1 1. Para um sistema massa-mola na horizontal, sem atrito

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1. Para um sistema massa-mola na horizontal, sem atrito, escreva a segunda lei de Newton e a resolva, encontrando a
função x(t) correspondente à solução geral do problema. A seguir, determine a solução particular para um sistema que:
(a) no instante 0 esteja em repouso e a uma distância A do ponto de equilíbrio;
(b) no instante 0 esteja no ponto de equilíbrio com uma velocidade vo .
(c) Esboce um gráfico para as soluções dos itens a e b, considerando k = 100N/m e m = 1kg.
2. Para um sistema massa-mola na horizontal, sem atrito, escreva a segunda lei de Newton e a resolva numericamente,
pelo método de Euler, utilizando uma planilha eletrônica. Apresente como resultado gráficos x X t e v X t e informe
qual o valor do passo ∆t utilizado. Anexe também o arquivo com a planilha elaborada. Suponha que:
(a) k = 1N/m , m = 1kg e que no instante 0, o corpo esteja em repouso e a uma distância A = 10cm do ponto de
equilíbrio;
(b) k = 10N/m , m = 1kg e que no instante 0, o corpo esteja em repouso e a uma distância A = 10cm do ponto de
equilíbrio;
(c) k = 1N/m , m = 1kg e que no instante 0 esteja no ponto de equilíbrio com uma velocidade vo = 1m/s.
(d) k = 10N/m , m = 1kg e que no instante 0 esteja no ponto de equilíbrio com uma velocidade vo = 1m/s.
(e) Comente cada resultado
3. Utilizando o programa Modellus, construa um modelo para um sistema massa-mola oscilando na horizontal, sem atrito.
Permita que o usuário possa variar a massa do sistema, a constante elástica da mola, a posição e a velocidade iniciais.
Crie uma animação em que esteja representada a mola, o movimento da partícula e os vetores velocidade e força
resultante. Produza gráficos x X t; v X t; Ec X t; Epel X t; Emec X t e, por fim, v X x (espaço de fases). Varie as
condições iniciais e redija um texto discutindo todos os resultados.
4. Para um sistema massa-mola na vertical, sem atrito, escreva a segunda lei de Newton e a resolva, encontrando a função
y(t) correspondente à solução geral do problema. Defina claramente a trajetória adotada, explicitando sua origem e
seu sentido. A seguir, determine a solução particular para um sistema que, no instante 0, seja solto a partir do ponto
em que a mola está relaxada.
5. Utilizando o programa Modellus, construa um modelo para um sistema massa-mola oscilando na vertical, sem atrito.
Permita que o usuário possa variar o comprimento lo da mola relaxada, a massa m do sistema, a constante elástica
k da mola, a posição e a velocidade iniciais. Crie uma animação em que esteja representada a mola, o movimento da
partícula e os vetores velocidade, força peso, força elástica e força resultante. Produza gráficos y X t; v X t; Ec X t;
Epel X t; Epg X t; Ep ≡ Epel +Epg ; Emec X t. Varie as condições iniciais e redija um texto discutindo todos os resultados.
6. Quando um nadador caminha até a extremidade de um trampolim horizontal, ele desce ∆y = 5cm, sob a ação da força
peso, atingindo nesse instante a posição de equilíbrio. Desprezando a massa do trampolim e supondo que a força que o
trampolim exerce sobre o nadador seja proporcional ao seu deslocamento ∆y,
(a) Calcule a constante de proporcionalidade k que relaciona a força exercida pelo trampolim e o deslocamento ∆y.
(b) Estabelecendo uma trajetória orientada para cima e com a origem no ponto de equilíbrio, determine a expressão
da força resultante atuante sobre o nadador quando ele se encontra em uma posição arbitrária y.
(c) Escreva a segunda lei de Newton para uma posição arbitrária y e a resolva, encontrando a solução geral y(t).
(d) Qual o período de oscilação do nadador?
7. Uma conta de massa m, enfiada num aro vertical fixo de raio r, no qual desliza sem atrito, desloca-se
em torno do ponto mais baixo, de tal forma que o ângulo θ permanece pequeno.
r
θ
m
−−→
(a) Escreva a expressão para a força resultante na direção tangencial FRtg .
−−→
(b) Considerando θ pequeno, escreva uma aproximação linear para FRtg .
(c) Escreva e resolva a segunda lei de Newton para o movimento, determinando a solução geral θ(t). Qual o período
do movimento?
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8. Uma conta de massa m, enfiada num aro vertical fixo de raio r, no qual desliza sem atrito, desloca-se
em torno do ponto mais baixo.
r
θ
m
−−→
(a) Escreva a expressão para a força resultante na direção tangencial FRtg .
