Modelagem no Domínio da Frequência Carlos Alexandre Mello

Modelagem no Domínio da Frequência
Carlos Alexandre Mello
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1
Transformada de Laplace
O que são Transformadas?
Quais as mais comuns:
Laplace
Fourier
Cosseno
Wavelet
.....
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2
Transformada de Laplace
A transf. de Laplace representa entrada, saída e
sistema como entidades separadas
A relação entre elas é algébrica
Transformada de Laplace:
onde s = σ + jω é uma variável complexa
F(s) é dita a transformada de Laplace de f(t)
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3
Transformada de Laplace
O limite inferior da integral anterior significa que
mesmo que f(t) seja descontínua em t = 0,
podemos começar a integração apesar da
descontinuidade, contanto que a integral convirja
Podemos assim encontrar a transf. de Laplace da
função impulso
Transformada Inversa de Laplace
onde:
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4
Transformada de Laplace
Em geral, o cálculo da transformada inversa é
bastante custoso, pois envolve o cálculo de
integrais complexas
Mas o conjunto de funções importantes para a
área de controle é pequeno, permitindo o uso de
tabelas que fazem o mapeamento dessas funções
e de suas transformadas
Vamos ver, a seguir, o cálculo de algumas
transformadas mais comuns:
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5
Transformada de Laplace
Algumas transformadas conhecidas
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6
Transformada de Laplace
Propriedades
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7
Transformada de Laplace
Exemplo 1:
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8
Transformada de Laplace
Exemplo 2: Transformada Inversa
Pelo teorema do deslocamento em frequência e pela
transformada de Laplace de f(t) = t.u(t):
Se: F(s) = 1/s2 → f(t) = t.u(t)
e: F(s + a) = 1/(s + a)2 → f(t) = e-att.u(t)
Então: F1(s) = 1/(s + 3)2 → f(t) = e-3tt.u(t)
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9
Transformada de Laplace
Transformada Inversa: Expansão em Frações
Parciais
Por exemplo, calcule a transformada inversa de:
Nesse caso, podemos re-escrever a expressão como:
que, por linearidade, leva à transf. inversa:
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10
Transformada de Laplace
Assim, a Expansão em Frações Parciais é uma
ferramenta matemática bastante útil no cálculo da
transf. de Laplace
Objetivo matemático: Simplificar uma função,
expandindo-a em funções de menor grau
Objetivo para controle: Facilitar o cálculo da transf.
de Laplace
Métodos:
Clearing Fractions
Heaviside Cover-Up (ou Resíduos)
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Transformada de Laplace
Expansão em Frações Parciais (Clearing
Fractions)
Exemplo:
Fonte: aula de Sinais e
Sistemas do prof. Aluízio
Ribeiro.
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12
Transformada de Laplace
Expansão em Frações Parciais (Heaviside CoverUp ou Resíduos)
Exemplo:
Fonte: aula de Sinais e
Sistemas do prof. Aluízio
Ribeiro.
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Transformada de Laplace
Expansão em Frações Parciais (Uso dos dois
métodos)
Exemplo:
Fonte: aula de Sinais e
Sistemas do prof. Aluízio
Ribeiro.
