ufersa departamento de ciências exatas, tecnológicas e humanas

UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMI-ÁRIDO - UFERSA
DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS, TECNOLÓGICAS
E HUMANAS - DCETH
CAMPUS ANGICOS
BACHARELADO EM CIÊNCIA E TECNOLOGIA
EMERSON TALLES PESSOA ADELINO
ESTUDOS E COMPARAÇÃO ENTRE SOLUÇÕES NUMÉRICAS DE SISTEMAS DE
EQUAÇÕES LINEARES PELOS MÉTODOS GAUSS-SEIDEL, GAUSS-JACOBI,
FATORAÇÃO LU E QR, E MEDIDAS EXPERIMENTAIS EM CIRCUITOS ELÉTRICOS
ANGICOS-RN
2013
EMERSON TALLES PESSOA ADELINO
ESTUDOS E COMPARAÇÃO ENTRE SOLUÇÕES NUMÉRICAS DE SISTEMAS DE
EQUAÇÕES LINEARES PELOS MÉTODOS GAUSS-SEIDEL, GAUSS-JACOBI,
FATORAÇÃO LU E QR, E MEDIDAS EXPERIMENTAIS EM CIRCUITOS ELÉTRICOS
Monografia apresentada a Universidade
Federal Rural do Semi-Árido - UFERSA,
Campus Angicos para a obtenção do título de Bacharel em Ciência e Tecnologia. Orientador: Profo . M.Sc. Wivaldo
Dantas de Asevedo Junior - UFERSA
ANGICOS-RN
2013
Aos meus avôs Sebastião Quintiliano Pessoa e Judite Xavier Pessoa [in memoria], por tudo
que fizeram por mim quando criança e pelos ensinamentos passados.
A minha família, especialmente aos meus pais:Francisco Adelino Sobrinho e Lúcia de
Fátima Pessoa Adelino, que sempre me apoiou em tudo e nunca deixou faltar nada, sempre
mostrando o certo e o errado além de me incentivar a não desistir dos meus objetivos.
AGRADECIMENTOS
Agradeço primeiramente a DEUS que me deu o dom da vida. Agradeço também pela força
dedicada a mim para chegar até o final dessa jornada, iluminando meu caminho onde encontrei
barreiras e ele me ajudou a superá-las e assim pude concluir esse trabalho.
Em especial os meus pais o Senhor: Francisco Adelino Sobrinho e a Senhora: Lúcia de Fátima Pessoa Adelino por sempre ter acreditado em mim, pelo apoio e por me ensinarem sempre
a seguir o caminho certo, além do amor dedicadoo a mim durante toda minha vida. A meu irmão Erike Thiele Pessoa Adelino que de forma especial e carinhosa me deu força e coragem, me
apoiando nos momentos de dificuldades, que mesmo não morando conosco sempre me mostrou
que o caminho era estudar e nunca mediu esforços para tudo que eu precisasse, pois se não fosse
ele não estaria hoje aqui concluindo esse trabalho, pois foi o mesmo que me incentivou a fazer
aquele vestibular e hoje dedico esse vitoria a ele. Agradeço também a minha cunhada Camila
Lourenço pela ajuda e o incentivo.
A minha namorada Kaline Vanessa de Matos que sempre me deu apoio e incentivo da melhor forma possível, sendo compreensiva, amável e companheira nas horas que mais precisei.
Agradeço também aos responsáveis pela instalação do Campus UFERSA-Angicos que mudou
muito minha vida depois da chegada do mesmo, pois foi através dela que realizei meu primeiro
objetivo ter um curso superior e com isso vou conseguir se DEUS quiser terminar o curso que
sempre almejei fazer que é engenharia civil.
A todos os meus colegas de curso pelo convívio fraternal e familiar, que nos momentos mais
difíceis conseguimos superar as dificuldades e chegar até os nossos objetivos, entre eles destaco
alguns: Marcos Antônio, Fernanda Rizia, Erickson Romualdo, Italo Menezes, João Paulo
Caraú, Thalis Ginani, Emanuel Erivan, Janielly Kaline, Joaquim de Souza, Gilvan Ribeiro,
Samuel Rodrigues, José Eliedson, Valdeir Tavares, José Humberto, e entre outros que não deu
para citar aqui.
Agradeço ao meu amigo "monitor"Anderson Reis pela paciência e por toda a dedicação ofertada
a mim, principalmente na reta final do meu trabalho, pois ele também tem uma boa contribuição
na minha vitoria.
Ao meu orientador Wivaldo Junior, por ter confiado e acreditado que eu era capaz de desenvolver esse trabalho, e sempre estava a minha disposição, ao meu co-orientador Matheus
Menezes por sempre está à disposição para ouvir pacientemente as minhas considerações e ter
partilhado comigo as suas idéias referentes ao meu trabalho.
A todos os professores que passaram um pouco dos seus conhecimentos para mim, em especial: Gleidson Vieira, Alessandra Carla, Ana Cristina, Ivan Mezzomo, Núbia Alves, Marcilene
Vieira, Joselito Cavalcante, Matheus Menezes, Vinicius Samuel, Aerson Barreto, Alexsandro
Lima, Maristelio da Cruz, Francisco Edcarlos Leite, Fabrícia Nascimento, Sâmea Valensca e a
todos que contribuíram direta ou indiretamente com o meu crescimento durante esse curso.
Obrigado a todos os meus familiares e amigos mesmo não estando citados aqui, que tanto contribuíram para o meu sucesso, agradeço muito por acreditarem nesta realização. Serei a todos
infinitamente grato.
RESUMO
Este trabalho tem por objetivo analisar circuitos elétricos através das Leis de Kirchhoff, as leis
das malhas e a lei dos nós, e decorrente desta análise obter um conjunto de equações que formam um sistema de equações lineares. A partir deste sistema de equações serão usados métodos
numéricos para se encontrar sua solução. O referido trabalho tem caráter revisional bibliográfico
acerca das Leis de Kirchhoff e de métodos numéricos computacionais de resolução de sistema
de equações lineares em especial os dos métodos diretos de fatoração LU e QR, e dos métodos
iterativos de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel para que assim possamos ilustrar o funcionamento
e aplicação de cada um deles em problemas reais. Visando analisar a eficiência dos métodos,
os testes são realizados com o auxílio computacional de um software denominado de Scilab.
É importante destacar que os métodos numéricos tiveram sua convergência provada para tais
métodos, como também para testes em laboratório usando circuitos reais, mediante a isso, verificar qual deles melhor se adequará a aplicação de problemas reais aos métodos estudados. Para
a realização dos testes foram escolhidos dois problemas com características semelhantes com
uma alteração nos valores das resistências, onde os métodos diretos foram melhores do que os
iterativos. Finalizamos o trabalho fazendo um comparativo entre os métodos utilizados tanto os
valores obtidos através do software como os medido em laboratório.
Palavras Chave: Leis de Kirchhoff. Fatoração LU. Fatoração QR. Gauss-Seidel.
LISTA DE TABELAS
Tabela 1 Tabela 2 Tabela 3 Tabela 4 Tabela 5 Tabela 6 Tabela 7 Tabela 8 Tabela 9 Tabela 10 -
Dados obtidos computacionalmente para o problema 01
Dados obtidos computacionalmente para o problema 02
Escalas Utilizadas para as correntes . . . . . . . . . . .
Escalas Utilizadas para as tensões . . . . . . . . . . . .
Escalas Utilizadas para as resistências . . . . . . . . . .
Valores medidos no laboratório . . . . . . . . . . . . .
Valores do erro relativo percentual do problema 01 . . .
Valores do erro relativo percentual do problema 02 . . .
Valores das incertezas das medidas no problema 01 . . .
Valores das incertezas das medidas do problema 02 . . .
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42
43
43
43
44
45
46
48
49
LISTA DE FUGURAS
Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4 Figura 5 Figura 6 -
Esquema de aplicação da lei dos nós .
Cicuito com malha única . . . . . . .
Circuito com 3 malhas . . . . . . . .
Circuito modelo . . . . . . . . . . .
Gráfico problema 01 . . . . . . . . .
Gráfico problema 02 . . . . . . . . .
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18
20
39
50
50
SÚMARIO
1
1.1
1.2
1.2.1
1.2.2
1.2.3
INTRODUÇÃO
JUSTIFICATIVA . .
OBJETIVOS . . . .
Objetivo geral . . . .
Objetivos Específicos
Metodologia . . . . .
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12
13
13
13
13
14
2
2.1
2.2
LEI DE KIRCHHOFF
LEI DOS NÓS DE KIRCHHOFF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
LEI DAS MALHAS DE KIRCHHOFF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
16
18
3
3.1
3.2
3.3
3.3.1
3.3.2
3.3.3
3.3.4
3.4
3.5
3.5.1
3.5.2
3.5.3
3.5.4
3.5.5
3.5.6
3.6
3.6.1
3.6.2
3.7
3.8
SOLUÇÃO DE SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
EQUAÇÃO LINEAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
SISTEMA DE EQUAÇÃO LINEAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
CLASSIFICAÇÕES DOS SISTEMAS LINEARES . . . . . . . . . . . . . . .
Classificação quanto aos números de equações e variáveis . . . . . . . . . . .
Homogeneidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Classificação quanto ao número de solução . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Quanto ao tamanho do sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
MÉTODOS DE SOLUÇÃO PARA SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
MÉTODOS DIRETOS OU EXATOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Retrosubstituição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Método de eliminação de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Fatoração LU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Método de Francis (ou método QR) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Estratégia de pivoteamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Condicionamento de matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
MÉTODO ITERATIVOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Condições de convergência para métodos iterativos . . . . . . . . . . . . . . .
Critérios de parada dos métodos iterativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
MÉTODO ITERATIVO DE GAUSS-JACOBI . . . . . . . . . . . . . . . . . .
MÉTODO ITERATIVO DE GAUSS-SEIDEL . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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22
22
23
23
24
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25
25
25
27
28
29
31
32
35
36
36
37
38
4
4.1
4.2
4.2.1
4.2.2
METODOLOGIA, APRESENTAÇÃO E DISCURSSÃO DOS RESULTADOS
METODOLOGIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
PROBLEMAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Problema 01 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Problema 02 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
39
40
40
42
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4.2.3 Medições em circuitos reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
5
CONSIDERAÇÕES FINAIS
52
REFERÊNCIAS
55
APÊNDICE A
56
APÊNDICE B
58
12
1
INTRODUÇÃO
Desde muitos anos a ciência vem exercendo um papel importante na compreensão de
fenômenos e posterior desenvolvimento de modelos com grande grau de aplicabilidade em
nosso cotidiano. Dentre as ciências, a Física é considerada a mais fundamental das ciências
naturais, sendo também aquela cuja formulação atingiu o maior grau de refinamento (NUSSENZVEIG, 2002).
Nesse passo, é de se observar que muitos dos problemas encontrados pelas chamadas
ciências exatas possuem como solução final a resolução de sistemas de equações lineares. Em
outras palavras, muitos dos problemas que surgem, por exemplo, na física e na engenharia,
somente podem ser resolvidos por meio dos sistemas de equações lineares e de outras aplicações
que existem seja na matemática seja em outras áreas do conhecimento como a economia e até
mesmo a administração (BURDEN; FAIRES, 2008).
De fato, tais cálculos são aplicados cotidianamente nas estruturas da construção civil, na
otimização de sinais de trânsito, no equilíbrio estático, nas soluções de equações diferenciais,
nas vibrações, dentre outras. Assim, Leon (2008, p. 1) afirma que "mais de 75% dos problemas matemáticos encontrados em aplicações cientificas e industriais envolvem a resolução de
sistemas lineares em algum estágio".
O estudo e utilização de circuitos elétricos, como se pretende expor ao longo desse trabalho, também estão inseridos na análise de sistemas de equações lineares. Nesse sentido, é de
se observar que foi baseado nos conceitos básicos de física e matemática, que Gustav Robert
Kirchhoff (1824-1887) desenvolveu o que conhecemos como as Leis de Kirchhoff (conhecidas
também como leis dos nós e das malhas) e que as referidas leis são utilizadas até hoje para
estudar circuitos elétricos. Uma visão detalhada das conclusões de Kirchhoff é o suficiente para
revelar que se tratam de regras práticas resultantes de aplicações de leis mais fundamentais da
Física. Desta forma a lei dos nós se mostra como outra forma de enunciar a lei de conservação de cargas em um circuito elétrico e, de outro modo, a lei das malhas se presta a enunciar
o princípio de conservação da energia (HALLIDAY; RESNICK; WALKER, 2010). Segundo
Young e Freedman (2009), essa lei é fundamentada e baseada na natureza conservativa das
forças eletrostática.
A aplicação das leis de Kirchhoff em um circuito elétrico resulta em um conjunto de
equações e incógnitas, que caracteriza um sistema de equações lineares. Existem na literatura
vários métodos para resolver um sistema de equações lineares, especialmente àqueles sistemas
que possuem um número de equações igual ao número de incógnitas. Nesse sentido, um sistema
de equação linear é composto por m equações e n incógnitas, de modo que quando m = n, temos
um sistema de equações lineares na forma quadrada (LEON, 2011).
Essa característica é importante, pois permite a aplicação de várias técnicas de cálculos
com a utilização de métodos diversos para resolução desses tipos de sistemas, tais como os
métodos diretos, iterativos e de otimização (SPERANDIO et al., 2003).
13
Desta forma, dependendo das dimensões do circuito elétrico a ser estudado, vê-se a
utilização de métodos numéricos computacionais como alternativa mais viável para a solução
dos problemas que surjam. Tal conclusão é adequada porque o uso do computador facilita
a resolução dos sistemas de equações lineares. Nesse passo, os métodos mais utilizados são
os métodos diretos e os iterativos, os quais exigem pré-condições iniciais para a garantia de
obter os resultados desejados. Deste modo, dependendo da função da matriz dos SEL (sistema
de equações lineares), deve existir pelo menos um método mais adequado para solucionar a
situação em análise. Análise do problema de acordo com as pré-condições do método é de fundamental importância para encontrar os resultados corretos (ARENALES; DAREZZO, 2010).
1.1
JUSTIFICATIVA
O presente trabalho busca encontrar a solução mais precisa para problemas envolvendo
circuitos elétricos decorrentes da aplicação das leis de Kirchhoff, bem como estudar a importância da utilização dos métodos numéricos na resolução de equações lineares, uma vez que o
assunto apresenta vasta aplicação em diversificadas áreas do conhecimento e no cotidiano.
1.2
OBJETIVOS
Este trabalho tem como objetivos compreender e analisar um circuito elétrico através das
leis de Kirchhoff que são: a lei dos nós e a lei das malhas para que depois possamos aplicar os
métodos numéricos para assim chegar à solução comparando também com valor experimental
medido em laboratório.
1.2.1 Objetivo geral
Verificar os valores que serão obtidos pelos métodos numéricos através das análises
feitas nos circuito elétrico modelado, compararando os valores obtidos com os valores encontrados em medidas experimentais de laboratório realizadas em circuito real.
1.2.2 Objetivos Específicos
Os objetivos específicos serão:
• Estudar a aplicação das leis de Kirchhoff em um circuito elétrico e obter um sistema
de equações lineares que nos forneça uma solução para grandezas físicas como corrente
elétrica nos resistores do circuito;
• Analisar os aspectos teóricos e práticos referentes aos métodos iterativos de Gauss-Jacobi
e Gauss-Seidel e aos métodos diretos de fatoração LU tradicional e fatoração QR, analisando sua aplicabilidade ao problema estudado;
• Fazer um comparativo entre os métodos com os valores medidos em laboratórios;
14
• Analisar a aplicabilidade de cada método de acordo com as suas propriedades.
1.2.3 Metodologia
O corrente trabalho foi explanado com base em uma pesquisa bibliográfica e experimental acerca do conteúdo abordado, tudo isso baseada em literaturas relacionadas à área em
estudo, de forma a atingir o entendimento e o domínio a respeito do assunto estudado.
A organização deste trabalho a partir da introdução se dará da seguinte forma: No próximo capitulo, falaremos sobre as leis de Kirchhoff e suas aplicações e mostraremos que o seu
uso resultará em um sistema de equações lineares. No capítulo 3, apresentaremos a fundamentação teórica matemática que dará suporte aos métodos no qual serão usados para encontra a
solução do sistema de equações lineares que são: fatoração LU, fatoração QR, Gauss-Seidel
e Gauss-Jacobi descrevendo o funcionamento de cada um deles. No capítulo 4, apresentaremos a metodologia utilizada no trabalho e os resultados obtidos usando um modelo numérico
computacional, e as medidas obtidas em laboratórios aplicadas a um circuito real estabelecendo
um comparativo entre as duas medidas. No capítulo 5, faremos as considerações finais sobre o trabalho e os resultados obtidos computacionalmente e por medidas em laboratório onde
discutiremos os resultados obtidos pelos métodos computacionais utilizados, sua eficiência e
aplicabilidade.
15
2
LEI DE KIRCHHOFF
Na atualidade, a eletricidade se tornou uma indispensável forma de energia para o
homem: com a sua utilização surgiram várias aplicações como a iluminação, comunicação,
aquecimento além dos aparelhos de utilização domestica como televisão, rádio e entre outros.
Nas indústrias a eletricidade exerce um papel fundamental onde movimenta máquinas para que
assim elas executem vários tipos de tarefas. Com o avanço da tecnologia, praticamente todas as
aplicações desenvolvidas para a utilização da energia elétrica possuem circuitos elétricos.
Diante disso, antes de tais aplicações chegarem as nossas residências passaram por um
período de desenvolvimento onde os circuitos elétricos que os compõem tiveram que ser estudados e desenvolvidos. Sabendo disso quase sempre nos deparamos com alguns problemas
físicos, quando tentamos resolver algum tipo de circuito elétrico. Com isso teremos que recorrer muitas vezes a alguns artefatos que nos forneçam a solução desse circuito. Quase sempre
essas ferramentas envolvem conceito de eletricidade, fazendo com que para isso tenhamos que
usar alguns conjuntos de técnicas matemáticas para obter as soluções adequadas.
Segundo Nussenzveig (1997), os elementos necessários de um circuito é o resistor, o
capacitor, o indutor e gerador. Para Gussow (1997), circuito elétrico na pratica tem que constar
de no mínimo quatro partes: são eles (1) condutores, (2) força eletromotriz, (3) uma carga e
(4) instrumento de controle. Cada um desses tem uma representação: a força eletromotriz é a
bateria, os condutores são representados por fios que conectam varias partes do circuito para
conduzir a corrente, já o resistor é um elemento resistivo, oferecendo resistência à passagem da
corrente, e o dispositivo de controle é a chave.
As grandezas envolvidas em um circuito elétrico são a tensão elétrica que é medida em
Volt(V), resistência em Ohm (Ω) e corrente elétrica, medida em Ampère (A). Conforme livro
U.S.NAVY (2002), duas cargas diferentes vão estar acopladas por meio de um condutor, esse
circuito é completado para o fluxo de corrente. Em um circuito elétrico a corrente convencional
flui do pólo positivo da bateria para o pólo negativo completando assim o circuito. Caso o
circuito venha a ser interrompido em algum ponto ocorrerá à interrupção do fluxo de corrente.
Os circuitos elétricos podem ser usados de várias formas, vai depender qual se adequara
melhor ao projeto a ser desenvolvido e a sua finalidade. Um circuito elétrico pode conter associações de resistores em série, em paralelo, chegando até possuir os dois ao mesmo tempo. Existem também associações de resistores, como a ponte de Wheaststone, e circuitos envolvendo
mais de uma fonte que não pode ser reduzida por intermédio da lei de Ohm e das associações
em paralelo e série. Segundo Hallyday, Resnick e Walker (2010) a ponte de Wheaststone é um
método mais refinado de medir resistência elétrica com extrema precisão onde são conhecidos
três valores de resistência e uma não. Para Young e Freedman (2009) não é só os resistores que
se encontram presentes nos circuitos. Podemos encontrar outros elementos como indutores,
capacitores, transistores, diodos e entre outros elementos. Um importante ponto que temos que
destacar é o tipo de corrente que pode ser aplicada no circuito, que pode ser alternada, contínua,
16
ou também ter as duas atuando ao mesmo tempo. Para Young e Freedman (2009, p. 168) "corrente contínua, nos quais o sentido da corrente não varia com o tempo. Já corrente alternada,
na qual a corrente oscila, alternando seu sentido para a frente e para trás".
Com o objetivo de facilitar o estudo dos circuitos elétricos e resolver muitos problemas ligados ao desenvolvimento e construção de circuitos elétricos, o físico alemão chamado
de Gustav Robert Kirchhoff (1824-1887) desenvolveu uma forma de resolver esses problemas
envolvendo circuitos elétricos e obter parâmetros relevantes, como a corrente elétrica. Em sua
homenagem foram criadas as Leis de Kirchhoff: Lei dos nós e lei das malhas, que são regras
práticas baseadas em princípios fundamentais da física que serão discutidas mais adiante. De
posse disso ele ampliou a aplicação da lei de Ohm, um conceito que era relativamente simples
as tensões que envolvem um determinado circuito.De acordo com Young e Freedman (2009),
em muitos casos envolvendo resistores elétricos não podemos reduzir a combinação simples
que há entre os resistores em séries e em paralelo. As leis desenvolvidas por Kirchhoff ajudaram a resolver muitos problemas que eram de difícil solução, ou até mesmo impossível de ser
resolvido pela lei de ohm (U.S.NAVY, 2002).
A análise de um circuito elétrico qualquer pelas leis de Kirchhoff nos fornecer um sistema de equações lineares. Segundo Young e Freedman (2009), sempre que usarmos as leis
de Kirchhoff seja a das malhas ou dos nós sempre teremos o número de equações iguais ao
número de incógnita, para que assim possamos chegar a um sistema de equações possível e
determinado.
2.1
LEI DOS NÓS DE KIRCHHOFF
A lei dos nós de Kirchhoff, também é conhecida como a 1a lei de Kirchhoff. Antes de
enunciar a lei dos nós se faz necessário primeiramente definir o que é um "nó"em um circuito
elétrico. Segundo Young e Freedman (2009, p. 173) "nó ou junção é um ponto do circuito onde
ocorre a união de dois ou mais condutores". A lei dos nós nos diz que a soma das correntes que
chegam a um nó é igual a soma das correntes de saem do nó. A figura abaixo representa bem
isso.
17
Figura 1: Esquema de aplicação da lei dos nós
Fonte: Adaptado de ISEP (2007).
Ou também pode ser representado pela equação:
∑ I que chegam = ∑ I que entram
(1)
Onde I representa as correntes elétrica. Para a situação demonstrada na figura a lei dos nós de
Kirchhoff nos fornece que:
I1 + I3 = I2 + I4
(2)
Na literatura, existem outras definições para a Lei dos nós de Kirchhoff. Para Young e
Freedman (2009, p. 173) "leis dos nós de Kirchhoff: a soma algébrica de todas as correntes
que entram ou saem de um nó é igual a zero".
∑I = 0
(3)
(A lei será valida para qualquer nó)
A lei dos nós de Kirchhoff é uma regra prática baseada em um princípio físico mais
fundamental. Conforme Halliday, Resnick e Walker (2010, p. 176) "a lei dos nós trata-se
simplesmente de outra forma de enunciar a lei da conservação da carga: cargas não podem ser
criadas nem destruídas em um nó". Ainda nesse mesmo contexto, de acordo com Nussenzveig
(1997), a conservação da carga elétrica é considerada um princípio geral, que até hoje nunca se
encontrou qualquer violação, pois o total de carga em um sistema isolado jamais se altera. Ou
seja, essa lei só será valida da decorrência da continuação da carga elétrica total que existir em
um circuito, isso porque a quantia de carga que sai será a mesma que vai entrar e com isso a
uma sustentação de que não vai haver qualquer tipo de acumulação ou perda de cargas nos nós.
Para resolver um circuito elétrico vamos ter que desenvolver as equações referentes
aquele circuitos, que são geradas depois de analisar cada nó, mais não podem esquecer se o
18
circuito em estudo vai satisfazer a lei de Kirchhoff. Atentando para isso vamos ter também que
escolher um nó de referência, ou seja, de onde vamos sair para percorrer o circuito. Vamos
poder escrever as equações para cada nó, com exceção de usar nó que delimitamos como de
referência, pois esse número de equação necessária ser igual à quantidade (n − 1) onde n vai
ser o número de nó. Caso valor da corrente seja negativo não quer dizer quem o mesmo esteja
errado vai. Depender do sentido da corrente escolhida por que resolveu o problema.
2.2
LEI DAS MALHAS DE KIRCHHOFF
Também conhecida como 2a lei de Kirchhoff, método das malhas ou método das tensões.
A lei das malhas nos diz que a soma das tensões em um circuito, ou percurso fechado, será igual
a zero. Ou seja, a tensão que for aplicada por uma fonte terá que ser igual soma das quedas e
elevações de tensões ao longo do percurso fechado. Primeiramente vamos definir o que é uma
"malha". Segundo Gussow (2009) podemos dizer que uma malha é um percurso fechado em
um circuito, onde partimos de um ponto do circuito, pode ser um nó, e retornamos a este mesmo
ponto.
Existem na literatura várias formas de enunciar a Lei das malhas. Para Nussenzveig
(1997, p. 192) "a soma de todas as quedas de tensões ao longo de uma malha em um circuito é
nula".
Figura 2: Cicuito com malha única
Fonte: Adaptado de Gussow (1997)
Analisando o circuito apresentado na figura 2 com a utilização das leis das malhas,
podemos obter a equação abaixo.
V = V1 +V2 +V3
Onde:
V é a tensão de alimentação do circuito (fonte);
V1 é a tensão no resistor R1 ;
V2 é a tensão no resistor R2 ;
(4)
19
V3 é a tensão no resistor R3 .
Fazendo um rearranjo na equação anterior teremos:
V −V1 −V2 −V3 = 0
(5)
V − (V1 +V2 +V3 ) = 0
(6)
Ou,
que está de acordo com Gussow (1997, p. 136) que afirma: "a soma algébrica das subidas ou
aumentos e quedas de tensões deve ser igual a zero".
O potencial elétrico é a energia por unidade de carga onde podemos associar a lei das
malhas ao princípio da conservação da energia (HALLIDAY; RESNICK; WALKER, 2010). De
acordo com Young e Freedman (2009), essa lei é fundamentada e baseada na natureza conservativa das forças eletrostática isso porque se você percorrer o circuito em uma determinada
malha, medindo as diferenças de potencial que nele existe, quando retornamos ao ponto de partida conseqüentemente, a soma algébrica das diferenças medidas terá que ser igual a zero caso
contrario, você não poderá associar um ponto referido para esse potencial.
∑V = 0
(7)
(A lei é valida para qualquer malha)
De acordo com SILVA FILHO (2007), para que uma corrente elétrica se mantenha e
tenha uma boa interação com um determinado condutor, será imprescindível que esse condutor
esteja ligado entre dois pontos que possam geram energia para os elétrons. Caso esses dois
pontos tenham essa capacidade, indicará que existe uma diferença de potencial entre eles.
Existem algumas regras práticas a se levar em consideração na aplicação das leis das
malhas em um circuito. A primeira regra prática a ser considerada é em relação ao elemento
resistivo, ou resistor. Ao escolhermos percorrer uma malha, seja em qualquer sentido, se esse
sentido coincidir com a direção da corrente que percorre o resistor a tensão que percorre este elemento será negativo, caso as direções não coincidam considera-se a tensão como sendo positiva.
A outra regra prática é em relação à fonte de energia, ou elemento de força eletromotriz (fem).
Caso a direção adotada para o percurso coincida com a direção de aumento do potencial na
fem (do - para o +), considera-se a tensão como positiva (HALLIDAY; RESNICK; WALKER,
2010). Podemos perceber que a lei das malhas não dependerá do caminho a ser percorrido na
malha, isso porque se adotarmos o sentido anti-horário, as quedas se tornarão elevações e as
elevações se tornarão quedas,fazendo isso trocarmos os sinais e onde é positivo fica negativo e
vice-versa.
Para começar a estudar uma malha é necessário primeiramente definir o sentido em que
a corrente elétrica percorre esta malha. Na literatura usualmente é utilizado o sentido horário,
20
mais isso fica a critério de quem vai estudar o problema. Como convencionalmente a corrente
elétrica é no sentido do movimento dos portadores de cargas positivas, embora se saiba que em
um condutor a corrente real é a dos elétrons, outro critério a ser adotado para definir o sentido
da corrente elétrica no circuito é aquele que parte do pólo positivo da fonte de maior intensidade
no circuito.
Figura 3: Circuito com 3 malhas
Fonte: Adaptado de Gussow (1997)
No caso mostrado na figura 3 foi adotado o sentido horário, e substituído o valor da tensão em cada resistor por RI, de acordo com a lei de Ohm, obtemos então as seguintes equações
das malhas.
Malha A,B,E,F,A:
−R1 It − R2 I2 +V = 0
(8)
−R3 I3 + R2 I2 = 0
(9)
−R1 It − R3 I3 +V = 0
(10)
Malha B,C,D,E,B:
Malha A,C,D,F,A:
Com isso faremos uma simplificação para se chegar a um sistema de equações lineares
e assim possamos resolver.


