OTA-C

Implementação de Filtros Ativos Usando
Amplificadores Operacionais de Transcondutância
e Capacitores (OTA-C)
Autoria: Mário Sarcinelli Filho
Edição: Felipe Dalvi Garcia
2008
1
Amplificador de Transcondutância
Os Amplificadores Operacionais de Transcondutância (Operational Transconductance Amplifiers - OTAs) são circuitos amplificadores diferenciais com carga ativa, os quais podem ser
modelados como uma fonte de corrente controlada por uma tensão diferencial aplicada nas suas
duas entradas. Como exemplo, tem-se os circuitos mostrados na Figura 1.
(a) Amplificador diferencial com uma carga ativa
bipolar.
(b) Implementação de (a) em tecnologia CMOS.
Figura 1: Amplificadores Operacionais de Transcondutância (OTAs) [3].
Por sua vez, a Figura 2 mostra o modelo correspondente aos circuitos da Figura 1, para o qual
vO = gm vd RO
e
AV =
vO
= gm RO .
vd
1
Figura 2: Modelo equivalente da Figura 1.
Outros arranjos diferentes daquele da Figura 1 são possı́veis, como configurações cascode, que
têm maior resistência de saı́da e, assim, maior ganho de tensão.
Conseqüentemente, vê-se que um OTA nada mais é que o estágio de entrada de um Amplificador
Operacional (AmpOp) convencional. Talvez até por essa razão, seu sı́mbolo é o apresentado na
Figura 3, junto com o modelo básico (ideal).
(a) Sı́mbolo utilizado para o OTA.
(b) Modelo ideal do OTA.
Figura 3: Amplificador Operacional de Transcondutância (OTA).
Observe-se, na Figura 3, que IABC é a corrente de polarização do OTA. Se ela for ajustável, o
que é possı́vel, tem-se um OTA com gm ajustável proporcionalmente a tal corrente, o que quer
dizer que
gm = hIABC ,
enquanto a corrente de saı́da é dada por
IO = gm (V + − V − ).
Duas vantagens advindas do uso de OTAs são:
• não há a limitação correspondente ao pólo dominante do amplificador operacional convencional, permitindo-se assim o uso dos OTAs em freqüências nas quais não é possı́vel
usar o AmpOp convencional;
• como o circuito do OTA não tem resistores, é possı́vel integrar OTAs, em grande quantidade, no mesmo chip, principalmente considerando sua versão em CMOS.
A desvantagem, porém, é que dada sua grande não linearidade (principalmente usando MOS),
só pequenas diferenças de potencial podem ser aplicadas na entrada diferencial do OTA (ver
dados dos circuitos integrados LM 13600 e CA 3080, por exemplo). Mais recentemente, entretanto, esse problema foi sanado, usando-se topologias mais elaboradas que aquelas da Figura 1,
e é possı́vel realizar OTAs em que vd varre até 95% da tensão de alimentação (VDD + |VSS |),
com baixa distorção.
2
2
2.1
Blocos Básicos Implementados com OTAs [1]
Amplificador Inversor
Para tal circuito, tem-se que
vO = IO RL = −gm vI RL .
Daı́
vO
= −gm RL ,
vI
e também
ZO = RL .
Note-se que não há realimentação, o que é uma
caracterı́stica interessante dos OTAs. Ou seja,
amplificadores usando OTAs são circuitos em
malha aberta.
2.2
Figura 4: Amplificador inversor.
Amplificador Não-Inversor
Invertendo-se a entrada onde o sinal é aplicado,
obtém-se que
vO = gm vI RL .
Portanto,
vO
= gm RL
vI
e
ZO = RL .
Figura 5: Amplificador não-inversor.
2.3
Amplificador Inversor Totalmente sem Resistência
Aqui, tem-se que
IO1 = −gm1 vI ,
IO2 = −gm2 vO
e
IO1 = −IO2 .
