FFI 115: Física Matemática II Lista #5................04 - 09 - 14 1.

FFI 115: Física Matemática II
Lista #5................04 - 09 - 14
1.- Com os polinômios de Hermite, execute as seguintes tarefas:
(a) da fórmula de Rodrigues deduza a função geratriz
(b) da função geratriz obtenha a fórmula geral dos polinômios
(c) da função geratriz obtenha as RR(1) e RR(2)
(d) da EDO obtenha as RR.
2.- Demonstre a ortogonalidade dos polinômios de Hermite partindo:
(a) da EDO; (b) das RR; (c) da função geratriz; (d) da fórmula de Rodrigues.
3.- Calcule a norma dos polinômios de Hermite: ‖H n x‖ 2 =
π 2 n n!
4.- (M) Desenvolva em série de Fourier-Hermite as seguintes funções:
(a) x 7 (b) e x (c) x 2n
5.- Provar as seguintes propriedades dos zeros dos polinômios de Hermite:
(a) os zeros são simples
(b) os zeros são todos reais.
6.- Defina |n⟩ = C n e − 2 x H n x , com C n =  π 2 n n! −1/2 e calcule os elementos de matriz
⟨m|Ω|n⟩ onde o operador Ω é escolhido da lista seguinte: x, x 2 , dxd ,  dxd  2 . Por exemplo:
1
2
1  n δm, n − 1 + n + 1 δm, n + 1
2
onde δm, n é o símbolo de Kronecker usual δ mn .
Use o MAPLE para executar as multiplicações matriciais!
⟨m|x|n⟩ =
7.- (M) Faça gráficos ( ”displays ”) com a probabilidade clássica e a quântica para vários
valores da energia: E 0 , E 1 , E 10 . [E n = ℏωn + 12 ] . Compare os resultados obtidos.
8- Determine a probabilidade clássica de posição do oscilador harmônico 1D.
9.- Demonstre ( por indução) a propriedade
1 2
1 2
2
x − d  n e − 2 x = −1 n e 2 x  d  n e −x
dx
dx
10.- Prove - usando o método algébrico - a ortogonalidade das autofunções do oscilador
harmônico 1D quântico.
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Bibliografia:
(1) Use os seguintes textos para estudar polinômios de Hermite:
E.D. RAINVILLE - Special Functions
E.BUTKOV- Física matemática
JOHNSON & JOHNSON - Mathematical Methods for Engineering and Physics
N.N.LEBEDEV - Special Functions and their applications
(2) Use a seguinte bibliografia para estudar o método algébrico de quantização:
E.SCHRÖDINGER: Proc.Roy.Irish Acad. A46:9 (1940)
E.SCHRÖDINGER: Proc.Roy.Irish Acad. A46: 183 (1941)
MARIO GOTO: ´´O método dos operadores na equação de Legendre´´ Rev.Bras.Ens.Física 16(1 - 4):21 - 25 (1994)
SHI-HAI DONG: ´´Factorization Method in Quantum Mechanics´´ - Springer - (2007)
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