 −R1 It − R2 I2 = −V
−R3 I3 + R2 I2 = 0


−R1 It − R3 I3 = −V
(11)
Comumente, em um circuito composto de mais de uma malha, portanto composto de
nós, também utilizamos a lei dos nós que nos garante ao menos mais uma equação. Aplicando
a lei dos nós ao circuito proposto obtemos:
21
It = I2 + I3
(12)
Esta equação complementará as equações encontradas com aplicação das malhas e constituiremos um sistema de equações lineares que pode ser resolvido com a aplicação de vários
métodos de resolução, sejam analíticos ou numéricos. Abordaremos no capítulo seguinte os
métodos de solução de sistemas de equações lineares.
22
3
3.1
SOLUÇÃO DE SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
EQUAÇÃO LINEAR
Lipschutz (1977) afirma que equação linear é qualquer expressão formada pela soma do
produto de uma constante por uma váriavel de primeiro grau. De acordo com Franco (2006,
p. 118), "uma equação é linear se cada termo contém não mais do que uma variável e cada
variável aparecer na primeira potencia".
Uma equação linear na forma geral é representada pela seguinte equação,
a1 x1 + a2 x2 + · · · + an xn = b
(13)
onde, a1 , a2 , ..., an são conhecidos de coeficientes, e o componente b é apontado como termos
independente e os x1 , x2 , ..., xn são as incógnitas ou variáveis.
3.2
SISTEMA DE EQUAÇÃO LINEAR
Para Leon (2011) sistema de equação linear é o grupo que conterá mais de uma equação
linear, ou seja, é o conjunto de m equações e n incógnitas. Quando m = n, temos um sistema
linear quadrática.
Segundo Leon (2008), quase todos os problemas matemáticos sejam eles industriais ou
cientificos de alguma forma recai na resolução de um sistema linear por mais complexo que seja
esse sistema, usando alguns dos métodos podemos reduzir esse problema, e até torná-lo mais
simples.
As soluções de sistemas de equações lineares são obtidas de forma simples, ao contrário
de sistemas formados por equações não lineares, que são sistemas complexos. Se trabalharmos
com sistemas de equações lineares complexos devemos escolher o método que possua um melhor desempenho para o sistema em estudo, assim preservando a máxima precisão desejada na
resolução do mesmo (FRANCO, 2006).
De acordo com Leon (2008) de uma forma geral um sistema de equações lineares com
n incógnita e m equações é representado de maneira genérica conforme se segue:


a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1



 a x + a x + ... + a x = b
21 1
22 2
2n n
2

...



 a x + a x + ... + a x = b
mn n
m
m1 1
m2 2
(14)
Onde am1 x1 , ..., amn xn ,é a parte dos termos do primeiro membro da equação, am1 , ..., amn
são os números reais x1 , ..., xn as combinações lineares, ai j e bi são os números reais tal que
i = 1 . . . n. e j = 1 . . . n.
23
Esse sistema linear também pode ser representado matricialmente, da seguinte forma:
Ax = b,
(15)
onde A é uma matriz quadrara contendo os coeficientes,

a11 a12 ... a1n

 a21 a22 ... a2n


.

A=

.


.

am1 am2 ... amn











.
(16)
x é o vetor coluna formado pelas variáveis do sistema,






x=




x1
x2
.
.
.
xn











.
(17)
e b será o vetor coluna formado pelos termos independentes do sistema,






b=




b1
b2
.
.
.
bn











.
(18)
No decorrer desse trabalho denominaremos de x∗ o vetor solução e de x uma solução
aproximada do sistema linear Ax = b. O número de linhas será m, e variáveis será n em todo o
texto.
3.3
CLASSIFICAÇÕES DOS SISTEMAS LINEARES
Existem várias formas de classificar um sistema de equações lineares baseando-se em
diversos autores, desta forma neste trabalho sera mostrado as classificações a seguir.
3.3.1 Classificação quanto aos números de equações e variáveis
Para Lipschutz (1977 apud OLIVEIRA, 2012), se m > n esse sistema linear será considerado subdeterminado, caso m < n ele vai ser hiperdeterminado e será quadrático se m = n, onde
24
n é o número de variáveis e m é o número de equações. Com isso podemos dividir conforme o
número de equações seja ela maior igual ou até mesmo menor a quantidade de incógnitas.
3.3.2 Homogeneidade
Para FERREIRA (2009, p. 3), "Quando todos os termos independentes forem nulos, isto
é, se bi = 0, i = 0, 1, ..., n, o sistema é dito homogêneo". Caso algum dos termos não seja nulo o
sistema é dito heterogêneo. Todo sistema homogêneo é compatível, pois admitirá pelo menos a
solução trivial (x j = 0, j = 0, 1, 2, ..., n).
3.3.3 Classificação quanto ao número de solução
De acordo com Sperandio et al. (2003), se um sistema não possui solução dizemos que
ele é inconsistente ou impossível. Caso ele apresentar pelo menos uma única solução ou ocorrer
dele admitir infinitas soluções o sistema será dito possível ou consistente.
Sendo det(A), como o determinante da matriz formadas pelos coeficientes do sistema,
tem-se uma matriz não singular caso det(A) ̸= 0, dessa forma um sistema com essa classificação
terá somente uma solução possível. Caso tenha-se det(A) = 0 o sistema poderá ser classificado
como simgular, possuindo infinitas soluções, ou inconsistente.
Franco (2006) classifica um sistema linear em função do número de solução que ele
adimite, da seguinte forma abaixo:
• Sistema possível: São os que vão assumir pelo menos um resultado. Se o sistema linear
for possível pode ser:
1. Indeterminado, pois permite mais de uma solução;
2. Determinado caso só tenha uma única solução.
• Sistema impossível: São os que não permitem nenhuma solução.
3.3.4 Quanto ao tamanho do sistema
Conforme Gavala (2001), os sistemas de equações lineares podem ser classificados também quanto a sua dimensão e estará relacionado em conseqüências dos erros de arredondamento
decorrentes das condições:
• Grandes: para n > 300.
• Pequenos: para n ≤ 300.
Onde o n será o número de equações existentes no sistema.
De acordo com Ferreira (2009), deve-se aplicar os métodos diretos na solução de sistemas de equações lineares densos de médio e pequeno porte.
25
• Pequeno: para n < 30.
• Médio: para n < 50.
Onde o n será o número de equações existentes no sistema.
3.4
MÉTODOS DE SOLUÇÃO PARA SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
Os métodos numéricos são utilizados para a resolução de sistemas lineares de várias
classificações. Atualmente é possível notar que existem diversos métodos numéricos consagrados. Segundo Franco (2006), os métodos numéricos são divididos em dois grupos, que são:
1. Métodos Diretos: São denominados de métodos diretos aqueles em que á menos erros
de arredondamento, de forma a propiciar a solução exata do sistema linear, caso a solução
exista, através de um número finito de operações. .
2. Métodos Iterativos: São aqueles que vão gerar uma seqüência de vetores x(k) , a partir
de uma solução inicial x(0) . Em apropriadas condições, essa seqüência converge para a
solução x(∗) , caso ela exista.
Segundo Sperandio et al. (2003), para a escolha de um determinado método a ser utilizado na resolução de um sistema linear, é importante a observação da propagação do erro no
método, pois essa propagação causa um acúmulo de erros de arredondamentos ocasionando
resultados ineficientes.
• O erro de arredondamento: não poderá se difundir, ou seja, há equilíbrio numérico do
método, com relação a sua sensibilidade a acumular algum tipo de erro de arredondamento.
• Já a matriz (A): tem que estar de acordo com sua estrutura.
3.5
MÉTODOS DIRETOS OU EXATOS
Para Franco (2006, p. 121), "métodos diretos ou exatos são aqueles que forneceriam a
solução exata, não fossem os erros de arredondamento, com um numero finito de operações".
Mas para Sperandio et al. (2003, p. 68), "diz-se que um método é direto quando, ausência de
erros de arredondamento, determina a solução exata do sistema por meio de um número finito
de passos previamente conhecidos".
3.5.1 Retrosubstituição
Esse método tem intuito de encontrar a solução quase que imediata de um sistema de
equações lineares quando este já está na forma triangular, através de substituição consecutivas
de variáveis.
26
Sistema triangular superior
Para Ruggiero e Lopes (1996) uma matriz A de ordem (nxn) será considerada triangular
superior se os elementos abaixo da diagonal principal forem nulos. Assim, será representado
da seguinte forma;



A=


a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1
a22 x2 + ... + a2n xn = b2
...
ann xn = bn
(19)
Sistema triangular inferior
A matriz B de ordem (nxn) será considerada triangular inferior se seus elementos acima
da diagonal principal forem nulos. Assim será representado da seguinte forma;

a11 x1
= b1

 a21 x1 + a22 x2
= b2
B=

...

