ficha 1 - Universidade de Évora

Curso Complementar de Matemática para o 1o Ano-2007/08
Universidade de Évora
Departamento de Matemática
1. Lógica e Teoria de conjuntos
1.1 Tendo em conta a seguinte interpretação:
Domı́nio: conjunto dos números naturais com o zero, ou seja, N0
P x: x é par; Rx: x é primo; Ix: x é ı́mpar,
Q (x, y) : x divide y, ou y é múltiplo de x,
traduza para português corrente as expressões simbólicas seguintes e diga, em cada caso, se é
verdadeira ou falsa:
a) ∀x (Q (2, x) =⇒ P x);
b) ∃x (P x ∧ Q (x, 3));
c) ∃x (Ix ∧ Q (0, x));
d) ∀x (∼ P x =⇒ ∼ Q (2, x)).
1.2 Tendo em conta a interpretação anterior faça a negação das seguintes proposições:
a) ∀x ∈ N, (Rx ∨ Ix);
b) ∃x (∼ Ix ∧ ∼ P x);
c) ∀x ∈ N, ∃y ∈ N : P x =⇒ Q (y, x);
1.3. Numa mansão victoriana, várias pessoas são suspeitas de um crime. São elas o motorista (A),
a cozinheira (B), o mordomo (C) e o jardineiro (D).
O famoso detective Sherlock Holmes investiga o caso e descobre certos factos (ϕ1 , ϕ2 , · · · , ϕ7 ),
a partir dos quais conclui, intuitiva e semanticamente, qual dos suspeitos é culpado (ψ).
Simbolize a nı́vel proposicional o argumento seguinte, cujas permissas são os sete factos descobertos por Sherlock Holmes, e proceda como o detective descobrindo o culpado:
B é culpado somente se A é culpado.
A é culpado sse o crime foi cometido com um revólver.
B é culpado ou A é culpado, ou C é culpado ou D é culpado.
Se C é culpado então o crime não foi cometido com um revólver.
D não é culpado se o crime não foi cometido com um machado.
Se o crime o foi cometido com um revólver ou com um machado então o crime foi premeditado
e foi cometido suavemente.
O crime não foi cometido suavemente.
Portanto, ? é culpado.
1.4. Diga, justificando, qual o valor lógico das seguintes proposições :
a) ∃x ∈ R : (1 − 3x < 2) ∧ (x + 2 < 1) ;
1
b) x2 < 0 =⇒ x > 5, ∀x ∈ R;
c) x2 ≥ 2 ⇐⇒ |x| ≥ 2, ∀x ∈ R
d) ∀x ∈ R : x + 4 = x − 2;
e) ∃x > 0 ∃y > 0 : x − 2y = 3;
©
ª
1.5 Considere os seguintes conjuntos: A = R, B = x ∈ R : x2 − 2 > 2 , C = Z, D = N0 e E = Q.
Indique:
a) A ∩ B;
b) C ∪ D;
c) C ∩ E;
d) (C ∩ D) ∪ E;
e) A\B.
1.6 Prove que:
a) A ∩ B ⊂ A;
b) Se A ⊂ B então A ∪ B = B;
c) B\A ⊂ B;
d) AC ∩ A = ∅.
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