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Introdução à Análise
Estatística
com
Modelos de probabilidade.
Inferência Estatística: Intervalos de Confiança
e Testes de Hipóteses
Aulas 4 e 5
Manuela Neves - Setembro/2012
Manuela Neves - ISA/Setembro 2012 – p. 1/81
Sumário
Probabilidade. Modelos de Probabilidade
Modelos discretos e contínuos.
Funções em
para os modelos mais usuais.
Inferência Estatística (introdução):
Distribuições de amostragem.
Intervalos de Confiança e Testes de Hipóteses
Testes Paramétricos a valores médios, variâncias e
proporções (uma população e duas populações).
Testes Não Paramétricos: testes de ajustamento; testes do
qui-quadrado; testes sobre medidas de localização central.
Exemplos vários
Manuela Neves - ISA/Setembro 2012 – p. 2/81
Probabilidade
Os conceitos de aleatoriedade e probabilidade são centrais em
Estatística.
Pensar em dados como valores extraídos de uma população
(modelo) é fundamental para compreender os procedimentos
estatísticos.
Veremos procedimentos básicos em probabilidade: - como
efectuar amostragem aleatória; como aceder e usar funções
tem definidas, etc.
que o ambiente
Podemos usar aquelas funções para calcular uma
probabilidade, um quantil ou gerar números pseudo-aleatórios
de acordo com a lei de probabilidade (fundamental em
simulação).
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A função sample( )
A função sample - permite criar uma amostra aleatória a partir
dos elementos de um vector, com ou sem reposição -> a omissão
é “sem reposição”, com probabilidades iguais ou não.
>sample(1:20,15)
Selecciona aleatoriamente 15 números de 1 a 20 sem reposição
>sample(1:20,15,rep=T)
Selecciona com reposição com probabilidades iguais
Para seleccionar, com reposição, de acordo com uma lei de
probabilidade, fazer, por exemplo:
>pb<-c(rep(0.1,3),.2,.3,.2);pb
>sample(1:6,30,rep=T,prob=pb)
Nota: para gerar sempre a mesma sucessão fazer
>set.seed( )
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O conceito de variável aleatória
Quando se realiza uma experiência aleatória, pode associar-se a
cada resultado um (ou mais) valores reais - diz-se que temos uma
variável aleatória ou (um vector aleatório).
Uma variável aleatória costuma representar-se por X.
Um variável aleatória pode ser:
discreta - por exemplo o número de sementes germinadas; o
registo, a intervalos regulares, do número de pessoas em fila
de espera na caixa de um supermercado;
contínua - por exemplo o peso de um indivíduo; a largura, o
comprimento de um folha.
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Variável aleatória - probabilidade
Associadas a cada variável aleatória existem:
uma função massa de probabilidade, se X discreta, ou uma
função densidade, se X contínua.
uma função real F , a que se chama função distribuição
cumulativa tal que
F (x) = P [X ≤ x]
Exemplos de cálculo de uma probabilidade:
1. P (a < X ≤ b) = P (X ≤ b) − P (X ≤ a) = F (b) − F (a);
2. P (X = a) = F (a) − F (a− ) onde
F (a− ) = limx→a− F (x)
3. P (a < X < b) = P (X < b) − P (X ≤ a) = F (b− ) − F (a);
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Principais modelos discretos
A distribuição uniforme discreta
Definição Uma v.a. X diz-se ter distribuição uniforme discreta se
toma os valores x1 , ..., xk com probabilidades 1/k, ..., 1/k, i.e.
P (X = xi ) = 1/k, i = 1, ..., k.
Caso particular
Valor médio e variância
E[X] =
n+1
;
2
Instrução no

 1
X=
 1/n
V ar[X] =
2
···
1/n · · ·
n
1/n
n2 −1
12
para simular
> sample(v,size,rep=T)
v vector com os valores que a variável pode tomar
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Exemplo
>
>
>
>
par(mfrow=c(2,2))
x1<-sample(1:6,30,rep=T);x1
dist1<-table(x1);dist1
plot(dist1)
Repetir para 300, 3000 e 30000. Ver diagramas obtidos no slide
seguinte.
Nota: Outra forma de proceder no
exemplo:
>
>
>
>
seria definir uma função, por
dado<-function(n) sample(1:6,n,replace=T)
d1<-dado(30);table(d1)
table(dado(30)) # Haverá alguma diferença?
dado(300);dado(3000)
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30
0 10
dist2
50
0 1 2 3 4 5 6
dist1
Gráficos de vários lançamentos
1
2
3
4
5
6
1
2
3
5
6
4
5
6
x2
0
2000
dist4
300
0 100
dist3
4000
500
x1
4
1
2
3
4
x3
5
6
1
2
3
x4
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A distribuição binomial
Quando se realizam n provas de Bernoulli independentes, a
variável que conta o número de sucessos que ocorrem diz-se ter
distribuição binomial e representa-se por X ⌢ Binom(n, p),
sendo p a probabilidade de sucesso.
X toma os valores x = 0, 1, 2, ..., n
n x
P [X = x] = x p (1 − p)n−x
com probabilidades
Valor médio e variância
E[X] = np;
V ar[X] = npq
Para determinar o valor daquelas probabilidades, quantis ou a
função distribuição cumulativa o
possui funções já definidas.
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Funções no
para alguns modelos
dfunção (x, ...) - permite obter a função massa de
probabilidade (modelo discreto) ou a função densidade
(modelo contínuo) em x;
pfunção(q, ...) - permite obter a função de distribuição
cumulativa, i.e., devolve a probabilidade de a variável ser
menor ou igual a q;
qfunção (p, ...) - permite calcular o quantil associado à
probabilidade p;
rfunção (n, ...) - permite gerar uma amostra de n números
pseudo-aleatórios do modelo especificado.
Significado:
density, probability,
quantile,
random
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Exemplos
Exercício Vamos experimentar a utilização das funções d, p, q, r.
Considere-se uma Binom(n = 10, p = 0.2).
> x<- 0:10
> dbinom(x,size=10,prob=0.2)
> pbinom(3,size=10,prob=0.2,lower.tail = TRUE) #dá P[X<=3]
> qbinom(0.75, size=10, prob=0.2, lower.tail = TRUE)
#dá o quantil de probabilidade 0.75
> rbinom(5, size=10, prob=0.2)
> pbinom(3, size=10, prob=0.2, lower.tail = F) #dá P[X>3]
Nota O quantil é definido como o menor valor x tal que F (x) ≥ p,
sendo F a função distribuição cumulativa.