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Transformada de Laplace
Expansão em Frações Parciais
Caso 1: Raízes do denominador são reais e distintas
Caso 2: Raízes do denominador são reais e repetidas
Caso 3: Raízes do denominador são complexas
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Transformada de Laplace
Uso de Transf. de Laplace:
Resolução de Equações Diferenciais: Resolva a
seguinte equação diferencial para y(t) com todas as
condições iniciais nulas
A transformada de Laplace para y(t) é:
que leva a:
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16
Transformada de Laplace
Uso de Transf. de Laplace:
Resolução de Equações Diferenciais (cont):
Por expansão em frações parciais:
ou
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Transformada de Laplace
Expansão em Frações Parciais – MatLab
Exemplo:
=
-4s + 8
s2 + 6s + 8
r1
s - p1
+
r2 + ... +
s - p2
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rn
+ ks
s - pn
18
Transformada de Laplace
Expansão em Frações Parciais – MatLab
Exemplo (cont): Volta ao polinômio original
-4s + 8
s2 + 6s + 8
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19
Transformada de Laplace
Exercícios de Revisão:
a) Ache a transf. de Laplace de f(t) = te-5t
b) Ache a transformada inversa de F(s) = 10/[s(s+2)(s+3)2]
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Função de Transferência
A função de transferência retrata a relação entre a
saída e a entrada de um sistema
Tal relação pode ser expressa em função da
transf. de Laplace
Geralmente, as funções de entrada e saída se
relacionam através de uma equação diferencial
linear e invariante no tempo de n-ésima ordem:
onde y(t) é a saída e x(t) é a entrada do sistema
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Função de Transferência
Dada a equação diferencial linear e invariante no
tempo de n-ésima ordem:
Calculando a transf. de Laplace:
Se as condições iniciais forem nulas:
Ou seja:
G(s) é a Função de Transferência
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Função de Transferência
Função de Transferência como diagrama de bloco:
X(s)
Y(s)
E podemos encontrar a saída de um sistema dada
a entrada e sua função de transferência:
Y(s) = G(s).X(s)
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Função de Transferência
A função de transferência de um sistema é um
modelo matemático no sentido que constitui um
método operacional de expressar a equação
diferencial que relaciona a entrada à saída do
sistema
A função de transferência é uma propriedade
intrínseca do sistema, independentemente da
magnitude e da natureza do sinal de entrada
A função de transferência relaciona a entrada à
saída, mas não fornece qualquer informação
quanto à estrutura física do sistema
diferentes sistemas podem ter a mesma função de
transferência
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Função de Transferência
Se a função de transferência de um sistema for
conhecida, a saída pode ser estudada para várias
formas de entrada a fim de entender a natureza do
sistema
Se a função de transferência for desconhecida, ela
pode ser inferida experimentalmente introduzindose sinais de entrada conhecidos e analisando o
sinal de saída
Uma vez estabelecida, a função de transferência
fornece uma descrição completa das características
dinâmicas do sistema
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Função de Transferência
Quando a entrada é a função impulso, temos:
Y(s) = G(s).X(s)
X(s) = 1 ⇒ Y(s) = G(s)
cuja transformada inversa daria g(t)
Essa é a chamada resposta impulsional do sistema e
também sua função de transferência
Portanto, é possível obter informação completa sobre as
características de um sistema excitando-o com um
impulso unitário e medindo a sua resposta
Na prática, seria um pulso de duração bastante curta
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Função de Transferência
Diagrama de blocos
Representação gráfica das funções desempenhadas por
cada um dos componentes de um sistema e do fluxo de
sinais entre eles
Todas as variáveis são ligadas umas às outras através
de blocos funcionais
O bloco traz a representação matemática da operação aplicada
sobre a entrada que leva à saída
O diagrama de bloco de um sistema não é único
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Função de Transferência
Diagrama de blocos
Elementos:
Ponto de
Soma
X(s)
X
+
-
Ponto de
Ramificação
E(s)
Y(s)
G(s)
Sistema de malha fechada
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Função de Transferência
Diagrama de blocos
Outros tipos:
X(s)
X
+
-
E(s)
G(s)
Y(s)
B(s)
H(s)
Y(s) = E(s)G(s) = [X(s) – B(s)]G(s) = [X(s) – Y(s)H(s)]G(s)
Y(s) + Y(s)H(s)G(s) = X(s)G(s)