Daı́ vem que
−gm1 vI = gm2 vO ,
resultando em
Figura 6: Amplificador inversor sem resistência.
3
gm1
vO
=−
vI
gm2
e
ZO =
2.4
1
gm2
.
Amplificador Não-Inversor Totalmente sem Resistência
Há novamente a inversão da entrada de sinal. Daı́, tem-se que
IO1 = gm1 vI ,
IO2 = −gm2 vO
e
IO1 = −IO2 .
Daı́ vem que
gm1 vI = gm2 vO ,
Figura 7: Amplificador não-inversor sem resistência.
e, portanto,
gm1
vO
=
vI
gm2
e
ZO =
3
3.1
1
gm2
.
Outros Blocos Construı́dos com OTAs [1]
Resistor Implementado de Forma Ativa (Aterrado)
(a) Esquema utilizando OTAs.
(b) Resultado equivalente obtido.
Figura 8: Resistor aterrado implementado de forma ativa.
4
Para esse circuito, pode-se verificar que
IO = −gm vI
e
IO = −II .
Portanto, pode-se verificar que
gm vI = II .
Assim, como
ZIN =
vI
,
II
ZIN =
1
.
gm
obtém-se que
3.2
Resistor Implementado de Forma Ativa (Flutuante)
O circuito correspondente é mostrado na Figura 9(a).
(a) Esquema utilizando OTAs.
(b) Resultado equivalente obtido.
Figura 9: Resistor flutuante implementado de forma ativa.
Para tal circuito, pode-se verificar que
IO1 = gm1 (v2 − v1 )
e
IO2 = gm2 (v1 − v2 ).
Como
II = −IO1 ,
obtém-se
ZIN =
v1 − v2
v1 − v2
=
,
II
−gm1 (v2 − v1 )
ou seja,
ZIN =
5
1
gm1
.
Como as correntes saindo de v1 e voltando a v2 devem ter o mesmo módulo, então, tem-se
obrigatoriamente que
gm1 = gm2 = gm ,
e daı́ se obtém que
ZIN =
3.3
1
.
gm
Conversor de Impedância - GIC (Impedância Aterrada)
O circuito correspondente é dado na Figura 10.
Figura 10: Conversor de impedância aterrado.
A partir de tal circuito, obtém-se que
IO1 = gm1 vI ,
IO2 = −gm2 vO = −gm2 ZL IL = −gm2 ZL IO1 ,
II = −IO2
e
II = gm2 ZL gm1 vI .
Como
ZIN =
vI
,
II
então, obtém-se que a impedância ZIN vista a partir da entrada do circuito é
ZIN =
1
.
gm1 gm2 ZL
Assim, se ZL for um capacitor de valor C, tem-se a impedância equivalente ZIN dada na Figura
11.
6
Figura 11: Resultado equivalente obtido.
3.4
Conversor de Impedância - GIC (Impedância Flutuante)
Agora o circuito correspondente é apresentado na Figura 12.
Figura 12: Conversor de impedância flutuante.
De saı́da, tem-se a obrigatoriedade de que |IO2 | = |IO3 |. Logo, é necessário que gm2 = gm3 =
gm . Assim sendo, obtém-se que
vO = ZL IO1 = ZL gm1 (v1 − v2 ),
IO3 = −gm vO ,
II = −IO3
e
II = gm ZL gm1 (v1 − v2 ).
Como
ZIN =
v1 − v2
,
II
então, obtém-se que
ZIN =
1
.
gm1 gm2 ZL
Daı́, se ZL for um capacitor de valor C, tem-se a impedância equivalente ZIN caracterizada na
Figura 13.
7
Figura 13: Resultado equivalente obtido.
3.5
Superindutor Aterrado (ZIN = s2 L)
O circuito correspondente ao superindutor aterrado é mostrado na Figura 14.
Figura 14: Superindutor aterrado.