> par(mfrow=c(1,2))
> plot(x,dbinom(x,size=10,prob=0.2),type="h")
> plot(x,dbinom(x,size=10,prob=0.4),type="h")
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Exemplos (continuação)
Para exemplificar a distribuição binomial teórica e simulada
(geração de números pseudo-aleatórios)
>
>
>
>
>
>
>
par(mfrow=c(1,3))
n<-5;p<-0.25
x<-rbinom(100,n,p) # 100 random numbers
ni<-table(x);ni
fi<-ni/sum(ni);fi
dbinom(0:n,size=5,prob=0.25)
plot(fi,type = "h", col = "red",lwd=3,
+ main="Binom(n=5,p=0.25)",
> ylim=c(0,.5))
> xvals<-0:n;points(xvals,dbinom(xvals,n,p),type="h",lwd=3)
> points(xvals,dbinom(xvals,n,p),type="p",lwd=3)
... Repetir com n=15, n=50.
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0
2
4
6
8
10
0.00 0.10 0.20
dbinom(x, size = 10, prob = 0.4)
0.00
0.15
0.30
dbinom(x, size = 10, prob = 0.2)
Exemplos (continuação)
0
2
4
6
x
2
x
3
4
0.5
0.4
0.3
0.2
0.0
0.1
0.2
0.1
0.0
0.0
0.1
0.2
fi
0.3
0.4
0.5
Binom(n=50,p=0.25)
fi
0.3
0.4
0.5
Binom(n=15,p=0.25)
fi
1
10
x
Binom(n=5,p=0.25)
0
8
0
1
2
3
4
x
5
6
7
8
4
6
8
11
14
17
22
x
Manuela Neves - ISA/Setembro 2012 – p. 14/81
A distribuição Binomial Negativa
Num esquema de provas de Bernoulli considere-se fixo o
número de "sucessos", k.
Considere-se a seguinte interpretação (muito usada em ecologia):
- pretende-se contar o número de insucessos necessários até
obter aqueles k “sucessos”
A variável X assim definida, diz-se ter distribuição Binomial
Negativa e é costume representar-se por X ⌢ BN (k, p)
p é a probabilidade constante de "sucesso"de prova para prova
k é o número de "sucessos"que se pretende obter.
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A distribuição Binomial Negativa
Caracterização da v.a. X ⌢ BN (k, p):
Valores
x = 0, 1, 2, ...
Probabilidades
P [X = x] =
0 < p < 1,
q =1−p
Valor médio e variância
E[X] =
kq
p
x+k−1 k x
p q
x
de X ⌢ BN (k, p)
V ar[X] =
kq
p2
Exemplo de uma das funções em
> x <- 0:15 #vector de valores da variável
> dnbinom(x,size=6, prob= 0.4)
#probabilidade de se
verificarem 0 a 15 insucessos até haver 6 sucessos
#outra parametrização que usa o valor médio indicado acima
> dnbinom(x, mu = 9, size = 6)
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A distribuição Geométrica
Se k = 1, isto é, se pretendemos determinar o número de
insucessos até obter o 1o¯ sucesso, a variável X diz-se ter
distribuição Geométrica e é costume representar-se por
X ⌢ Geo(p)
0
1
2
3
g1
4
5
6
7
> Ni <- rgeom(20, prob = 1/4)
> g1<-table(factor(Ni, 0:max(Ni)))
> plot(g1)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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A distribuição de Poisson
A v.a X que conta o número de sucessos que ocorrem
num dado intervalo de tempo ou domínio ( independentemente do
número que ocorre em qualquer outro intervalo ou domínio
disjunto) diz-se ter distribuição de Poisson.
Depende apenas do parâmetro λ −→ número médio de sucessos
que ocorrem no intervalo de tempo ( ou na região especificada).
Definição
Representa-se por X ⌢ P (λ)
P [X = x] =
e−λ λx
x! ,
Valor médio e variância
e a lei de probabilidade é:
x = 0, 1, 2....
E[X] = λ
V ar[X] = λ.
> diff(ppois(c(47, 50), lambda = 50))
# P[47 < X <=50]
> ppois(50,50)-ppois(47,50) # verificar que é o mesmo
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Modelos Contı́nuos
A distribuição normal ou de Gauss
Tem um papel fulcral nas Probabilidades e Estatística, porque:
muitas variáveis biométricas têm uma distribuição muito próxima da
normal;
por vezes uma variável que não é normal pode ser transformada de
um modo simples numa outra com distribuição normal;
a parte central de muitos modelos não normais é por vezes
razoavelmente bem aproximada por uma distribuição normal.
Uma v.a. contínua X diz-se ter distribuição normal com parâmetros
µ e σ e representa-se por X ⌢ N (µ, σ) se a sua f.d.p. é da forma:
2 f (x) = √ 1 exp − 12 x−µ
σ
2π σ
−∞ < x < +∞,
−∞ < µ < +∞,
0 < σ < +∞
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A distribuição normal ou de Gauss
Propriedades da curva densidade da distribuição normal
1.
É simétrica relativamente a µ.
2.
É uma curva unimodal,
3.
Tem pontos de inflexão em µ + σ e µ − σ.
a moda é µ.
Se µ = 0 e σ = 1 a variável aleatória com distribuição N (0, 1)
chama-se normal reduzida Z ⌢ N (0, 1)
0
5
0.2
0.0
0.0
0.2
0.2
0.0
−5
f. densidade da N(2,2)
0.4
f. densidade da N(0,2)
0.4
0.4
f. densidade da N(0,1)
−5
0
5
−5
0
5
Gráficos da função densidade normal para alguns valores de µ e σ .
x
x
x
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A distribuição normal ou de Gauss
#cálculos e graficos com a normal
> pnorm(1.96)
> pnorm(-1.96)
> pnorm(3,mean=5,sd=2)
> qnorm(0.75,mean=5,sd=1)
> qnorm(0.75,mean=5,sd=1,lower.tail=T)
> qnorm(0.25,mean=5,sd=1,lower.tail=F)
#graficos
> par(mfrow=c(1,2))
> x<-seq(-7,7,.01)
> plot(x,dnorm(x,0,1),type="l",ylim=c(0,.8),lwd=5)
> lines(x,dnorm(x,0,.6),col="red",lwd=3)
> lines(x,dnorm(x,0,2),col="blue",lwd=3)
> lines(x,dnorm(x,1,.6),col="green",lwd=3)
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A distribuição normal (gráficos)
gerar valores (continuação do exercı́cio)
y<-rnorm(1000,mean=3,sd=1)
hist(y,freq=F,ylim=c(0,0.5),
main="valores gerados+curva",col=gray(.9))
curve(dnorm(x,mean=3,sd=1),add=T,lwd=3)
0.2
0.0
0.0
0.4
Density
0.4
0.8
valores gerados+curva
dnorm(x, 0, 1)
#
>
>
+
>
−6
−2 0
x
2
4
6
0
1
2
3
4
5
6
y
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Outras distribuições contı́nuas
Distribuição uniforme e exponencial
> u<-runif(100)
> hist(u,freq=F,col=gray(.9),main="uniforme")
> curve(dunif(x),add=T,lwd=3)
# exponencial de valor médio 2500
> x<-rexp(100,1/2500)
> hist(x,probability=TRUE,col=gray(.9),main="Exponencial
com média 2500")
> curve(dexp(x,1/2500),add=T)
Exponencial
com média 2500
0.0
0.2
0.4
0.6
u
0.8
1.0
0.00015
0.00000
Density
0.0 0.4 0.8 1.2
Density
uniforme
0
5000
10000
15000
x
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A distribuição normal ou de Gauss
Resultados importantes:
X −µ
Seja X ⌢ N (µ, σ) então a v.a.
