Algoritmos Aproximados - DECOM-UFOP

Introdução
Ex.: Escalonamento
Ex.: Mochila
Notas
Projeto e Análise de Algoritmos
Algoritmos Aproximados
Haroldo Gambini Santos
Universidade Federal de Ouro Preto - UFOP
2 de maio de 2013
Projeto e Análise de Algoritmos,
Algoritmos Aproximados
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Introdução
Ex.: Escalonamento
Ex.: Mochila
Situação Ideal
Notas
Desejamos algoritmos que:
encontrem a solução ótima
em tempo polinomial
para qualquer instância do problema que estamos trabalhando
Enquanto P 6= N P : para problemas NP-completos temos que
nos contentar com 2 desses 3
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Ex.: Escalonamento
Ex.: Mochila
Algoritmos Aproximados
Algoritmo com
garantia
Notas
de produzir soluções
sempre em um fator da solução ótima.
Uma heurística
pode
ser um algoritmo aproximado
caso exista tenha sido provado que para qualquer caso
possível um padrão de qualidade se mantém.
Heurísticas sem essa prova não são denominadas
algoritmos aproximados.
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Ex.: Escalonamento
Ex.: Mochila
Alg. Aproximados - Def.
Um algoritmo é dito
α
Notas
aproximado se:
polinomial;
1
o mesmo roda em tempo
2
o mesmo sempre produz uma solução dentro de um
solução ótima.
fator α da
Convenções
minimização α > 1
maximização α < 1
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Ex.: Escalonamento
Ex.: Mochila
Algoritmos Aproximados - Motivação
1
problemas NP-Difíceis precisam de soluções;
2
forma matematicamente rigorosa de se estudar heurísticas;
3
entender o quão difíceis são os problemas.
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Notas
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Ex.: Escalonamento
Ex.: Mochila
Analisando a qualidade
Notas
Questão
Como avaliar a distância da solução ótima se calcular a solução
ótima já é altamente custoso ?
Limites
Para um problema de minimização(/maximização) difícil,
calcular um Limite Inferior (/Superior ) pode ser fácil.
Uma vez mostrado que nosso algoritmo sempre produz uma
solução no máximo α vezes o custo da do limite em questão já
ca provado que isso vale para a solução ótima.
Ponto fundamental:
qualidade do limite
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.
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Ex.: Escalonamento
Ex.: Mochila
Exemplo: Balanceamento de carga
5 tarefas (n
= 5),
Notas
com tempos de processamento tj :
t1 = 3 t2 = 7 t3 = 5 t4 = 1 t5 = 4
3 máquinas (m
= 3)
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Ex.: Escalonamento
makespan
Objetivo: Diminuir o
Uma solução com makespan 8:
M1
t1 = 3
t2 = 7
M2
M3
t5 = 4
t4=1
Ex.: Mochila
Notas
makespan=8
Introdução
t3 = 5
M1
M2
M3
t5 = 4
t1 = 3
t2 = 7
t3 = 5
t4=1
makespan=7
tempo
Uma solução com makespan 7:
tempo
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Ex.: Escalonamento
Ex.: Mochila
Um algoritmo guloso
Notas
Idéia
Alocar as tarefas, uma-a-uma, colocando a nova
tarefa sempre na máquina com
procedure
menor carga.
GreedyScheduling ( t1 , . . . , tn , m )
Ti ← 0, A(i) ← ∅ ∀i ∈ 1 . . . , m ;
f o r j ← 1 to n do
begin
Encontre k : Tk = min{1,...,m} Ti ;
A(k) ← A(k) ∪ {j} ;
Tk ← Tk + tj ;
end
end
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Ex.: Escalonamento
Ex.: Mochila
Limites Inferiores para o
Notas
Makespan ótimo OPT
Relaxação
Pn
j=1 tj
OPT ≥
m
Tarefa grande
n
OPT ≥ max tj
j=1
Limite Inferior
Pn
n
j=1 tj
LB = max{max tj ,
m
j=1
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}
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Ex.: Escalonamento
Ex.: Mochila
Teorema: GreedyScheduling é
Notas
2-Aproximado. Prova:
Seja Mi∗ a máquina determinante do makespan.