Para tal circuito, pode-se verificar que
IO3 = −gm3 v3 ,
IO2
,
sC2
IO2 = gm2 v2 ,
IO1
v2 =
,
sC1
IO1 = gm1 vI ,
v3 =
II = −IO3
e
II =
gm3 IO2
gm3 gm2 IO1
gm3 gm2 gm1 vI
= 2
=
.
sC2
s C1 C2
s2 C 1 C 2
Como é sabido que
ZIN =
vI
,
II
então, obtém-se que
ZIN
3.6
s2 C 1 C 2
.
=
gm1 gm2 gm3
FDNR (Aterrado)
Basta usar o GIC da Seção 3.3, para o qual ZIN do superindutor da Seção 3.5 substitui ZL .
8
3.7
FDNR (Flutuante)
Basta usar o GIC da Seção 3.4, para o qual ZIN do superindutor da Seção 3.5 substitui ZL .
4
Blocos Integradores Realizados com OTAs [1]
4.1
Integrador Ideal
Como os OTAs são fontes de corrente, basta conectar um capacitor na sua saı́da para constituir
um integrador. O circuito correspondente é apresentado na Figura 15. Para ele,
IO = gm (v1 − v2 )
e
vO =
1
gm (v1 − v2 ).
sC
Daı́ se obtém que
gm
vO
=
,
v1 − v2
sC
Figura 15: Integrador ideal.
que corresponde ao integrador ideal.
4.2
Integrador com Pólo Fora da Origem (Versão 1)
O circuito é o mesmo da Figura 15, acrescentando-se um resistor ativo aterrado em paralelo
com o capacitor, como na Figura 16.
Para tal circuito,
IC = IO1 + IO2 ,
sendo
IO1 = gm1 vI ,
IO2 = −gm2 vO
e
Figura 16: Integrador com pólo fora da origem.
IC = sCvO .
Daı́ vem que
sCvO = gm1 vI − gm2 vO
e
(sC + gm2 )vO = gm1 vI ,
o que resulta em
vO
gm1
=
,
vI
gm2 + sC
caracterizando um integrador com pólo fora da origem.
9
4.3
Integrador com Pólo Fora da Origem (Versão 2)
O circuito correspondente está na Figura 17. Para tal circuito, tem-se que
vO =
IO
gm (vI − vO )
=
,
sC
sC
donde
sCvO + gm vO = gm vI
e, por fim,
vO
gm
=
,
vI
gm + sC
caracterizando um integrador com pólo fora da
origem.
Figura 17: Integrador com pólo fora da origema .
a
Versão restrita à configuração não-inversora, com
uma só entrada.
5
Implementação de Filtros Ativos Usando OTA-C
Utilizando os blocos conversores de impedância das Seções 3.3 e 3.4, é viável implementar
filtros ativos a partir da substituição dos indutores do filtro passivo. Inclusive, para o caso de
indutores flutuantes se usam menos OTAs para realizar o filtro ativo do que AmpOps convencionais. Também é mais viável substituir os indutores flutuantes do que usar o FDNR, que
consumiria mais OTAs (ver Seções 3.6 e 3.7). Isso é muito interessante, por exemplo, para realizar filtros passa-baixas elı́pticos, até então não adequados para implementação ativa (usando
AmpOps convencionais). Como exemplo, seja o filtro elı́ptico passivo mostrado na Figura 18,
cuja implementação ativa baseada na substiuição dos indutores por GICs implementados com
OTAs é mostrada nas Figuras 19 e 20.
Figura 18: Filtro passa-baixas elı́ptico passivo.
10
Figura 19: Filtro passa-baixas elı́ptico com implementação ativa.
(a) Bloco 1.
(b) Bloco 2.
Figura 20: Esquema interno dos blocos 1 e 2 da Figura 19.
Adicionalmente, uma vez que um integrador pode ser realizado de forma muito simples usando
OTA e capacitor, inclusive no caso particular de integrador não ideal (com pólo fora da origem),
é também muito fácil implementar filtros ativos baseados na estrutura leap-frog usando OTA-C.