(b) Utilizando o programa Modellus, construa um modelo para o movimento, que permita ao usuário variar o raio r
e as posição e velocidade angular (θ e Ω) iniciais. Lembre de definir no programa a opção para θ em radianos.
(c) Construa gráficos θ X t, Ω X t, Ec X t, Epg X t, Emec X t e θ X Ω (espaço de fases).
(d) Analise o que acontece com a periodicidade do movimento quando θ0 permanece pequeno (< 10o ) e conforme se
define um valor inicial para θ cada vez maior. Compare os diversos gráficos θ X t conforme se aumenta θ0 até o
valor máximo π/2.
(e) Utilizando θ0 = 0, faça simulações com valores cada vez maiores de Ω0 até que o movimento sofra uma mudança
qualitativa.
(f) Redija um texto explicando os resultados das várias simulações.
A
Trem
9. Se admitirmos que a Terra tem densidade de massa uniforme, é possível mostrar que
uma partícula de massa m, dentro da superfície da Terra tem uma força gravitacional de
módulo F = mgr/R exercida pela Terra, onde g = 9, 8m/s2 , r é a distância do centro
da Terra à partícula e R é o raio da Terra. A força é dirigida para o centro da Terra.
Suponha um túnel escavado através da Terra, tal que um trem possa viajar em linha
reta da cidade A à cidade B. Suponha também que as únicas forças que atuam sobre o
trem sejam a força gravitacional exercida pela Terra e a normal, exercida pelos trilhos.
x(t)
0
b
B
(a) Calcule a força resultante FR como função da posição x do trem e dos parâmetros que ficam constantes ao longo
do movimento. Esboce um gráfico de FR × x.
(b) Mostre que, se o trem parte do repouso, o tempo necessário para o percurso entre duas cidades quaisquer é 42 min,
independentemente da distância entre elas.
A
Trem
y(t)
10. Se admitirmos que a Terra tem densidade de massa uniforme, é possível mostrar que
uma partícula de massa m, dentro da superfície da Terra tem uma força gravitacional
de módulo FG = mgr/R exercida pela Terra, onde g = 9, 8m/s2, r é a distância do
centro da Terra à partícula e R é o raio da Terra. A força é dirigida para o centro da
Terra. Suponha um túnel escavado através da Terra, tal que um trem possa viajar em
linha reta da cidade A à cidade B. Suponha também que as únicas forças que atuam
sobre o trem sejam a força gravitacional exercida pela Terra e a normal, exercida pelos
trilhos.
0
x
B
−→
(a) Escreva a expressão para a Força Gravitacional exercida pela Terra FG (componentes ~i e ~j) como função da posição
y do trem e dos parâmetros que ficam constantes ao longo do movimento.
~ como função da posição y do trem e dos parâmetros que ficam constantes
(b) Escreva a expressão para a força Normal N
ao longo do movimento.
(c) Escreva a expressão para a força Resultante F~R como função da posição y do trem e dos parâmetros que ficam
constantes ao longo do movimento.
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(d) Utilizando o programa Modellus, construa um modelo que permita simular o movimento do trem e que permita
ao usuário variar o raio da Terra, a distância x que o túnel está do centro da Terra e as posição y0 e velocidade
vy0 iniciais.
(e) Escreva um texto comentando os resultados obtidos.
11. A energia de interação em uma molécula diatômica pode ser modelada pela função:
U (r) = D
a 12
r
−2
a 6 r
Utilizando o programa Modellus,
(a) Faça um gráfico de U × r.
(b) Calcule o valor da força de interação F entre os dois átomos. Ela pode ser calculada por F = − dU
dr . Faça o gráfico
de F × r e determine a posição r0 correspondente ao equilíbrio dos dois átomos da molécula.
(c) Imaginando um dos dois átomos rigidamente preso à origem, faça um modelo para o movimento do outro átomo,
que permita ao usuário a definição dos parâmetros D, a, e das posição e velocidade iniciais do átomo.
(d) Produza gráficos de x X t; v X t; Ec X t; U X t; Emec X t , v X x (espaço de fases) e, por fim, EC X x.
(e) Analise o período do movimento.
(f) Redija um texto comentando os resultados.
12. Para um sistema massa-mola na horizontal, com atrito (Fat = −b.v), escreva a segunda lei de Newton e a resolva,
considerando a situação de sub-amortecimento, encontrando a função x(t) correspondente à solução geral do problema.
A seguir, determine a solução particular para um sistema que:
(a) no instante 0 esteja em repouso e a uma distância A do ponto de equilíbrio;
(b) no instante 0 esteja no ponto de equilíbrio com uma velocidade vo .
