2014-Optica-C01-Feixe Gaussiano.key

Introdução à Óptica
(4300327)
Prof. Adriano Mesquita Alencar
Dep. Física Geral
Instituto de Física da USP
D01
Feixe Gaussiano
1
2
Feixe de Gauss
Apesar da natureza da luz deixar a possibilidade de transporte
idealizado, sem espalhamento…
Na realidade a luz pode ser transportada apenas confinada na forma
de feixes, que são quase localizados e quase não divergentes.
Os dois extremos do confinamento:
(angular) -> a onda plana: As normais de frente de onda (raios) de uma onda plana coincidem com a direção de
deslocamento da onda, então não se espalha angularmente, mas a energia se estende
espacialmente ao longo de todo o espaço.
(espacial) -> a onda esférica: A onda esférica, em contraste, se origina a partir de um único ponto espacial, mas tem as
normais de frente de onda (raios) que divergem em todas as direcções angulares.
(Lembrando) Ondas cujas normais frente de onda fazer pequenos ângulos com o eixo z são
chamados de ondas paraxiais. Eles devem satisfazer a equação de Helmholtz paraxial, que
derivamos. O feixe de Gauss é uma solução importante dessa equação que apresenta as características de
um feixe óptico, como atestam os seguintes recursos:
3
1. A potência do feixe está principalmente concentrada dentro de um pequeno
cilindro que envolve o eixo do feixe.
2. A distribuição da intensidade de qualquer plano transversal é uma função de
Gauss simétrica circular centrada sobre o eixo do feixe.
3. A largura desta função é mínima na cintura do feixe e gradualmente torna-se
maior à medida que a distância entre os aumentos de cintura em ambos os sentidos.
4. As frentes de ondas são aproximadamente planar perto da cintura do feixe,
gradualmente se curva com o aumento da distância para a cintura, e em última
instância, torna-se aproximadamente esférica longe da cintura.
5. A divergência angular das normais de frente de onda assumem o valor mínimo
permitido pela equação de onda para uma determinada largura de feixe.
Sob condições ideais , a luz a partir de muitos tipos de laser toma a forma de um
feixe de Gauss.
4
Raios Paraxiais
(r) = A(r)e ikz
(Eq. do livro 2.2-20)
O envelope A(r) é aproximadamente constante dentro da vizinhança
de um comprimento de onda. Para a amplitude complexa da função
de onda satisfazer a Eq. de Helmholtz, A(r) deve satisfazer:
5
Raios Paraxiais
(Ver B4 Otica Ondulatoria II)
2
rT A
@A
i2k
=0
@z
Onde
2
2
@
@
2
rT =
+
@x2
@y 2
A solução mais simples dessa equação é a onda paraboloide
✓
◆
2
A1
⇢
A(r) =
exp
ik
, ⇢2 = x2 + y 2
z
2z
A paraboloide é uma aproximação paraxial da onda esférica
quando x e y são muito menores do que z.
6
@A
i2k
=0
@z
Uma vez que a Eq. da paroboloide é uma solução da Eq. de
Helmholtz,
✓
◆
2
A1
⇢
A(r) =
exp
ik
, ⇢2 = x2 + y 2
z
2z
2
rT A
uma versão transladada por uma constante em z também será:
✓
◆
2
A1
⇢
A(r) =
exp
ik
, ⇢2 = x2 + y 2 , q(z) = z ⇠
q(z)
2q(z)
onde ξ é uma constante. Essa Eq. é uma paraboloide centrada em
z = ξ ao invés de z = 0. Isso é verdade mesmo que ξ seja um
numero complexo, ou puramente complexo.
7
Raios Paraxiais
A1
A(r) =
exp
q(z)
✓
2
⇢
ik
2q(z)
◆
, ⇢2 = x2 + y 2 , q(z) = z + iz0
A quantidade q é conhecida como parâmetro q e z0 é o
Rayleigh-range.
Para separar a parte Real da Imaginaria escrevemos:
1
1
1
=
=
q(z)
z + iz0
R(z)
i
8
substituindo
⇡W 2 (z)
Raios Paraxiais
W0
(r) = A0
exp
W (z)

