²= 11,55² − 0,1961² = 11,548 ≈ 11,55 rad/s
Como γ ≪ 1 e ω’ é muito próximo de ω, uma função para a amplitude pode ser dada
por:
A’ = A .
( /
)
=A.
/
Logo,
0,1 m = 0,2 m .
ln
/ .
/ .
= ln 0,5
t = 3,54 s
c) A energia inicial da mola, quando sua ampitude A = 0,2 m, é dada por:
E=
. ²
=
/ .( , )²
=8J
A energia final, quando sua amplitude é A’ = 0,1 m é dada por:
E’ =
/ .( , )²
=2J
Então, a energia dissipada é igual a E – E’:
Energia dissipada = 8 J – 2 J
Energia dissipada = 6 J
Bibliografia:
Paul A.Tipler - Física para cientistas e engenheiros – Quarta edição; V1.