tem distribuição normal
σ
X −µ
⌢ N (0, 1).
reduzida, i.e., Z =
σ
Sejam Xi n v.a. normais independentes e semelhantes, i.e.,
tendo todas o mesmo valor médio µ e a mesma variância σ 2 .
As variáveis aleatórias soma e média, definidas
respectivamente como
Pn
1 Pn
Sn = i=1 Xi
X n = n i=1 Xi
e
têm distribuição normal assim definida
√
√
Sn ⌢ N (nµ, σ n)
e
X n ⌢ N (µ, σ/ n).
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O Teorema Limite Central
Vimos que a soma de normais independentes é ainda uma normal.
Mas a distribuição aproximada da soma de n variáveis aleatórias
independentes e identicamente distribuídas, sob certas condições
é também normal.
Teorema limite central
Sejam X1 , ..., Xn variáveis aleatórias independentes e
identicamente distribuídas, com valor médio µ e variância σ 2
Pn
(finita). Se n ‘grande’ a v.a. Sn = i=1 Xi , verifica:
Sn − nµ
√
∼ N (0, 1)
σ n
Xn − µ
√ ∼ N (0, 1).
e também se tem
σ/ n
Manuela Neves - ISA/Setembro 2012 – p. 25/81
Aplicações do Teorema Limite Central
>
>
>
>
>
>
+
+
+
+
+
+
+
# População Uniforme(0,5)
par(mfrow=c(2,2))
am<-500
vec.med<-c(rep(0,am))
n<-c(2,3,10,30)
for(j in 1:4)
{for(i in 1:am)
{x<-runif(n[j],0,5)
vec.med[i]<-mean(x)}
qqnorm(vec.med,main=paste("Q-QPlot Normal, n =",n[j],
"\n","Médias Pop. U(0,5),"),xlab="",
col="red")
qqline(vec.med,col="darkred")}
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Aplicações do Teorema Limite Central
Q−QPlot Normal, n = 3
Médias Pop. U(0,5),
3
1
2
Sample Quantiles
3
2
1
0
Sample Quantiles
4
4
5
Q−QPlot Normal, n = 2
Médias Pop. U(0,5),
−3
−2
−1
0
1
2
3
−3
−1
0
1
2
3
Q−QPlot Normal, n = 30
Médias Pop. U(0,5),
−3
−2
−1
0
1
2
3
2.5
2.0
Sample Quantiles
3.0
1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5
Sample Quantiles
Q−QPlot Normal, n = 10
Médias Pop. U(0,5),
−2
−3
−2
−1
0
1
2
3
Manuela Neves - ISA/Setembro 2012 – p. 27/81
Aplicações do Teorema Limite Central
Seja X uma v.a. com distribuição binomial com valor médio µ = np
e variância σ 2 = npq. Então quando n → ∞ ,
X − np
∼ N (0, 1)
√
npq
Regra prática Se na distribuição binomial np > 5 e nq > 5 =⇒
a aproximação pela distribuição normal é boa.
Mais convergências
Se na distribuição binomial n → ∞ e p pequeno (digamos
p < 0.05 e n > 20) já se pode considerar boa a aproximação
X ⌢ B(n, p) ∼ P (np)
Seja X ⌢ P (λ). Quando λ → ∞
então
X −λ
√
∼ N (0, 1).
λ
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RESUMO de algumas distribuições no
Nome da distribuição no
Função
Argumentos
Beta
beta
shape1, shape2
Binomial
binom
size, prob
Cauchy
cauchy
location, scale
Chisquare
chisq
df
Exponential
exp
rate
FDist
f
df1, df2
GammaDist
gamma
shape, scale
Geometric
geom
prob
Hypergeometric
hyper
m, n, k
Lognormal
lnorm
meanlog, sdlog
Logistic
logis
location, scale
NegBinomial
nbinom
size, prob
Normal
norm
mean, sd
Poisson
pois
lambda
TDist
t
df
Uniform
unif
min,max
Weibull
weibull
shape, scale
Manuela Neves - ISA/Setembro 2012 – p. 29/81
Mais umas dicas sobre distribuições no
Existem packages que apresentam facilidades no estudo de
modelos de probabilidade, ver detalhes em Kerns (2010).
Necessitamos da instalação dos packages distr e distrEx
>library(distr); library(distrEx)
>X <- Binom(size = 3, prob = 1/2);X #Vamos definir
Distribution Object of Class: Binom
size: 3
prob: 0.5
>E(X)
>var(X)
[1] 1.5
[1] 0.75
Manuela Neves - ISA/Setembro 2012 – p. 30/81
A Inferência Estatı́stica
Parâmetros populacionais. Estimadores e Estimativas.
Distribuições por amostragem - a distribuição Normal,
t-Student, qui-quadrado e F.
Intervalos de confiança e testes de hipóteses paramétricos.
Nível de significância e potência do teste.
Testes de hipóteses não paramétricos: o teste de Wilcoxon.
Testes de ajustamento. Testes de normalidade.
Manuela Neves - ISA/Setembro 2012 – p. 31/81
Introdução à Teoria da Amostragem
Seja X a população em estudo.
Na teoria da amostragem consideram-se procedimentos de
recolha de uma amostra da população.
Já vimos no
como gerar distribuições conhecidas, vamos aqui
simular uma distribuição.
Vamos também considerar a Reamostragem Bootstrap. O
Bootstrap é um procedimento que consiste em reamostrar a partir
de uma amostra, para:
simular a distribuição de uma estatística de interesse;
estudar propriedades de um estimador - estimar viés,
variância e intervalos de confiança para o parâmetro.