(c) Esboce um gráfico para as soluções dos itens a e b, considerando k = 100N/m e m = 1kg e b = 10kg/s.
13. Para um sistema massa-mola na horizontal, com atrito (Fat = −b.v), escreva a segunda lei de Newton e a resolva,
considerando a situação de super-amortecimento, encontrando a função x(t) correspondente à solução geral do problema.
A seguir, determine a solução particular para um sistema que:
(a) no instante 0 esteja em repouso e a uma distância A do ponto de equilíbrio;
(b) no instante 0 esteja no ponto de equilíbrio com uma velocidade vo .
(c) Esboce um gráfico para as soluções dos itens a e b, considerando k = 100N/m e m = 1kg e b = 30kg/s.
14. Para um sistema massa-mola na horizontal, com atrito (Fat = −b.v), escreva a segunda lei de Newton e a resolva, considerando a situação de amortecimento crítico, encontrando a função x(t) correspondente à solução geral do problema.
A seguir, determine a solução particular para um sistema que:
(a) no instante 0 esteja em repouso e a uma distância A do ponto de equilíbrio;
(b) no instante 0 esteja no ponto de equilíbrio com uma velocidade vo .
(c) Esboce um gráfico para as soluções dos itens a e b, considerando k = 100N/m e m = 1kg e b = 20kg/s.
15. Utilizando o programa Modellus, construa um modelo para um sistema massa-mola oscilando na horizontal, com atrito.
Permita que o usuário possa variar a massa do sistema, a constante elástica da mola, o coeficiente b de atrito e a posição
e a velocidade iniciais. Crie uma animação em que esteja representada a mola, o movimento da partícula e os vetores
velocidade, força elástica, força de atrito e força resultante. Produza gráficos x X t; v X t; Ec X t; Epel X t; Emec X t
e, por fim, v X x (espaço de fases). Varie as condições iniciais e os parâmetros, possibilitando a análise dos casos de
super-amortecimento, sub-amortecimento e amortecimento crítico. Redija um texto discutindo todos os resultados.
16. Utilizando o programa Modellus, construa um modelo para um sistema massa-mola oscilando na horizontal, com atrito e
submetido a uma força externa Fext = F0 . cos(ωe t). Permita que o usuário possa variar a massa do sistema, a constante
elástica da mola, o coeficiente b de atrito, F0 , ωe e a posição e a velocidade iniciais. Crie uma animação em que esteja
representada a mola, o movimento da partícula e os vetores velocidade, força elástica, força de atrito. força externa
e força resultante. Produza gráficos x X t; v X t; Ec X t; Epel X t; Emec X t e, por fim, v X x (espaço de fases). Varie
as condições iniciais, mantendo fixos os valores dos demais parâmetros, de maneira a demonstrar a distinção entre o
transiente e o estado estacionário. Mostre, dessa forma, que o estado estacionário é independente das condições iniciais
(isso fica particularmente evidente pela análise do gráfico do espaço de fases). Redija um texto discutindo os resultados.
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17. Utilizando o programa Modellus, construa um modelo para um sistema massa-mola oscilando na horizontal, com atrito
e submetido a uma força externa Fext = F0 . cos(ωe t). Permita que o usuário possa variar a massa do sistema, a
constante elástica da mola, o coeficiente b de atrito, F0 , ωe e a posição e a velocidade iniciais. Crie uma animação em
que esteja representada a mola, o movimento da partícula e os vetores velocidade, força elástica, força de atrito. força
externa e força resultante. Produza gráficos x X t; v X t; Ec X t; Epel X t; Emec X t e, por fim, v X x (espaço de fases).
Varie os parâmetros, partindo das condições iniciais x0 = v0 = 0, de maneira a encontrar o valor de ωe para o qual
ocorre o fenômeno de ressonância. Mostre que, se o coeficiente de atrito é nulo, a amplitude do sistema na situação de
ressonância → ∞, mas que se o atrito aumenta, a amplitude tende a um valor grande e determinado. Redija um texto
discutindo os resultados.
18. Utilizando o programa Modellus, construa um modelo para 2 partículas ligadas entre si por uma mola de constante
elástica k e ligadas cada uma a uma parede fixa por uma mola de constante elástica k1 , conforme a figura. Suponha
que todas as molas possuem comprimento relaxado l0 . Algumas dicas: (i) a posição de cada partícula é descrita por x1
e x2 , mas o deslocamento de cada mola é dado respectivamente por x1 − l0 , d12 − l0 e 3l0 − x2 − l0 = 2l0 − x2 . (ii) a
mola do meio atua nas duas partículas.
