Capítulo 3 - Instituto de Física / UFRJ

Capítulo 3-Potencial eletrico
CAPÍTULO 3
POTENCIAL ELÉTRICO
Introdução
Sabemos que é possível introduzir o conceito de energia potencial
gravitacional porque a força gravitacional é conservativa.
A Lei de Gravitação Universal de Newton e a Lei de Coulomb são
muito parecidas.
FE
m
-FG
m
1
FG
2
q2
-FE
^r
q1
r
Gm1m2
FG =
rˆ
r2
^r
r
kq q
FE = − 12 2 rˆ
r
Figura 32- Lei da gravitação Universal de Newton e Lei de Coulomb.
Mostraremos que a força elétrica também é conservativa. Por isso, é
possível definir o conceito de energia potencial elétrica e de potencial
elétrico.
C
C
1
F
F
dr1
A
dr
B
dr2
C
B
A
2
dr
F
F
Figura 33- Trabalho de uma força conservativa.
Uma força é dita conservativa quando o trabalho realizado por ela
independe da trajetória:
r r
r r
•
=
F
d
r
F
1
∫
∫ • dr2 .
C1
C2
Uma manipulação simples da expressão anterior permite definir uma
força conservativa como aquela cujo trabalho em uma trajetória fechada é
nula:
r r
r r
r r
r r
•
=
•
⇒
•
−
F
d
r
F
d
r
F
d
r
F
1
2
1
∫
∫
∫
∫ • dr2
C1
C2
C1
C2
r r
r r
⇒ ∫ F • dr1 + ∫ F • dr3 =0 ⇒
C1
C3
r r
∫ F • dr = 0.
C
Maria Antonieta Teixeira de Almeida pág. 29
Capítulo 3-Potencial eletrico
r
r
r
onde dr3 = dr = −dr2 são deslocamentos sobre a trajetória C3 - que tem a
forma da trajetória C2, mas com deslocamentos em em sentido oposto.
Demonstraremos
conservativa.
geometricamente
que
a
força
elétrica
Fo
é
B
rA A
dr
q
o
rB
q
Figura 34- Trabalho em trajetória radial
O trabalho realizado pela força eletrostática que atua em uma carga
pontual qo quando ela se desloca radialmente é
B
r
qq o
qq o 1
1
W A→ B ( Fo ) = ∫
dr = −
( − ).
2
4πε o rB rA
4πε o r
A
rA A
q
Fo
B
q o dr
rB
dr
rC
C
Fo
Figura 35- Trabalho em uma trajetória do tipo degrau
A trajetória da Figura 35 é constituída por uma parte radial e outra
com forma de arco de círculo.Denominaremos essa trajetória degrau. O
trabalho realizado pela força elétrica em uma trajetória degrau é
r
r
r
W A→C ( Fo ) = W A→ B ( Fo ) + WB →C ( Fo ) =
B
C
qq o
o
dr
+
∫A 4πε o r 2 ∫B Fo dr cos(90 ) =
= kqq o (
1 1
1 1
− ) = kqq o ( − ).
rB rA
rC r A
Denominaremos escada a trajetória formada por vários degraus. A
Figura 36 mostra uma escada com dois degraus.
B
C
D
A
E
Figura 36- trajetória do tipo escada.
O
Maria Antonieta Teixeira de Almeida pág. 30
Capítulo 3-Potencial eletrico
Provaremos por indução que o trabalho realizado pela força elétrica
em uma trajetória com N degraus é dado por
r
qq o 1 1
Wi → f ( Fo ) =
( − ),
4πε o ri r f
onde ri e rf são os raios do ponto inicial e do ponto final da escada. Na
Figura 36, ri e rf seriam os raios dos pontos A e do ponto E.
Vamos supor que o trabalho realizado em uma escada com N-1
degraus é dada pela expressão anterior:
r
qq o 1
1
Wi → N −1 ( Fo ) =
( −
),
4πε o ri rN −1
onde ri é o raio do ponto inicial da escada e rN-1 é o raio do penúltimo
degrau da escada. Na Figura 36 , ri seria o raio do ponto A e rN-1 seria o raio
do ponto C.
O trabalho da força elétrica na escada com N degraus é dado por
 1
1 1
1
1 
1
 + kqqo 
Wi → N = Wi → N −1 + W N −1→ N = kqqo  −
−  = kqqo  −
 r −1 r 
r r
f 
f
 ri rN −1 
 N
 i
Portanto, acabamos de provar que o trabalho realizado pela força
elétrica, em uma trajetória do tipo escada, não depende do número de
escadas e é dado pela seguinte expressão:
1 1 
Wi → N = kqqo  −  .
r r 
f 
 i




c
Fo
qo
dr
B
B
A
A
q
Figura 37- trabalho em uma trajetória qualquer.
r
O trabalho realizado pela força elétrica Fo na trajetória C é
r
r
r
WC ( Fo ) = ∫ Fo • dr .