Manuela Neves - ISA/Setembro 2012 – p. 32/81
Introdução à Teoria da Amostragem
par(mfrow=c(1,2))
Pr<-c(0.20,0.16,0.25,0.39)
N<-c ("A", "C", "G", "U")
barplot(Pr,names=N,ylab="Probabilidade", main="DNA")
am1<-sample(N,100,rep=T,prob=Pr);am1
dist1<-table(am1);dist1
freq<-dist1/sum(dist1)
barplot(freq)
0.0
0.00
0.15
0.2
0.30
DNA
Probabilidade
>
>
>
>
>
>
>
>
A
C
G
U
A
C
G
U
Manuela Neves - ISA/Setembro 2012 – p. 33/81
Introdução à Teoria da Amostragem
> par(mfrow=c(2,2))
>data(faithful) # dados no R
>names(faithful) # dá os nomes variáveis
>eruptions<-faithful$eruptions #ou attach e detach faithful
>#eruptions <-faithful[[’eruptions’]] # outra alternativa
>hist(eruptions,breaks=25)
## vamos fazer o bootstrap da amostra
>hist(sample(eruptions,100,replace=TRUE),main="Bootstrap",
breaks=25)
Bootstrap
8
6
0
2
4
Frequency
15
10
5
0
Frequency
20
10
Histogram of eruptions
1.5
2.5
3.5
eruptions
4.5
1.5
2.5
3.5
4.5
sample(eruptions, 100, replace = TRUE)
Manuela Neves - ISA/Setembro 2012 – p. 34/81
Tópicos de Estimação
Seja x1 , x2 , · · · xn uma amostra de n observações da
característica, obtidas após um processo de amostragem.
Cada um daqueles valores é uma realização de n variáveis que
são “cópias” da variável X. Sejam
X1 , X2 , · · · Xn
A Inferência Estatística pretende responder a dois grandes
problemas:
calcular valores aproximados (estimativas) e obter intervalos
de confiança para parâmetros desconhecidos da população.
formular hipóteses e verificar se há concordância entre o que
se supõe e os factos – testes de hipóteses
Manuela Neves - ISA/Setembro 2012 – p. 35/81
Tópicos de Estimação
Parâmetros que vamos referir , seus estimadores e estimativas
Parâmetro a estimar
Estimador
µ
σ
X=
2
2
S =
(a)
Pn
i=1 Xi
n
Pn
2
i=1 (Xi −X)
n−1
Pb =
p
Estimativa
X (a)
n
x=
2
s =
Pn
i=1
xi
n
Pn
i=1 (xi −x)
p̂ =
n−1
x(b)
n
µ1 − µ2
X1 − X2
x1 − x2
σ12 / σ22
S12 / S22
s21 / s22
p1 − p2
c1 − P
c2
P
pˆ1 − pˆ2
X - v.a. que conta ... e ˜
(b)
2
x - número observado de sucessos na amostra de
dimensão n.
Manuela Neves - ISA/Setembro 2012 – p. 36/81
Tópicos de Estimação
Para construir ...
Intervalos de confiança
Testes (paramétricos) de hipóteses estatísticas.
... é necessário conhecer a distribuição - exacta ou
aproximada - do estimador (ou qualquer expressão dele).
Manuela Neves - ISA/Setembro 2012 – p. 37/81
Distribuições por amostragem (uma amostra)
Estimador
Condições
X
Xi ⌢ N (µ, σ)
Variável
X −µ
√
σ/ n
Distribuição
N (0, 1)
σ conhecido
X
Xi ⌢ N (µ, σ)
X −µ
√
S/ n
t(n−1)
X −µ
√
s/ n
∼ N (0, 1)
σ desconhecido
X
Xi qualquer
n “grande”
(a)
S2
Xi ⌢ N (µ, σ)
Pb
X ⌢ B(n, p)(a)
(n − 1)S 2
σ2
X
n
χ2(n−1)
∼ N (0, 1)
n “grande”
X o n. de sucessos em n provas de Bernoulli.
Manuela Neves - ISA/Setembro 2012 – p. 38/81
Distribuições por amostragem (duas amostras)
Estimador
Condições
S12 /S22
Xi ⌢ N (µ1 , σ1 )
Variável
S12 /σ12
S22 /σ22
Distribuição
F(n1 −1,n2 −1)
Yi ⌢ N (µ2 , σ2 )
Xi , i = 1, · · · n1 e
Yi , i = 1, · · · n2 são amostras aleatórias independentes.
Definição Chama-se intervalo de confiança ao intervalo que
resulta da concretização do intervalo (aleatório) e é portanto um
intervalo (a, b), onde a e b são números reais e a < b.
Manuela Neves - ISA/Setembro 2012 – p. 39/81
Intervalos de confiança
Intervalo de confiança a (1 − α) × 100% para µ
X ⌢ N (µ, σ)
Se σ conhecido
x − zα/2
σ
√
n
< µ < x + zα/2
σ
√
n
(zα/2 → valor da v.a. Z tal que P (Z > zα/2 ) = α/2)
Se σ desconhecido
x − tα/2,(n−1)
√s
n
< µ < x + tα/2,(n−1)
√s
n
Chama-se precisão da estimativa à semi-amplitude do intervalo de confiança e
confiança ou grau de confiança a (1 − α) × 100%
Observações:
Quanto maior for o intervalo, maior é o grau de confiança, mas menor a precisão da
estimativa.
Manuela Neves - ISA/Setembro 2012 – p. 40/81
Intervalo de confiança (exemplo)
Exemplo de construção de um I.C. no
, para o valor médio de
uma normal com variância conhecida (caso académico!)
Exemplo 1 Dada a amostra referente a 10 alturas, admita-se que
os erros de medição são normais de média 0 e desvio padrão 1.5.
