MAF 1292 Eletricidade e Eletrônica - SOL

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E FÍSICA
Professores: Edson Vaz e Renato Medeiros
MAF 1292
Eletricidade e Eletrônica
NOTA DE AULA I
Goiânia 2014
CAPACITORES
Um capacitor (ou condensador) é constituído por dois condutores separados por um
isolante, onde os condutores são chamados de armaduras (ou placas do capacitor) e o isolante é o
dielétrico do capacitor. Quando um capacitor está carregado, cada uma das duas placas contêm
cargas de mesmo módulo e sinais oposto (+q e –q). Entretanto, quando nos referimos à carga q de
um capacitor, estamos falando do módulo da carga de uma das placas e não da carga total do
capacitor (a carga total em um capacitor é sempre zero).
Símbolo do capacitor
Capacitância de capacitor
A capacitância, C, de um capacitor pode ser definida como a razão entre a carga Q de
qualquer dos condutores e o módulo da diferença de potencial, V, entre os condutores. Para um
determinado capacitor esta razão permanece constante.
C
Q
 Q  VC
V
onde :
C = é a capacitância do capacitor
Q = é a carga de uma das armaduras do capacitor
V = é a diferença de potencial entre as placas do capacitor
Unidade de capacitância no S.I.
A unidade de capacitância (S.I) é o Coulomb por Volt. Esta unidade é chamada de farad
(F), em homenagem ao Físico britânico Michael Faraday
coulomb / volt = farad ( F )
Observação:
O farad é uma unidade muito grande, por isso usamos constantemente seus submúltiplos:
 F  microfarad  106 F
nF  nanofarad  109 F
pF  picofarad  1012 F
Carregando ou descarregando um capacitor:
O capacitor não carrega linearmente e nem descarrega linearmente.
Capacitor de Placas Paralelas
O tipo mais comum de capacitor consiste em duas placas condutoras e paralelas, separadas
por uma distância pequena em relação às dimensões da placa. Se as placas estiverem
suficientemente próximas podemos desprezar a deformação do campo elétrico próximo às bordas
das placas, e o campo elétrico entre as placas pode ser considerado uniforme.
A capacitância de um capacitor de placas paralelas depende diretamente da área das placas e
inversamente da distância de separação entre elas, sendo dada por:
C 
A
d
d
onde :
A = é a área da superfície das placas
d = é a distância entre as placas
No vácuo, temos que:  o  8,85 1012 C2 / Nm2
Vamos demonstrar a expressão da capacitância de um capacitor de placas paralelas.
Pela Lei de Gauss, temos o campo elétrico entre as placas como:
 o  E.dA  q   o EA  q
E
q
A o
f
A diferença de potencial entre as placas é dada por: V f  Vi    E.ds
i
Vamos tomar o caminho da placa negativa para a placa positiva e adotar o Vi = 0, então:

V f   Eds

Como V  Ed e E 
q
, temos:
A o
C
q
q
q


q
V Ed
d
A o
A o 

C


d 

Associação de capacitores em série
Numa associação de capacitores em série, a placa negativa de um capacitor está ligada à
placa positiva do seguinte. Sendo que, se uma diferença de potencial V for aplicada em uma
associação de capacitores em série, a carga q armazenada é a mesma em cada capacitor da
associação e a soma das diferenças de potencial aplicada a cada capacitor é igual à diferença de
potencial V aplicada na associação. Capacitores ligados em série podem ser substituídos por um
capacitor equivalente com a mesma carga q e a mesma diferença de potencial V aplicada à
associação.
Para três capacitores em série temos que:
VT  V1  V2  V3
qT q1 q2 q3
 

CT C1 C2 C3
série : q1  q2  q3  qT
1
1
1
1
 

CT C1 C2 C3
Temos que:

Todos os capacitores estão carregados com a mesma carga.