(a) Determine a força resultante atuante em cada partícula.
(b) Construa um modelo que permita ao usuário variar o valor de l0 , de k1 , de k e das posições e velocidade iniciais
de cada partícula.
(c) Atribua um valor para k muito menor que o atribuído para k1 . Parta de uma condição inicial em que apenas a
partícula 1 esteja em uma posição diferente da de equilíbrio. Observe o fenômeno de batimento.
(d) Produza gráficos x1 X t; v1 X t; Ec1 X t; Epel1 X t; Emec1 X t ;x2 X t; v2 X t; Ec2 X t; Epel2 X t; Emec2 X t; Emectot X t.
(e) Redija um texto discutindo todos os resultados.
d12
x1
k1
k
k1
2
1
x2
19. Utilizando o programa Modellus, construa um modelo para 10 partículas ligadas entre si por uma mola de constante
elástica k e ligadas, nos extremos, a uma parede fixa por molas de constante elástica k1 e k2 , conforme a figura.
Suponha que todas as molas possuem comprimento relaxado l0 . Algumas dicas: (i) a posição de cada partícula é
descrita por x1 , x2 , etc mas o deslocamento de cada mola é dado respectivamente por x1 − l0 , d12 − l0 , d23 − l0 , ..., e
11l0 − x10 − l0 = 10l0 − x10 . (ii) todas as partículas sofrem a ação de 2 molas.
(a) Determine a força resultante atuante em cada partícula.
(b) Construa um modelo que permita ao usuário variar o valor de l0 , de k1 , k2 , k e das posições e velocidade iniciais
de cada partícula.
(c) Atribua um mesmo valor para k, k1 e k2 . Parta de uma condição inicial em que apenas as molas 1 e 2 estão
"comprimidas", enquanto as demais estão relaxadas. Veja a propagação do "pulso" gerado. Verifique como se
modifica a velocidade de propagação do pulso, conforme aumenta o valor das constantes elásticas. (O que ocorre
se os k’s quadruplicam? Se são multiplicados por 100?)
(d) Produza gráficos x1 , x2 , ..., xn X t. (todos no mesmo gráfico)
(e) Redija um texto discutindo todos os resultados.
d12
...
x1
k
k
k1
1
2
k
k
3
...
k2
10
x2
20. Utilizando o programa Modellus, construa um modelo para 10 partículas ligadas entre si por uma mola de constante
elástica k e ligadas, nos extremos, a uma parede fixa por molas de constante elástica k1 e k2 , conforme a figura. Suponha
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que todas as molas possuem comprimento relaxado l0 . Na primeira partícula, suponha a aplicação de uma força externa
Fe = F0 cos(ωe t). Algumas dicas: (i) a posição de cada partícula é descrita por x1 , x2 , etc mas o deslocamento de cada
mola é dado respectivamente por x1 − l0 , d12 − l0 , d23 − l0 , ..., e 11l0 − x10 − l0 = 10l0 − x10 . (ii) todas as partículas
sofrem a ação de 2 molas.
(a) Determine a força resultante atuante em cada partícula.
(b) Construa um modelo que permita ao usuário variar o valor de l0 , de k1 , k2 , k e das posições e velocidade iniciais
de cada partícula.
(c) Atribua k = k1 = k2 = 100, F0 = 100 e ωe = 2, 82. Parta de uma condição inicial em que todas as partículas estão
em equilíbrio. Observe o estabelecimento de uma ressonância com o "primeiro harmônico" de oscilação. Observe
o que acontece quando se modifica ligeiramente o valor de ωe . Multiplique o valor de ωe por 2 e 3 e observe o
resultado.
(d) Produza gráficos x1 , x2 , ..., xn X t. (todos no mesmo gráfico)
(e) Analise o que ocorre se fazemos k1 = k2 = 0 (mas mantendo o valor de k e de ωe ).
(f) Analise o que ocorre se fazemos k1 = 0, k2 = k = 100, ωe = 1, 49 ou ωe = 4, 46.
(g) Redija um texto discutindo todos os resultados.
d12
...
x1
k
k
k1
1
2
k
k
3
...
k2
10
x2
21. Discuta a relação entre a velocidade de caminhada e o período natural de oscilação de um pêndulo. Explique por que
astronautas na Lua parecem se mover em "câmera lenta". Referência: http://axpfep1.if.usp.br/~otaviano/Andar.html
22. Explique a origem do fenômeno de ressonância através da discussão da relação entre a freqüencia natural de oscilação
e a freqüencia de uma força externa. Explique quando e porque ocorre este fenômeno. Discuta diversos exemplos.