> x<-c(175,176, 173, 175, 174, 173, 173, 176, 173, 179)
## definir uma função
> simple.z.test <-function(x,sigma,conf.level=0.95) {
n <-length(x);xbar<-mean(x)
alpha <- 1 - conf.level
zstar <- qnorm(1-alpha/2)
SE <- sigma/sqrt(n)
xbar + c(-zstar*SE,zstar*SE) }
> simple.z.test(x,1.5)
# basta fazer isto
Obteve-se o I.C a 95% para µ
]173.7703; 175.6297[
Manuela Neves - ISA/Setembro 2012 – p. 41/81
Intervalos de confiança
Intervalo de confiança a (1 − α) × 100% para µ
Se X tem dist. qualquer não normal
É necessário dispor de uma amostra de dimensão elevada, i.e., n
grande −→ aplicação do Teorema Limite Central
X −µ
√ ∼ N (0, 1)
se σ conhecido
σ/ n
Ou, que é o caso mais frequente,
X −µ
√ ∼ N (0, 1)
se σ desconhecido
s/ n
Intervalo a (1 − α) × 100% de confiança para µ
x − zα/2
√s
n
< µ < x + zα/2
√s
n
Manuela Neves - ISA/Setembro 2012 – p. 42/81
Intervalos de confiança
Intervalo a (1 − α) × 100% de confiança para σ 2 numa população
normal
(n−1)s2
χ2
α/2,(n−1)
<
σ2
<
(n−1)s2
χ2
1−α/2,(n−1)
Intervalo de confiança (1 − α) × 100% para p
p̂ − zα/2
q
p̂(1−p̂)
n
< p < p̂ + zα/2
q
p̂(1−p̂)
n
onde X tem distribuição binomial de parâmetros (n, p) e n grande
Manuela Neves - ISA/Setembro 2012 – p. 43/81
Intervalos de confiança - duas populações
Intervalos de confiança a (1 − α) × 100% para µ1 − µ2 com
X1 ⌢ N (µ1 , σ1 ) e X2 ⌢ N (µ2 , σ2 ) e (amostras independentes)
se variâncias conhecidas
(x1 − x2 ) − zα/2
r
2
σ1
n1
+
2
σ2
n2
< µ1 − µ2 < (x1 − x2 ) + zα/2
r
2
σ1
n1
+
2
σ2
n2
se variâncias desconhecidas mas se pode admitir variâncias
iguais.
(x1 − x2 ) − tα/2 sp
tα/2 ≡ tα/2,(n1 +n2 −2 )
q
1
n1
e
+
1
n2
s2p =
< µ1 − µ2 < (x1 − x2 ) + tα/2 sp
q
1
n1
+
1
n2
2
(n1 −1)s2
1 +(n2 −1)s2
n1 +n2 −2
Manuela Neves - ISA/Setembro 2012 – p. 44/81
Intervalos de confiança - duas populações
Intervalo de confiança a (1 − α) × 100% para µ1 − µ2 (amostras
independentes) mas n1 , n2 grandes (neste caso não é necessário
ter-se normalidade)
(x1 − x2 ) − zα/2
r
s2
1
n1
+
s2
2
n2
< µ1 − µ2 < (x1 − x2 ) + zα/2
Intervalo de confiança a (1 − α) × 100% para
s2
1
s2
2 fα/2;(n 1 −1,n 2 −1)
<
σ12
σ22
<
r
s2
1
n1
+
s2
2
n2
σ12
σ22
s2
1 fα/2;(n 2 −1,n 1 −1)
s2
2
Manuela Neves - ISA/Setembro 2012 – p. 45/81
Intervalos de confiança (amostras emparelhadas)
Intervalos de confiança para µ1 − µ2 (amostras emparelhadas)
Se numa dada experiência as observações estão relacionadas, i.e,
emparelhadas pelo indivíduo - surge aqui o conceito de bloco.
Consideremos a amostra emparelhada (Xi , Yi ) (i = 1, ..., n)
Seja
D1 = X1 − Y1 ;
D2 = X2 − Y2 ;
...
Dn = Xn − Yn , isto é,
seja (D1 , D2 , ..., Dn ) a amostra aleatória das diferenças
Manuela Neves - ISA/Setembro 2012 – p. 46/81
Intervalos de confiança (amostras emparelhadas)
Se D1 , D2 , ..., Dn são variáveis aleatórias provenientes de uma lei
normal com µD = µX − µY −→ valor médio e
variância
2,
σD
desconhecida
tem-se
D − µD
√ ⌢ t(n−1)
SD / n
Intervalo de confiança a (1 − α) × 100% para µD
sD
sD
√
<
µ
<
d − tα/2,(n−1) √
d
+
t
D
α/2,(n−1) n
n
Se não for possível admitir Di normais, mas se tenha n ‘grande’ o
intervalo de confiança (1 − α) × 100% para µD
sD
sD
√
d − zα/2 √
d
+
z
<
µ
<
D
α/2
n
n
Manuela Neves - ISA/Setembro 2012 – p. 47/81
Intervalos de confiança para p1
− p2
Sejam X1 e X2 variáveis aleatórias tais que
X1 ⌢ B(n1 , p1 )
e
X2 ⌢ B(n2 , p2 ).
n1 e n2 dimensões de amostras aleatórias independentes
Intervalo de confiança a (1 − α) × 100% para p1 − p2 quando as
dimensões das amostras são elevadas
(p̂1 − p̂2 ) − zα/2
q
pˆ1 qˆ1
n1
+
pˆ2 qˆ2
n2
< p1 − p2 < (p̂1 − p̂2 ) + zα/2
q
pˆ1 qˆ1
n1
+
pˆ2 qˆ2
n2
Manuela Neves - ISA/Setembro 2012 – p. 48/81
Testes de Hipóteses
Os testes de hipóteses têm como objectivo decidir, com base na
informação fornecida pelos dados de uma amostra, se podemos
aceitar ou não uma dada hipótese.
Testes paramétricos – supõe-se conhecida, pelo menos aprox., a
forma da distribuição e as hipóteses a formular dizem respeito
ao(s) parâmetros(s)
Testes não paramétricos – neste caso pretende-se estabelecer
algo sobre forma da distribuição ou então para o estudo dos
parâmetros não se admite o conhecimento da distribuição.
Manuela Neves - ISA/Setembro 2012 – p. 49/81
Testes de Hipóteses
O procedimento num teste de hipóteses consiste em formular duas
hipóteses:
hipótese nula H0 é aqui que se especifica o valor do parâmetro ou
a distribuição a verificar
hipótese alternativa H1
A resposta num teste de hipóteses é dada na forma rejeição de H0
ou não rejeição de H0
Mas .... a tomada de decisões possui riscos (i.e. podem
cometer-se erros)
P(erro de 1a espécie)=P(Rejeitar H0 | H0 verdadeira)= α
P(erro de 2 espécie)=P(Não rejeitar H0 | H0 falsa) =β
Manuela Neves - ISA/Setembro 2012 – p. 50/81
Testes de Hipóteses
Então como se decide?
define-se uma variável aleatória – estatística do teste
define-se uma região de valores da variável que permite
decidir – região crítica ou região de rejeição – RC (os
valores restantes constituem a região de aceitação)
face a uma amostra observada calcula-se o valor da
estatística do teste
Se o valor calculado ∈ RC rejeita-se H0
Se o valor calculado ∈ RC não se rejeita H0
Manuela Neves - ISA/Setembro 2012 – p. 51/81
Testes de Hipóteses
A indicação do valor observado da estatística do teste, seguido da
consulta de uma tabela para a procura de um valor crítico, de modo
a tirar conclusões tem sido recentemente “substituído” pelo cálculo
de
– a probabilidade de se observar um valor igual ou mais extremo do que o
observado, se a hipótese nula é verdadeira – chama-se a isto valor de
prova; valor p ( p-value )
Manuela Neves - ISA/Setembro 2012 – p. 52/81
Testes de Hipóteses
Interpretação: - valor de prova; valor p ( p-value )
é a medida do grau de concordância entre os dados e H0 ;
Assim
Quanto menor for o p-value, menor é a consistência entre os
dados e a hipótese nula
Habitualmente adopta-se como regra de decisão:
rejeitar H0 se p-value ≤ α
Manuela Neves - ISA/Setembro 2012 – p. 53/81
Exemplo 2
Os dados seguintes referem-se à concentração total de azoto (ppm) na
água de um lago que é utilizado como fonte de abastecimento urbano.