A diferença de potencial VAB é igual à soma das voltagens de cada capacitor.
Este resultado pode ser generalizado para n capacitores
N
 1
1
 

 CT i 1 Ci 
Associação de capacitores em paralelo
Numa associação de capacitores em paralelo, todas as armaduras positivas estão ligadas a
um mesmo ponto, assim como todas as negativas estão ligadas a outro ponto comum.
Quando uma diferença de potencial V é aplicada em uma associação de capacitores em
paralelo, a diferença de potencial V é a mesma entre as placas de cada capacitor, e a carga total q
armazenada na associação é a soma das cargas armazenadas em cada capacitor. Capacitores
ligados em paralelo podem ser substituídos por um capacitor equivalente com a mesma carga total
q e a mesma diferença de potencial V aplicada à associação.
Para três capacitores em paralelo temos que:
qT  q1  q2  q3
CTVT  C1V1  C2V2  C3V3
paralelo : V1  V2  V3  VT
CT  C1  C2  C3
Temos que:
A voltagem é a mesma em todos os capacitores.
A carga armazenada no capacitor equivalente é igual à soma das cargas de cada
capacitor.
Este resultado pode ser generalizado para n capacitores
N


C

 T  Ci 
i 1


Energia potencial elétrica armazenada por um capacitor
Um agente externo deve realizar trabalho para carregar um capacitor. O trabalho necessário
para carregar o capacitor é armazenado na forma de energia potencial, U, no capacitor, sendo que,
esta energia pode ser recuperada, descarregando-se o capacitor em um circuito.
A energia potencial de um capacitor carregado pode ser considerada armazenada no campo
elétrico entre suas placas. Vamos determinar a expressão para calcular esta energia
Tomemos um capacitor com uma carga inicial q '  V ' 
q'
C
E queremos colocar mais carga nesse capacitor. Para isso precisamos realizar trabalho, ou seja,
ligar uma bateria, por exemplo, para fazer isso. Então:
1

2
U  2 CV 
Capacitores com um Dielétrico
Se o espaço entre as placas de um capacitor for completamente preenchido com um
material dielétrico, a capacitância do capacitor aumenta de um fator k, chamado de constante
dielétrica, que é característica do material. Em uma região que está completamente preenchido por
um dielétrico, todas as equações eletrostáticas que contém  0 (constante de permissividade no
vácuo) devem ser modificadas, substituindo-se  0 por k  0 .
O uso de um dielétrico em um capacitor apresenta uma série de vantagens. A mais simples
destas é que as placas condutoras podem ser colocadas muito próximas sem o risco de elas
entrarem em contato. Além disto, qualquer substância submetida a um campo elétrico muito alto
pode se ionizar e se tornar um condutor. Os dielétricos são mais resistentes à ionização que o ar,
deste modo um capacitor contendo um dielétrico pode ser submetido a uma tensão mais elevada.
Qual a nova capacitância ( C’ ) devido ao uso do dielétrico entre as placas?
O dielétrico enfraquece o campo (devido ao campo induzido no dielétrico) e com isso a
capacitância aumenta.
A nova capacitância será:
C '  KCar
Onde: K é a constante dielétrica do meio e Car a capacitância com o ar ou vácuo.
CORRENTE ELÉTRICA
Estudamos anteriormente os fenômenos que pertencem ao campo da eletrostática, ou seja,
com cargas estacionárias. Iniciaremos o estudo de fenômenos elétricos relacionados com cargas
em movimento, isto é, estamos começando o estudo das correntes e circuitos elétricos.
Apesar de corrente elétrica ser gerada por cargas em movimento, nem sempre as cargas em
movimento constituem uma corrente elétrica. Para que haja uma corrente elétrica através de uma
superfície, tem de haver um fluxo resultante de cargas através dessa superfície. A condição
fundamental para que haja uma corrente elétrica entre dois pontos de um circuito fechado é que
tenhamos uma diferença de potencial elétrico (voltagem) entre estes pontos. Esta ddp pode ser
gerada por uma bateria. Como está representado na figura abaixo
Sentido convencional da corrente elétrica
O sentido convencional da corrente elétrica é escolhido como sendo o sentido do movimento
de cargas positivas. Então, uma seta indicando o sentido convencional da corrente elétrica é
desenhada no sentido no qual se moveriam portadores de carga positiva, mesmo que os
verdadeiros portadores de carga sejam negativos e se movam no sentido contrário. Devemos
lembrar que carga negativa desloca-se espontaneamente para pontos de maior potencial elétrico, o
que justifica a necessidade de uma diferença de potencial.
Devemos observar que a corrente elétrica é uma grandeza escalar, apesar de usarmos
setas para indicar o seu sentido. Estas setas não são vetores e sua soma é escalar.
Intensidade da corrente elétrica (i)
A intensidade da corrente elétrica é a medida da quantidade de carga que passa, por
unidade de tempo, através de uma seção do condutor. Para o caso de um fluxo de corrente
constante, temos que:
Quando uma quantidade de carga Q passa através da secção de um condutor, durante um
intervalo de tempo t, a intensidade de corrente i nesta secção é dada por:
i
Q
t
Quando a taxa de fluxo de carga não for constante, podemos generalizar a definição de
corrente usando-se as derivadas. A corrente instantânea i é definida como
i
dq
dt
Unidade de corrente elétrica
A unidade de corrente no SI, Coulomb por segundo, é chamada de ampère (A), em
homenagem ao Físico Francês André Marie Ampére. Pequenas correntes são convenientes
expressas em miliampères ( mA  103 A ) ou em microampères (  A  106 A ).
RESISTÊNCIA ELÉTRICA
Se aplicarmos a mesma diferença de potencial entre as extremidades de fios de mesmas
dimensões, mas de materiais diferentes, teremos correntes diferentes passando pelos fios. A
característica do condutor a ser considerada aqui é a resistência elétrica, que caracteriza a oposição
que um condutor oferece à passagem de corrente através dele.
Quando uma voltagem VAB é aplicada nas extremidades de um condutor, estabelecendo
nele uma corrente elétrica i, a resistência deste condutor é dada pela relação:
R
VAB
 VAB  R.i
i
Unidade de resistência no SI:
A unidade de resistência no SI é o Volt por ampère. Esta unidade é denominada ohm ()
1V/A = 1 ohm = 1
Resistividade de um material
É comum não lidarmos com objetos particulares, mas com os materiais. Em vez da
resistência R de um objeto podemos lidar com a resistividade ρ do material (A resistência é uma
propriedade de um objeto e a resistividade é uma propriedade de um material).
Se conhecermos a resistividade de uma substância, podemos calcular a resistência elétrica
de um pedaço de fio feito dessa substância.
Considere um fio condutor de comprimento L e secção transversal de área A. Verifica-se
que, a resistência elétrica R é diretamente proporcional ao comprimento do fio condutor e
inversamente proporcional à área da sua secção transversal.
R
L
A
Onde:  é a resistividade do material. No SI, a unidade de resistividade é dada por:  . m
A resistividade de um material varia com a temperatura. Para variações de temperaturas
não-excessivas nos metais, pode-se admitir como linear a variação da resistividade, que é dada
por:
  oT
Onde:
 = é a variação da resistividade.
 o = é a resistividade a uma temperatura inicial de referência T0.
 = é o coeficiente de temperatura da resistividade.
T = é a variação da temperatura.
Muitas vezes caracterizamos um fio metálico como um condutor e outras vezes como um
resistor, conforme a propriedade que se deseja realçar. O inverso da resistividade é a
condutividade  , portanto temos:

1

A LEI DE OHM
Para determinados condutores, o valor de sua resistência permanece constante, não
dependendo da voltagem aplicada ao condutor. Os condutores que obedecem a esta lei são
denominados condutores ôhmicos. Para estes condutores a corrente elétrica ( i ) que os percorrem
é diretamente proporcional à voltagem ou ddp (V) aplicada. Consequentemente o gráfico V versus
i é uma linha reta, cuja inclinação é igual o valor da resistência elétrica do condutor, como mostra
o gráfico abaixo,
Dispositivos ôhmicos obedecem à lei de Ohm
Dispositivos não Ôhmicos
Observa-se, em uma grande família de condutores que, alterando-se a ddp (V) nas
extremidades destes dispositivos altera-se a intensidade da corrente elétrica i, mas a duas
grandezas não variam proporcionalmente, isto é, o gráfico de V versus i não é uma reta, portanto
eles não obedecem à lei de Ohm, veja um exemplo no gráfico abaixo. Estes dispositivos são
denominados não ôhmicos.
Dispositivos não ôhmicos não obedecem à lei de Ohm
Observações:

Para os condutores ôhmicos, o gráfico VAB  i é uma reta passando pela origem.

Se o condutor não obedecer à lei de Ohm, o gráfico VAB  i não será retilíneo, podendo
apresentar diversos aspectos, dependendo da natureza do condutor.

