Simetrias e Combinatória

IIX Semana Olı́mpica da Olimpı́ada Brasileira de Matemática
24 a 31 de Janeiro de 2009 - Nova Friburgo - RJ
Palestrante: Tertuliano Franco
Simetrias e Combinatória
Problema 1. De quantas maneiras pode-se pintar uma roleta de seis compartimentos, dispondo
apenas das cores branco, azul e vermelho?
Este problema não é trivial como o problema das permutações circulares em torno de um
uma mesa, devido ao fato de existir coincidências quando se roda a roleta. Este número de
coincidências depende de cada configuração. E depende, especialmente, das simetrias da roleta.
Definição 1. Um grupo finito G é um conjunto finito sobre o qual existe uma operação interna
bem definida que satisfaz as propriedades:
Associatividade a(bc) = (ab)c.
Elemento neutro Existe um elemento e ∈ G tal que a ∗ e = e ∗ a = a para todo a ∈ G.
Elemento inverso Todo elemento a possui um elemento inverso a−1 , tal que a ∗ a−1 = e.
No nosso caso, o grupo é o das rotações dessa roleta, que chamaremos de G = {g0 , g1 , . . . , g5 }.
(g0 é uma rotação de zero graus, g1 uma rotação de 60◦ , g2 uma rotação de 120◦ ,. . . , g5 é uma
rotação de 300◦ ).
Definição 2. Existe uma ação de um grupo G sobre um conjunto X se a cada g ∈ G e a cada
x ∈ X podemos associar um único elemento de X, denotado por g · x, tal que:
1. Se e é o elemento neutro de G, e · x = x para todo x ∈ X.
2. Se g1 e g2 são elementos de G, e g1 g2 é o produto em G, então, para todo x ∈ X:
(g1 g2 ) · x = g1 · (g2 · x)
No problema que estamos analisando, X é o conjunto dos elementos das 36 possı́veis roletas.
Note que estamos numerando cada casa da roleta.
::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
Dado um x ∈ fixo, o conjunto de todos os elementos de X que se obtém como g · x para os
distintos g ∈ G é chamado de órbita de x sob G, isto é:
G · x = {g · x; g ∈ G} ⊆ G
O número que procuramos é o número de órbitas!! Estudaremos agora a equação
g · x = x (com g ∈ G e x ∈ X)
que tem relação com as simetrias do problema. Vamos contar o número de soluções de dois
modos: quantos x há para cada g e depois quantos g há para cada x. Para cada g ∈ G fixo, o
conjunto dos x que satisfazem a equação dada para este g chama-se Fix (g), isto é:
Fix (g) = {x ∈ X; g · x = x}
Em segundo lugar, para x ∈ X fixo, o conjunto das g ∈ G que satisfazem á equação chama-se
o estabilizador de x em G, e é denotado por Gx :
Gx = {g ∈ G; g · x = x}
Daı́,
X
|Fix (g)| =
g∈G
X
|Gx |. Usaremos agora alguns resultados sem suas respectivas de-
x∈X
monstrações.
• Se x1 e x2 estão numa mesma órbita, |Gx1 | = |Gx2 |. (Para mostrar isso, basta fazer uma
bijeção entre Gx1 e Gx2 , sendo suficientes as definições já dadas.)
• Para qualquer x1 ∈ X, |Gx1 | · |G · x1 | = n, o número de elementos do grupo G. (Conseqüência imediata de um teorema básico em Teoria de Grupos, o Teorema de Lagrange.)
Agrupando os x que pertencem a uma mesma órbita, temos que a soma total é da forma:
|Gx1 | · |G · x1 | + · · · + |Gxt | · |G · xt |
X
onde t é o número de órbitas. Em conseqüência, t · n =
|Fix (g)| ⇒
g∈G
t=
1X
|Fix (g)|
n g∈G
Agora que já obtivemos a fórmula necessária, voltemos á roleta:
|Fix (g0 )| = 36
|Fix (g3 )| = 33
|Fix (g1 )| = 3
|Fix (g4 )| = 32
|Fix (g2 )| = 32
|Fix (g5 )| = 3
E o número de roletas é dado por:
36 + 3 + 32 + 33 + 32 + 3
= 130
t=
6
Referências
[1] Rotmann, An Introduction to the Theory of Finite Groups.
[2] Fraleigh, John B., A First Course in Abstract Algebra.
[3] Hungeford, T., Algebra. Ed. Springer-Verlag.