an1 x1 + an2 x2 + ... + ann xn = bn
(20)
Para que possamos encontrar a solução em um sistema triangular superior será diferente
do inferior nesse caso utilizarmos a retro substituição,ou seja, pois na solução de um sistema
triangular superior é obtida por meio de substituição consecutivas de variáveis. Consequentemente, da ultima equação de A, temos que:
xn =
bn
ann
(21)
Se fizermos o que foi dito substituirmos o xn na penúltima equação ficara assim:
xn−1 =
bn−1 − a(n−1,n) xn
a(n−1,n−1)
(22)
E usando desta forma gradativamente até obter:
x1 =
(b1 − a12 x2 ) − a13 x3 − · · · − a1n xn
a11
(23)
E assim gerando uma equação em sua forma geral representada logo abaixo:
bi −
xi =
n
∑
j=(i+1)
aii
ai j x j
, sendo i = 1, 2, . . . , n. j = 1, 2, . . . , n.
(24)
27
3.5.2 Método de eliminação de Gauss
Segundo Ruggiero e Lopes (1996), por intermédio do método de eliminação de Gauss é
possível encontrar um sistema triangular correspondente ao sistema inicial por meio de operações elementares. Assim é possível a determinação da solução do sistema, já que um sistema
desse tipo possui fácil resolução. De acordo com o supracitado autor essa operação é possível
baseando-se no seguinte teorema:
Teorema 3.1. Seja S um sistema linear. Aplicando sobre as equações deste sistema ums sequência de operações elementares escolhidas entre:
(i). Permutar duas das equações do sistema. Assim sendo o sistema obtido por essa operação
possui a mesma solução do sistema original e vice-versa.
(ii). Multiplicar uma das equações do sistema por um número real diferente de zero. Assim o
sistema obtido possui a mesma solução que o sistema original e vice versa.
(iii). Somar a uma das equações do sistema uma outra equação desse sistema multiplicada
por um número real.
obtemos um novo sistema S1 , e os sistemas S e S1 são equivalentes.
Demostração: Ver em Ruggiero e Lopes (1996, p.121).
Ferreira (2009) afirma que esse método é composto de duas etapas distintas, na qual a
primeira é conhecida como a fase de eliminação e a segunda como fase de substituição. Na
primeira fase a de eliminação serão executadas mudanças a respeito das linhas da matriz aumentada que é representada por [A|b], de modo a resultá-la em um sistema triangular superior.
Na segunda fase a de substituição, onde o meio de substituição retroativa, ficará responsável
por resolver o sistema.
Ainda de acordo com Ruggiero e Lopes (1996), a fase k-ésima vai apoiar-se em apanhar
como elemento pivô o membro da diagonal principal pertencente à coluna a qual se esta trabalhando, isto é o pivô conseqüentemente será o elemento que vai estar situado sobre os termos
que desejamos suprimir. Podemos representá-lo da seguinte condição:
pivô = akk
i = k + 1, ..., n
(25)
De retenção desse elemento, logo as linhas que ficam abaixo necessitará de ter seus
respectivos multiplicadores representados por mik com isso serão calculados de acordo com
fórmula abaixo:
mik =
aik
akk
∀i > k
(26)
Depois de determinarmos esses elementos, vamos ter que atualizar cada linha situada logo abaixo do elemento pivô, isso através de transformações elementares como mostra a
equação a seguir:
28
Li ← Li − mik × Lpivô
(27)
Onde Lpivô sera a linha a qual o pivo classificado pertence, já o Li vai ser a linha que
será atualizada.
De acordo com Ferreira (2009), esse processo é realizado até que seja obtido um sistema
triangular equivalente ao sistema original, dessa forma concluindo a primeira fase do método.
Para a determinação da solução do sistema, é aplicado o método de retrosubstituição na matriz
encontrada, concluindo a segunda e última fase do método.
3.5.3 Fatoração LU
De acordo com Ferreira (2009), possui várias situações em que é desejado a resolução
de sistemas lineares que possuam a mesma matriz dos coeficientes porém diferentes vetores b.
De acordo com Ruggiero e Lopes (1996) uma das vantagens da aplicação desse método é que
possuindo a mesma matriz A, e alterando apenas os valores do vetor b a resolução do sistema é
quase que imediata.
Conforme Ferreira (2009) existe varias técnicas de fatoração que são aplicados para se
resolver sistemas de equações lineares, porém a fatoração LU possui um maior utilização, pois
é por meio dela que a matriz A dos coeficientes é separada de uma única forma em um produto
resultante de duas matrizes, onde serão chamadas de L e de U.
Esses fatores poderão ser alcançados tanto através de uma fórmula para os elementos de
Li j e Ui j , ou ainda se utilizarmos a método de eliminação de Gauss.
E assim podemos representar ela assim:
A = LU
(28)
O teorema que dará suporte a esse método será representado a seguir:
Teorema 3.2. Dada uma matriz quadrada A de ordem n, seja Ak a matriz constituída das
primeiras k linhas e colunas de A. Suponha que det(Ak ) ̸= 0 para k = 1, 2, ..., (n − 1). Então,
existe uma única matriz triangular inferior L = (mi j ), com mii = 1, 1 ≤ i ≤ n e uma única matriz
triangular superior U = (ui j ) tais que LU = A. Ainda mais, det(A) = u11 u22 , . . . unn .
Demostração: ver em Ruggiero e Lopes (1996, p.137)
Segundo Sperandio et al. (2003) para obtermos as matrizes L e U, nesse sentido, inicialmente, mostra-se que existe uma equivalência entre os métodos de decomposição LU com o de
eliminação Gaussiana, onde L = [mik ], i ≥ k, mii = 1 e U = [akk j ], k ≤ j ou seja, sendo as matrizes
L e U triangular inferior e superior, simultaneamente. A matriz L são os multiplicadores e os
de U são elementos da forma triangular final, ou seja, por eliminação para se obter L, tem que
preservar os mik e o efeito de eliminação. Assim podemos explicitar as matrizes L e U dessa
maneira a seguir:
29
Superior:

(0)
a11

 0


 0

U =






0
a12
(0)
a13
(0)
...
a1n
a22
(1)
a23
(1)
...
a2n
0
a33
(2)
...
.
.
.
a3n
0
(0)
(0)
(0)
(n−1)














(29)
... ann
0
Inferior:







L=





1
0
m21 1
m31 m32
0
0
1
mn1 mn2 mn3
...
...
...
.
.
.
...
0
0
0













(30)
1
Dados os seguintes sistema linear Ax = b e a fatoração LU referente a matriz A vamos
ter que:
Ax = b ⇐⇒ (LU)x = b
(31)
Para Ruggiero e Lopes (2006) a partir dai se denominarmos y = Ux e se substituirmos
na equação anterior terão a solução de dois sistemas lineares triangulares, um inferior e outro
superior representado logo abaixo:
1. Inferior: Ly = b
2. Superior: Ux = y
Tendo em vista que as matrizes L e U são triangulares a solução destes sistemas será
praticamente que imediata ao aplicar o método de retrosubstituição para ambos os casos.
3.5.4 Método de Francis (ou método QR)
Esse método possui estrutura semelhante ao de fatoração LU, sendo que o método QR
caracteriza todos os autovalores de uma dada matriz sem especificar os polinômios característicos existentes.
30
Para Franco (2006, p. 236) "seja A uma matriz quadrada de ordem n. O método consiste
em construir uma sequência de matrizes A1 , A2 , . . . , do seguinte modo: decompomos A = A1 ,no
produto Q1 R1 , onde Q1 é ortogonal e R1 é triangular superior".
Sperandio et al. (2003, p. 58) define como:"é uma matriz de ordem n em que AT
A = AAT = I, isto é, se A é uma matriz ortogonal, então A(−1) = AT ”. De posse disso temos que
A1 = (Q1 R1 ), fazendo a multiplicação dessas duas matrizes na ordem inversa formamos a matriz
A2 = R1 Q1 , em seguida é decomposto a matriz A2 no produto de Q2 R2 , e assim respectivamente.
Com isso temos:
A1 = A = Q1 R1
(32)
A2 = R1 Q1 = Q2 R2
(33)
Ak = Rk−1 Qk−1 = Qk Rk
(34)
De acordo com Franco(2006) algumas observações são importantes para a utilização do método
são elas:
1. Sendo A uma matriz formado pelos coeficientes do sistema, para Franco(2006) para o
método de QR a matriz A sempre poderá ser decomposta em Q e R;
2. Vai haver uma semelhança entre as matrizes Ak e A. De modo que teremos:
A1 = Q1 R1 ⇒ Q−1
1 A1 = R1
(35)
A2 = R1 Q1 = Q−1
1 AQ1
(36)
Assim sendo, caso A1 = A, vamos ter que tanto A2 e A vão ser semelhantes também.
Podemos representar isso de um modo geral:
−1
−1
Q−1
Q1 . . . Qk−1 Q1
k Qk−1 . . . Q1
Ak+1 = Rk Qk =
A1
−1
Q
Q
(37)
Deste modo, Ak+1 também é similar a A, pois possuem o mesmo polinômio característico
e os autovalores iguais.
3. O referido processo só terminara quando o elemento com maior valor absoluto da matriz
Ak (situado abaixo da diagonal principal) for menor que ε , que é a precisão pré-fixada.
31
Ainda de acordo com Franco (2006), em toda etapa do método QR, possui a necessidade de estabelecer matrizes Qk e Rk onde Rk é a matriz triangular superior e o Qk é a matriz
ortogonal. A seguir é mostrado com é realizado uma decomposição de uma matriz em QR.
Seja A a matriz que será decomposta em QR, sendo que A é uma matriz formada de
acordo com a equação 16, e U uma matriz ortogonal. Para que possamos zerar o elemento a21
vamos ter que fazer a multiplicação entre U1 A e, como resultado conseguimos a matriz A(1) ; já
para zerar o elemento a31 , iremos fazer a multiplicação de U2 A(1) , zerando com isso uma outra
matriz A(2) , e vamos ter que repetir esse processo até que conseguirmos zera todos os elementos
situados abaixo da diagonal principal. Se fizermos a multiplicação entre as matrizes U1t U2T isso
nos ira fornecer a matriz Q1 como resultado.
Segundo Sperandio et al. (2003),o método de QR deve ser aplicado, para matrizes de
pequeno porte, pois sua aplicação em matrizes de grande porte gera um processo exaustivo que
consome muito tempo de processamento.
3.5.5 Estratégia de pivoteamento
Para Franco (2006) o cálculo da solução de um sistema linear pode acarretar resultados
imprecisos ou indeterminados, pelo fato da ocorrência de elemento pivô zero ou próximo de
zero no cálculo dos multiplicadores, esses problemas pode ser corrigido com as estratégias de
pivoteamento.
Este fato ocorre quando temos que determinar os multiplicadores mik , i > 1 e K ≥ 1 isso
referentes as linhas em que estaremos usando. Com isso o multiplicador referente a cada linha é
dado da seguinte forma aakkik , (i > 1), para que isso venha a ocorrer tem que satisfazer a condição
de que akk ̸= 0. Caso ocorra o contrario antes de usar os métodos tem que se utilizar a estratégia
de pivoteamento que incide em trocar as linhas ou as colunas da matriz. De acordo com os
multiplicadores de mik teremos que:
mik =
aik
aik
=
=@
akk
0
(38)
Para Ruggiero e Lopes (1996), não é bom trabalhar com um pivô próximo de zero ou
quando o pivô for nulo,pois pode conduzir a resultados drasticamente imprecisos. Isso porque
os multiplicadores são bem maiores que os outros elementos do sistema, que por sua vez, ocasiona uma ação dos erros de arredondamentos logo porque os computadores e as calculadoras
trabalham com uma aritmética de precisão finita.
"A propagação de erros ocorre principalmente quando multiplicamos um número muito
grande por outro que já contem erro de arredondamento" (FRANCO, 2006 p. 146). Ainda
de acordo com ele um bom exemplo é que se adotarmos um número determinado z, onde esse
número tenha um erro de arredondamento ε . O referido número logo pode ser representado da
seguinte forma: z = z + ε . Se realizarmos a multiplicação deste número por um novo elemento
j vai ter a seguinte expressão: jz = jz + jε fazendo com que o erro de arredondamento passe a
32
ser jε . Por isso se j for um número de ordenamento grande, o erro cometido poderá ser maior
que o original.
Ainda com apoio no problema acima Ruggiero e Lopes (1996), e Sperandio et al. (2003)
explanam que as referidas estratégias de pivoteamento destina-se garantir a invariabilidade do
método de eliminação de Gauss, e também do método de fatoração LU, pois para se contornar
esses problemas devemos aplicar uma estratégia de pivoteamento, aonde vamos optar por um
processo de alternativa para linha e/ou coluna, para ser o pivô da realização do elemento de
valor absoluto maior. O referido procedimento se realizará por meio de duas estratégias que são
elas: estratégia de pivoteamento parcial e estratégia de pivoteamento completo.
Estratégia de Pivoteamento Parcial
Para Ruggiero e Lopes (1996) a referida estratégia vai basear-se nos seguintes passos:
1. Apontar-se no começo da etapa K da fase de exclusão , adotar para o pivô o componente
(k−1)
de maior módulo entre os coeficientes:aik , i = k, k + 1, . . . , n;
2. Mudar as linhas k e i se for preciso.
Estratégia de Pivoteamento Completo
Neste método, em que no começo da etapa k é determinado para pivô, o elemento de
maior modulo, no meio de todos os elementos que até então agir no procedimento de eliminação.
(k−1)
max|ai j
(k−1)
| = |ars
(k−1)
| =⇒ pivo = ars
(39)
Segundo Ruggiero e Lopes (1996) a referida estratégia não é muito utilizada, pois necessita de um esforço computacional maior do que o pivoteamento parcial, pelo fato das muitas
comparações realizadas.
3.5.6 Condicionamento de matrizes
Franco (2006) diz que na determinação de sistema de equações lineares faz-se imprescindível conferir algumas características, como:
1. Conferir se existe ou não solução o sistema;
2. Descobrir alguma forma eficaz para determinar as equações;
3. Constatar se a resolução das equações consistir em muito suscetível a pequenas variações
nos coeficientes.
33
Esse fenômeno é conhecido por mal condicionamento que está ligado ao fato da matriz
A, formada pelos coeficientes do sistema, está próxima de ser singular, ou seja, o seu determinante seja próximo de zero. Será considerado um sistema bem condicionado, aquele que o vetor
resído seja próximo do vetor nulo, sendo que o vetor resíduo é determinado pela diferença da
solução exata do sistema e a solução aproximada (FRANCO, 2006).
É possível considerar que essa afirmativa não é verdadeira em algumas situações onde
é identificado tais aspectos que executa mudanças bem pequenas nos componentes do sistema,
é durante essas pequenas mudanças que é gerado um vetor resíduo. Desta forma será perigoso
estabelecer alguma avaliação sobre a solução de um sistema, a menos que os coeficientes das
matrizes sejam dados junto com uma certa precisão. Porém não será toda equação mal condicionada que vai fornecer resíduo, e sim soluções próximas de equações mal condicionadas que
geram resíduos pequenos (FRANCO, 2006).
Para Arenales e Darezzo (2010, p. 49), "dizemos que um sistema de equações lineares
Ax = b é mal condicionado se pequenas perturbações em alguns de seus coeficientes produzem
bruscas alterações em uma solução".
Franco (2006) as conseqüências que essas perturbações causam são vistas quando aplicase as determinações de normas de uma matriz, com base nesses conceitos é possível estar apto
a definir as noções de limites de uma seqüência de matrizes, esse conceito será de grande importância no que diz respeito à convergência dos métodos interativos de soluções de sistemas de
equações lineares, da mesma forma para os problemas de erros de arredondamento ocasionados
nos processos de cálculos onde interfere nas matrizes.
Ainda se considerarmos a condição de um sistema linear não singular Ax = b. Visto
que A é não singular, assim sendo a solução do sistema linear será dada da seguinte forma:
x = A(−1) b. Conforme os dados apresentam-se pequenas perturbações e x é o resultado do
sistema Ax = b, e logo em seguida análise que haverá uma perturbação pequena no vetor b na
fórmula b + b + δ b, sendo que δ é uma variação pequena no vetor b mais isso se a matriz A
for conhecida e apropriada. Através disso, o resultado de x será da mesma forma perturbada,
decorrente a forma x + δ x (Franco, 2006). Com isso teremos:
A(x + δ x) = b + δ b
(40)
(x + δ x) = A−1 (b + δ b)
(41)
Com base nisso temos que associar δ x juntamente com δ b, isto é, conhecer como uma
perturbação em δ x vai afetar numa perturbação em δ b. Para isso aplicamos o seguinte artifício:
Ax + Aδ x = b + δ b =⇒ Aδ x = δ b,
(42)
34
Assim sendo a matriz A não singular, temos,
δ x = A−1 δ b,
(43)
porém, utilizando normas consistentes nos dois membros, tem-se,
||δ x|| ≤ ||A−1 || × ||δ b||,
(44)
de modo parecido com Ax = b, termos:
||b|| ≤ ||A|| × ||x||.
(45)
Agora se realizarmos um produto entre as duas ultimas equações membro a membro,
vamos ter:
||δ x|| × ||b|| ≤ ||A|| × ||A−1 || × ||δ b|| × ||x||.
(46)
||δ x||
||δ b||
≤ ||A|| × ||A−1 ||
.
||x||
||b||
(47)
Ou ainda,
Assim sendo, a perturbação em x vai esta associada com a perturbação em b pela constante multiplicativa dada por ||A|| × ||A−1 ||.
Desta maneira estabelecemos o número de condição de A sendo:
cond(A) = ||A|| × ||A−1 ||.
(48)
||δ x||
||δ b||
≤ cond(A)
.
||x||
||b||
(49)
Com isso teremos;
Ainda de acordo com Franco (2006, p. 153) "vamos ter que atentar para algumas
observações em relação ao número de condição A, como";
1. Expressamos que cond(A) ≥ 1. De fato:
cond(A) = ||A|| × ||A−1 || ≥ ||AA−1 || = ||I|| = 1.
2.
||δ b||
||b||
pode ser entendido como sendo uma medida do erro relativo em b. já o erro
vai depender do valor do número de condição, que será maior ou igual a 1.
(50)
||δ x||
||x||
3. Caso cond(A) for muito grande, nessa situação pequenas perturbações relativas em b, irão
causar grandes perturbações em x, fazendo com que o problema de resolver Ax = b, seja
dado como mal condicionado.
35
4. O cond(A) só será considerado como grande quando valer por volta de 104 ou mais do
que esse valor.
3.6
MÉTODO ITERATIVOS
Esse tipo de método consiste em fornecer uma sequências de soluções aproximadas de
um sistema onde cada solução é obtida da anterior pela aplicação de um mesmo procedimento,
ou seja, repetindo várias vezes e obtendo a cada repetição um valor mais preciso do que o
anterior.
De acordo com Franco (2006, p. 168),"[. . . ] um método é iterativo quando fornece uma
sequência de aproximações cada uma das quais obtida das anteriores pela repetição do mesmo
processo".
Para que um método venha ser considerado iterativo o mesmo tem que se adequar a
alguns processos e critérios, além disso, fornecer uma série de soluções aproximadas, pois cada
uma das quais será obtida das anteriores pela propagação do mesmo tipo de processo.
Ferreira (2009) o referido método tem como idéia principal generalizar o método numérico
do ponto fixo empenhado na busca para encontrar às raízes de funções, isso é repetir um determinado processo por varias vezes isso a cada repetição (iteração), uma solução cada vez mais
aproximada do que o valor obtido na interação anterior.
Para Sperandio et al. (2003) uma das idéias essenciais do cálculo numérico é a iteração
ou aproximação sucessiva, pois os métodos iterativos se caracterizar por possuir os seguintes
elementos constitutivos abaixo:
1. Estimativa inicial: incide em ter uma estimativa inicial para a solução almejada do problema numérico podendo ser conseguida de diferentes formas dependo do problema estudado;
2. Equação de recorrência: é a equação a qual recorremos, partindo-se de uma tentativa
inicial, onde são executadas as interações ou as estimativas gradativas para a solução
almejada do problema.
3. Teste de parada: é um mecanismo que resultar da precisão desejada e um número Máximo de interação, cujo método iterativo é finalizado.
De acordo com Sperandio et al. (2003) declara que os métodos iterativos são compostos
pelo método de Jacobi, Gauss-Seidel e sobre-relaxação. Mas Franco (2006) delimita os métodos
iterativos quanto aos seus tipos de procedimentos, relaxação ou estacionário.
Para Franco (2006, p. 168) "um método iterativo é estacionário se cada aproximante
é obtido do anterior sempre pelo mesmo processo". Por isso, iremos expor somente as classes
dos métodos iterativos estacionários, sendo que um método estacionário devera ter uma função
de iteração que não é, alterada durante a operação. Caso mude é dita não estacionário.
36
Franco (2006) fala que caso os processos venham a variar conforme os passos, mas se repetem
ciclicamente de s em s passos, denominarmos esse processo com sendo s-cíclico. Também se
agruparmos os passos em um único passo composto, vamos obter do mesmo modo um método
estacionário.
3.6.1 Condições de convergência para métodos iterativos
Matriz Diagonalmente Dominante
Teorema 3.3. É condição suficiente para a convergência dos métodos iterativos de GaussSeidel e Gauss-Jacobi que a matriz A(nxn) seja diagonalmente dominante quando os elementos
da diagonal forem maior que o somatório dos outros, ou seja, quando a seguinte condição for
satisifeita.
|aii | >
n
∑
|ai j |, i = 1, 2, ..., n
(51)
j=1, j̸=1
Demostração: ver em Arenales e Darezzo (2010, p.55)
Para Sperandio et al. (2003) podendo ser diagonalmente dominante por linhas e também
por colunas. Se considerarmos um sistema linear do tipo Ax = b, caso esse A seja uma matriz
diagonalmente dominante, nesse caso a serie de iterações para os métodos de Gauss-Seidel e
Gauss-Jacobi vão convergir para a resolução do sistema.
3.6.2 Critérios de parada dos métodos iterativos
De acordo com Franco (2006) os processos que envolvem os métodos iterativos nem
sempre possuem garantia de convergência para a solução aproximada do sistema. Fazendo com
que isso venha acarretar na repetição do processo por várias vezes de forma infinita. Outro
aspecto que devemos atentar é se a solução encontrada já é próximo o suficiente da precisão
adotada. Nesse caso, será necessário utilizar critérios de parada para que possa concluir o
processo iterativo assim que este convergiu para solução x̄ do sistema, ou ainda com a finalidade
de entender quando o processo esta divergindo.
Ainda de acordo com Franco (2006) é possível empregar duas condições de critérios
de parada, no primeiro critério relacionado ao número máximo de iterações, pois se o sistema
divergir, não continuará a executar o processo infinitamente.
Para Ruggiero e Lopes (1996) no segundo caso que abarca uma precisão desejada ε classificada, esse processo será repetido até que o vetor d (k+1) fique consideravelmente aproximado
do vetor d (k) . A fim de alcançar tal parâmetro avaliamos primeiramente o módulo da distância absoluta máxima por meio dos membros de duas soluções consecutivas,d (k+1) representada
pela forma:
(k+1)
d (k+1) = max |xi
1≤i≤n
(k)
− xi |
(52)
37
Logo depois realizamos uma divisão a cerca de d k e o máximo valor de d (k+1) dado
em módulo o qual é o máximo da solução atual. De acordo com Ruggiero e Lopes (1996) o
(k+1)
resultado obtido dessa divisão, é a distância relativa representada por dr
, seu valor deve ser
menor que a precisão ε .
(k+1)
dr
=
d (k+1)
(k+1)
max |xi
1≤i≤n
3.7
|
<ε
(53)
MÉTODO ITERATIVO DE GAUSS-JACOBI
De acordo com Ruggiero e Lopes (1996, p. 155) "e supondo que aii ̸=0, i = 1, 2, · · · , n.
Isolamos o vetor x mediante a separação pela diagonal, assim".












x1 =
1
a11 (b1 − a12 x2 − a13 x3 − · · · − a1n xn )
x2 =
1
a22 (b2 − a21 x1 − a23 x3 − · · · − a2n xn )










 x =
n
..
.
..
.
(54)
1
an−1 (bn − an1 x1 − an2 x2 − · · · − an,n−1 xn−1 )
Por conseqüência, tem-se x = Dx + f com sendo:











D=










0
−a21
a22
− aa12
11
0
−a13
a11
−a23
a22
···
···
−a1n
a11
−a2n
a22
.
.
.
···
.
.
.
0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
−an1
ann
an2
ann
−an3
ann

b1
a11
(55)







 b2 
 a22 


 . 

f =
 . 




 . 






(56)
bn
ann
O referido método de Gauss-Jacobi vai consistir primeiro em uma tentativa inicial para
solução do sistema linear dado por x(0) para assim obtermos x(1) , · · · , x(k) por meio da relação
recursivas x(k+1) = Dx(k) + f .
38
 (k+1)

x1
=



(k+1)


x
=

 2
..
.


..


.