Y(s)/X(s) = G(s)/[1 + H(s)G(s)]
(Função de Transferência do sistema)
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Função de Transferência
Diagrama de blocos
Outros tipos:
X(s)
X
+
-
Perturbação
D(s)
G1(s)
+
X
+
G2(s)
Y(s)
B(s)
H(s)
Se D(s) = 0:
Y(s)/X(s) = G1(s)G2(s)/[1 + G1(s)G2(s)H(s)]
(Função de Transferência do sistema)
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Função de Transferência
Exemplo 1: Ache a função de transferência do
sistema representado por:
dy(t)/dt +2y(t) = x(t)
Solução: Tomando a transf. de Laplace:
sY(s) + 2Y(s) = X(s)
(s + 2)Y(s) = X(s)
G(s) = Y(s)/X(s) = 1/(s + 2)
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31
Função de Transferência
Exemplo 2: Dada a função de transferência
anterior, ache a resposta do sistema para um
degrau unitário; considere nulas as condições
iniciais:
x(t) = u(t)
G(s) = Y(s)/X(s) = 1/(s + 2)
X(t) = u(t) ⇒ X(s) = 1/s
Logo: Y(s) = G(s).X(s)
Y(s) = 1/[s.(s + 2)]
Y(s) = 0,5/s – 0,5/(s + 2)
Expansão em Frações Parciais
y(t) = 0,5 – 0,5e-2t
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32
Função de Transferência
Exemplo 2 (cont.):
Solução total pelo MatLab
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Função de Transferência
Exercício 1: Ache a função de transferência da
equação diferencial:
Solução: Tomando a transf. de Laplace:
Y(s)(s3 + 3s2 + 7s + 5) = X(s)(s2 + 4s + 3)
Logo:
G(s) = Y(s)/X(s) = (s2 + 4s + 3)/(s3 + 3s2 + 7s + 5)
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34
Função de Transferência
Exercício 2: Ache a equação diferencial
correspondente à seguinte função de
transferência:
Solução:
G(s) = (2s + 1)/(s2 + 6s + 2)
G(s) = Y(s)/X(s) = (2s + 1)/(s2 + 6s + 2)
Logo:
Y(s)(s2 + 6s + 2) = X(s)(2s + 1)
s2Y(s) + 6sY(s) + 2Y(s) = 2sX(s) + X(s)
⇒ d2y/dt2 + 6dy/dt + 2y = 2dx/dt + x
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35
Função de Transferência
Exercício 3: Ache a resposta a uma rampa para
um sistema cuja função de transferência é:
G(s) = s/[(s + 4)(s + 8)]
Solução:
Logo:
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Função de Transferência de Circuitos
Elétricos
Modelagem matemática de circuitos elétricos
Resistores, capacitores e indutores
Componentes são combinados em circuitos e
encontramos a função de transferência
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37
Função de Transferência de Circuitos
Elétricos
Rede RLC
Problema: Encontrar a função de transferência que
relaciona a voltagem do capacitor (Vc(s)) com a
voltagem de entrada (V(s))
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38
Função de Transferência de Circuitos
Elétricos
Rede RLC
Somando as voltagens no laço e considerando nulas as
condições iniciais, temos a seguinte equação diferencial
para essa rede:
Considerando:
Temos:
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39
Função de Transferência de Circuitos
Elétricos
Rede RLC
A voltagem de um capacitor é dada por:
Ou seja:
Temos assim:
Calculando a Transformada de Laplace:
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40
Função de Transferência de Circuitos
Elétricos
Rede RLC
Ou:
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41
Função de Transferência de Circuitos
Elétricos
Para simplificar, vamos considerar a transf. de
Laplace das equações de voltagem da tabela
anterior (assumindo nulas as condições iniciais):
Capacitor:
Resistor:
Indutor:
Definimos, assim, a seguinte função de transferência:
Impedância
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Função de Transferência de Circuitos
Elétricos
Rede RLC:
Podemos entender Z(s) como a soma das impedâncias
e V(s) como a soma das voltagens. Assim:
[Soma das Impedâncias].I(s) = [Soma das Voltagens]
Circuito
transformado
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43
Função de Transferência de Circuitos
Elétricos
Rede RLC:
Resolvendo o problema anterior usando impedâncias:
Temos:
Logo:
Como:
Assim:
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44
Função de Transferência de Circuitos
Elétricos
Rede RLC:
Ou:
Como encontrado anteriormente....
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45
Função de Transferência de Circuitos
Elétricos
Análise de Malha
Substitua elementos passivos por funções de
impedância
Substitua fontes e variáveis de tempo por suas transf. de
Laplace
Assuma uma corrente transformada e uma direção de
corrente em cada malha
Aplique a lei de Kirchhoff para cada malha
Resolva as equações simultâneas para a saída
Forme a função de transferência
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46
Função de Transferência de Circuitos
Elétricos
Análise de Malha
Exemplo:
Malha 1
Malha 2
G(s) = I2(s)/V(s) = ?
