Diamagnetismo

Eletromagnetismo
Diamagnetismo
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Introdução
Quando introduzimos um campo magnético num material como, por exemplo, aproximando um
ímã, os materiais diamagnéticos reagem de maneira oposta aos materiais ferroelétricos, ou seja,
quando próximos de ímãs ou outros materiais magnéticos, eles os repelem e são por eles repelidos.
Esse comportamento ocorre, por exemplo, se existirem elétrons emparelhados nos átomos. Ele
ocorre para substâncias que não têm momentos de dipolos magnéticos permanentes. A magnetização
do material desaparece quando retiramos o campo magnético externo aplicado ao material. A maior
parte dos elementos da tabela periódica é diamagnética. Dentre eles destacamos o ouro, a prata e o
cobre. Bismuto e grafite são os materiais que exibem o diamagnetismo de forma mais intensa.
Ao aplicarmos um campo magnético externo a um átomo, seu momento angular total
experimentará uma variação. Tendo em vista a relação entre essa grandeza e o momento

magnético, podemos prever que haverá, igualmente, uma variação desta última. Sendo ∆j a

variação do momento angular de um elétron, a variação do momento magnético ∆µ que lhe
corresponde será dada por:

 e  
∆µ = − g 
 ∆j
 2m 
( 1 )
resultando daí uma magnetização, a qual escrevemos como:
 N 
M = ∆µ
V
( 2 )
Existem duas formas de calcular a variação do momento angular quando introduzimos um
campo magnético num material. A primeira forma faz uso da indução. Um campo elétrico resulta
da variação do campo magnético quando ele varia do seu valor inicial até o valor final. Essa é
a base da teoria de Weber. A segunda forma é aquela que faz uso da precessão do momento
angular quando sob a ação de um campo magnético. Essa teoria foi desenvolvida, pela primeira
vez, por Langevin.
Figura 1: Materiais diamagnéticos repelem os ímãs
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Figura 2: Materiais com elétrons emparelhados são diamagnéticos.
2
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Diamagnetismo de Weber
Consideraremos, a seguir, a variação do momento magnético quando o campo magnético varia
com o tempo. Um campo magnético variável induzirá um campo elétrico, que dependerá, igualmente, do tempo. A seguir, determinaremos a dependência do campo elétrico induzido com função
da distância r até o centro do átomo e da taxa pela qual varia o campo magnético.
Admitindo o campo magnético na direção do eixo z, podemos fazer uso de argumentos de simetria para concluir que o campo elétrico induzido e o campo magnético serão da forma:

E (r , t ) = E (r , t )eϕ


B = B (t )k
( 3 )
Utilizando agora um caminho determinado por uma circunferência de raio r e cujo círculo
delimitado por ela seja perpendicular ao campo magnético, podemos escrever, pela lei de Faraday:
d
Edr
=
−
B
⋅ dS
∫
dt ∫∫
( 4 )




Para a geometria escolhida acima, e lembrando que agora dr = rd θeθ e dS = rdrd θk , obteremos
[de (...)] a identidade:
2π
d
∫ E (r , t )r d θ = − dt  B(t )∫ ∫
0
r
2π
0
0
rdr d θ 

( 5 )
Donde concluímos, depois de efetuadas as integrações, que:
rE (r , t ) = −
d
r2 
B
t
 ( ) 
dt 
2
( 6 )
E, portanto, o campo elétrico induzido a uma distância r do centro do átomo será:
E (r , t ) = −
r dB ( t )
2 dt
( 7 )
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Um elétron situado a uma distância r do núcleo experimentará, devido à existência do campo
elétrico induzido, um torque dado por:

 
 
τE = r × Fe = −er × E (r , t )
( 8 )
Utilizando coordenadas cilíndricas, é fácil perceber que:


 
τE = −e E (r , t )rer × eϕ = −e r E (r , t )k
( 9 )
Admitiremos que, como no caso do momento angular orbital, o momento angular total só tenha
a componente z. E, portanto:

dj dj 
= k
dt dt
( 10 )
Lembrando que a taxa de variação do momento angular total é determinada tão somente pelo
torque aplicado:

dj 
=τ
dt
( 11 )
dj er 2 dB
=
dt
2 dt
( 12 )
Resulta de (...), (...) e (...) que:
Assim, ao variarmos o campo B desde o valor zero até um valor B, teremos uma variação do
momento angular dada pela expressão:
∆j =
er 2
B
2
( 13 )
A variação do momento angular implica uma variação do momento magnético do elétron. De ()
temos:
∆µ =
−e
−e 2 r 2
∆j =
B
2m
4m
( 14 )
Figura 3
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Considerando-se que num átomo temos diferentes elétrons, com trajetórias circulares de raio ri ,
podemos escrever para um átomo como um todo:
−e 2 B z 2
∆µ =
∑ ri
4m i =1
( 15 )
Figura 4
No caso de uma substância com N átomos num volume V, a magnetização será dada por:

e2 B z 2
M = N ∆µ = − N
∑ ri
4m i =1
( 16 )
E, portanto, a susceptibilidade diamagnética será:
χ=
−µ 0 e 2 N
4m
∑
z
r2
i =1 i
( 17 )
onde χ = M/H.
Na teoria quântica devemos substituir os valores clássicos de ri 2 por valores médios no orbital:
r2 → r2
( 18 )
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Pode-se, por outro lado, mostrar que:
E, portanto, na teoria quântica podemos escrever a seguinte expressão para a susceptibilidade
magnética:
χ=
−µ 0 e 2 N
4m
∑
z
i =1
ri 2
( 19 )
Podemos finalizar a teoria do diamagnetismo fazendo alguns comentários.
O primeiro é que o sinal – acima indica que o material magnético será repelido ao aumentarmos
o fluxo do campo elétrico.
O material magnético se comporta como um ímã, que sempre repele um outro ímã (nele se
forma um polo de mesmo sinal do ímã próximo).
O segundo comentário é que o diamagnetismo é um fenômeno que está presente em todas as
substâncias. No entanto, em algumas delas, o paramagnetismo ou o ferromagnetismo podem (por
serem mais intensivos) mascarar esse efeito.
Finalmente, é importante entender que tal efeito não depende da temperatura da substância.
Os átomos cuja última camada não é completa não têm momentos de dipolo permanentes.
Nesse caso, o diamagnetismo é o único comportamento magnético perceptível. Por isso se diz que
os átomos com a última camada completa produzem materiais diamagnéticos.
Paramagnetic Substance
χ
Diamagnetic Substance
χ
Aluminum
2,3 × 10−5
Bismuth
−1,66 × 10−5
Calcium
1,9 × 10−5
Copper
−9,8 × 10−6
Chromium
2,7 × 10−4
Diamond
−2,2 × 10−5
Lithium
2,1 × 10−5
Gold
−3,6 × 10−5
Magnesium
1,2 × 10−5
Lead
−1,7 × 10−5
Niobium
2,6 × 10−4
Mercury
−2,9 × 10−5
Oxygen
2,1 × 10−6
Nitrogen
−5,0 × 10−9
Platinum
2,9 × 10−4
Silver
−2,6 × 10−5
Tungsten
6,8 × 10−5
Silicon
−4,2 × 10−6
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Movimento de precessão

Quando um objeto dotado de momento angular L está sob a ação de um torque perpendicular
a ele, podemos escrever esse torque sob a forma:
  
τ = Ω× L
( 20 )

onde o vetor Ω é aquele para o qual a expressão (000) se aplica. Ele é um vetor que é admitido
como constante. Em sendo constante, podemos escolher o eixo z de tal forma que ele pode ser
escrito como:


Ω = Ω0 k
( 21 )
Veremos que, sob essas circunstâncias, o momento angular executará um movimento de precessão.
Corpos rígidos tendem a executar tais movimentos, desde que a força aplicada sobre o corpo rígido
leve a um torque que seja perpendicular ao momento angular. Assim, se o objeto extenso está em
movimento de rotação caracterizado pelo valor do seu momento angular, após aplicarmos uma força
a ele, o momento angular executará um movimento de precessão. Um exemplo de tal situação é o
do giroscópio. É um movimento exibido por um pião, para citar outro exemplo.
Figura 5
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A equação do movimento associado à rotação do corpo rígido é:

dL  
= Ω× L
dt
( 22 )
Observe-se, em primeiro lugar, que o movimento será tal que o módulo do momento angular

se mantém constante e isso porque, de (000), tomando o produto escalar da equação acima por L,
obtemos:

 dL 1 dL2
L⋅
=
=0
dt 2 dt
( 23 )
E, consequentemente, durante o movimento, o módulo do momento angular é constante:


L2 = L20
( 24 )

onde L0 é um vetor constante, considerando ser o mesmo daquele antes de aplicar o torque.
 