0.042
0.023
0.049
0.036
0.045
0.025
0.048
0.035
0.048
0.043
0.044
0.055
0.045
0.052
0.049
0.028
0.025
0.039
0.023
0.045
0.038
0.035
0.026
0.059
a)
Determine um intervalo de confiança para µ (a 99% de confiança).
b)
Para ser aceitável como fonte de água potável, o conteúdo médio de
azoto deve ser inferior a 0.07 ppm. Acha que os dados são
compatíveis com aquele critério?
Manuela Neves - ISA/Setembro 2012 – p. 54/81
Resolução do Exemplo (inı́cio)
> azoto<-c(0.042,0.048,0.045,0.023,0.023,0.035,0.052,
+ 0.045,0.049,0.048,0.049,0.038,0.036,0.043, 0.045,
+ 0.025, 0.044, 0.055, 0.028, 0.025, 0.039,
+ 0.035, 0.026, 0.059)
> qqnorm(azoto)# este é um grafico para uma
#primeira pesquisa da normalidade
> qqline(azoto)
0.02
0.04
azoto
0.06
0.025 0.040 0.055
Normal Q−Q Plot
Sample Quantiles
0 1 2 3 4 5 6
Frequency
Histogram of azoto
−2
−1
0
1
2
Theoretical Quantiles
Manuela Neves - ISA/Setembro 2012 – p. 55/81
Resolução do Exemplo (continuação)
>
t.test(azoto,mu=0.0,conf.level=0.99) #alinea a)
One Sample t-test
data: azoto
t = 18.5066, df = 23, p-value = 2.606e-15
alternative hypothesis: true mean is not equal to 0
99 percent confidence interval:
0.03382623 0.04592377
sample estimates:
mean of x
0.039875
> t.test(azoto, alternative=’less’, mu=0.07) #alinea b)
One Sample t-test
data: azoto
t = -13.9815, df = 23, p-value = 4.944e-13
alternative hypothesis: true mean is less than 0.07
95 percent confidence interval:
-Inf 0.04356776
sample estimates:
mean of x
0.039875
Manuela Neves - ISA/Setembro 2012 – p. 56/81
Exemplo 3
Um estudo pretende comparar um tipo de semente melhorada com o tipo de semente
tradicional, usado anteriormente. A semente melhorada passará a ser utilizada se, em
média, o crescimento das plantas após 20 dias fôr superior ao das sementes tradicionais.
São criadas 15 diferentes situações laboratoriais, variando temperatura e humidade. Em
cada situação semeia-se uma semente de cada tipo e obtêm-se os seguintes resultados
para o crescimento (em cms) das plantas após 20 dias :
Situação
1
2
3
4
5
6
7
8
‘novas’ sementes
3.46
3.48
2.74
2.83
4.00
4.95
2.24
6.92
‘velhas’ sementes
3.18
3.67
2.92
3.10
4.10
4.86
2.21
6.91
Situação
9
10
11
12
13
14
15
‘novas’ sementes
6.57
6.18
8.30
3.44
4.47
7.59
3.87
‘velhas’ sementes
6.83
6.19
8.05
3.46
4.18
7.43
3.85
Deverá passar a usar-se o novo tipo de sementes? Responda justificando e explicitando
quaisquer hipóteses adicionais que seja necessário impôr.
Manuela Neves - ISA/Setembro 2012 – p. 57/81
Exemplo 4
Pretende-se avaliar se um certo adubo A aumenta a produção de determinada cultivar do
cereal T . Para tal efeito um experimentador plantou 2 talhões com a referida cultivar, tendo
aplicado o adubo A só num deles. De cada talhão foram então amostradas 12 áreas de
1m2 . Em cada uma destas áreas foram colhidas todas as plantas e pesado o grão. Os
dados obtidos, expressos em gramas foram os seguintes:
Talhão
422
460
455
466
475
472
465
456
452
430
458
470
470
437
429
447
432
457
422
425
432
474
452
442
c/ adubo
Talhão
s/ adubo
1. Estabeleça as hipóteses a testar.
2. Teste as hipóteses da alínea anterior, para α = .05. O que decidiria quanto à
utilização do adubo?
Manuela Neves - ISA/Setembro 2012 – p. 58/81
Intervalos de confiança e testes de hipóteses
Na resolução dos exemplos anteriores é necessário considerar
intervalos de confiança e testes de hipóteses para comparar os
valores médios de duas populações
>t.test(x, y ,
alternative = c("two.sided", "less", "greater"),
mu = 0, paired = FALSE, var.equal = FALSE,
conf.level = 0.95, ...)
Realiza um teste e I.C. para amostras independentes, usando o t
de Welch-Satterthwaite para obter uma aproximação ao no¯ de
graus de liberdade.
Nota: Por omissão o t.test considera paired = FALSE,
var.equal = FALSE.
Manuela Neves - ISA/Setembro 2012 – p. 59/81
Intervalos de confiança e testes de hipóteses
Intervalo de confiança e teste de hipóteses para comparar 2
variâncias de populações que se admitem normais
>var.test(x, y, ratio = 1,
alternative = c("two.sided", "less",
"greater"),conf.level = 0.95, ...)
Intervalo de confiança e teste de hipóteses para comparar duas
proporções
>prop.test(x, n, p = 0.4, alternative = "less",
conf.level = 0.99, correct = FALSE)
Trata-se de um teste a p = 0.4 sem correcção de continuidade. É
obtido o intervalo a 99% de confiança.
Manuela Neves - ISA/Setembro 2012 – p. 60/81
Testes Não Paramétricos
Pode pensar-se em dois tipos de testes não paramétricos:
Testes de Ajustamento ou “goodness-of-fit tests” que têm
como objectivo decidir se a nossa amostra se pode considerar
proveniente de uma população com uma distribuição
especificada.