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Função de Transferência de Circuitos
Elétricos
Análise de Malha
Exemplo (cont.): Passo 1: Impedâncias
Malha 1
Malha 2
Malha 1:
Malha 2:
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48
Função de Transferência de Circuitos
Elétricos
Análise de Malha
Exemplo (cont.): Temos:
De (2):
Substituindo em (1):
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49
Função de Transferência de Circuitos
Elétricos
Análise de Malha
Exemplo (cont.): Ou:
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Função de Transferência de Circuitos
Elétricos
Análise de Malha
Exemplo (cont.): Observe que as equações paras as
malhas 1 e 2 seguiram um mesmo padrão usado
anteriormente. Ou seja:
Malha 1:
Malha 2: −
Soma das
Impedâncias
da Malha 1
Soma das
Impedâncias
comuns
I1(s) -
I1(s) +
Soma das
Impedâncias
comuns
Soma das
Impedâncias
da Malha 2
I2(s) =
I2(s) =
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Soma das
Voltagens da
Malha 1
Soma das
Voltagens da
Malha 2
51
Função de Transferência de Circuitos
Elétricos
Análise de Nós:
Exemplo: Encontrar a função de transferência Vc(s)/V(s)
para o circuito abaixo, usando análise de nós:
Nesse caso, usamos a soma das correntes nos nós ao
invés da soma das voltagens nas malhas
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Função de Transferência de Circuitos
Elétricos
Análise de Nós:
Exemplo (cont.): Da figura anterior, as somas das
correntes nos nós VL(s) e VC(s) são, respectivamente:
Expressando as resistências em termos de condutância
G1 = 1/R1 e G2 = 1/R2
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53
Função de Transferência de Circuitos
Elétricos
Análise de Nós:
Exemplo (cont.): Assim:
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Função de Transferência de Circuitos
Elétricos
Análise de Nós:
Substitua elementos passivos por funções de admitância
Y(s) = 1/Z(s) = I(s)/V(s)
(admitância = inverso da impedância)
Substitua fontes e variáveis de tempo por suas transf. de
Laplace
Substitua as fontes de voltagem transformadas por fontes de
corrente transformadas
Aplique a lei de Kirchhoff para cada nó
Resolva as equações simultâneas para a saída
Forme a função de transferência
Teorema de Norton
Uma fonte de tensão V(s) em série com uma impedância
ZS(s) pode ser substituída por uma fonte de corrente I(s) =
V(s)/ZS(s), em paralelo com ZS(s)
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Função de Transferência de Circuitos
Elétricos
Análise de Nós: Exemplo:
Ache a função de transferência VC(s)/V(s) usando
análise de nós e circuito transformado com fontes de
corrente
Circuito Original:
Circuito Transformado:
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56
Função de Transferência de Circuitos
Elétricos
Análise de Nós: Exemplo (cont.):
Todas as impedâncias são convertidas para admitâncias
Todas as fontes de tensão são convertidas para fontes
de corrente colocadas em paralelo com admitância de
acordo com o teorema de Norton
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Função de Transferência de Circuitos
Elétricos
Análise de Nós: Exemplo (cont.):
Como Y(s) = I(s)/V(s) ⇒ I(s) = Y(s)V(s)
Somando as correntes no nó VL(s) temos:
Somando as correntes no nó VC(s) temos:
Combinando essas equações, encontramos, como
antes:
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Função de Transferência de Circuitos
Elétricos
Análise de Nós: Exemplo (cont.):
Como antes, também temos um padrão:
Nó 1:
Nó 2: −
Soma das
Admitâncias
conectadas
no Nó 1
VL(s)
Soma das
Admitâncias
comuns aos
Nós
-
VL(s) +
Soma das
Admitâncias
comuns aos
Nós
Soma das
Admitâncias
conectadas
ao Nó 2
Soma das
Correntes
VC(s) =
aplicadas no
Nó 1
VC(s) =
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Soma das
Correntes
aplicadas no
Nó 2
59
Função de Transferência de Circuitos
Elétricos
Exemplo:
Malha 3
Malha 1
Malha 2
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60
Função de Transferência de Circuitos
Elétricos
Exemplo (cont.):
Soma das
Impedâncias
na Malha 1
Malha 1:
Malha 2:
Malha 3:
-
Soma das
Impedâncias
comuns às
Malhas 1 e 2
-
Soma das
Impedâncias
comuns às
Malhas 1 e 3
I1(s) -
Soma das
Impedâncias
comuns às
Malhas 1 e 2
I1(s) +