 (k+1)
xn
=
3.8
(k)
(k)
(k)
1
a11 (b1 − a12 x2 − a13 x3 − · · · − a1n xn )
(k)
(k)
(k)
1
a22 (b2 − a21 x1 − a23 x3 − · · · − a2n xn )
(57)
(k)
(k)
(k)
1
ann (bn − an1 x1 − an2 x2 − · · · − an,n−1 xn−1 )
MÉTODO ITERATIVO DE GAUSS-SEIDEL
Esse método assemelha-se com o método de Gauss-Jacobi onde é utilizado as componentes de x(k) . Já no método de Gauss-Seidel é utilizado as componentes de x(k) e as de x(k+1)
com a vantagem de não armazenar os dois vetores fazendo com que venha a convergir mais
rápido do que o método de Gauss-Jacobi (SPERANDIO et al.2003).
Esse método também consiste em uma tentativa inicial dado por um x(0) , daí calculamos
uma série convergente x(1) , x(2) , · · · , x(k) caracterizado por:

(k+1)

x1
=









(k+1)

=
x2







(k+1)
x3
=

















 x(k+1) =
n
(k)
(k)
(k)
1
a11 (b1 − a12 x2 − a13 x3 − · · · − a1n xn )
(k)
(k)
(k+1)
1
− a23 x3 − · · · − a2n xn )
a22 (b2 − a21 x1
(k)
(k+1)
(k+1)
1
− · · · − a3n xn )
− a32 x2
a33 (b3 − a31 x1
(58)
.
.
.
(k)
(k+1)
(k+1)
1
− an2 x2
− · · · − an,n−1 xn−1 )
ann (bn − an1 x1
(k+1)
Por conseqüência, no processo de Gauss-Seidel, na etapa de se calcular x j
gamos todos os valores de
(k)
(k)
restante x( j+1) , · · · , xn .
(k+1)
(k+1)
, · · · , x( j−1)
x1
, empre-
qual já foram calculados e também os valores
39
4
4.1
METODOLOGIA, APRESENTAÇÃO E DISCURSSÃO DOS RESULTADOS
METODOLOGIA
De forma didática e com o objetivo de fazer uma revisão bibliográfica em relação à
aplicação das leis de Kirchhoff em circuitos elétricos e posterior solução do SEL (sistema de
equação linear), neste trabalho serão analisados circuitos elétricos de mesma arquitetura onde
se aplicara as leis de Kirchhoff das malhas e dos nós. Feito isso, será gerado um sistema de
equações lineares onde serão usados os métodos numéricos com o objetivo de encontrar as intensidades das correntes elétricas que fluem pelos resistores. Todos os métodos aqui usados tem
como objetivo encontrar um vetor solução de um sistema linear com a seguinte representação
Ax = b, onde A é uma matriz quadrada de ordem n, x e b são matrizes coluna com n linhas. Vale
salientar que cada método que será usado possui uma forma diferente de encontrar esse vetor.
Seja ele um método direto ou até mesmo iterativo. Não podemos esquecer que cada método
vai possuir uma ótima eficiência e eficácia para ser usado em um problema, e o outro pode
não atender essas mesma condições. Sabendo disso é de suma importância executar teste dos
métodos para assim verificar qual terá melhor eficiência e eficácia dos métodos usados e assim
comparar os resultados.
Desta forma como proposta foram criados circuitos com as seguinte arquitetura:
Figura 4: Circuito modelo
Fonte: Autoria Própria (2013)
Com base na arquitetura do circuito elétrico proposto e mostrado na figura acima. Aplicamos as leis de Kirchhoff, e adotando o sentido horário para a corrente elétrica nas sete malhas
consideradas no circuito obtemos as seguintes equações;


−I1 R1 − I13 R13 − I14 R14 +V = 0





−I2 R2 − I12 R12 − I15 R15 + I13 R13 = 0





 −I3 R3 − I11 R11 − I16 R16 + I12 R12 = 0
−I4 R4 − I10 R10 − I17 R17 + I11 R11 = 0



−I5 R5 − I9 R9 − I18 R18 + I10 R10 = 0





−I6 R6 − I8 R8 − I19 R19 + I9 R9 = 0




−I7 R7 − I20 R20 + I8 R8 = 0
(59)
40
As equações obtidas através da lei dos nós de kirchhoff são:























