É comum ouvir a afirmação de que a expressão VAB = R.i é uma representação
matemática da lei de Ohm. Isso não é verdade! Essa expressão é usada para definir o
conceito de resistência e se aplica a todos os dispositivos que conduzem corrente
elétrica, mesmo que não obedeçam à lei de Ohm. Ou seja, ela é válida quer o
dispositivo obedeça ou não à lei de Ohm.
Energia e Potência em circuitos elétricos.
Na figura abaixo temos a representação de um circuito formado por uma bateria B ligada por
fios de resistência desprezível a um componente não-especificado, o qual pode ser um resistor,
uma bateria recarregável, um motor elétrico ou outro dispositivo elétrico. A bateria mantém uma
diferença de potencial de valor absoluto V entre seus terminais e, portanto, mantém a mesma ddp
nos terminais do componente elétrico. Neste circuito a bateria B fornece energia a um componente
elétrico. Esta energia pode ser transformada em energia química se o componente for uma bateria
recarregável, em energia térmica se o componente for um resistor ou pode ser usada para realizar
trabalho no caso de um motor elétrico.
Energia elétrica é de suma importância para o ser o humano, pois ela pode ser facilmente
transformada em outras formas de energia. Podemos citar uma infinidade destas transformações,
como por exemplo, os motores elétricos que convertem energia elétrica em mecânica. Outros
aparelhos tais como chuveiro, aquecedores, secadores de cabelo são alguns exemplos de
conversão de energia elétrica em calor. O funcionamento das lâmpadas comuns de bulbo é uma
forma de transformar energia elétrica em luz.
De uma maneira geral, os aparelhos elétricos são dispositivos que transformam energia
elétrica em outra forma de energia. A taxa de transformação dessa energia é a potência do
aparelho.
Se um aparelho elétrico, ao ser submetido a uma diferença de potencial V AB, for percorrido
por uma corrente i, a potência desenvolvida neste aparelho será dada por (ver a demonstração
dessa expressão no livro texto):
P  iVAB
Efeito joule
O efeito joule consiste na transformação de energia elétrica em energia térmica em uma
resistência percorrida por uma corrente elétrica. Essa conversão de energia ocorre por meio de
colisões entre os elétrons e as moléculas do resistor, o que leva a um aumento de temperatura do
resistor. Mesmo sabendo-se que esta energia pode ser aproveitada, é comum se referir a esta
energia térmica como energia dissipada no resistor.
Sendo R o valor da resistência, VAB a voltagem nela aplicada e i a corrente que a percorre, a
potência desenvolvida, por efeito joule, nesta resistência, pode ser calculada pelas expressões:
P  iVAB  P  Ri 2
ou
P
2
VAB
R
Devemos observar que a equação P  iVAB se aplica a transferências de energia
elétrica de todos os tipos, mas, as duas equações P  R.i 2 e P 
2
VAB
se aplicam apenas a
R
transferências de energia elétrica para energia térmica em um dispositivo com resistência elétrica.
Devido à energia térmica a temperatura do resistor aumenta, a menos que haja um fluxo de
calor para fora do mesmo. Cada resistor tem uma potência máxima, que pode ser dissipada sem
superaquecer o dispositivo. Quando esta potência é ultrapassada, a resistência pode variar de
forma imprevisível, em casos extremos, o resistor pode-se fundir.
Observação:
Devemos lembrar que a unidade de potência no SI é watt (W)
Energia elétrica consumida
Atualmente percebe-se grande preocupação em relação à economia de energia, portanto,
cresce a procura por aparelhos que consumam menos energia. A informação dos fabricantes sobre
o consumo de cada aparelho, geralmente se da por meio de sua potência, mesmo porque a energia
consumida depende do tempo de funcionamento. Para um mesmo tempo de funcionamento,
quanto maior a potência de um aparelho maior será o seu consumo de energia.
A energia consumida por um aparelho de potência P, num intervalo de tempo t, é dada
por:
E  Pt
UNIDADES DE ENERGIA
No S.I a potência deve estar em watt (W), o tempo em segundo e a energia em joules (J).
Quando a potência está em kW e o tempo em horas, a unidade de energia será kWh. A
relação entre esta unidade prática de energia e o joule é:
1kWh  3,6 106 J
CIRCUITOS ELÉTRICOS
Circuitos elétricos, nos dias de hoje, são elementos básicos de qualquer aparelho elétrico e
eletrônico, como rádios, TV, computadores, automóveis, aparelhos científicos, etc. Quando
desenhamos um diagrama para um circuito, representamos as baterias, capacitores e resistores por
símbolos, como mostra a tabela. Fios cuja resistência é desprezível comparado com as outras
resistências do circuito são desenhados como linhas retas.
Associação de resistores
Em determinados circuitos podemos ter associações de alguns componentes. Vamos estudar
neste momento a associação de resistores.
Associação de resistores em série
Muitas vezes, nos circuitos elétricos, aparecem resistores ligados em série (um em seguida
ao outro), como está representado no segmento de circuito da figura abaixo. Considere que exista
uma diferença de potencial entre A e B.
A
i
R1
R2
C
VAC
D
VCD
R3
i
B
VDB
Em termos de resistência, esta associação pode ser substituída por um único resistor
equivalente Rs
RS
i
A
B
As características dessa associação são:
a).
A intensidade da corrente i é a mesma em todos os resistores, pois estão ligados um após
o outro no mesmo fio. i1  i2  i3  i
b).
A voltagem na associação é igual à soma das voltagens em cada resistor. Esta propriedade
é consequência da conservação da energia.
VAB  VAC  VCD  VDB
c).
A resistência equivalente da associação é igual à soma das resistências dos resistores da
associação. RS = R1 + R2 + R3
Demonstração da expressão usada no cálculo da resistência equivalente:
VAB  Rs .i,VAC  R1.i,VCD  R2 .i,VDB  R3 .i
 Rs .i  R1.i  R2 .i  R3 .i
 RS  R1  R2  R3
d).
Na resistência de maior valor, será observada a maior ddp.
e).
Para o caso de N resistores associados em série, a resistência equivalente é igual à soma
direta das N resistência em separado, isto é;
N
R   Rj
j 1
Note que quando mais resistência é introduzida no circuito em série, menor será a
corrente no circuito, supondo que a ddp (VAB) aplicada, se mantenha constante.
Associação de resistores em paralelo
Os resistores podem estar associados em paralelo (um dos terminais de todos os resistores é
ligado a um ponto, o outro terminal de todos os resistores é ligado a um segundo ponto), como
está representado no segmento de circuito da figura abaixo. Considere que exista uma diferença de
potencial entre os pontos A e B.
i
A
R1
i1
R2
i2
R3
i
B
i3
Resistor equivalente
i
RP
A
i
B
As características dessa associação são:
a).
A d.d.p. total aplicada à associação é igual à d.d.p. aplicada em cada resistor.
V1  V2  V3  VAB
b).
A intensidade de corrente elétrica total é igual à soma das intensidades de corrente
elétrica nos resistores associados. Esta propriedade é consequência da conservação
das cargas.
i  i1  i2  i3
c).
O inverso da resistência equivalente é igual à soma dos inversos das resistências
dos resistores associados.
1
1
1
1
 

