TRIÂNGULO E FATOR DE POTENCIA (corr)

POTÊNCIA EM CIRCUITOS REATIVOS E CORREÇÃO
DE FATOR DE POTÊNCIA
UFPB – CT- DM- DISCIPLINA ELETROTÉCNICA
PROF. ANTONIO SERGIO
1) FUNDAMENTOS
Devido a natureza reativa de algumas cargas presentes no circuito que reagem contra a variação
da corrente ou da voltagem provocando atraso de fase em uma outra destas grandezas, a potência
média consumida por estas cargas, ou por um conjunto delas, ligadass à mesma fase do circuito de
alimentação é dada por:
P = V.I.cos()
(1)
Aonde P é potência média consumida, V é o valor eficaz da tensão do alimentador – que no caso do
Nordeste Brasileiro é de 220V, I é a corrente eficaz que circula pelas cargas e  é o defasamento
entre a esta corrente e aquela voltagem. O produto N = V. I ou S = V.I é a potência aparente e
cos() é conhecido como sendo o fator de potência, isto é, o fator que multiplicado pela potência
aparente dá o quanto da potência entregue é transformada (dissipada) em outra forma de energia
(mecânica, luminosa, térmica, etc).
Exemplo 1:
Uma certa geladeira traz as seguintes informações acerca de seu consumo:
- Alimentação: 220V; consumo : 160W; corrente : 1,2A.
Logo, a potência aparente entregue a esta geladeira é:
N = V.I = 220X 1,2 = 264 VA
(2)
O fator de potência é facilmente calculado como sendo:
cos() 
P
 0,606    cos 1 (0,606)  52,70 0
N
(3)
Assim, como a geladeira tem um motor indutivo, a corrente fasorial dela é:
I G  1,2  52,70 0 = 0,727 – j0,955
(4)
Se quisermos a impedância equivalente complexa associada ao motor da geladeira fazemos:
Z
V
I

2200 0
 183,33  52,70 0  111,10  j145,83
1,2  52,70 0
(5)
Observando a equação (1), podemos perceber que N é hipotenusa de um triangulo retângulo e P,
seu cateto adjacente, só faltando, portanto, o cateto oposto deste triangulo e este cateto oposto é a
potência reativa Q do motor como poderia ser de uma instalação monofásica qualquer. Assim, o
triangulo abaixo representa graficamente a situação acima.
1
P
Q
N
Fig. 1 – Triangulo de potência para uma carga reativa.
Assim, temos as seguintes relações para as potências envolvidas numa carga reativa (e mesmo não
reativa)
P = N.cos()
(6.1)
Q = N.sen()
(6.2)
N2 = P2 + Q2
(6.3)
Sabe-se também que a potência ativa P é matematicamente justificada pela parte REAL da impedância complexa. Também, dedui-se que a potência reativa Q é justificada pela parte IMAGINÁRIA da mesma impedância. Assim, considerando que Z  R  jX , tem-se:
P = R.I2
Q = X.I2
(7.1)
(7.2)
Ainda em relação ao caso da geladeira acima, e considerando (2), (6.1) e (6.2), temos:
P = 264.cos(52,700) = 160W
Q= 264.sen (52,700) = 210 VAR
(8.1)
(8.2)
Por outro lado, considerando (5), (7.1) e (7.2), tem-se:
P = 111,10.(1,2)2 = 160W
Q = 145,83(1,2)2 = 210VAR
(9.1)
(9.2)
Assim sendo, o triangulo de potência para a geladeira acima é:
160W
210VA
264VA
Obs: o ângulo da impedância é o mesmo ângulo do triangulo de potência.
2
2) FORMA COMPLEXA DA POTÊNCIA APARENTE.
Considerando que
V  V 
e I  I 
aonde  e  são ângulos arbitrários de dos fasores de V e de I.
Podemos escrever que N = N, onde  =  -  = o angulo de defasamento entre estes fasores.
Assim sendo:
N  V.I = V.I(  )  V.I() = V.I*
(12)
Aonde I* representa o complexo conjugado de I  I . Logo, podemos escrever que:
N  P  jQ
aonde P e Q são dados pelas equações (8.1) e (8.2)
Para o caso da geladeira acima citada, temos, considerando (4):
N  2200 0 x1,2  52,70 0  264  52,70 o  160  j210
(13)
O que dá os mesmos resultados mostrados em (8.1)-(8.2) e (9.1)-(9.2)
Exemplo 6
Uma tensão de V = 100300 é aplicada a um circuito quem tem um Z = 3 + j4.
Determinar o triângulo de potência para este circuito.
Solução:
Z  3  j4 
Z = 553,130  I 
100300
 20  23,130
0
553,13
(14.1)
Considerando (11), temos:
N  10030 0 x 20  23,130  200053,130  1200  j1600
(14.2)
Observe que o ângulo de N é igual ao ângulo de Z que, por sua vez, é o ângulo entre a v oltagem e a
corrente.
Por outro lado, de (13.1) e (13.2), tem-se:
P = R. I2 = 3x202 = 1200W
Q= X. I2= 4.202 = 1600VAR
N  1200 2  1600 2  2000VA
(14.3)
Também podemos calcular a tensão em cada um dos elementos da impedância complexa mostrada
em (5) e determinar a potência ativa e reativa do circuito.
3
V R  R.I  3x 20  23,10  60  23,1o ; V X  X.I  (4x 20  23,1o ) x (490 o )  8066,9 o
VR2 60 2
P