I6 = I7 + I8
I5 = I9 + I6
I4 = I10 + I5
I3 = I11 + I4
I2 = I12 + I3
I1 = I13 + I2
I14 = I15 + I13
I15 = I16 + I12
I16 = I17 + I11
I17 = I18 + I10
I18 = I19 + I9
I19 = I20 + I8
I20 = I7
(60)
Para solucionar o sistema de equações composto pelas equações 59 e 60, aplicaremos
os métodos diretos de fatoração LU e fatoração QR como também dos métodos iterativos de
Gauss-Seidel e Gauss-Jacobi.
Os algoritmos utilizados para a resolução do problema, foram escritos utilizando o software Scilab, que segundo Pires (2004) é um tipo de
programa utilizado na resolução de problemas numéricos. Ele é um software aberto para computação numérica, pode ser encontrado através de downloads através do site do desenvolvedor
pelo endereço http://www.scilab.org/, além de também de outras informações referentes ao software, como características e manuais das versões. Para a realização desse trabalho utilizamos a
versão 5.3.2 do Scilab, para Windows 32 bits.
4.2
PROBLEMAS
4.2.1 Problema 01
Para o primeiro problema utilizamos um circuito com a mesma arquitetura mostrada na
figura 4. Dessa forma, aplicando as leis de Kirchhoff, obtemos o mesmo conjunto de equações
59 e 60, cujos valores de resistência e tensão utilizada são os seguinte: R1 = 12Ω, R2 =
15Ω, R3 = 100Ω, R4 = 100Ω, R5 = 100Ω, R6 = 12Ω, R7 = 22Ω, R8 = 100Ω, R9 = 15Ω, R10 =
22Ω, R11 = 100Ω, R12 = 12Ω, R13 = 100Ω, R14 = 12Ω, R15 = 100Ω, R16 = 22Ω, R17 =
22Ω, R18 = 100Ω, R19 = 12Ω, R20 = 100Ω, V = 10V . Com estas equações obtemos uma
matriz quadrática de ordem 20.
41
Um sistema de equações composto de 20 equações e 20 incógnitas seria de difícil
solução analítica. Diante de tal dificuldade aplicamos os métodos diretos de fatoração LU e
fatoração QR, e com isso obtivemos os seguintes resultados mostrados na tabela 1:
Os sistemas compostos pela matriz dos coeficientes, do vetor das variáveis e dos termos
independentes para o problema 01 encontra-se no APÊNDICE A.
Tabela 1: Dados obtidos computacionalmente para o problema 01
Método de Fatoração LU Método de Fatoração QR
N Rn(Ω)
Ic(A)
Ic(A)
1
12
1, 25672556x10−1
1, 25672556x10−1
2
15
5, 55793941x10−2
5, 55793941x10−2
3
100
5, 81643544x10−3
5, 81643544x10−3
4
100
2, 40411190x10−3
2, 40411190x10−3
−4
5
100
2, 25444513x10
2, 25444513x10−4
6
12
3, 59924379x10−5
3, 59924379x10−5
7
22
1, 62128090x10−5
1, 62128090x10−5
8
100
1, 97796271x10−5
1, 97796271x10−5
−4
9
15
1, 89452083x10
1, 89452083x10−4
10
22
2, 17866758x10−3
2, 17866758x10−3
11
100
3, 41232354x10−3
3, 41232354x10−3
12
12
4, 97629605x10−2
4, 97629605x10−2
13
100
6, 98878616x10−2
6, 98878616x10−2
−1
14
12
1, 25467256x10
1, 25467256x10−1
15
100
5, 55793941x10−2
5, 55793941x10−2
16
22
5, 81643544x10−3
5, 81643544x10−3
17
22
2, 40411190x10−3
2, 40411190x10−3
−4
18
100
2, 25444513x10
2, 25444513x10−4
19
12
3, 59924379x10−5
3, 59924379x10−5
20
100
1, 62128090x10−5
1, 62128090x10−5
Fonte: Autoria Própria (2013)
Como podemos ver os valores obtidos pelos métodos descrito acima foram os mesmo
devido eles serem semelhantes no que tange encontra o vetor solução.
Com relação aos métodos iterativos de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel não conseguimos
encontrar valores para o vetor solução, foi feito o pivoteamento da matriz para que não ouve-se
elementos nulos na diagonal principal, além disso foram ainda determinados dois critérios de
parada, o primeiro critério foi quanto a distancia relativa utilizou-se uma precisão de ε = 10−3 ,
ε = 10−4 e ε = 10−5 para o problema em estudo. Quanto ao numero de iterações k, para esse
critério adotou-se o valor de Kmax = 10000, também foi utilizado um critério de convergência
que a matriz fosse diagonalmente dominante pois era condição suficiente para que se haja convergência para os referidos métodos como a matriz não era digonalmente dominante por isso
não se obteve convergência.
42
4.2.2 Problema 02
Seguindo o que foi descrito no problema anterior para a resolução desse problema utilizarmos os mesmos dados do problema anterior com exceção dos valores das resistências que foram modificados como para: R1 = 22Ω, R2 = 12Ω, R3 = 15Ω, R4 = 12Ω, R5 =
22Ω, R6 = 15Ω, R7 = 12Ω, R8 = 15Ω, R9 = 15Ω, R10 = 22Ω, R11 = 15Ω, R12 = 22Ω, R13 =
22Ω, R14 = 22Ω, R15 = 15Ω, R16 = 12Ω, R17 = 12Ω, R18 = 22Ω, R19 = 15Ω, R20 =
12Ω, V = 10V.
Do mesmo modo do problema 01 os sistemas compostos pela matriz dos coeficientes,
vetor das variáveis e termos independentes para o problema 02 encontra-se no APÊNDICE B.
Aplicando os métodos diretos igualmente como foi usado no problema anterior obtemos
novos valores para os método de fatoração LU e fatoração QR mostrado logo a seguir:
Tabela 2: Dados obtidos computacionalmente para o problema 02
Método de Fatoração LU Método de Fatoração QR
N Rn(Ω)
Ic(A)
Ic(A))
−1
1
22
1, 71504650x10
1, 71504650x10−1
2
12
5, 99684800x10−2
5, 99684800x10−2
−2
3
15
2, 20300000x10
2, 20300000x10−2
4
12
6, 04090000x10−3
6, 04090000x10−3
5
22
1, 72932000x10−3
1, 72932000x10−3
6
15
4, 78320000x10−4
4, 78320000x10−4
7
12
1, 83970000x10−4
1, 83970000x10−4
−4
8
15
2, 94350000x10
2, 94350000x10−4
9
15
1, 25100000x10−3
1, 25100000x10−3
10
22
4, 31158000x10−3
4, 31158000x10−3
11
15
1, 59891000x10−2
1, 59891000x10−2
−2
12
22
3, 79384800x10
3, 79384800x10−2
13
22
1, 11536160x10−1
1, 11536160x10−1
14
22
1, 71504650x10−1
1, 71504650x10−1
15
15
5, 99684800x10−2
5, 99684800x10−2
−2
16
12
2, 20300000x10
2, 20300000x10−2
17
12
6, 04090000x10−3
6, 04090000x10−3
18
22
1, 72932000x10−3
1, 72932000x10−3
19
15
4, 78320000x10−4
4, 78320000x10−4
20
12
1, 83970000x10−4
1, 83970000x10−4
Fonte: Autoria Própria (2013)
Novamente os métodos diteros obtiveram os mesmo valores como pode ser visto na
tabela acima.
Em relação aos métodos iterativos não conseguimos encontrar valores para o vetor
solução mesmo quando mudamos os valores das resistência foi feito os mesmo procedimentos do problema anterior.
43
4.2.3 Medições em circuitos reais
Dois circuitos foram modulados em laboratório com a finalidade de comparar os valores obtidos computacionalmente com os valores obtidos através de medidas reais feitas com
a utilização de equipamentos contidos no laboratório onde foi realizadas as medidas. Foi utilizado um multímetro digital modelo ET-1110 da marca minipa com as seguintes características
abaixo:
Resolução
Precisão
Tabela 3: Escalas Utilizadas para as correntes
Escala 200(µ A) Escala 2(mA) Escala 20(mA) Escala 200(mA)
0, 1(µ A)
1(µ A)
10(µ A)
100(µ A)
±1% + 2D
±1, 5% + 2D ±1, 5% + 2D
±1, 5% + 2D
Fonte: Manual do fabricante
Tabela 4: Escalas Utilizadas para as tensões
Escala 200(mV ) Escala 2(V ) Escala 20(V )
Resolução
0.1(mV )
1(mV )
10(mV )
Precisão
±0, 5% + 2D
±0, 5% + 2D ±0, 5% + 2D
Fonte: Manual do fabricante
Resolução
Precisão
Tabela 5: Escalas Utilizadas para as resistências
Escala 200(Ω) Escala 2(KΩ) Escala 20(kΩ) Escala 200(kΩ)
0, 1(Ω)
1, 0(Ω)
10, 0(Ω)
100, 0(Ω)
±0, 8% + 4D ±0, 8% + 2D ±0, 8% + 2D
±0, 8% + 2D
Fonte: Manual do fabricante
Onde a precisão indica uma porcentagem do valor medido pelo multímetro e um número
seguido da letra D, que é o número de dígitos. Mais a frente mostraremos como calcular a
incerteza associada à medida com base nas informações mostradas nas tabelas acima. As tabelas
abaixo mostram os resultados obtidos para as medidas das correntes e tensões em cada resistor
para os dois problemas.
44
Tabela 6: Valores medidos no laboratório
Problema 01
Problema 02
N
R(Ω)
I(A)
V(V)
R(Ω)
I(A)
V(V)
1
11,8
1, 191x10−1
1,5
21,5
1, 583x10−1
3,74
14,9
5, 370x10−2
0,844
11,7
5, 460x10−2
0,721
3
21,5
5, 280x10−3
1, 29x10−1
14,9
1, 990x10−2
3, 30x10−1
4
98,6
2, 250x10−3
0,243
11,8
4, 350x10−3
0,074
5
98,5
1, 580x10−4
2, 27x10−2
21,7
1, 430x10−3
3, 78x10−2
6
11,8
3, 800x10−5
4, 10x10−4
14,8
1, 570x10−4
7, 00x10−3
7
21,6
2, 300x10−5
3, 00x10−4
11,8
2, 270x10−5
2, 10x10−3
8
98,9
2, 400x10−5
2, 00x10−3
14,9
6, 500x10−5
4, 20x10−3
9
14,6
1, 320x10−4
2, 80x10−3
14,8
9, 200x10−4
1, 88x10−2
10
21,6
1, 980x10−3
4, 85x10−2
21,7
3, 290x10−3
9, 46x10−2
11
99,1
3, 160x10−3
0,344
14,9
1, 380x10−2
0,238
12
11,9
4, 680x10−2
0,599
21,6
3, 430x10−2
0,833
13
98,9
6, 800x10−2
6,97
21,6
1, 023x10−1
2,44
11,8
1, 193x10−1
21,6
1, 581x10−1
3,74
15
99
5, 400x10−2
5,53
15
5, 510x10−2
0,915
16
21,6
5, 290x10−3
0,127
11,7
1, 440x10−3
0,262
17
21,6
2, 280x10−3
5, 32x10−2
11,8
4, 900x10−3
7, 28x10−2
18
98,6
1, 580x10−4
2, 25x10−2
21,5
1, 440x10−3
3, 78x10−2
19
11,8
3, 000x10−5
4, 00x10−4
15
1, 630x10−4
7, 10x10−3
20
98,8
2, 100x10−5
1, 60x10−3
11,8
6, 500x10−6
2, 20x10−3
2
14
1,5
Fonte: Autoria Própria (2013)
Vamos fazer uma comparação entre os valores calculados numericamente e os valores
medidos. Para isso vamos calcular o erro relativo que de acordo com Arenales e Darezzo (2010)
é dado pela fórmula:
Erel =
|Eabs | |aex − aaprox |
=
|aex |
|aex |
(61)
onde aex será o valor exato da grandeza, nesse caso os valores calculados numericamente, e o
aaprox é o valor aproximado da mesma grandeza. As tabelas abaixo mostram os erros relativos
percentuais entre as grandezas calculadas numericamente e medidas, para os dois problemas
que é calculado da seguinte forma.
Erel % = 100xErel
(62)
Rn
12
15
22
100
100
12
22
100
15
22
100
12
100
12
100
22
22
100
12
100
Tabela 7: Valores do erro relativo percentual do problema 01
I(Numérico)
I(Valor medido) Errore % V(Numérico) V(Medido) Errorel %
−1
1, 25467256x10
1, 191x10−1
5,07%
1,505607072
1,5
0,37%
−2
−2
5, 55793941x10
5, 370x10
3,38% 0,83366909115
0,844
1,24%
5, 81643544x10−3
5, 280x10−3
9,22%
0,1279615797 1, 29x10−1
0,73%
−3
−3
2, 40411190x10
2, 250x10
6,41%
0,24041119
0,243
1,08%
−4
−4
−2
2, 25444513x10
1, 580x10
29,92% 0,0225444513 2, 27x10
0,69%
−5
−5
−4
3, 59924379x10
3, 800x10
5,58%
0,0004319093 4, 10x10
5,07%
−5
−5
−4
1, 62128090x10
2, 300x10
41,86% 0,0003566818 3, 00x10
15,89%
1, 97796271x10−5
2, 400x10−5
21,34% 0,0019779627 2, 00x10−3
1,11%
−4
−4
−3
1, 89452083x10
1, 320x10
30,33% 0,0028417812 2, 80x10
1,47%
−3
−3
−2
2, 17866758x10
1, 980x10
9,12%
0,0479306868 4, 85x10
1,19%
−3
−3
3, 41232354x10
3, 160x10
7,39%
0,3412323540
0,344
0,81%
4, 97629605x10−2
4, 680x10−2
5,95%
0,597155526
0,599
0,31%
−2
−2
6, 98878616x10
6, 800x10
2,70%
6,9887861600
6,97
0,27%
−1
−1
1, 25467256x10
1, 193x10
4,92%
1,505607072
1,5
0,37%
−2
−2
5, 55793941x10
5, 400x10
2,84%
5,55793941
5,53
0,50%
−3
−3
5, 81643544x10
5, 290x10
9,05%
0,1279615797
0,127
0,75%
2, 40411190x10−3
2, 280x10−3
5,16%
0,0528904618 5, 32x10−2
0,59%
−4
−4
−2
2, 25444513x10
1, 580x10
29,92% 0,0225444513 2, 25x10
0,20%
−5
−5
−4
3, 59924379x10
3, 000x10
16,65% 0,0004319093 4, 00x10
7,39%
−5
−5
−3
1, 62128090x10
2, 100x10
29,53% 0,0016212809 1, 60x10
1,31%
Fonte: Autoria Própria (2013)
N
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
45
Rn
22
12
15
12
22
15
12
15
15
22
15
22
22
22
15
12
12
22
15
12
Tabela 8: Valores do erro relativo percentual do problema 02
I(Numérico)
I(Valor medido) Errore % V(Numérico) V(Medido)
−1
1, 71504650x10
1, 583x10−1
7,70%
3,7731023
3,74
−2
−2
5, 99684800x10
5, 460x10
8,95%
0,71962176
0,721
2, 20300000x10−2
1, 990x10−2
9,67%
0,33045
3, 30x10−1
6, 04090000x10−3
4, 350x10−3
27,99%
0,0724908
0,074
−3
−3
1, 72932000x10
1, 430x10
17,31%
0,03804504 3, 78x10−2
4, 78320000x10−4
1, 570x10−4
67,18%
0,0071748
7, 00x10−3
1, 83970000x10−4
2, 270x10−5
87,66%
0,00220764 2, 10x10−3
−4
−5
2, 94350000x10
6, 500x10
77,92%
0,00441525 4, 20x10−3
1, 25100000x10−3
9, 200x10−4
26,46%
0,018765
1, 88x10−2
4, 31158000x10−3
3, 290x10−3
23,69%
0,09485476 9, 46x10−2
1, 59891000x10−2
1, 380x10−2
13,69%
0,2398365
0,238
−2
3, 79384800x10
3, 430x10−2
9,59%
0,83464656
0,833
−1
−1
1, 11536160x10
1, 023x10
8,28%
2,45379552
2,44
−1
−1
1, 71504650x10
1, 581x10
7,82%
3,7731023
3,74
−2
−2
5, 99684800x10
5, 510x10
8,12%
0,8995272
0,915
−2
−3
2, 20300000x10
1, 440x10
93,46%
0,26436
0,262
6, 04090000x10−3
4, 900x10−3
18,89%
0,0724908
7, 28x10−2
1, 72932000x10−3
1, 440x10−3
16,73%
0,03804504 3, 78x10−2
4, 78320000x10−4
1, 630x10−4
65,92%
0,0071748
7, 10x10−3
1, 83970000x10−4
6, 500x10−6
96,47%
0,00220764 2, 20x10−3
Fonte: Autoria Própria (2013)
N
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Errorel %
0,88%
0,19%
0,14%
2,08%
0,64%
2,44%
4,88%
4,88%
0,19%
0,27%
0,77%
0,20%
0,56%
0,88%
1,72%
0,89%
0,43%
0,64%
1,04%
0,35%
46
47
Como pode ser visto o erro relativo percentual nos valores das correntes para os dois
problemas são maiores do que nos valores das tensões. O que significa que os valores das tensões possuem uma maior confiabilidade, principalmente nos resistores situados mais afastados