C
A Figura 37 mostra uma trajetória do tipo escada cujo início
coincide com o ponto A e o final com o ponto B. O trabalho realizado pela
r
força Fo nessa trajetória é
Maria Antonieta Teixeira de Almeida pág. 31
Capítulo 3-Potencial eletrico
1 1
W A→ B = kqqo  −  .
 rA rB 
O trabalho realizado pela força elétrica na trajetória escada e na
trajetória C são diferentes porque as trajetórias são diferentes.
O trabalho realizado pela força elétrica na trajetória escada e na
trajetória C tornam-se mais parecidos se utilizarmos escadas com um
número muito grande de escadas. Por isso, podemos calcular o trabalho
r
realizado pela força Fo na trajetória da seguinte forma:
r
WC ( Fo ) = lim N →∞ Wescada .
r
Vimos que o trabalho realizado pela força Fo em uma escada só
depende dos pontos inicial e final da escada. Como esses pontos não mudam
no processo de limite, o trabalho na escada permanece constante e igual a
1 1
Wescada = kqqo  −  .
 rA rB 
r
Conseqüentemente o trabalho realizado pela força Fo na trajetória C
é dado por:
r
1 1
WC ( Fo ) = kqq o  −  .
 rA rB 
A expressão anterior mostra que o trabalho devido à força elétrica
que o campo elétrico de uma carga pontual exerce outra carga pontual não
depende da forma da trajetória, só depende do seu ponto final e do seu
ponto inicial. Logo, a força elétrica é conservativa. Nesse caso, podemos
definir uma energia potencial elétrica associada à carga elétrica qo da
seguinte forma:
B r
1
r
1 
U B = − ∫ Fo • dr = kqq o  − ,
o
 rB ro 
onde ponto o ponto O é escolhido arbitrariamente e é denominado origem
da energia potencial elétrica.
A expressão anterior mostra que a energia potencial do ponto O é
nula. Também é nítido que a energia potencial definida dessa forma
depende da coordenada do ponto que é escolhido como origem do potencial.
Quando o ponto o estiver no infinito a energia potencial UB da
kqqo
carga elétrica qo é U B =
.
rB
Quando o ponto o estiver a um metro da carga elétrica q a nova
expressão U´B da energia potencial da carga elétrica se reduz a
U ´B =
kqqo
− kqqo .
rB
Maria Antonieta Teixeira de Almeida pág. 32
Capítulo 3-Potencial eletrico
A observação das expressões UB e U´B nos permite tirar as seguintes
conclusões.
Escolhas diferentes da origem da energia potencial dão origem à
constantes diferentes nas expressões dessa energia.
U (r ) =
onde C = −
kqqo
+C,
r
kqqo
.
ro
No caso em que a origem é escolhida no infinito a constante é nula;
no caso em que a origem foi escolhida em 1 a constante é kqqo.
A diferença da energia potencial entre dois pontos não depende da
escolha da energia potencial, uma vez que
UB −U A =
kqqo kqq o  kqq o kqqo
−
− 
−
rB
ro
ro
 rA
 kqqo kqqo
 =
−
.
rB
rA

A força elétrica exercida por várias cargas elétricas pontuais sobre
uma carga elétrica qo também é conservativa uma vez que
N
r
r
 1
r N Br
r N
1 
F
=
F
•
d
r
=
F
•
d
r
= ∑ kqi q o  −  .
∑
∑
∑
oi
oi
oi
∫
∫
A
C
C
i =1
i =1
i
i =1
 riA riA 
r
r
∫ Fo • dr = ∫
C
N
A generalização da expressão anterior para uma distribuição
contínua de carga é imediata. Portanto, a energia potencial elétrica de uma
carga elétrica qo na presença de uma distribuição de carga elétrica qualquer
r r
B r
B
r
é dada por U B = − ∫ Fo • dr = − ∫ q o E • dr .
o
o
A energia potencial elétrica por unidade de carga elétrica é
denominada potencial elétrico.
VB =
B r
UB
r
= − ∫ E • dr .
o
qo
A expressão anterior mostra que o potencial elétrico só depende do
ponto e do campo elétrico. Ele não depende da carga de prova. Por isso,
dizemos que o potencial elétrico é uma propriedade do campo elétrico. O
potencial elétrico também depende da escolha da origem e potencial.
Todavia a diferença de potencial independe da posição da origem da energia
potencial (origem do potencial).