Soma das
Impedâncias
na Malha 2
I1(s) -
Soma das
Impedâncias
comuns às
Malhas 2 e 3
I2(s) -
Soma das
Impedâncias
comuns às
Malhas 1 e 3
I2(s) -
Soma das
Impedâncias
comuns às
Malhas 2 e 3
I2(s) +
Soma das
Impedâncias
na Malha 3
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I3(s) =
Soma das
voltagens
aplicadas à
Malha 1
I3(s) =
Soma das
voltagens
aplicadas à
Malha 2
I3(s) =
Soma das
voltagens
aplicadas à
Malha 3
61
Função de Transferência de Circuitos
Elétricos
Exemplo (cont.):
Malha 1: (2s + 2)I1(s) – (2s + 1)I2(s) – I3(s)
= V(s)
Malha 2: -(2s + 1)I1(s) + (9s + 1)I2(s) – 4sI3(s)
=0
Malha 3: -I1(s) – 4sI2(s) + (4s + 1 + 1/s)I3(s)
=0
As 3 equações devem ser resolvidas simultaneamente
para encontrarmos as funções de transferência
desejadas (como I3(s)/V(s), por exemplo)
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62
Função de Transferência de Circuitos
Elétricos
Exemplo (cont.):
(2s + 2)I1 – (2s + 1)I2 – I3 = V
-(2s + 1)I1 + (9s + 1)I2 – 4sI3 = 0
-I1 – 4sI2 + (4s + 1 + 1/s)I3 = 0
De (3):
I1 = -4sI2 + (4s + 1 + 1/s)I3
Substituindo (4) em (2):
(2s + 1)[4sI2 - (4s + 1 + 1/s)I3] + (9s + 1)I2 – 4sI3 = 0
I2 = -I3(8s2 + 10s + 3 + 1/s)/(8s2 + 13s + 1)
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
Substituindo (5) em (4), achamos I1 em função apenas de I3. Assim,
temos em (1), I1 e I2 em função de I3 e podemos isolar I3 e calcular a
função de transferência I3/V.
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63
Função de Transferência de Circuitos
Elétricos
Exemplo (cont.): No MatLab
(2s + 2)I1 – (2s + 1)I2 – I3 = V
-(2s + 1)I1 + (9s + 1)I2 – 4sI3 = 0
-I1 – 4sI2 + (4s + 1 + 1/s)I3 = 0
MatLab Symbolic Toolbox
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64
Função de Transferência de Circuitos
Elétricos
Amplificador Operacional
Os amplificadores operacionais são amplificadores de
acoplamento direto, de alto ganho, que usam
realimentação para controle de suas características
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65
Função de Transferência de Circuitos
Elétricos
Amplificador Operacional
Amplificador
operacional
Amplificador
operacional
inversor
Amplificador
operacional
como função
de transferência
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66
Função de Transferência de Circuitos
Elétricos
Amplificador Operacional
Características:
Entrada diferencial: v2(t) – v1(t)
Alta impedância de entrada: Zi → ∞ (ideal)
Baixa impedância de saída: Zo → 0 (ideal)
Alta constante de ganho de amplificação: A → ∞ (ideal)
A saída é dada por: vo(t) = A(v2(t) – v1(t))
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67
Função de Transferência de Circuitos
Elétricos
Amplificador Operacional Inversor
Se v2(t) está aterrado, o amplificador é chamado de
inversor porque passamos a ter: vo(t) = -Av1(t)
Na configuração da figura c anterior, a função de
transferência do amplificador operacional inversor é:
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68
Função de Transferência de Circuitos
Elétricos
Exemplo: Ache a função de transferência
Vo(s)/Vi(s) para o circuito abaixo:
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69
Função de Transferência de Circuitos
Elétricos
Exemplo (cont.):
Como a admitância de componentes paralelos se
somam, Z1(s) é o inverso da soma das admitâncias ou:
Para Z2(s) as impedâncias se somam:
Assim:
Compensador PID
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70
Função de Transferência de Circuitos
Elétricos
Amplificador Operacional Não Inversor
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71
Função de Transferência de Circuitos
Elétricos
Amplificador Operacional Não Inversor: Exemplo:
Ache Vo(s)/Vi(s)
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72
Função de Transferência de Circuitos
Elétricos
Amplificador Operacional
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73
Função de Transferência de Circuitos
Elétricos
Amplificador Operacional
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74
Exercícios Sugeridos (Nise)
Cap. 2, Problemas:
1, 2, 7, 8, 9, 10, 16, 17, 18, 20a
No MatLab:
5, 6, 14, 20b
Carlos Alexandre Mello – [email protected]
75
A Seguir....
Modelagem no Domínio do Tempo
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76