A dispersão normal e a dispersão anômala

A dispersão normal e a dispersão anômala
Quando estudamos o modelo de Drude-Lorentz, vimos que a polarização não é proporcional ao campo elétrico,
nesse modelo. No entanto, podemos denir a polarização complexa, P , que é proporcional ao campo elétrico
complexo:
[
P
=
∑
k
]
N nk e2
E0 exp (−iωt) ,
m (ωk2 − ω 2 − iγk ω)
onde, analogamente ao campo elétrico, a polarização física é dada pela parte real da polarização complexa:
P
= Re (P) .
Continuando a analogia com o caso eletrostático, podemos denir uma susceptibilidade elétrica complexa como
χc
∑
=
k
m (ωk2
N nk e2
.
− ω 2 − iγk ω)
Notemos, no entanto, que não podemos armar que a parte real dessa quantidade dá a susceptibilidade física
do meio, pois, como vimos, a polarização física não é proporcional ao campo elétrico físico.
Com essas denições, também faz sentido falarmos de um campo deslocamento complexo, denido por
D
= ϵ + 4πP
= (1 + 4πχc ) ϵ
= Kc ϵ,
onde também denimos a constante dielétrica complexa,
Kc
= 1 + 4πχc .
Supondo que o meio não seja magnético, podemos escrever a Lei de Ampère-Maxwell complexa como
∇×β
=
Kc ∂ϵ
.
c ∂t
Essa equação e as outras equações de Maxwell para os campos complexos fornecem a equação de onda
∇2 ϵ −
Kc ∂ 2 ϵ
c2 ∂t2
=
0.
Essa é a equação de onda para o campo elétrico complexo macroscópico que se propaga no meio dispersivo.
Uma onda plana propagando-se ao longo do eixo z tem o campo elétrico dado, por exemplo, por
ϵ =
x̂E0 exp (ikz − iωt) ,
onde, em virtude da equação de onda acima,
k2
= Kc
ω2
c2
= (1 + 4πχc )
ω2
.
c2
Logo, essa é uma onda evanescente, pois k é um número complexo. Sendo assim, podemos escrever
ϵ
= x̂E0 exp (−ki z) exp (ikr z − iωt) ,
onde
kr
ki
= Re (k) ,
= Im (k) .
1
Agora ca fácil constatarmos que a parte imaginária de k está relacionada à absorção da energia da luz incidente
pelo meio e a parte real de k está relacionada à dispersão da luz no meio. Podemos denir o índice de refração,
portanto, como
c
kr ,
ω
n =
já que a velocidade de propagação da onda plana evanescente acima é dada por ω/kr .
Para calcularmos o índice de refração, podemos escrever
= kr2 − ki2 + 2ikr ki
ω2
= (1 + 4πχc ) 2 .
c
k2
Assim, devemos resolver o sistema de equações:
kr2 − ki2
=
[1 + 4πRe (χc )]
2kr ki
=
4πIm (χc )
ω2
,
c2
ω2
.
c2
Para simplicar nossa análise e, ao mesmo tempo, manter a física do problema intacta, suponhamos que estejamos bem próximos da primeira ressonância na expressão
χc
∑
=
m (ωk2
k
N nk e2
,
− ω 2 − iγk ω)
isto é,
ω
≈ ω1 .
Nesse caso, mantendo apenas o termo mais importante, podemos escrever
≈
χc
=
N n1 e2
m (ω12 − ω 2 − iγ1 ω)
a + bi,
com
a =
[
)
(
N n1 e2 ω12 − ω 2
2
2
m (ω12 − ω 2 ) + (γ1 ω)
]
e
b
=
N n1 e2 γ1 ω
[
2
2
m (ω12 − ω 2 ) + (γ1 ω)
Notemos que
].
( 2
)
ω1 − ω 2
b.
γ1 ω
a =
Para tornar essas expressões ainda mais simples, podemos utilizar a chamada frequência de plasma,
ωp2
=
4πN n1 e2
.
m
kr2 − ki2
=
(1 + 4πa)
Resolvamos agora:
2kr ki
= 4πb
2
ω2
.
c2
ω2
,
c2
Temos
kr2
1
− 2
4kr
(
ω2
4πb 2
c
)2
ω2
,
c2
= (1 + 4πa)
ou seja,
kr4
ω2
1
− (1 + 4πa) 2 kr2 −
c
4
(
ω2
4πb 2
c
)2
=
0,
cujas soluções são
kr2
ω2
ω2
(1 + 4πa) 2 ± 2
2c
2c
=
√
2
2
(1 + 4πa) + (4πb) .
Como kr ∈ R, a solução aceitável é
kr2
=
(1 + 4πa)
ω2
ω2
+
2c2
2c2
√
2
2
(1 + 4πa) + (4πb) ,
isto é,
kr
=
v
√
u
u
2
2
ω t 1 + 4πa + (1 + 4πa) + (4πb)
c
2
Como
c
kr ,
ω
n =
temos
v
√
u
u
2
2
t 1 + 4πa + (1 + 4πa) + (4πb)
n =
2
Tomemos ω ≈ ω1 , de forma que possamos aproximar:
ω12 − ω 2
= (ω1 + ω) (ω1 − ω)
≈ 2ω1 (ω1 − ω) .
Assim, usando a denição da frequência de plasma,
ωp2
=
4πN n1 e2
,
m
obtemos
4πa ≈
=
ωp2 2ω1 (ω1 − ω)
2
2
4ω12 (ω1 − ω) + (γ1 ω1 )
[
]
ωp2 (ω1 − ω)
1
2ω1 (ω1 − ω)2 + γ12 /4
e
4πb
≈
=
ωp2 γ1
2
2
4ω1 (ω1 − ω) + (γ1 ω1 )
[
]
ωp2 γ1
1
.
4ω1 (ω1 − ω)2 + γ12 /4
3
.
.
Notemos que a função
ωp2 γ1
f (ω) =
2
(ω1 − ω) + γ12 /4
é uma lorentziana. Em termos dessa função, podemos escrever
(ω1 − ω)
f (ω)
2γ1 ω1
≈
4πa
e
1
f (ω) .
4ω1
≈
4πb
Com essas aproximações,
n ≈
v
√[
u
]2 [
]2
1 u
(ω1 − ω)
(ω1 − ω)
1
t
√
f (ω) +
1+
f (ω) +
f (ω) .
1+
2γ1 ω1
2γ1 ω1
4ω1
2
No entanto, quando a absorção é muito fraca, podemos supor ki ≪ kr e, portanto, as equações originais,
kr2 − ki2
= (1 + 4πa)
ω2
c2
e
2kr ki
= 4πb
ω2
,
c2
implicam em
kr2
ω2
≈ (1 + 4πa) 2
c
[
] 2
(ω1 − ω)
ω
≈
1+
f (ω) 2 ,
2γ1 ω1
c
isto é,
n =
≈
c
kr
ω
√
1+
(ω1 − ω)
f (ω).
2γ1 ω1
Com a frequência sucientemente próxima à ressonância, podemos considerar
(ω1 − ω)
2γ1 ω1 f (ω)
≪ 1.
Nesse caso,
n ≈ 1+
(ω1 − ω)
f (ω) .
4γ1 ω1
A função n (ω) − 1, nesse caso, tem um pico e passa a diminuir logo depois. Enquanto, para ω < ω1 , n (ω) cresce
com ω , temos a chamada dispersão normal. Enquanto, para ω > ω1 , n (ω) diminui com ω , temos a chamada
dispersão anômala.
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