RP R1 R2 R3
Demonstração da expressão usada no cálculo da resistência equivalente:
i
VAB
V
V
V
, i1  AB , i2  AB , i3  AB
Rp
R1
R2
R3

VAB VAB VAB VAB



RP
R1
R2
R3

1
1
1
1
 

RP R1 R2 R3
d).
A resistência equivalente é menor do que a menor das resistências da associação.
e).
A resistência de menor valor será percorrida pela corrente de maior intensidade.
f).
Podemos generalizar para o caso de N resistores, a expressão usada no cálculo da
resistência equivalente de 3 resistores em paralelo.
1 1
1
1
 

R R1 R2 R3
ou
1 N 1

R j 1 R j
Curto - circuito
Nós dizemos que o trecho entre dois pontos de um circuito está em curto - circuito, quando
estes pontos estão ligados por um fio ideal (condutor de resistência desprezível).
OBSERVAÇÃO:
Sempre que dois pontos estiverem em curto - circuito, terão o mesmo potencial elétrico e
poderão ser considerados como pontos coincidentes em um novo esquema do mesmo
circuito.
Exemplo:
Na associação da figura abaixo, vamos calcular a resistência equivalente entre os terminais
A e B.
12
18
D
30
10
A
C
E
20
B
F
O trecho ACE está em curto circuito, portanto, os pontos A, C e E podem ser considerados
coincidentes. De maneira equivalente, os pontos D, F e B podem ser coincidentes. Com estas
considerações um novo esquema do circuito, mais simples que o anterior, pode ser encontrado.
12
18
10
20
A
B