 1200 W
R
3
Q
VX2 80 2

 1600VAR
X
4
V 2 100 2

 2000VA
Z
5
P 1200
cos()  
 0,6
N 2000
N
Cuidado: não se deve usar NUNCA a tensão de entrada total para calcular P e Q num circuito séria,
pois resulta em um GRAVE erro. As tensões usadas para isso devem ser as parcias.
3) CONVENSÃO DOS TRIANGULOS
O triângulo de potência é desenhado conforme as cargas sejam capacitivas ou indutivas. Se a
carga é resistiva, não há triangulo de potência para ela, já que não potência reativa sendo desenvolvida nela. Lembramos que, se a carga é indutiva, a corrente está atrasada em relação a voltagem aplicada; porém, se a carga é capacitiva, a corrente está adiantada em relação a voltagem.
Assim sendo, por convenção, o triângulo de potência é desenhado seguindo a posição relativa da
corrente em relação a voltagem, como mostra a figura abaixo.
V
P
N
Q
I
N
Q
I
V
CARGA INDUTIVA
P
CARGA CAPACITIVA
Fig. 2 – Convenção para o desenho dos triângulos de potência.
Podemos notar que as cargas capacitivas apresenta um energia reativa contrária a indutiva. Assim
sendo, as cargas capacitivas tendem a anular a energia reativa desenvolvida pelas cargas indutivas.
De maneira geral podemos escrever o vetor N para cada uma das situações encontradas:
a) Carga RL : N  P  jQ
(15.1)
b) Carga RC: N  P  jQ
(15.2)
c) Carga R : N  P
(15.3)
d) Carga L:
N   jQ
(15.4)
e) Carga C:
N   jQ
(15.5)
4) ASSOCIAÇÃO DE CARGAS EM PARALELO
Numa instalação qualquer, as cargas estão ligadas em paralelo e, assim sendo, elas recebem
diferentes correntes se forem diferentes e as mesmas voltagens. A figura abaixo mostra esta situação.
4
V
Z1
Z2
Fig. 6 – Cargas em paralelo como numa instalação monofásica.
onde Z1 representa uma carga e Z2, outra..
Cada carga tem um vetor N associado a ela. Assim,
N1  P1  jQ1
N2  P2  jQ 2
(16.1)
(16.2)
Como energias se somam, dedui-se que o vetor N total das duas cargas são:
NT = N1 + N2  (P1  P2 )  j(Q1  Q 2 )
(18)
Em termos gráficos, usando o triângulo de potência, e supondo-se que as duas cargas são indutivas,
o que em geral acontece em cargas de instalações, temos:
P1
N1
Q1
P2
NT
A potência aparente total não é necessariamente a soma
das potências aparentes das cargas da instalação a menos que as cargas sejam iguais. Assim, por Pitágoras:
N2
Q
N T  (P1  P2 ) 2  (Q1  Q 2 ) 2
(19)
Fig. 7– Obtenção gráfica do triangulo de potência total de associação de cargas.
De maneira geral, se temos N cargas presentes no circuito o vetor N associado ao conjunto é:
 N   N

NT    Pi     Q i 
 i 1   i 1 
(20)
Na figura abaixo temos um caso em que uma carga indutiva em paralelo com uma carga capacitiva.
Fig. 8 – Associação de uma carga indutiva e outra capacitiva e a obtenção gráfica do triângulo de
potência total.
5
Exemplo 7.
Liga-se em paralelo dois motores indutivos, um que absorve uma corrente de 0.5A e consome 70W
e outro que absorve uma corrente de 1,2A e consome 160W. A alimentação é 220V.
Determinar o triângulo de potência do conjunto.
Solução:
A potência aparente e fator de potência do primeiro motor são:
N = V.I = 220x0,5 = 110VA  cos() 
P
70