Destes têm particular interesse os testes de ajustamento à
normalidade
Testes não paramétricos designados por “distribution free
tests” que não requerem pressupostos sobre a distribuição
subjacente aos dados.
Note-se, por exemplo, que o uso do teste t necessitava da
hipótese da normalidade da população subjacente.
Manuela Neves - ISA/Setembro 2012 – p. 61/81
Testes de Ajustamento
Seja X1 , X2 , ..., Xn uma amostra aleatória de uma população X
com função distribuição F desconhecida e F0 a função distribuição
proposta. Pretende-se testar
H0: F (x) = F0 (x)
H1: F (x) 6= F0 (x)
Vamos começar com um teste muito importante nas nossas
aplicações. Permite averiguar se um dado conjunto de
observações se pode considerar proveniente de uma população
com distribuição normal – é um teste de normalidade - o Teste
de Shapiro-Wilk
Manuela Neves - ISA/Setembro 2012 – p. 62/81
O Teste de Shapiro-Wilk
Sendo X uma característica em estudo numa população, o teste de
Shapiro e Wilk (1956) consiste em testar as hipóteses:
H0: X tem distribuição normal
H1: X não tem distribuição normal
Nota: não rejeitar H0 significa que a distribuição normal é uma
distribuição possível para X
rejeitar H0 significa que a distribuição normal não é possível
Manuela Neves - ISA/Setembro 2012 – p. 63/81
O Teste de Shapiro Wilk
Calcula-se o valor da estatística do teste
Wcal =
b2
n
P
i=1
(xi − x̄)2
Valores pequenos de Wcal indicam não normalidade, i.e.
RC:
Wα
Wcal < Wα
− valor crítico a consultar numa tabela.
Outro modo de decidir consiste, como se sabe, em utilizar o p-value
Manuela Neves - ISA/Setembro 2012 – p. 64/81
Ainda o exemplo que ficou por concluir
Como realizar o teste de normalidade de Shapiro-Wilk?
Comando no
>shapiro.test(nome da variável)
> shapiro.test(azoto)
Shapiro-Wilk normality test
data: azoto
W = 0.944, p-value = 0.2001
Manuela Neves - ISA/Setembro 2012 – p. 65/81
Outros testes de Ajustamento
Consideremos agora um teste muito usado baseado em
contagens - é o teste do Qui-quadrado (K. Pearson).
Considere-se os valores possíveis da característica repartidos em
k classes, A1 , A2 , ..., Ak , mutuamente exclusivas. Seja
ni o no de observações ou frequência absoluta observada da
Pk
classe Ai ;
i=1 ni = n
pi a probabilidade desconhecida de obter uma observação na
classe Ai ;
p0i a probabilidade de obter uma observação na classe Ai
supondo que a observação foi extraída de uma população com
a distribuição especificada em H0 , i.e. p0i = P (Ai |H0 ).
Manuela Neves - ISA/Setembro 2012 – p. 66/81
O Teste do Qui-Quadrado
Hipóteses
H0 : pi = pi0 i = 1, 2, ...k
v.s. H1 : pelo menos um dos pi 6= pi0
A Estatística do teste é
X2 =
k
X
(ni − npi0 )2
i=1
npi0
isto é, é uma medida de afastamento entre os dados e a hipótese.
Quanto menor for X 2 mais plausível é a hipótese H0 . Tem-se, se
H0 verdadeira
X 2 ∼ χ2(k−1)
i.e., a distribuição é assintótica - válida para dimensões de
amostra elevada.
Manuela Neves - ISA/Setembro 2012 – p. 67/81
Teste do Qui-quadrado
Que dimensão deverá ter a amostra para ser válido usar esta
distribuição?
Sugestão de Cochran (1954): - em distribuições unimodais pode
haver classes com frequência esperada = 1 desde que 80% das
classes apresente frequência esperada não inferior a 5.
Se as frequências de algumas classes forem inferiores a 1,
agrupam-se classes adjacentes para atingir a frequência mínima
desejada.
Se houver necessidade de estimar parâmetros a estatística passa
a ter assintoticamente distribuição χ2(k−p−1) , onde p é o número de
parâmetros estimados.
Manuela Neves - ISA/Setembro 2012 – p. 68/81
Exemplo 5
A descendência originada pelo cruzamento de dois dados tipos de plantas pode ser
qualquer um dos três genótipos que representaremos por A, B e C. Um modelo teórico de
sucessão genética indica que os tipos A, B e C devem aparecer na razão 1:2:1. Para
verificação experimental obtiveram-se 90 plantas pelo cruzamento dos tais dois tipos. A sua
classificação genética foi registada na tabela:
Genótipos
A
B
C
Total
18
44
28
90
Estão estes dados de acordo com o modelo genético?
Comandos no
>gen_obs<-c(18,44,28)
>pval<-c(0.25,0.5,0.25)
>chisq.test(gen_obs, p = pval)
Chi-squared test for given probabilities
data: gen_obs
X-squared = 2.2667, df = 2, p-value = 0.3220
Manuela Neves - ISA/Setembro 2012 – p. 69/81
Exemplo 6 - Resolução no
Na tabela seguinte estão representados os resultados de um estudo experimental sobre o
efeito do gorgulho Azuki do feijão. Introduziram-se larvas desse orgulho nos feijões que as
alimentaram. As crisálidas sairam através de um buraco feito no feijão e, como tal, o n. de
buracos por feijão indica-nos o n. de adultos que saíram. Observados 100 feijões
obtiveram-se os seguintes resultados:
n. de gorgulhos saídos de 1 feijão
0
1
2
3
4
frequência observada
60
22
10
5
3
Será o no . de gorgulhos por feijão uma v.a. com distribuição de Poisson?
>num<-c(0,1,2,3,4)
>freq<-c(60,22,10,5,3)
>lambda_est<-sum(num*freq)/100;lambda_est
>probs<-c(c(dpois(num[-5],lambda_est)),ppois(3,lambda_est,lower.tail=F))
>probs;sum(probs)
>chisq.test(freq, p = probs)
>par(mfrow=c(1,2)) #vamos só visualizar
>plot(num,freq/100,type="h", ylim=c(0,.6),lwd=3)
>plot(num,probs,type="h",ylim=c(0,0.6),lwd=3)
Manuela Neves - ISA/Setembro 2012 – p. 70/81
Tabelas de contingência
Se os indivíduos de uma amostra são classificados de acordo com
dois critérios A e B (qualitativos ou quantitativos) é costume
apresentar as frequências observadas numa tabela a que se
chama tabela de contingência
Consideremos r níveis do critério A e c níveis do critério B. O
aspecto formal de uma tabela de contingência é:
B1
···
Bj
···
Bc
A1
O11
O1j
O1.
