EXEMPLO 1 S: Saindo do repouso, quando y = 0, a polia A (r

EXEMPLO 1
S: Saindo do repouso, quando y = 0,
a polia A (rA = 50mm) logo
atinge a aceleração angular
constante aA = 6 rad/s2. A polia C
(rC = 150mm) está ligada a um
cubo interno D (rD = 75 mm), que
gira solidário a ela.
P: A velocidade de B em y = 6 m.
E: 1) A aceleração angular da polia C (e do cubo D) pode ser
relacionada à aceleração angular da polia A, caso se assuma que
a correia que conecta A a C não se distende e nem desliza.
2) A aceleração do bloco B pode ser obtida pelo uso das equações
para o movimento de um ponto num corpo girante.
3) A velocidade de B pode ser encontrada pelo uso das equações
de aceleração constante.
EXEMPLO 1 (cont.)
Solução:
1) Como a correia não se distende e nem desliza, ela terá a mesma
velocidade escalar e o mesmo componente tangencial da
aceleração ao passar pelas polias A e C. Assim sendo,
at = aArA = aCrC => (6)(50) = aC(150) => aC = 2 rad/s2
Como C e D giram juntos, aC = aD = 2 rad/s2 .
2) Assumindo que também a corda ligada ao bloco B não se
distende e não desliza, a velocidade escalar e a aceleração de B
serão iguais, respectivamente, à velocidade escalar e ao componente tangencial da aceleração ao longo da borda externa do
cubo D, de modo que
aB = (at)D = aDrD = (2)(0,075) = 0,15 m/s2
EXEMPLO 1 (cont.)
3) Como aA é constante, aD e aB também são. Assim, a equação de
aceleração constante para movimento retílineo pode ser usada
para se calcular a velocidade escalar do bloco B quando y = 6 m,
com y0 = v0 = 0. Dessa forma,
(vB)2 = (v0)2 + 2aB(y – y0) (+ )
(vB)2 = 0 + 2 (0,15)(6 – 0)
vB = 1,34 m/s
EXEMPLO 2
S: O motor M começa a girar com
wm = 4(1 – e–t) rad/s (t em s). Os
raios da polia do motor, da polia
do ventilador e das lâminas do
ventilador são, pela ordem,
25,4mm, 101,6mm e 406,4mm.
P: As magnitudes da velocidade e da
aceleração de P, em uma lâmina
do ventilador, em t = 0,5 s.
E: 1) Determinar a velocidade e a aceleração angulares do motor,
usando a cinemática do movimento angular.
2) Relacionar as informações acima às do ventilador, assumindo
que a correia não se distende nem desliza.
3) Determinar a velocidade e a aceleração de P como um ponto
num corpo em rotação.
EXEMPLO 2 (cont.)
Solução:
1) Uma vez que a velocidade angular é dada como uma função do
tempo, ou seja, wm = 4(1 – e–t), a aceleração angular pode ser
encontrada por derivação, de forma que
am = dwm/dt = 4e–t rad/s2
Quando t = 0,5 s,
wm = 4(1 – e– 0,5) = 1,57 rad/s e am = 4e– 0,5 = 2,43 rad/s2
2) Como a correia não se distende nem desliza, ela tem que ter a
mesma velocidade escalar e o mesmo componente tangencial
da aceleração em todos os pontos. Assim, as polias tem que ter
as mesmas velocidades e acelerações tangenciais nos pontos de
contato com a correia. Portanto, as velocidades angulares do
motor (wm) e do ventilador (wv) são relacionadas por
v = wm rm = wv rv => (1,57)(25,4) = wv (101,6) => wv = 0,393 rad/s
EXEMPLO 2 (cont.)
3) Similarmente, as acelerações tangenciais são relacionadas por
at = am rm = av rv => (2,43)(25,4) = av(101,6) => av = 0,608 rad/s2
4) A magnitude da velocidade do ponto P no ventilador, uma vez
que o raio rP = 0,4064 m, é dada por
vP = wvrP = (0,393)(0,4064) = 0,160 m/s
Os componentes normal e tangencial da aceleração do ponto P
são calculados por
an = (wv)2 rP = (0,393)2 (0,4064) = 0,063 m/s2
at = avrP = (0,608) (0,4064) = 0,247 m/s2
Assim, a magnitude da aceleração de P é dada por
aP = (an)2 + (at)2 = (0,063)2 + (0,247)2 = 0,255 m/s2