Em qualquer caso, a implementação de filtros ativos à base de OTA-C tem duas vantagens em
relação às estruturas baseadas em AmpOps-RC, que são:
• pode-se atingir freqüências bem maiores;
• pode-se integrar totalmente o filtro, pois não há resistores, e com isso ocupa-se pequena
área no chip.
A seguir, é mostrado um exemplo de realização leap-frog usando OTA-C [2].
11
Figura 21: Exemplo de filtro Chebyshev ou Butterworth de ordem 3.
As equações para a realização leap-frog do circuito da Figura 21 são:
I1 =
1
(E1 − E2 ) =⇒ V1 = f1 (s)(E1 − E2 ),
Z1
E2 = Z2 (I1 − I3 ) =⇒ E2 = f2 (s)(V1 − V3 )
e
I3 =
1
E2 =⇒ V3 = f3 (s)(E2 − 0).
Z3
Em tais equações tem-se os integradores
1
,
R1 + sL1
1
f2 (s) =
sC2
f1 (s) =
e
f3 (s) =
1
.
R2 + sL3
Observe-se aqui que o OTA é adequado para fazer integradores com duas entradas v1 e v2 ,
sendo (v1 − v2 ) a tensão integrada (ver Seção 4.1). Dessa forma, pode-se implementar a rede
leap-frog exatamente como indicado no diagrama de blocos da Figura 22, ou seja, a subtração
já está implı́cita no integrador, com exceção daquele da Seção 4.3, onde só é possı́vel usar uma
entrada.
Figura 22: Diagrama de blocos da rede leap-frog do circuito da Figura 18.
A realização da rede leap-frog correspondente a tal diagrama de blocos é, portanto, a que está
apresentada na Figura 23.
12
Figura 23: Realização ativa do filtro da Figura 21.
Para o filtro da Figura 23, tem-se que:
• Integrador 1:
gm1
gm2 + sL1
gm1 = 1S
f1 (s) =
gm2 = R1 S(R1 = 1Ω =⇒ gm2 = 1S).
• Integrador 2:
gm3
sC2
= 1S.
f2 (s) =
gm3
• Integrador 3:
f3 (s) =
gm4
.
gm4 + sL3
Se R2 = 1Ω, então gm4 = 1S. Se R2 6= 1Ω, pode ser mais interessante usar o integrador 3 com
a mesma configuração do integrador 1, e então ter-se-ia que
gm4
,
gm5 + sL3
gm4 = 1S
f3 (s) =
e
gm5 = R2 S.
Um detalhe significativo é que não é possı́vel usar o integrador 1 na mesma configuração do
integrador 3 (o da entrada da rede e o da carga), pois o integrador da entrada da rede recebe uma
realimentação de outro integrador, que deve entrar no seu terminal negativo, o que não pode ser
feito no caso da configuração usada no último integrador. Este tem tal configuração porque não
recebe qualquer realimentação que não seja da sua própria saı́da. Com isso, o número mı́nimo
de OTAs que pode ser utilizado é o número de integradores mais um (que é o resistor ativo
aterrado usado no integrador da entrada da rede).
13
Referências
[1] R. L. Geiger and E. Sánchez-Sinencio, “Active Filter Design Using Operational Transconductance Amplifiers: A Tutorial,” IEEE Circuits and Devices Magazine, vol. 1, pp. 20–32,
Março 1985.
[2] A. P. Nedungadi and R. L. Geiger, “High-Frequency Voltage-Controlled Continuous-Time
Lowpass Filter Using Linearised CMOS Integrators,” Eletronic Letters, vol. 22, no. 14, pp.
729–731, Julho 1986.
[3] A. S. Sedra and K. C. Smith, Microelectronic Circuits, 4th ed.
14
Makron Books, 2000.