10
A
B
30
Cálculo da corrente em circuitos de uma única malha - circuito série
Quando percorremos uma malha de um circuito o potencial elétrico pode sofrer aumento
ou queda ao longo do percurso. Inicialmente vamos estudar apenas os casos de aumento ou queda
de potencial devido à passagem por geradores, receptores e resistores. Nestes casos podemos usar
duas regras, a da fem ou fcem e a resistência.
Regra da fem ou fcem: Ao passarmos por um gerador (fem) ou receptor (fcem), de seu
polo negativo para o polo positivo, o potencial aumentará de um valor . Se a passagem ocorrer
em sentido contrário, o potencial diminuirá da mesma quantidade .
Regra da resistência: Ao passarmos por uma resistência R (inclusive pela resistência
interna de um gerador ou de um receptor), no mesmo sentido da corrente i, o potencial diminuirá
de um valor Ri. Se a passagem ocorrer em sentido contrário, o potencial aumentará da mesma
quantidade Ri.
As duas regras citadas acima podem ser resumidas graficamente como:
i
R
Regra da Resistência
- Ri
+ Ri


-

+
Regra da fem
ou fcem
Para calcularmos a corrente em um circuito de uma única malha, podemos aplicar a regra das
malhas de Kirchhoff (também conhecida como lei das malhas de Kirchhoff em homenagem a
Gustav Robert Kirchhoff – Físico Alemão).
Lei das Malhas
Percorrendo-se uma malha fechada num certo sentido, a soma algébrica das ddps é nula.
Quando nos deslocamos sobre uma malha fechada do circuito, o potencial pode aumentar
ou diminuir ao passarmos por um resistor, gerador ou outros componentes da malha, mas ao
completarmos a malha e chegar ao ponto de partida, a variação líquida do potencial tem que ser
nula. Esta regra é o resultado direto da conservação da energia.
Considere o circuito abaixo, composto por um gerador de fem 1 e resistência interna r1,
um receptor de fcem  2 e resistência interna r2 e dois resistores R1 e R2.
A
r
ε
i
R
R
i
r
ε
B
Aplicando a lei das malhas, no sentido anti-horário, temos que:
R1i  r2i   2  R2i  1  ri
1 0
 i ( R1  R2  r1  r2 )  1   2
i
1   2
( R1  R2  r1  r2 )
Observando que o numerador desta expressão representa a soma algébrica das fem e fcem
que aparecem no circuito (considerando negativa a fcem ) e, o denominador, a soma de todas as
resistências (internas e externas) deste circuito, podemos generalizar esta expressão.
Equação do circuito série
Para calcular a corrente elétrica de um circuito composto por geradores, receptores e
resistores, estando todos os componentes ligados em série, temos a seguinte equação:
  
i
R
'
Onde:
 = é a soma das forças eletromotrizes
 = é a soma das forças contra-eletromotrizes
R = é a soma das resistências (internas e externas)
Observação:
Devemos observar que na expressão acima  deve ser maior que , pois, um sinal negativo
para a corrente elétrica indica que o seu sentido não está correto.
Cálculo da diferença de potencial entre dois pontos de um circuito
O valor da diferença de potencial entre dois pontos quaisquer A e B de um circuito, será
obtido somando-se algebricamente ao potencial de A (VA) as variações de potencial que ocorrem
no percurso de A para B, tomando-se os aumentos com sinal positivo e as diminuições com sinal
negativo e igualando-se esta soma ao potencial de B (VB). Para determinar o aumento ou queda de
potencial ao longo do circuito vamos usar as regras da fem ou fcem e a da resistência, estudadas
anteriormente.
Como exemplo, podemos determinar a ddp VAB no circuito anterior. Percorrendo-se o
circuito de A até B, no sentido horário (se o percurso for no sentido anti-horário, o resultado final
será o mesmo) temos:
VA  ri
1  1  R2i  VB
VAB  VA  VB  ri
1  1  R2i
Circuito com várias malhas
Para resolver problemas envolvendo circuitos com mais de uma malha, podemos aplicar a
regra das malhas (já estudada anteriormente) e a regra dos nós de Kirchhoff (também chamada de
lei dos nós).
Lei dos Nós
Em um nó, a soma das intensidades de corrente que chegam é igual à soma das intensidades de
corrente que saem. Esta regra é consequência da conservação das cargas.
Aplicando a regra dos nós em B, temos que:
i1  i2  i3
Podemos verificar facilmente que aplicando esta mesma regra em E leva exatamente a
mesma equação.
Vamos aplicar a regra das malhas na malha da esquerda e na malha da direita.
Percorrendo-se a malha (ABEFA) no sentido horário partindo do ponto A, temos que:
ri
1 1  1  r2i2   2  R2i2  R1i1  0
Percorrendo-se a malha (BCDEB) no sentido anti-horário partindo do ponto B, temos que:
r2i2   2  R2i2  r3i3   3  R3i3  0
Temos agora três equações envolvendo as três correntes desconhecidas, e elas podem ser
resolvidas por várias técnicas.
1
r1
A