 0,636  ϕ = 50,50o
N 110
E para o segundo tem-se:
N = V.I = 220x1,2 =264VA  cos() 
P 160

 0,606  ϕ = 52,70o
N 264
Logo, os fasores I são, respectivamente, dados por:
I1  0.5  50,5o  0,318  j.0,386
I2  1,2  52,70 0 = 0,727 – j0,955
(21)
A potência aparente, N, para o primeiro motor é:
N = V. I1*  2200 o x0,5  50,5o  110  50,5o  70  j84,88
(22.1)
A potência aparente, N, para o segundo motor é:
N = V. I *2  2200o x1,2  52,7 o  264  50,5o  160  j.210
N total do conjunto é determinado somando-se membro a membro (22.1) e (22.2):
N  (160  70)  j(210  84,88)  230  j294  373,28  52 o
Assim sendo, obtemos o triângulo de potência total do conjunto mostrado abaixo:
160W
210VAR
70W
84,88VAR
6
(22.2)
A impedância total do conjunto é obtida somando a partir da corrente total somando-se os dois
fasores em (19.1):
2200 o
IT = IG + IV  1,045  j1,341  1,7  52,07  Z 

 129  52,07 o
o
I T 1,7  52,07
V
o
Observe que o angulo da impedância é o mesmo angulo do N total do circuito em módulo e sinal.
Também observe que, pelo fato dos triângulos de potência da geladeira e do ventilador serem
aproximamente equivalentes, isto é, tem ângulos com valores bem próximos entre si, observamos
que o módulo do N total é aproximadamente soma dos módulos dos N de cada carga. O mesmo ocorre os módulos das correntes totais, conforme pode-se observar.
Exemplo 4
Um motor indutivo de 3HP e fator de potência 0,7 está ligado em paralelo a um motor
capacitivo de 2HP e fator de potência 0,8 em 220V/60Hz.
Determinar os triângulos de potências parciais e totais.
P1 = 3x746 = 2238 W
2238
= 3197,14 VA
0,7
N1 =
Q1 =
I1 =
N12  P12 = 2283,22 VAR
N1
= 14,53 A  I1 = 14,53-45,57o = 10,17 – j.10,38
V
P2 = 2x746 = 1492 W
1492
= 1865 VA
0,8
N1 =
Q2 =
I2 =
N 22  P22 = 1119 VAR
N2
= 8,48 A  I2 = 8,4836,87o = 6,78 +j.5,09
V
NT = P1 + P2 + j(Q1 – Q2) = 3730 + j.1164,22
NT = 3907,47 17,33o
IT = I1 + I2 = 16,95 -j.5,29 = 17,76 -17,33o
Por outro lado,
IT =
3907,47
-17,33o = 17,76 -17,33o
220
7
Exemplo 5
As cargas Z1 = 2 – j.5 e Z2 = 1 + j.1 estão em paralelo. Uma potência de 20W é dissipada
no resistor de 2Ω. Determinar o triângulo de potência total do conjunto.
Solução:
20
= 10 = 3,16
2
A tensão no capacitor está em quadratura.
P = R.I2

I=
VR = IxR = 2 x 3,16 = 6,32 V
VC = IxXC = 15,8V
Vent = 6,32 – j.15,8 = 5-36,90
I1 =
17,0168,2 o
Vent
=
= 3,1600
o
Z1
5,3968,2
I2 =
17,0168,2 o
Vent
=
= 12,06--113,20
o
Z2
1,4145
N1 = Vent x I1* = 5-36,90 x 3,1600 = 53,75-68,20 = 19,96 – j.49,9
N2 = Vent x I *2 = 17,01-68,20 x 12,06--113,20 = 205,14450 = 160,14 – j.160,14
NT = 180 + j.110,24
Exemplo 6
Um circuito série de dois elementos a potência é 0,707 adiantado.
Sendo v(t) = 99.sen(9000.t + 30o) a tensão aplicada, determinar os componentes
físicos do circuito.
Solução:
P = 940W 
I*
N=
940
= 1329,56 VA
0,707
 N = 1329,56-450
1329,56  45o
N
=
=
= 19-750  I = 19750
o
V
7030
Z =
7030o
V
=
= 3,68-450 = 2,6 – j.2,6
o
I
1975
8
R = 2,6Ω e C =
1
x10  6 = 42,73µF
9.000x2,6
9