Seja j ∗ a última tarefa alocada nessa máquina.
0
A carga Ti∗ que a máquina Mi∗ apresenta antes de j ∗ ser
0
inserida é a menor entre as cargas Ti das máquinas.
0
m · Ti∗ ≤
m
X
∗
0
Ti =
i=1
Ti∗
j
X
n
X
tj ≤
j=1
tj ≤ m · LB
j=1
0
= tj ∗ + Ti∗
≤ tj ∗ + LB
n
≤ max tj + LB
j=1
≤ 2 · LB
≤ 2 · OPT
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Ex.: Escalonamento
Resultados ruins entre
quatro tarefas (n
Ex.: Mochila
OPT
e
2 · OPT
Notas
= 3)
t1 = 2, t2 = 1, t3 = 15, t4 = 2
duas máquinas (m
= 2)
Para quais ordens GreedyScheduling oferece soluções melhores ?
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Ex.: Escalonamento
GreedyScheduling Melhorado:
GreedySchedulingI
Ex.: Mochila
Notas
Idéia
Alocar as tarefas em ordem
tamanho,
decrescente de
uma-a-uma, colocando a nova tarefa sempre
na máquina com
menor carga.
GreedySchedulingI ( t1 , . . . , tn , m )
procedure
Ti ← 0, A(i) ← ∅ ∀i ∈ 1 . . . , m ;
f o r j ← 1 to n do
begin
t0 ← a j -ésima maior tarefa ;
Encontre k : Tk = min{1,...,m} Ti ;
A(k) ← A(k) ∪ {t0 } ;
Tk ← Tk + tt0 ;
end
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end
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Ex.: Escalonamento
Ex.: Mochila
Provando a superioridade de
Notas
GreedySchedulingI
se
n ≤ m:
para
resultado ótimo;
n > m,
novo limite:
OPT ≥ tm + tm+1
;
Partindo dos resultados anteriores:
Ti∗
≤
tj ∗ + LB
≤
2 · LB
≤
2 · OPT
E considerando que:
tj∗ ≤
tm + tm+1
OPT
≤
2
2
GreedySchedulingI é
3
2 aproximado.
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O Problema da Mochila 0/1
Notas
Entrada
Capacidade S
n itens com lucros e pesos (l1 , p1 ), . . . , (ln , pn )
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Ex.: Escalonamento
Ex.: Mochila
Problema da Mochila 0/1 - Algoritmo
Notas
Guloso
GreedyKnapsack1 ( S, n, (l1 , p1 ), . . . , (ln , pn ) )
Ordene os itens em ordem decrescente de plii ;
procedure
if
Pn
i=1 pi
return
≤ S then
P
solg = ni=1 li ;
else
begin
Encontre o maior k ∈ {1, . . . , n} tal que
Pk
return solg =
i=1 li ;
Pk
i=1
≤S;
end
end
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Ex.: Escalonamento
Ex.: Mochila
Falhando miseravelmente
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Considere uma mochila com grande capacidade, digamos B .
Considere a existência de um item i com lucro li = 2 e peso
pi = 1, juntamente com um item de lucro B e peso B .
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Ex.: Mochila
Problema da Mochila 0/1 - Algoritmo
Notas
Guloso Corrigido
GreedyKnapsack2 ( S, n, (l1 , p1 ), . . . , (ln , pn ) )
Ordene os itens em ordem decrescente de plii ;
procedure
if
Pn
i=1 pi
return
≤ S then
P
solg = ni=1 li ;
else
begin
Encontre o maior k ∈ {1, . . . , n} tal que
P
sol1 = ki=1 li ;
sol2 = lk+1 ;
return
Pk
i=1
≤S;
solg = max {sol1 , sol2 }
end
end
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Ex.: Mochila
Teorema: GreedyKnapsack2 é
Notas
2-Aproximado. Prova:
Considere
novamente k ∈ {1, . . . , n} sendo o maior valor tal que
Pk
i=1 ≤ S .
Os seguintes limites para a solução ótima sol∗ são válidos:
k
X
i=1
li ≤ sol∗ ≤
k+1
X
li
i=1
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