2
⇢
exp
2
W (z)
Parâmetros independentes
A0 e z0
A
A0 =
1
iz0
lim W (z) = zW0
z!1
lim R(z) = z
z!1
⇡
lim ⇣ =
z!1
2
9

2
⇢
ikz ik
+ i⇣(z)
2R(z)
s
✓ ◆2
z
W (z) = W0 1 +
z0

⇣ z ⌘2
0
R(z) = z 1 +
z
1 z
⇣ = tan
z0
r
z0
W0 =
⇡
Intensidade do feixe
W0
(r) = A0
exp
W (z)
I(r) = | (r)|
I(⇢, z) = I0
2


2
⇢
exp
2
W (z)

2
ikz
⇢
ik
+ i⇣(z)
2R(z)
é uma função de z e de ρ
W0
W (z)
I(⇢, z)|⇢=0 = I0

2
exp
W0
W (z)

2⇢2
W 2 (z)
2
=
1+
10
, ⇢=
I0
⇣ ⌘2
z
z0
p
x2 + y 2
I(0, 0) = I0
I(⇢, z)|⇢=0 = I0

W0
W (z)
11
2
=
1+
I0
⇣ ⌘2
z
z0
Potência
P =
Z
1
I(⇢, z)2⇡⇢d⇢
0
1
2
P = I0 (⇡W0 )
2
Independente de z
Feixes ópticos são usualmente caracterizados pela potência P
então é util escrever I0 em temos de P e então:

2
2P
2⇢
I(⇢, z) =
exp
2
⇡W (z)
W 2 (z)
12
Potência
A fração da potência dentro de um circulo de raio ⇢0
1
P
Z
⇢0
I(⇢, z)2⇡⇢d⇢ = 1
0
exp

2
2⇢0
W 2 (z)
Para ⇢0 = W (z)
89% da potência
Para ⇢0 = 1.5W (z)
99% da potência
13
Potência
Para ⇢0 = W (z)
89% da potência
Para ⇢0 = 1.5W (z)
99% da potência
Em qualquer plano transverso, a intensidade tem o seu pico
no eixo do feixe, diminuindo por um fator de 1/e2 a uma
distância radial ⇢0 = W (z)
Chamamos então W(z) de largura do feixe
W (z) = W0
s
14
1+
✓
z
z0
◆2
Largura do Feixe e Divergência
W (z) = W0
Divergência
s
1+
✓
z
z0
W0
✓0 =
=
z0
⇡W0
Para z ≫ z0
◆2
(Paraxial)
z
W (z) ⇡ W0 = ✓0 z
z0
15
2z0 =
2⇡W02
Na pagina de um fabricante de Laser:
Lasers became the first choice of energy source for a steadily increasing number of applications in science,
medicine and industry because they deliver light energy in an exceedingly useful form and set of features. A
comprehensive analysis of lasers and laser systems goes far beyond the measurement of just output power and
pulse energy. The most commonly measured laser beam parameters besides power or energy are beam diameter
(or radius), spatial intensity distribution (or profile), divergence and the beam quality factor (or beam parameter
product). In many applications, these parameters define success or failure and, therefore, their control and
optimization seems to be crucial.
16
Fase
W0
(r) = A0
exp
W (z)
Onde a fase é:

2
⇢
exp
2
W (z)
⇢2
' = kz + k
2R(z)
No eixo do feixe: ' = kz
Fase de uma
onda plana

ikz
(ver Pag. 8 e 9)
2
⇢
ik
+ i⇣(z)
2R(z)
⇣(z)
⇣(z)
Retardo da fase em relação a uma
onda plana, ou onda esférica, Efeito
Gouy
17
Fase
Onde a fase é:
⇢2
' = kz + k
2R(z)
No eixo do feixe: ' = kz
Fase de uma
onda plana
⇣(z)
⇣(z)
Retardo da fase em relação a
uma onda plana, ou onda
esférica, Efeito Gouy
18
wave front. It also determines the resonant frequention constant. A general expression is given for
3
cies of transverse modes in laser cavities. In nonGouy phase shift in terms of the expectation va
linear optics the Gouy shift affects the efficiency of the
of the transverse momenta. It yields the correct
generation of odd-order harmonics
with
focused
ues for both
April 15, 2001
/ Vol.
26, No. beams.
8 / OPTICS LETTERS
485 line and point focusing and also expl
It also plays a role in the lateral trapping force at the
the phase shift in front of the Kirchhoff diffrac
focus of optical tweezers and leads to phase velocities
integral.
Physical
origin
phase
shift
that
exceed the
speedof
of the
light Gouy
in vacuum.
Recently
Consider a monochromatic wave of frequenc
we pointed out the effect of the Gouy phase shift on
and wave number k ! v!c propagating along th
direction. For an infinite plane wave, the momen
the temporal prof
of a
electromagnetic
Siminile
Feng*
andsingle-cycle
Herbert G. Winful
4,5
which is proportional to k, is z directed and ha
and made a direct observation of the polarpulse
Department of Electrical Engineering and Computer Science, University of Michigan,
transverse components. The spread in transv
ity reversal1301
that
results
a Gouy
phase shift of
Beal Avenue,
Annfrom
Arbor, Michigan
48109-2122
momentum is zero and hence, by the uncerta
p.6 Another direct observation of a p!2 Gouy phase
Received October
10, 2000
principle, the spread in transverse position is infi
shift of terahertz beams
in a cylindrical
focusing geWe show explicitly
that
the well-known
Gouy
phase shift7 of any focused beam originates from transverse
A finite beam, however, will have a spread in tr
ometry
was
reported
recently.
spatial confinement, which, through the uncertainty principle, introduces a spread in the transverse momenta
Although
Gouyvalue
made
his propagation
discovery
moreA general
than expression
100 isWe
verse
momentum
because
it is made
up
of an ang
and hence a shift
in the expectation
of the axial
constant.
givenshow
explicitly
that
the
Gouy
phase
shift
for the Gouy
phase shift
in terms
of expectation
squaresmade
of the transverse
momenta. Our spectrum
result
years
ago,
efforts
are values
stillof the
being
to provide
of plane waves obtainable by means
also explains the phase shift in front of the Kirchhoff diffraction integral. © 2001 Optical Society of America
of
any
focused
beam originates
from
the
a
simple
and
satisfying
physical
interpretation
of
Fourier
transform.
The
wave
number
is relate
OCIS codes: 050.5080, 050.1940, 050.1960.
8
transverse
spatial confinement,
through
this phase anomaly. An earlier paper provided an
these transverse
components which,
through
the uncertainty principle,
introduces
a2spread
intuitive
explanation
this phase
anomaly
based on
2
2
2
phase shift
is the well-known
np!2 of
axial
q associated
with a Gaussian
beam.11,12 This sophis! kx 1and
ky hence
1 kz a, shift in
kmomenta
t that a the
converging
light waveproperties
experiences of ticated
modernbeams.
interpretation
requires
of
in knowledge
the transverse
geometrical
Gaussian
Hows throughever,
its focus
in propagating
fromcannot
2`
such
concepts
as anholonomy
and is far from being
that
argument
explain
the
p!2 phase
where
kx , ky , and
the
expectation
valuekzofare
the the
axialwave-vector
propagation compon
