Resolução

INSTITUTO POLITÉCNICO DE SETÚBAL
ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA DE SETÚBAL
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA
1o Teste
SEMESTRE PAR
2008/2009
Data: 9 de Maio de 2009
Duração: 2h 30m
Tópicos de Resolução
1. Num determinado cruzamento de uma avenida temos a opção de virar à esquerda, virar à direita ou seguir
em frente. Nesse cruzamento tem-se verificado que os veículos que seguem em frente são o dobro dos que
viram à direita e os que viram à esquerda metade dos que viram à direita.
[1.5] (a) Qual é a probabilidade dos veículos nesse cruzamento virarem à esquerda?
Resolução:
E− virar à esquerda
P (F ) = 2P (D)
D− virar à direita
P (E) = 12 P (D)
F − seguir em frente
Sabemos que
P (E) + P (D) + P (F )
=
1
1 ⇔ P (D) + P (D) + 2P (D) = 1 ⇔ P (D) + 2P (D) + 4P (D) = 2 ⇔
2
⇔ 7P (D) = 2 ⇔ P (D) =
Logo
P (E) =
2
7
1 2
1
× =
2 7
7
[1.0] (b) Qual é a probabilidade de um veículo virar à direita sabendo que não segue em frente?
Resolução:
3
2
P F = 1 − P (F ) = 1 − 2 × =
7
7
2
P D∩F
−0
P (D) − P (D ∩ F )
2
=
P D/F =
= 7 3 = .
3
P F
P F
7
2. O Sr. João tem uma papelaria onde vende diversas revistas. Como as vendas têm vindo a diminuir, o Sr.
João resolveu fazer um estudo sobre o número de revistas que vende por dia e chegou à seguinte conclusão:
•
•
•
•
•
não vende mais de 4 revistas por dia;
em 90% dos dias vende revistas;
em 65% dos dias vende mais de uma revista;
em 30% dos dias vende pelo menos três revistas;
em média vende 2 revistas por dia.
[2.0] (a) Construa a função de probabilidade do número de revistas vendidas por dia pelo Sr. João.
Resolução:
X − número de revistas que vende por dia
das condições vem:
• não vende mais de 4 revistas por dia
a v.a. X é uma v.a. discreta e assume os valores 0, 1, 2, 3 e 4;
• em 90% dos dias vende revistas
P (X > 0) = 0.90 ⇔ 1 − P (X = 0) = 0.90 ⇔ f (0) = 0.10;
• em 65% dos dias vende mais de uma revista
P (X > 1) = 0.65 ⇔ 1 − P (X ≤ 1) = 0.65 ⇔ f (0) + f (1) = 0.35 ⇔ f (1) = 0.25;
• em 30% dos dias vende pelo menos três revistas
P (X ≥ 3) = 0.30 ⇔ 1 − P (X ≤ 2) = 0.30 ⇔ f (0) + f (1) + f (2) = 0.70 ⇔ f (2) = 0.35
• em média vende 2 revistas por dia.
E [X]
=
2 ⇔ 0 × f (0) + 1 × f (1) + 2 × f (2) + 3 × f (3) + 4 × f (4) = 2 ⇔
⇔ 0 + 0.25 + 0.70 + 3f (3) + 4f (4) = 2 ⇔ 3f (3) + 4f (4) = 1.05
Como f é uma função de probabilidade vem que
f (x) ≥ 0, ∀x
e
f (0) + f (1) + f (2) + f (3) + f (4) = 1 ⇔ f (3) + f (4) = 0.30
Agora basta resolver o seguinte sistema
3f (3) + 4f (4) = 1.05
f (3) = 0.15
f (3) + f (4) = 0.30 ⇔
f (4) = 0.15
A função de probabilidade é
x
f (x)
0
0.10
1
0.25
2
0.35
3
0.15
4
0.15
[1.0] (b) Qual a probabilidade, de num dia, o Sr. João vender mais de 2 revistas sabendo que nesse dia já
vendeu revistas?
Resolução:
P (X > 2 / X > 0) =
P (X > 2)
P (X ≥ 3)
0.30
1
P (X > 2 e X > 0)
=
=
=
=
P (X > 0)
0.90
0.90
0.90
3
[1.5] (c) Calcule V [2 − 3X] .
Resolução:
E X 2 = 02 × f (0) + 12 × f (1) + 22 × f (2) + 32 × f (3) + 42 × f (4) =
= 0 × 0.10 + 1 × 0.25 + 4 × 0.35 + 9 × 0.15 + 16 × 0.15 = 5.4
V [2 − 3X] = 9V [X] = 9 × E X 2 − E 2 [X] = 9 × 5.4 − 22 = 12.6
3. Considere a variável aleatória X com a seguinte função densidade de probabilidade:
 2 2
3c x ,
−1 ≤ x ≤ 0