R3
B

C

r2


i
1
F
R1
i2

2
3
r3
R2
i
E
3
D
Circuito RC em Série
Resistores e capacitores são frequentemente encontrados juntos em circuitos elétricos. Um
exemplo muito simples desta combinação é mostrado no circuito RC abaixo. Nos circuitos
considerados até agora, supôs-se que as correntes eram constantes. Na figura abaixo está
representando um circuito RC no qual a corrente não é constante quando o capacitor está
carregando ou descarregando.
Quando a chave S é fechada sobre a, o capacitor é carregado através do resistor. Quando a
chave é depois fechada sobre b, o capacitor descarrega através do resistor.
Carregando um capacitor
Quando ligamos a chave s em a, se o capacitor estiver inicialmente descarregado, a diferença de
potencial inicial no capacitor é zero e a voltagem da bateria aparecerá toda sobre o resistor,
gerando uma corrente inicial i0 = ε/R. À medida que o capacitor se carrega, a sua voltagem
aumenta e a diferença de potencial sobre o resistor diminui, correspondendo a uma diminuição na
corrente. Após um longo tempo, o capacitor torna-se totalmente carregado e a voltagem da bateria
aparece toda no capacitor, então, não há diferença de potencial no resistor e a corrente torna-se
nula, ou seja, este processo ocorrerá até que diferença de potencial entre as placas do capacitor
fique igual a da bateria. Isto significa que a corrente elétrica deve diminuir com o tempo. Na figura
abaixo temos a representação do circuito (a) e o gráfico da variação da corrente elétrica (b)
durante o processo de carregar o capacitor.
(a) Circuito RC (b) Evolução temporal da corrente no circuito RC.
A carga q e a corrente i são funções exponenciais do tempo, dadas por (ver discussão mais
aprofundada destas expressões no livro texto):
q  C (1  et / Rc )  qF (1  e t / RC )

i  ( )et / RC  i0 e t / RC
R
O produto RC possuí dimensão de tempo e é chamado de constante de tempo capacitiva  .
Devemos observar que:
p / t    q  C  q final e i  0
p/t  0 q  0 e i 

R
 i0
A equação mostra que a carga no capacitor, inicialmente, cresce rapidamente com o tempo, mas
tem um valor limite que é igual a Qmax= Cε. Na figura abaixo temos a representação gráfica da
variação da carga do capacitor no processo de carregamento.
Evolução temporal da carga no capacitor no processo de carregamento
Nos gráficos da corrente e da carga em função do tempo podemos perceber que no instante t
= RC a corrente decresce de um fator igual a 1/e = 0,37 com relação ao seu valor inicial io e a
carga cresce de um fator 0,63 do seu valor final.
Descarregando um Capacitor
Suponha agora que o capacitor do circuito esteja totalmente carregado a um potencial V 0 = ε.
Em um novo instante t = 0, a chave s é virada de a para b de modo que o capacitor possa
descarregar através da resistência R. A carga q e a corrente i, no capacitor, diminuem
exponencialmente com o tempo da seguinte forma (ver discussão mais aprofunda destas
expressões no livro texto):
q  q0 et / RC
i  i0 et / RC
Devemos observar que:
p/t   q  0 e i  0
p / t  0  q  q0 e i  i0
No gráfico abaixo temos a representação da variação da diferença de potencial nos terminais de
um capacitor no processo de carregar e descarregar o capacitor.
Tipos de fontes
Para o funcionamento de um circuito eletrônico necessitamos de uma fonte, esta fonte pode ser uma
fonte de tensão ou uma fonte de corrente.
FONTES DE TENSÃO.
As fontes podem ser ideal (produz uma tensão constante na saída) ou real (tem resistência interna). Uma
fonte de tensão ideal produz uma tensão constante. Um exemplo de uma fonte de tensão ideal é uma
bateria perfeita, ou seja, sem resistência interna.
No caso de uma fonte real a tensão na carga é menor que o ideal devido à resistência interna da mesma.
Exemplos de fontes reais são as baterias de carros e as pilhas comuns.
Podemos tratar uma bateria real como uma fonte de tensão próxima do ideal, chamada de fonte quase
ideal, se a resistência de carga ( RL ) for aproximadamente 100 (cem) vezes maior que a resistência
interna ( ri ), ou seja,
RL  100ri
Com isso a resistência interna deve ser a menor possível. Tomemos o exemplo abaixo onde temos uma
fonte de tensão de 12 V cuja resistência interna vale 0,06  , será que podemos desprezar esta
resistência interna?
A resistência de carga ( RL ) é ajustável. Sobre que faixa de valores de resistência de carga a tensão da
fonte é considerada quase ideal? Multiplique por 100 a resistência interna para obter:
RL  100 x0,06  6
Enquanto a resistência de carga for maior que 6 , podemos ignorar a resistência interna de 0, 06 nos
cálculo da tensão e corrente na carga.
FONTES DE CORRENTE.
Neste tipo de fonte (bateria mais resistência alta) a resistência interna alta produz uma corrente
constante na saída.
Tomemos o exemplo abaixo para entender isso. Temos um circuito com uma bateria de 12 V em série
com uma resistência alta de 10M . Será que podemos desprezar esta resistência?
Se a resistência de carga for igual a 10k a corrente na carga será de :
IL 
12
12