ere the dimension n equals 1 for a line fointuitive.
shift
cylindrical
recent
papera simple
an intuitive
alongexplanatheAcoordinate
axes. Inasmuch
rical wave)
and for
equals
2 for a pointfocusing.
focus
InIn
thisaLetter
we provide
constant.
general expression
is given foras
thek "!v!
wave). interpretation
This phase anomaly
irst ob- phase
tion of
the physical
origin of the Gouy phase
shift. We
ofwas
thef Gouy
shift
as a geometrical
constant,
the
presence
of
the
transverse compon
Gouy
phase
shift
in
terms
of
the
expectation
1–3
9
and was shown
to exist
any proposed.
Gouy quantum
show explicitlyWhereas
that the Gouythis
phase shift of any focused
effect
wasforalso
reduces the magnitude of the axial component from
luding acoustic waves, that pass through a
beam originates from the transverse values
spatial confineof the transverse momenta. It yields the
interpretation
is
satisfying
in
its
simplicity,
the
convalue
of
kz ! k for an infinite plane wave propaga
e Gouy phase shift plays an important role
ment, which, through the uncertainty principle, introcorrect
values
for both
point
focusing
It explains
the phase
for the
secducesappears
a spread in
the transverse momenta
andz.hence
nection
to advance
quantum
mechanics
unnecessary
along
Because
of line
the and
f inite
spread
in wave-ve
uygens wavelets
emanating
from
a
primary
a
shift
in
the
expectation
value
of
the
axial
propagaand
also explains
phase shift to
in deal
front with
of average
because Gouy showed that the phase jump exists for
components,
it isthe
appropriate
. It also determines the resonant frequention constant. A general expression is given for the
the
Kirchhoff
diffraction
integral.
waves,
It shift
hasinalso
expectation
def ined
by
non- waves.
nsverse all
modes
in laserincluding
cavities.3 Insound
Gouy phase
termsbeen
of the expectation
values values
cs the Gouy
shift affects
the efficiency
of the
of shift
the transverse
momenta. It yields the correct valsuggested
that
the Gouy
phase
is a manifestation
R1`
2
of odd-order
harmonics
with
focused
beams.
ues
for
both
line
and
point
focusing
and
also
explains
of a general Berry phase, which is an additional geo2` jjf "j#j dj ,
ys a role in the lateral trapping force at the
the phase shift in front of the Kirchhoff diffraction
$j% & R1`
2 dj
metric
(topological)
phase
acquired
by
a
system
after
a
tical tweezers and leads to phase velocities
integral.
jf
"j#j
2`
d the speed
of light
in vacuum.
Recently in parameter
Consider a monochromatic
wave of frequency v
cyclic
adiabatic
evolution
space.10 The
! v!c
propagating
along the
out theparameter
effect of the Gouy
on inand
wave
number
where
f "j#z is the distribution of the variabl
thatphase
is shift
cycled
the
case
of kthe
Gouy
direction. For an infinite plane wave, the momentum,
ral prof ile of a single-cycle electromagnetic
Then
phase
is
the
complex
wave-front
of curvature
which radius
is proportional
to k, is z directed
and from
has no Eq. (1) we can def ine an effective a
d made a direct observation of the polar-
transverse components. The
al that results from a Gouy phase shift of
19 spread in transverse
0146-9592/01/080485-03$15.00/0
2001
Optical
momentum is zero and hence, by ©the
uncertainty
her direct observation of a p!2 Gouy phase
Society of America
Frente de Onda
2
2
⇢
⇣
z+
⇡
+q
2R
2⇡
2
z
x
y
= 2 + 2
c
a
b
Paraboloide
Essa é a equação da paraboloide com R sendo o Raio de Curvatura
Raio de curvatura
aproximado da frente de
onda
20
Frente de Onda
Onde a fase é:
⇢2
' = kz + k
2R(z)
⇣(z)
Representa a curvatura da frente
de onda para pontos fora do eixo

Uma superfície de fase constante
⇢2
k z+
⇣(z) = 2⇡q
satisfaz:
2R(z)
variam lentamente, e são praticamente
constantes nos pontos dentro da largura do feixe
⇢2
⇣
z+
⇡
+q
2R
2⇡
21
z
x2
y2
= 2 + 2
c
a
b
Paraboloide
22
23