O potencial elétrico associado ao campo elétrico de uma da carga
elétrica pontual q é dado por:
VB =
1
UB
1 
= kq − ,
qo
 rB ro 
No caso em que a origem do potencial elétrico é colocada no infinito
a expressão anterior se reduz a
Maria Antonieta Teixeira de Almeida pág. 33
Capítulo 3-Potencial eletrico
VB =
kq
.
r
Essa expressão mostra que todos os pontos das superfícies esféricas
com centro na carga elétrica q têm o mesmo valor do potencial elétrico. Por
isso, elas são denominadas superfícies equipotenciais.
V1
V1
V2
V2
q
q
q> 0
q< 0
Figura 38-Linhas de campo e eqüipotenciais de cargas pontuais positivas e negativas.
Na Figura 38 observamos que
1. as linhas de campo e o campo elétrico
perpendiculares às superfícies eqüipotenciais;
são
2. o campo elétrico aponta para as regiões onde o potencial
elétrico está diminuindo;
3. a força elétrica exercida pelo campo elétrico em uma
carga de prova positiva qo tem a direção e o sentido do
campo elétrico. Por isso, as cargas elétricas positivas se
deslocam espontaneamente para as regiões onde o
potencial elétrico é menor;
4. a força elétrica exercida pelo campo elétrico em uma
carga de prova negativa qo tem a direção do campo
elétrico e o sentido contrário. Por isso, as cargas elétricas
negativas se deslocam espontaneamente para as regiões
onde o potencial elétrico é maior.
O potencial elétrico associado a N cargas elétricas pontuais reduz-se a
N
B r
r N kq
VB = ∑ ∫ Ei • dr = ∑ i .
o
i =1
i =1 riB
Maria Antonieta Teixeira de Almeida pág. 34
Capítulo 3-Potencial eletrico
Exemplo 1:
A Figura 39 mostra um dipolo elétrico localizado no eixo OX.
Y
B
h
A
d
q
M
-q
X
2d
Figura 39- Potencial de um dipolo elétrico
A distância entre as cargas elétrica é 2d. Calcule o potencial
1. no ponto A que dista x da origem do eixo OX;
2. no ponto B sobre a reta paralela ao eixo OY que passa pelo ponto
médio da distância entre as cargas elétricas.A distância do ponto B
ao eixo OX é h.
Resolução:
O potencial elétrico no ponto A é
VA =


kq
kq
1 
d
1
 .
−
= kq −
 = − kq
x x−d
x x−d 
 x(( x − d ) ) 
O potencial elétrico no ponto B é
VA =
kq kq
−
= 0.
r+ B r− B
Observe na Figura que r+ B e r− B são iguais.
Exemplo 2:
Calcule o potencial de um ponto localizado no eixo que é perpendicular ao
plano do anel e passa pelo seu centro. A carga elétrica total do anel q está
uniformemente distribuída no anel.
Y
Y
q
q
dq
R
d
X
A
r
d
X
A
Figura 40- Potencial no eixo de simetria do anel
Maria Antonieta Teixeira de Almeida pág. 35
Capítulo 3-Potencial eletrico
Resolução:
Para calcular o potencial criado pelo anel vamos dividir o anel em cargas
elétricas quase pontuais. O potencial elétrico do anel pode ser calculado
somando-se os potenciais das cargas quase pontuais do anel. Como a
distribuição de cargas elétrica é contínua, essa soma é uma integral.
VA = ∫
kdq k
kq
= ∫ dq =
=
r
r
r
kq
d 2 + R2
.
Exemplo3:
Calcule o potencial elétrico de um campo elétrico constante e igual a
r
E = Eo iˆ , onde iˆ é o vetor unitários da direção do eixo OX. Desenhe as
superfícies eqüipotenciais associadas a esse campo elétrico.
E
Y
Y
X
O
V2
V1
E
X
O
Figura 41- Eqüipolências e linhas de campo de um campo elétrico
constante.
Resolução:
O potencial elétrico é dado por:
B r
B
r
r
VB = − E • dr = − Eo iˆ • dr = −
∫
o
∫
o
∫
B
o
E o dx = − E o ∫ dx = − E o ( x B − xo )
B
o
Se escolhermos a origem do potencial elétrico na origem vemos que
o potencial elétrico do campo elétrico constante se reduz a V ( x) = − Eo x .
A expressão anterior mostra que as superfícies eqüipotenciais são
planos perpendiculares ao eixo OX.
Na Figura 41 observamos os que as linhas de campo e o campo
elétrico são perpendiculares às superfícies eqüipotenciais;
1. o campo elétrico aponta para as regiões onde o potencial
elétrico está diminuindo.
2. a força elétrica exercida pelo campo elétrico em uma carga de
prova positiva qo tem a direção e o sentido do campo elétrico.
Por isso, as cargas elétricas positivas se deslocam
espontaneamente para as regiões onde o potencial elétrico é
menor;
3. a força elétrica exercida pelo campo elétrico em uma carga de
prova negativa qo tem a direção do campo elétrico e o sentido
contrário. Por isso, as cargas elétricas negativas se deslocam
espontaneamente para as regiões onde o potencial elétrico é
maior.