 1, 2 A
10M  10k 10, 01M
Quando a resistência de carga for de 100k , a corrente na carga será 99% do valor ideal. Neste caso
para termos uma fonte quase ideal de corrente, devemos ter a resistência interna da fonte ( ri ) 100 (cem)
vezes maior que a resistência de carga ( RL ), ou seja,
ri  100 RL
Isto é exatamente o oposto da condição para uma fonte de tensão quase ideal. Uma fonte de corrente
funciona melhor quando tem resistência interna muito alta, enquanto fontes de tensão funcionam
melhor quando tem resistência interna muito baixa.
TEOREMA DE THÈVENIN
Sistemas elétricos que contenham fonte de tensão ou de corrente independentes e componentes
passivos (resistores, indutores e capacitores) tem características de circuitos lineares e, portanto pode-se
utilizar em sua analise teoremas como a da superposição d de circuitos equivalentes, como o de Thèvenin
e de Norton.
Qualquer rede linear com saídas a-b pode ser substituído por uma única fonte de tensão em série com
uma resistência, como mostrado na figura abaixo. Esta tensão é chamada tensão de Thèvenin ( VTH ) e
resistência de Thèvenin RTH .
Esta transformação na representação do circuito deve garantir as características elétricas do circuito
original. A tensão nos terminais de saída a-b indicados deve permanecer inalterada. A corrente fornecida
a uma carga também deve ser mantida. Isto significa dizer que a resistência de saída do sistema original
não será modificada.
Como fazer isto? Podemos fazer isso facilmente utilizando o roteiro abaixo:
1- Determine os terminais de saída a-b (onde esta ligada a resistência de carga);
2- Desconecte a resistência de carga do circuito, deixando-o aberto nos terminais;
3- Calcule a corrente que passa pelos terminais a-b;
4- Ache a tensão entre os terminais a-b, esta tensão é a tensão de Thèvenin;
5- Curte-circuite a fonte e encontre a resistência equivalente do circuito, chamada resistência de
Thèvenin;
6- Conecte a resistência em serie com a tensão e a resistência de Thèvenin.
Exemplo: No circuito abaixo determine o equivalente de Thèvenin
TEOREMA DE NORTON
Os sistemas lineares podem também ser representados por um circuito formado por uma fonte de
corrente em paralelo com uma resistência. Este circuito é o dual do circuito equivalente de Thèvenin.
A corrente utilizada na representação de Norton é um corrente de curto circuito entre os pontos a-b
considerados. A resistência interna do circuito é obtida da mesma forma que no equivalente de Thèvenin.
Assim, a tensão e a corrente fornecida a uma resistência de carga devem ser garantidas as mesmas, tanto
no circuito original quanto no circuito equivalente de Norton. Veja a figura abaixo:
Após desenharmos o equivalente de Thèvenin, desenhar o equivalente de Norton é muito simples.
Enquanto o Thèvenin é uma fonte de tensão, o Norton é uma fonte de corrente, e por isso deve ter uma
resistência interna em paralelo. Dessa maneira teremos o seguinte desenho
Onde temos I N 
VTH
é a fonte de corrente de Norton e RN (resistência de Norton) tem o mesmo valor
RTH
da resistência de Thèvenin. Podemos escrever as seguintes equações:
IN 
VTH
e RN  RTH
RTH