da fonte de energia. Isso se deve ao fato do equipamento de medição não possuir uma boa precisão em relação às medidas de valores de correntes elétricas baixas, nesse caso, da ordem de
10−6 A. Os dados de precisão de escalas do multímetro digital utilizado mostrados nas tabelas
3, 4 e 5 colaboram para esse fato. Por isso optamos por utilizar uma leitura indireta da corrente
elétrica em cada resistor, calculada com a lei de Ohm, onde os valores de tensão e resistência
utilizados no cálculo foram medidos.
Toda medida efetuada com a utilização de um equipamento possui uma incerteza associada. Neste trabalho medimos valores de tensão, corrente e resistência elétrica com o auxílio
de um multímetro digital. Comumente os fabricantes de multímetros digitais apresentam as
características do equipamento de acordo com as tabelas 3, 4 e 5. Com base nisto, Cabral
(2004) diz que podemos calcular as incertezas absolutas, ou erros absolutos, das medidas das
tensões σ V e resistências σ R pela relação:
σ X = ±(% do valor medido) + (Número de digitos x Resolução)
(63)
Onde X é a grandeza a ser medida, e o número de dígitos é o valor seguido da letra D
mostrado nas tabelas 3, 4 e 5. Os erros relativos podem ser calculados pela relação:
σV σ R
e
(64)
V
R
Como os valores de I são obtidos de forma indireta através da lei de Ohm e por se
tratar de resistores Ôhmicos (resistores que obedecem a 1a Lei de Ohm) podemos dizer que
a tensão e a resistência são grandezas dependentes. De acordo com Queiroz Júnior (2000?)
conseqüentemente as incertezas absolutas da corrente elétrica, são calculadas pela relação:
V
σI =
R
(
σV σ R
+
V
R
)
(65)
Da mesma forma calculamos o erro relativo pela relação:
σI
(66)
I
As tabelas a seguir mostram as incertezas associadas às medidas de resistência, tensão
elétrica e corrente elétrica para cada problema:
Rn
12
15
22
100
100
12
22
100
15
22
100
12
100
12
100
22
22
100
12
100
Tabela 9: Valores das incertezas das medidas no problema 01
R(medido)
σR
V(Medido)
σV
I(Vm/Rm)
11,8
0,4944
1,5
0,0095
1, 27118644x10−1
14,9
0,5192
0,844
0,00622
5, 66442953x10−2
21,5
0,572 1, 29x10−1 0,0008445 5, 99534884x10−3
98,6
1,1888
0,243
0,003215 2, 46450304x10−3
98,5
1,188 2, 27x10−2 0,0003135 2, 30456853x10−4
11,8
0,4944 4, 10x10−4 0,00020205 3, 47457627x10−5
21,6
0,5728 3, 00x10−4 0,0002015 1, 38888889x10−5
98,9
1,1912 2, 00x10−3
0,00021
2, 02224469x10−5
14,6
0,5168 2, 80x10−3
0,000214 1, 91780822x10−4
21,6
0,5728 4, 85x10−2 0,0004425 2, 24537037x10−3
99,1
1,1928
0,344
0,00372
3, 47124117x10−3
11,9
0,4952
0,599
0,004995 5, 03361345x10−2
98,9
1,1912
6,97
0,05485
7, 04752275x10−2
11,8
0,4944
1,5
0,0095
1, 27118644x10−1
99
1,192
5,53
0,04765
5, 58585859x10−2
21,6
0,5728
0,127
0,000835 5, 87962963x10−3
21,6
0,5728 5, 32x10−2
0,000466 2, 46296296x10−3
98,6
1,1888 2, 25x10−2 0,0003125 2, 28194726x10−4
11,8
0,4944 4, 00x10−4
0,000202 3, 38983051x10−5
98,8
1,1904 1, 60x10−3
0,000208 1, 61943320x10−5
Fonte: Autoria Própria (2013)
N
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
σI
0,00613114
0,002391256
0,000198783
6, 23205x10−5
5, 96226x10−6
1, 85787x10−5
9, 69702x10−6
2, 36693x10−6
2, 1446x10−5
8, 003x10−5
7, 93188x10−5
0,002514408
0,001403439
0,00613114
0,001153873
0,000194576
8, 68882x10−5
5, 92067x10−6
1, 85389x10−5
2, 30038x10−6
48
Tabela 10: Valores das incertezas das medidas do problema 02
Rn R(Medido)
σR
V(Medido)
σV
I(Vm/Rm)
22
21,5
0,572
3,74
0,0387
1, 73953488x10−1
12
11,7
0,4936
0,721
0,005605 6, 16239316x10−2
−1
15
14,9
0,5192 3, 30x10
0,00365 2, 21476510x10−2
12
11,8
0,4944
0,074
0,00057 6, 27118644x10−3
22
21,7
0,5736 3, 78x10−2 0,000389 1, 74193548x10−3
15
14,8
0,5184 7, 00x10−3 0,000235 4, 72972973x10−4
12
11,8
0,4944 2, 10x10−3 0,0002105 1, 77966102x10−4
15
14,9
0,5192 4, 20x10−3 0,000221 2, 81879195x10−4
15
14,8
0,5184 1, 88x10−2 0,000294 1, 27027027x10−3
22
21,7
0,5736 9, 46x10−2 0,000673 4, 35944700x10−3
15
14,9
0,5192
0,238
0,00319 1, 59731544x10−2
22
21,6
0,5728
0,833
0,006165 3, 85648148x10−2
22
21,6
0,5728
2,44
0,0322
1, 12962963x10−1
22
21,6
0,5728
3,74
0,0387
1, 73148148x10−1
15
15
0,52
0,915
0,006575 6, 10000000x10−2
12
11,7
0,4936
0,262
0,00331 2, 23931624x10−2
12
11,8
0,4944 7, 28x10−2 0,000564 6, 16949153x10−3
22
21,5
0,572 3, 78x10−2 0,000389 1, 75813953x10−3
15
15
0,52
7, 10x10−3 0,0002355 4, 73333333x10−4
12
11,8
0,4944 2, 20x10−3 0,000211 1, 86440678x10−4
Fonte: Autoria Própria (2013)
N
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
σI
0,006427972
0,003078852
0,001016715
0,000311057
6, 39712x10−5
3, 24452x10−5
2, 52955x10−5
2, 46545x10−5
6, 43587x10−5
0,000146248
0,000770689
0,001308098
0,004486351
0,006383299
0,002553
0,001227629
0,000306288
6, 48677x10−5
3, 21089x10−5
2, 56929x10−5
49
50
Os gráficos a seguir mostram uma comparação entre a corrente calculada numericamente
e a corrente medida indiretamente (calculada com os valores de tensão e resistência medidos no
laboratório) para os dois problemas propostos. Nesta comparação optamos por utilizar o valor
da corrente medida indiretamente para normalizar tanto os valores de corrente elétrica, quanto
barra de erro. Na prática, o que fizemos é dividir os valores das correntes, tanto a medida
indiretamente como a calculada numericamente, pelo valor da corrente medida indiretamente.
O valor do erro, neste caso, é o erro relativo, pois ao dividir o valor do erro absoluto pelo da
corrente medida indiretamente obtemos o erro relativo.
Figura 5: Gráfico problema 01
Fonte: Autoria Própria (2013)
Figura 6: Gráfico problema 02
Fonte: Autoria Própria (2013)
51
Observamos que para os dois problemas propostos os valores das correntes calculadas
numericamente estão dentro das incertezas calculadas para os valores medidos indiretamente.
Isso mostra que os dados calculados pelos modelos numéricos estão de acordo com os valores
medidos em laboratório nos circuitos reais com uma boa aproximação. Também podemos observa que, comparando os dados do problema 01 com o problema 02, que as incertezas das
correntes medidas indiretamente do problema 01, especialmente aquelas cujos resistores estão mais afastados da fonte, são maiores do que no problema 02. Isso se explica por que no
problema 02 foram utilizados resistores de menor valor, o que implica em valores maiores de
correntes medidas, facilitando a leitura do equipamento. Ainda em relação as inceetezas relativas, oservamos que no problema 01 a barra de erro relativo nos resistores 7 e 20 não são iguais
apesar da corrente elétrica ser a mesma em ambos os resistores. Isso se explica porque a barra
de erro relativa é calculada com os valores de σ I e σ R e os resistores 7 e 20 não possuem o
mesmo valor de resistência. Ainda no problema 01 observamos que a barra de erro relativo dos
resistores 6 e 19 são aproximadamente iguais, isso neste caso os resistores 6 e 19 tem o mesmo
valor de resistência. O mesmo acontece para os demais resistores que possuem o mesmo valor
de corrente elétrica como os pares de resistores 1 e 14, 2 e 15, 3 e 16, 4 e 17, e 5 e 18. No
gráfico referente ao problema 02 observamos o mesmo fenômeno.
52
5
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Ao final deste trabalho vimos que os métodos iterativos e diretos que foram utilizados
para obter uma solução dos sistemas de equações gerados pela aplicação das leis de Kirchhoff
em circuito elétricos vão se diferir em vários aspectos de um para o outro, pois segundo Sperandio et al. (2003), esses aspectos dizem respeito quanto a convergência, erro de arredondamento,
também quanto ao número de iterações e entre outros. No entanto possuem em comum o
mesmo objetivo que é encontrar o vetor solução que satisfaça as equações em estudo embora os
métodos sejam diferentes.
Apesar de quase sempre os métodos diretos encontrarem a solução do problema se esta
existir, dizemos que eles sempre levam uma pequena vantagem no quis diz respeito aos métodos iterativos. Isso por conseguir ser aplicado na resolução de qualquer forma de sistema de
equações lineares. Já em relação aos métodos iterativos devemos ter cuidado para que estes obedeçam uma série de critérios de convergência, pois teremos garantia de convergência se atender
as determinadas condições, por isso se faz necessário que a matriz dos coeficientes atenda esses
critérios de convergência daí podemos ter a certeza que o método fornecerá a solução do sistema.
Observamos que através dos métodos direto é impossível conseguir a solução do sistema
se trabalharmos com o pivô nulo, pois quando trabalhamos com esse pivô próximo de zero
ele apresentará problemas envolvendo erros de arredondamentos fazendo com que isso afete a
solução final do problema. Em relação aos métodos iterativos esses erros de arredondamentos
não afetaram de uma forma significativa a solução final além de não levar à divergência do
processo quanto à solução do mesmo, desta forma como também a convergência para outro
vetor qual não seja a solução do sistema, considerando que uma vez garantida à convergência é
independente da solução inicial, com isso nos dirigirá para a solução do problema.
Quando se utilizou os métodos diretos de fatoração LU e fatoração QR, com o auxílio
de um software computacional, estes conseguiram encontrar os mesmos resultados para o vetor
solução dos problemas que foram propostos, pois de acordo com Ferreira (2009) esses tipos de
métodos são geralmente utilizados para se resolver sistemas de pequeno e médio porte além de
densos.
Em relação aos resultados dos experimentos realizados nos laboratórios tanto pra o problema 01 quanto o problema 02 foram observados que os valores encontrados para as correntes
não foram bons, ficando muito discrepantes em relação aos valores obtidos computacionalmente. Isto se explica devido aos equipamentos utilizados nas medidas de correntes elétricas,
não possuirem boa precisão. No entanto, quando observamos as medidas de tensão elétricas
notamos que os valores são mais próximos das medidas computacionalmente calculadas, isso
estão evidente nas tabelas 9 e 10 além de ser confirmado pelas características do equipamento,
mostrados nas tabelas 3, 4 e 5 onde se observa maior precisão nos resultados de tensão elétrica.
Por esses motivos achamos melhor descartar os valores de corrente elétrica medidos direta-
53
mente e optamos por utilizar os valores de corrente indireta calculados com os valores para as
resistências medidas e para as tensões medidas
Os valores obtidos para o problema 02 os valores medidos foram bem melhores do
que os medidos no problema 01, pois os valores das resistências usadas nesse problema foram
menor, o que faz com que a corrente que flui pelos resistores mais afastados da fonte seja
maiores que no problema 01. Com isso as medidas tiveram uma boa melhora em relação ao
outro problema. Mesmo assim continuamos com o mesmo pensamento de não usar o valores
das correntes medidos e sim o valores indiretos das correntes, pois esses sim estão dentro da
faixa de erro permitido pelo equipamento utilizado para se realizar as medidas.
Observando os gráficos 5 e 6 comparando as incertezas ou erros do problema 01 e do
problema 02 observamos que a incerteza nas medidas do problema 01 são maiores que a incerteza relativa no problema 02. Além disso, quando comparamos os resultados calculados numericamente com os medidos indiretamente, também observamos nos gráficos que os valores
de corrente elétrica calculada computacionalmente estão dentro da faixa de incerteza calculadas
para as medidas de corrente nos os dois problemas propostos. Também em relação ao gráfico
as barras de erros do problema 01 apresentaram valores diferentes para dois resistores devido
terem valores diferentes de σ I mas a corente que passa nos resistores são a mesma, diferente do
problema dois onde os valores são iguais e por isso há uma simetria em relação aos valores das
resistências.
Por fim, ficou evidenciado que os valores computacionalmente calculados pelos métodos
diretos, já que os iterativos foram inviabilizados pelo fato dos problemas não se encaixarem
nos critérios necessários, apresentaram resultados bastante significativos estando dentro das
incertezas experimentais. Desta forma, podemos concluir ser válidas as leis de Kirchhoff tanto
na análise teórica usado programas computacional quanto numa situação prática real. Além de
confirmar a importância de uma análise numérica computacional de um problema real no qual
apresentou resultados mais que satisfatórios.
54
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
