O21
···
O1c
A2
···
O2c
O2.
.
.
···
.
.
.
Ar
Or.
···
O2j
.
.
Or1
···
Orj
···
Orc
O.1
···
O.j
···
O.c
Manuela Neves - ISA/Setembro 2012 – p. 71/81
Tabelas de contingência
Na tabela anterior tem-se
r X
c
X
Oij = n
i=1 j=1
e Oij representa o número de elementos da amostra classificados
nas categorias Ai e Bj . O objectivo do estudo de uma tabela de
contingência, como a apresentada, é tentar inferir sobre a
existência ou não de alguma associação entre os dois atributos A e
B, ou seja pretende-se testar
H0: A e B são independentes
H1: A e B não são independentes
Manuela Neves - ISA/Setembro 2012 – p. 72/81
Tabelas de contingência
A estatística do teste de independência é
r X
s
2
X
(O
−
e
)
ij
ij
,
X2 =
eij
i=1 j=1
onde eij representa a estimativa da frequência esperada, isto é
eij =
oi. o.j
n
Sob H0 verdadeira, a estatística X 2 tem distribuição assintótica
Qui-quadrado com (r − 1)(s − 1) graus de liberdade.
2 > χ2
Rejeita-se a hipótese H0 se Xcal
α,(r−1)(s−1)
Manuela Neves - ISA/Setembro 2012 – p. 73/81
Notas
Também aqui há pressupostos a verificar:
as frequências esperadas em cada classe não devem ser
inferiores a 5, quando o número total de observações é ≤ 20;
se n > 20 não deverá existir mais do que 20% das células com
frequências esperadas inferiores a 5, nem deverá existir
nenhuma com frequência esperada inferior a 1.
se nos casos anteriores as condições não se verificarem
deve-se juntar linhas ou colunas (tendo em conta se tal junção
tem significado).
a realização de um teste de independência não deve terminar
com a rejeição da hipótese nula. Deve analisar-se a
contribuição de cada célula para o valor de X 2 .
Manuela Neves - ISA/Setembro 2012 – p. 74/81
Exemplo 7
Submeteram-se ramos florais da macieira “Golden Delicious”, em
números sensivelmente iguais, a quatro tratamentos e contou-se o
número de frutos produzidos em cada caso, a fim de verificar se existe ou
não uma relação entre os diferentes tratamentos e a frutificação.
Vejamos os resultados no seguinte quadro:
Tratamentos
N. de frutos
Totais
0
1
2ou 3
A
203
150
6
359
B
266
112
1
379
C
258
126
2
386
D
196
168
17
381
Pretendemos testar a hipótese nula , de que não há relação entre os
tratamentos e a frutificação, ou seja, que são independentes.
Manuela Neves - ISA/Setembro 2012 – p. 75/81
Exemplo 7 -
50 100 150 200 250
>frutos<-matrix(c(203,150,6,266,112,1,258,126,2,196,168,17),
nc=3,byrow=T,
dimnames=list(c("T_A", "T_B", "T_C","T_D"),c("0", "1","2/3")))
>frutos
>chisq.test(frutos)
>chisq.test(frutos)$expected
>barplot(frutos,names=c("0","1","2/3"),col=c(4,7,3,2),
cex.names=1,beside=T)
>legend("topright",c("T_A","T_B","T_C","T_D"),fill=c(4,7,3,2))
0
T_A
T_B
T_C
T_D
0
1
2/3
Manuela Neves - ISA/Setembro 2012 – p. 76/81
Testes Não Paramétricos
Se a normalidade falhar devemos recorrer a testes não
paramétricos −→ não requerem pressupostos sobre o tipo de
distribuição subjacente aos dados.
Os testes não paramétricos que vamos considerar são baseados
nas ordens das observações, ou seja, na posição de cada
observação na amostra ordenada.
Evitando as suposições paramétricas e considerando apenas as
ordens das observações perdemos a informação sobre a
magnitude das diferenças.
Mas enquanto os testes paramétricos exigem que as variáveis em
causa sejam quantitativas, os testes não paramétricos que vamos
usar podem aplicar-se também a variáveis qualitativas, desde que
as elas sejam ordinais.
Manuela Neves - ISA/Setembro 2012 – p. 77/81
Testes Não Paramétricos
Os testes não paramétricos que vamos estudar são:
teste de Wilcoxon
teste de Wilcoxon-Mann-Whitney
independentes
para duas amostras
Observação: Se se verificarem os pressupostos de um teste
paramétrico, devem usar-se estes porque são mais potentes.
Manuela Neves - ISA/Setembro 2012 – p. 78/81
Exemplo 8
A tabela seguinte dá a percentagem de concentração de zinco,
determinada por dois métodos diferentes, em 8 amostras de comida:
Amostra
EDTA tritation
Espectrometria atómica
1
7.2
7.6
2
6.1
6.8
3
5.2
4.6
4
5.9
5.7
5
9.0
9.7
6
8.5
8.7
7
6.6
7.0
8
4
4.7
Poder-se-á afirmar que existe uma diferença significativa entre os
resultados dos dois métodos?
Manuela Neves - ISA/Setembro 2012 – p. 79/81
O Teste de Wilcoxon e o Teste de Mann-Whitney
Teste de Wilcoxon - teste não paramétrico para o estudo da
mediana de uma população ou para comparar as medianas em
duas amostras emparelhadas
Teste de Wilcoxon-Mann-Whitney - teste não paramétrico
adequado à comparação em duas amostras independentes
Procedimento do
.
wilcox.test(A,B)
realiza o teste que atrás chamámos de
Wilcoxon-Mann-Whitney para as duas amostras independentes A e
B.
wilcox.test(A,B,paired=T)
realiza o teste que atrás chamámos
de Wilcoxon para as duas amostras A e B, mas agora
consideradas emparelhadas.
Manuela Neves - ISA/Setembro 2012 – p. 80/81
Referências Bibliográficas
Kerns, G.J. (2010) - Introduction to Probability and Statistics using
. First Edition. Disponível on-line
Monteiro, L.R. (2006) - Introdução à Biometria utlizando
Disponível on-line
Neves, M. M. (2008) - Introdução à Estatística e à Probabilidade.
Apontamentos de Apoio à U.C. Estatística.
Pestana, D.D. e Velosa, S.F. (2008) - Introdução à Probabilidade e à
Estatística . Fundação Calouste Gulbenkian
Torgo, L. (2006). Introdução à Programação em R . Disponível
on-line
Verzani, J. (2002) ) - Using
on-line
for Introductory Statistics. Disponível
Manuela Neves - ISA/Setembro 2012 – p. 81/81