f (x) =
−3cx ,
0<x≤1



0
, caso contrário
e seja c uma constante real.
2
[1.5] (a) Prove que − 12 é o único valor admissível para c.
Resolução:
f (x) ≥ 0, ∀x ∈ R
. Para − 1 ≤ x ≤ 0 : f (x) = 3c2 x2 ≥ 0, ∀c ∈ R
0 < x ≤ 1 : f (x) = −3cx ≥ 0, ∀c ∈ R−
0
. Para
Então da 1a condição conclui-se que c ≤ 0.
+∞
−∞
f (x) dx
=
1⇔
0
2 2
3c x dx
1
1
2 3 0
−3cx2
−3cxdx = 1 ⇔ c x −1 +
=1⇔
2
0
0
−1
3c
⇔ c2 −
=1⇔c=
2
3
2
±
2
9
4
+4
1
⇔ c = − ∨ c = 2.
2
Juntando as duas condições da f.d.p., o único valor admissível para c é − 12 .
[2.0] (b) Determine a função de distribuição da variável aleatória X e com base nessa função calcule P − 31 < X < 14 .
Resolução:
x < −1 : F (x) =
x
0du = 0
−∞
−1 ≤ x ≤ 0 : F (x) = F (−1) +
x
−1
0 < x ≤ 1 : F (x) = F (0) +
x
0
x > 1 : F (x) = F (1) +
x
3 x
u
x3 1
3 2
=
u du = 0 +
+
4
4 −1
4
4
2 x
3
1
3u
3x2 1
udu = +
=
+
2
4
4 0
4
4
0du =
3 1
+ =1
4 4
0
Logo a função de distribuição é dada por:



F (x) =


e
0
x3 +1
4
3x2 +1
4
1
, x < −1
, −1 ≤ x ≤ 0
,0<x≤1
,x>1
1
1
1
1
3 (1/4)2 + 1 (−1/3)3 + 1
P − <X<
=F
−F −
=
−
= 0.0561.
3
4
4
3
4
4
4. Num determinado cruzamento de uma avenida temos a opção de virar à esquerda, virar à direita ou seguir
em frente. Nesse cruzamento verificam-se alguns acidentes. Sabe-se que o número de acidentes por semana
nesse cruzamento segue uma distribuição de Poisson cujo parâmetro depende da direcção que os veículos
seguem. Sabe-se que em relação aos veículos que seguem em frente a probabilidade de não haver acidentes
numa semana é de 0.1353, os que viram à direita têm em média 1 acidente por semana e os que viram à
esquerda têm em média 4 acidentes por semana.
3
[1.0] (a) Qual o número médio de acidentes por semana nesse cruzamento em relação aos veículos que seguem
em frente?
Resolução:
X3 − número de acidentes, por semana, dos veículos que seguem em frente.
e−λ × λ0
= 0.1353 ⇔ λ = 2
0!
conclui-se que X3 ∼ P (2) e como E [X3 ] = λ3 = 2, tem-se que ocorrem em média 2 acidentes por
semana no cruzamento relativamente aos veículos que seguem em frente.
P (X3 = 0) = 0.1353 ⇔
[1.5] (b) Qual a probabilidade de numa semana se registarem pelo menos 10 acidentes nesse cruzamento?
Resolução:
Considere:
X1 − número de acidentes, por semana, dos veículos que viram à esquerda
E [X1 ] = 4 pelo que X1 ∼ P (4)
X2 − número de acidentes, por semana, dos veículos que viram à direita
E [X2 ] = 1 pelo que X2 ∼ P (1)
X3 − número de acidentes, por semana, dos veículos que seguem em frente
E [X3 ] = 2 pelo que X3 ∼ P (2)
Seja X a v.a. que representa o número de acidentes, por semana, no cruzamento. Sabemos que
X ∼ P (λ)
Sabemos que o parâmetro λ depende da direcção que os veículos seguem.
Observe-se que as variáveis aleatórias X1 , X2 e X3 são independentes, então podemos aplicar a
propriedade da aditividade da Poisson
3
3
X=
Xi ∼ P λ =
λi
i=1
obtendo-se neste caso
i=1
X ∼ P (4 + 1 + 2) ⇔ X ∼ P (7)
Pelo que
P (X ≥ 10) = 1 − P (X < 10) = 1 − P (X ≤ 9) = 1 − F (9) = 1 − 0.8305 = 0.1695.
[1.5] (c) Qual a probabilidade do tempo entre dois acidentes consecutivos nesse cruzamento ser no mínimo de
3 dias?
Resolução:
Seja Y a v.a. que representa o tempo, em dias, entre dois acidentes consecutivos. Tem-se que
Y ∼ Exp (θ)
onde
θ=
4
t
7
= =1
λ
7
isto porque X ∼ P (λ = 7), onde λ = 7 corresponde ao número médio de acidentes em 1 semana = 7
dias. Tendo-se assim que
Y ∼ Exp (1)
Sendo a sua função de distribuição dada por:

0

F (y) =
 1 − e− yθ
se x < 0
se x ≥ 0
Pelo que
3
P (Y ≥ 3) = 1 − P (Y < 3) = 1 − P (Y ≤ 3) = 1 − F (3) = 1 − 1 − e− 1 = e−3 = 0.0498
5. A resistência à compressão de provetes cúbicos (em MPa-Mega Pascal) é uma variável aleatória que se
admite ter distribuição normal com desvio padrão igual a 1.6 MP a. Sabe-se, ainda, que a probabilidade
de um provete cúbico possuir uma resistência, no máximo, de 22.24 MP a é de 0.0179.
[1.5] (a) Com base na informação disponível, prove que a resistência média à compressão de provetes cúbicos
é 25.6 M pa.
Resolução:
X−resistência à compressão de provetes cúbicos em M P a
P (X ≤ 22.24)
=
0.0179 ⇔ P
X ∼ N (µ, 1.6) ⇔ Z =
X −µ
∼ N (0, 1)
1.6
22.24 − µ
22.24 − µ
= 0.0179 ⇔ Φ
= 0.0179 ⇔
Z≤
1.6
1.6
22.24 − µ
22.24 − µ
⇔ Φ −
= 0.9821 ⇔ −
= 2.1 ⇔ µ = 25.6
1.6
1.6
∴A resistência média à compressão de provetes cúbicos é de 25.6 M pa.
[1.0] (b) Qual a probabilidade de um provete cúbico ter uma resistência superior a 24.256 M pa?
Resolução:
24.256 − 25.6
P (X > 24.256) = 1−P Z ≤
= 1−Φ (−0.84) = 1−(1 − Φ (0.84)) = Φ (0.84) = 0.7995
1.6
[1.5] (c) Qual a probabilidade de, em 18 provetes cúbicos, se registarem pelo menos 5 com resistência no
máximo de 24.256 M pa?
Resolução:
Y −número de provetes cúbicos com resistência no máximo 24.256 M pa, de um grupo de 18 provetes
n = 18
p = P (sucesso) = P (X ≤ 24.256) = 1 − 0.7995 = 0.2005 0.20
Y ∼ B(18, 0.2)
P (Y ≥ 5) = 1 − P (Y ≤ 4) = 1 − 0.7164 = 0.2836
5
[1.5]
6. Seja X uma variável aleatória contínua com a seguinte função de distribuição
0
, x<0
F (x) =
1 − e−βx , x ≥ 0
e sejam a e b constantes reais positivas. Mostre que a seguinte propriedade é verdadeira
P (X ≤ a + b / X ≥ a) = P (X ≤ b) .
Resolução:
P (X ≤ a + b / X ≥ a) =
=
P (X ≤ a + b ∧ X ≥ a)
P (X ≥ a)
=
a>0, b>0
P (a ≤ X ≤ a + b)
P (X ≥ a)
=
X v.a. contínua
1 − e−β(a+b) − 1 − e−βa
e−βa 1 − e−βb
F (a + b) − F (a)
=
=
= 1 − e−βb = F (b) = P (X ≤ b) .
1 − F (a)
1 − (1 − e−βa )
e−βa
Fim.
6