O produto vetorial Ω × L é dado por:

 


Ω × L = ( Ω y LZ − Ω Z LY ) i + ( Ω Z Lx − Ω x Lz ) j + ( Ω x Ly − Ω y Lx ) k

( 25 )

Tendo em vista que o vetor Ω = Ω 0 k é constante e ao longo do eixo z, obtemos:
 


Ω × L = ( −Ω0 Ly ) i + ( Ω0 Lx ) j
( 26 )
Donde obtemos três equações para o momento angular, a saber:
dLx
= −Ω 0 Ly
dt
dLy
= −Ω0 Lx
dt
dLz
=0
dt
( 27 )
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onde o ângulo θ é um ângulo constante (veja figura). Definimos agora duas grandezas, L+ e L−, tais que
L+ = Lx + iLy e L− = Lx − iLy
( 28 )
Essa grandezas satisfazem a equações simples, de primeira ordem, as quais escrevemos como:
dL+
dL−
= iΩ0 L+
= −iΩ0 L−
dt
dt
( 29 )
Uma solução para a primeira equação em (000) é:
i ω t +δ
L+ = L0′e ( 0 )
( 30 )
onde L0′ = L0 sen θ. E a solução (000) satisfaz a equação (000) desde que a frequência ω0 seja tal que:
ω0 = Ω
( 31 )
Assim, tomando a parte real e imaginária de (000), e lembrando sua relação com as componentes x e y do momento angular e a definição do ângulo θ, obtemos:
Lx = −L0 senθsen(Ω0t + δ)
Ly = −L0 senθcos(Ω0t + δ)
( 32 )
A última equação de (000) implica que a componente z do momento angular é constante.
Escrevemos:
Lz = L0cosθ
( 33 )
Assim, vemos que o momento angular descreve um movimento em que a variável φ das coordenadas esféricas é tal que sua dependência do tempo é dada por:
φ(t) = Ω0t + δ
( 34 )
Ou seja, o momento angular executa um movimento de rotação em torno do eixo z como velocidade angular Ω0.
Figura 6
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Diamagnetismo de Langevin
A teoria clássica do diagmanetismo foi formulada por Langevin. Ela faz uso do Teorema de
Larmor. Na formulação anterior, procura-se ressaltar o efeito da lei de Lenz, a qual estabelece que,
quando o fluxo do campo magnético muda num circuito elétrico, forma-se nesse circuito uma
corrente induzida de tal forma que ela se oponha à mudança do fluxo.
Na formulação de Langevin, partimos da equação que rege o comportamento da alteração com
o tempo do momento angular quando aplicamos ao átomo um campo magnético B'. Para um

elétron pertencente ao átomo de momento angular total j temos:

dL   
= τ = µ× B
dt
( 35 )
Lembrando a relação (...), temos que:

dL  ge   
=
 B× L
dt  2m 
( 36 )
A solução da equação acima pode ser mais bem entendida a partir do teorema de Larmor da
mecânica clássica.
Aqui recorremos ao sistema mecânico análogo a esse, que é o giroscópio. Sabemos que um
dos movimentos possíveis é a precessão. Nesse caso, o momento angular, em módulo, não muda.
Muda apenas a sua direção, a qual fica sempre contida num cone. O movimento é periódico e
caracterizado por uma frequência angular dada por:
ωL =
ge
2π
B=
2m
TL
( 37 )
Definimos a velocidade angular de Larmor como