Maria Antonieta Teixeira de Almeida pág. 36
Capítulo 3-Potencial eletrico
As propriedades 2 e 3 valem sempre e estão relacionadas à definição
do campo elétrico. As propriedades 1 é geral e pode ser demonstrada: a
variação de potencial é
B
A r
r
VB − VA = ∫ dV = − ∫ E • dr .
A
A
A expressão anterior permite escrever a diferencial do potencial
r r
elétrico: dV = − E • dr .
r
Quando o deslocamento dr é paralelo ao campo elétrico a variação
de potencial é dV = − E dr < 0 . Por isso o campo elétrico aponta da direção
em o potencial elétrico diminui. Quando o deslocamento é perpendicular ao
campo elétrico a variação de potencial elétrico é nula. Por isso, o campo
elétrico é perpendicular às superfícies eqüipotenciais.
A expressão da diferencial do potencial permite calcular o campo
elétrico a partir da expressão do potencial elétrico.
Quando o deslocamento ocorre na direção do eixo OX, o vetor
r
deslocamento é dr = dx iˆ . Nesse caso, a variação do potencial é
dV = − E x dx . Portanto a componente do campo elétrico na direção o eixo
dV
OX é E x = −
. Como a variação do potencial elétrico foi realizada na
dx
direção do eixo OX, as coordenadas y e z permaneceram constante. Por
isso, a derivada que aparece na expressão do campo elétrico é uma derivada
∂V
.
parcial: E x = −
∂x
Deslocamentos na direção do eixo OY e OZ fornecem para as
componentes do campo elétrico nessa direção as expressões
Ey = −
∂V
∂y
e Ez = −
∂V
.
∂z
1. A diferença de potencial é VB =
B r
UB
r
= − ∫ E • dr .
o
qo
2. O potencial elétrico de uma carga elétrica pontual é VB =
kq
+ C . A constante C é
r
determinada pela posição da origem o do potencial elétrico.
3. Vale o princípio da superposição para o potencial elétrico, isto é,
N
VB = ∑
i =1
kqi
+C .
riB
4. A relação entre o campo elétrico e o potencial elétrico é
∂V E = − ∂V
∂V
Ex = −
Ez = −
y
∂y e
∂x ,
∂z .
Maria Antonieta Teixeira de Almeida pág. 37
Capítulo 3-Potencial eletrico
Questionário 3
1. Qual energia potencial elétrica associada a uma carga elétrica
localizada em uma região do espaço onde existe um campo elétrico
constante?
2. A energia potencial elétrica associada a um campo elétrico tem alguma
arbitrariedade na sua definição? Qual?
3. Qual o valor da energia potencial elétrica no ponto que é escolhido
como a origem da energia potencial elétrica?
4. A energia potencial elétrica muda quando a sua origem é deslocada
para outro ponto? E a diferença de energia potencial elétrica?
5. O que é potencial elétrico?
6. Qual a expressão do potencial elétrico criado por um campo elétrico
constante? Ele tem alguma arbitrariedade na sua definição?
7. O que é origem do potencial?
8. O potencial elétrico muda quando a origem do potencial elétrico é
deslocada para outro ponto? E a diferença de potencial?
9. Marque a alternativa correta:
(
) As cargas elétricas positivas e negativas se deslocam
espontaneamente para as regiões em que o potencial elétrico é menor.
( ) As cargas elétricas positivas se deslocam espontaneamente para as
regiões em que o potencial elétrico é menor, e as cargas elétricas
negativas se deslocam espontaneamente para regiões em que o
potencial elétrico é maior.
10. O que é uma superfície equipotencial?
11. Qual a direção do campo elétrico na superfície equipotencial?
12. É possível calcular o campo elétrico quando se conhece o potencial
elétrico em todo o espaço? De que forma?
Maria Antonieta Teixeira de Almeida pág. 38
Capítulo 3-Potencial eletrico
Exercício 5
Escreva a expressão do potencial elétrico associada ao um campo elétrico
constante E=1000V/m representado na figura abaixo nos seguintes casos:
a)
A origem do potencial elétrico está em y= 0 m.
b) A origem do potencial elétrico está em y=1 m.
Figura 42- Exercício 5
Exercício 6
Na fotografia abaixo, sementes de grama foram colocadas sobre óleo na presença
de dois terminais carregados com cargas opostas. Um dos terminais é um disco
com raio pequeno e o outro é uma coroa circular(não aparece na fotografia). O
centro do disco coincide com o centro da coroa circular. Desenhe uma linha
equipotencial.
Justifique a sua resposta.
Figura 43 – Linhas de força
Maria Antonieta Teixeira de Almeida pág. 39