A=



















12
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
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
0
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
0
0
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100
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0
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
0
0
0
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0
0
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22
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0
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0
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
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0 −100
15
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
0
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100
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
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1 −1
−1
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
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
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−1
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
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−1
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
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
0
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0
1
−1
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
0
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0
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0
1
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0
0
0
1 −1
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
0
0
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0
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0
0
−1
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0
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0 0
0
0
0
0
1
−1 
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0
0
0
0
0 −1
0
0
0
0
0
0 0
0
0
0
0
0
1
Matriz dos coeficientes
APÊNDICE A - Sistema de equações lineares referente ao problema 01
56
57
Vetor das variáveis e vetor dos termos independentes




I1
10
 0 
 I2 




 0 
 I3 




 0 
 I4 




 0 
 I5 




 0 
 I6 




 0 
 I7 




 0 
 I8 




 0 
 I9 




 0 
 I10 



x=
 I11  , b =  0 




 0 
 I12 




 0 
 I13 




 0 
 I14 




 0 
 I15 




 0 
 I16 




 0 
 I17 




 0 
 I18 




 0 
 I19 
0
I20

















A=



















22
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 22 22
0
0
0
0
0
0
0 −12
0
0
0
0
0
0
0
0
0 −22 22 0 −15
0
0
0
0
0 

0
0 −15
0
0
0
0
0
0
0 −15
22
0 0
0 −12
0
0
0
0 

0
0
0 −12
0
0
0
0
0 −22
15
0
0 0
0
0 −12
0
0
0 

0
0
0
0 −22
0
0
0 −15
22
0
0
0 0
0
0
0 −12
0
0 

0
0
0
0
0 −15
0 −15
15
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0
0
0 0
0
0
0
0 −15
0 

0
0
0
0
0
0 −12
12
0
0
0
0
0 0
0
0
0
0
0 −12 

0
0
0
0
0
1 −1 −1
0
0
0
0
0 0
0
0
0
0
0
0 

0
0
0
0
1 −1
0
0 −1
0
0
0
0 0
0
0
0
0
0
0 

0
0
0
1 −1
0
0
0
0 −1
0
0
0 0
0
0
0
0
0
0 

0
0
1 −1
0
0
0
0
0
0 −1
0
0 0
0
0
0
0
0
0 

0
1 −1
0
0
0
0
0
0
0
0 −1
0 0
0
0
0
0
0
0 

1 −1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
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0
0
0
0
0
0 

0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 −1 1 −1
0
0
0
0
0 

0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 −1
0 0
1 −1
0
0
0
0 

0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 −1
0
0 0
0
1 −1
0
0
0 

0
0
0
0
0
0
0
0
0 −1
0
0
0 0
0
0
1 −1
0
0 

0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0 0
0
0
0
1 −1
0 

0
0
0
0
0
0
0 −1
0
0
0
0
0 0
0
0
0
0
1 −1 
0
0
0
0
0
0 −1
0
0
0
0
0
0 0
0
0
0
0
0
1
Matriz dos coeficientes
APÊNDICE B - Sistema de equações lineares referente ao problema 02
58
59
Vetor das variáveis e vetor dos termos independentes




I1
10
 0 
 I2 




 0 
 I3 




 0 
 I4 




 0 
 I5 




 0 
 I6 




 0 
 I7 




 0 
 I8 




 0 
 I9 




 0 
 I10 



x=
 I11  , b =  0 




 0 
 I12 




 0 
 I13 




 0 
 I14 




 0 
 I15 




 0 
 I16 




 0 
 I17 




 0 
 I18 




 0 
 I19 
0
I20