ge 
ωL =
B
2m
( 38 )
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Portanto, o momento angular precessiona com a velocidade angular de Larmor dada por (...).
Ao movimento de precessão do momento angular total corresponde uma corrente:
iL =
−e −eωL − ge 2 B
=
=
TL
2π
4πm
( 39 )
Assim, um elétron numa órbita circular de raio r adquirirá um momento de dipolo magnético
induzido pelo campo magnético, cujo valor é:
∆µ L = iL πr 2 = − g
e2 B 2
r
4m
( 40 )
resultado esse que é idêntico ao da teoria de Weber.
Em geral, r0 se refere à distância do elétron até um eixo que passa pelo centro do átomo. Assim,
escrevemos:

r 2 = x2 + y 2
( 41 )
A distância quadrática média de um elétron, no entanto, é dada por:

r 2 = x2 + y 2 + z 2
( 42 )
Para distribuição de cargas eletrônicas no átomo esfericamente simétricas, podemos escrever a
igualdade:
=
x2
=
y2
z2
( 43 )
Assim, utilizando (...), podemos escrever a expressão (...) em termos do quadrado do vetor de
posição. Obtemos:
e 2µ 0
χM = − N
6m
z
∑
i =1

ri 2
( 44 )
Todos os materiais exibem o diamagnetismo. Esse efeito é exibido com maior intensidade
pelo bismuto.
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O diamagnetismo pode ser mascarado pelo paramagnetismo. Os gases nobres, cujos átomos não
têm um momento de dipolo permanente, exibem exclusivamente o diamagnetismo (veja tabela).
Os materiais diamagnéticos perfeitos são os materiais supercondutores. Para tais materiais:
χ = −1
( 45 )
ou seja, o campo magnético em seu interior se anula. A esse efeito dá-se o nome de efeito Meissner.
Tabela: "Magnetic Properties are determined by the position of the Element in the Periodic Table."
Medindo a Susceptibilidade
Definimos a susceptibilidade por unidade de volume de um material magnético, χ, como a
grandeza obtida a partir dos quocientes:
χ = M/H
( 46 )
onde M é a magnetização do material e H é a intensidade do campo magnético.
Substâncias para as quais χ < 0 são denominadas diamagnéticas enquanto aquelas para as quais
χ > 0 são denominadas paramagnéticas.
A energia magnética por unidade de volume de um material magnético, quando magnetizado, é
dada pela expressão:
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 

µ 
B⋅H
H2
U=
= µ0
+χ 0 H2
2
2
2
13
( 47 )
As componentes da força por unidade de volume são as componentes de vetor gradiente aplicadas à densidade de energia. Assim, a componente χ da força, devida à magnetização de material,
é dada por:
χV
dH 2
µ0
Fχ =
2
dχ
( 48 )
Logo, a partir da determinação da força sobre um espécimen, é possível medir a sua susceptibilidade. Esse é o método de Faraday. Para a medida de forças, devemos recorrer a pequenas
amostras (pois a força é determinada para um ponto do espaço) e uma microbalança de grande
sensibilidade.
No método denominado Gouoy, preparamos uma amostra contida num cilindro longo. Inserimos
o cilindro na região onde existe um campo magnético de tal forma que apenas a metade do cilindro
esteja sujeita ao campo magnético (a outra metade está fora). Nessas circunstâncias, podemos
somar as forças ao longo da amostra. A força total é dada por:
1
d
χ
Fχ = χµ 0 A∫ dx H 2 = µ 0 AH 2
2
dx
2
onde A é a área da base do cilindro.
( 49 )
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Créditos
Este ebook foi produzido pelo Centro de Ensino e Pesquisa Aplicada (CEPA), Instituto de Física da Universidade de São Paulo (USP).
Autoria: Gil da Costa Marques.
Revisão Técnica e Exercícios Resolvidos: Paulo Yamamura.
Coordenação de Produção: Beatriz Borges Casaro.
Revisão de Texto: Marina Keiko Tokumaru.
Projeto Gráfico e Editoração Eletrônica: Daniella de Romero Pecora, Leandro de Oliveira e Priscila Pesce Lopes de Oliveira.
Ilustração: Alexandre Rocha, Aline Antunes, Benson Chin, Camila Torrano, Celso Roberto Lourenço, João Costa, Lidia Yoshino,
Maurício Rheinlander Klein e Thiago A. M. S.
Animações: Celso Roberto Lourenço e Maurício Rheinlander Klein.
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