CAPÍTULO 3 Leis de Newton

CAPÍTULO 3
Leis de Newton
3.1. Conceitos de força e massa
Uma força representa a acção de um corpo sobre outro, i.e. a
interacção física entre dois corpos. Como grandeza vectorial que é, só
fica caracterizada pelo seu ponto de aplicação, intensidade, direcção e
sentido.
unidade SI: N
Processo de medição: dinamómetro
As forças ocorrem sempre aos pares; se um corpo A exerce uma
força sobre outro corpo B, também B exerce uma força sobre A.
Uma força pode causar aceleração no corpo. Pode ainda deformar o
corpo.
Segundo Newton a única propriedade dos corpos que interessa é a sua
massa, sendo possível descrever as leis da natureza considerando a
matéria como constituída por pontos geométricos dotados de massa,
i.e. a matéria constituída por pontos materiais.
A massa de um corpo surge como medida da sua resistência à variação
da sua velocidade. É uma grandeza física escalar.
unidade SI: kg
Processo de medição: balança de pratos
Aditividade da massa: massa sistema: mTOTAL =
n
 mi
i
Massa – coeficiente, característico de cada partícula ou sistema de
partículas, que determina a intensidade da sua interacção
gravitacional com outras partículas bem como o seu comportamento
quando sujeita a outras forças.
A massa é uma propriedade individual de um corpo, enquanto que a
força depende da vizinhança do corpo.
Estática 2003/04 – Pág.
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3.2. Primeira Lei de Newton: Lei da inércia
A mecânica clássica foi o primeiro ramo da física a desenvolver-se,
tendo como origem os trabalhos de Galileu sobre a queda dos graves.
Ao relacionar a aceleração em queda livre e a aceleração num plano
inclinado, em função da inclinação do plano, foi naturalmente
conduzido ao estudo do caso de inclinação nula, e ao enunciado da Lei
da inércia, na sua forma mais primitiva: Um corpo que não é actuado
por nenhuma força, tem movimento rectilíneo e uniforme.
Na verdade a Lei da inércia tem um significado mais profundo, tendo
sido mais tarde enunciada por Newton. É hoje também conhecida por
Primeira Lei de Newton:
Um corpo permanece em repouso ou em movimento
rectilíneo e uniforme se a força resultante que actua
sobre ele for nula.
Um corpo tende naturalmente a manter a sua velocidade, mesmo
quando esta é nula, sendo apenas perturbado sob a acção de forças.
Há inércia às alterações do estado de movimento; inércia como
resistência à variação.
Todos os corpos permanecem em repouso ou em movimento rectilíneo
e uniforme se a força resultante que actua sobre eles for nula.
G
G G
R = Â Fi = 0
i
De facto, se a força resultante sobre um corpo for nula, a aceleração
G G
G G
do corpo é zero ( ma = 0 fi a = 0 ); então o corpo está em repouso
ou em movimento rectilíneo e uniforme.
G G
G G
R=0 ¤ a=0
Estática 2003/04 – Pág.
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À primeira vista a 1ª Lei de Newton parece contrariar as nossas
experiências de senso comum. Aceita-se facilmente que um corpo em
repouso permaneça em repouso. Mas, que um corpo em movimento
rectilíneo e uniforme tenda a manter a sua velocidade constante… Não
é o que sentimos quando empurramos um corpo, i.e. exercemos uma
força sobre ele, e o vemos parar ao fim de alguns instantes! Esta
experiência do dia-a-dia não contradiz, de todo, a 1ª Lei de Newton,
pois efectivamente o que acontece neste caso é que ocorrem 2
momentos distintos:
a) enquanto empurramos o corpo a velocidade constante
G
G
G
G
G
G
to G
v
R = F exercida + F atrito = 0
a
=
0
(mov.
⇒
= cte)
b) quando largamos o corpo
G
G
G
G G
R = F atrito ≠ 0
(mov. a ≠ 0 ; corpo desacelera até parar)
G
G
Agora a F exercida = 0
Se eliminarmos a força de atrito a 1ª Lei de Newton poderá então
ser verificada experimentalmente: mesa de ar.
A única força de atrito envolvida é a resistência do ar, que é
praticamente imperceptível na gama de velocidades que utilizamos.
Podemos assim admitir que a experiência é efectuada a velocidade
constante.
Diagrama de corpo-livre: diagrama utilizado para representar, de
forma esquemática, as forças que actuam num determinado corpo, e
que permite determinar a sua resultante. O corpo é representado
por uma partícula. Admitimos que as suas dimensões não afectam a
resolução do problema. Todas as forças que actuam num determinado
corpo são consideradas como actuando num único ponto. Mais tarde
veremos as situações em que esta simplificação não é válida.
Exemplo:
Estática 2003/04 – Pág.
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Como o corpo está em
equilíbrio estático,
pela 1ª Lei de Newton
G G
G G
a = 0 e R =0
Assim, utilizando o sistema de coordenadas
G G G
representado no diagrama de corpo livre, R + P = 0 e sendo
G
G
G
R = R ˆj , P = P - ˆj , temos R ˆj + P - ˆj = 0 ⇒ R = P.
( )
( )
A propriedade que permite somar as forças como vectores, denominase Princípio da Sobreposição.
Referenciais de inércia
Um referencial onde a 1ª Lei de Newton é válida diz-se referencial
G G
de inércia. É um referencial em relação ao qual a = 0 , para todo e
qualquer corpo sujeito a uma força resultante nula.
G G
Qualquer referencial acelerado ( a ≠ 0 ) relativamente a um
referencial inercial denomina-se referencial não inercial.
O sistema de coordenadas ou de referência que usualmente se utiliza
para um corpo sobre ou junto à superfície da Terra é um referencial
cuja origem está fixa relativamente a um
N
ponto da superfície da Terra, e cujos eixos
z
y
coincidem com a horizontal e a vertical. A tal
•
sistema de referência denominamos
x
referencial solidário com a superfície da
Terra.
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Contudo, os referenciais de inércia constituem uma abstracção
teórica. A Terra roda sobre o seu eixo uma vez por dia, e percorre
uma órbita em torno do Sol num ano. Devido à rotação da Terra este
referencial solidário com a Terra no equador tem uma aceleração de
0,034 m.s-2 em direcção ao centro da Terra e devido ao movimento
orbital o centro da Terra tem uma aceleração de 0,006 m.s-2 em
direcção ao Sol. Como estas acelerações são pequenas, os seus efeitos
são geralmente insignificantes quando consideramos problemas na
Terra.
Assim, a menos que se diga o contrário, admitimos que o referencial
solidário com a Terra pode ser tratado como referencial de inércia.
3.3. Segunda Lei de Newton: Lei fundamental da dinâmica
Embora Galileu soubesse que os corpos caiem para a Terra com
aceleração constante devido à atracção que esta exerce sobre eles,
Galileu nunca explicitou a relação entre força e aceleração. Foi
Newton que, introduzindo o conceito de massa, enunciou a conhecida
2ª lei de Newton ou lei fundamental da Dinâmica. “Para cada corpo há
proporcionalidade entre a força à qual o corpo está submetido e a
aceleração que resulta da aplicação de tal força”.
G
G
Esta lei traduz-se matematicamente por F = m a , onde m é a
denominada massa inerte e caracteriza o corpo do ponto de vista
mecânico. É independente da forma do corpo, da sua constituição, da
sua velocidade, é apenas dependente da quantidade de matéria que o
constitui.
A força resultante que actua sobre um corpo é proporcional à
sua aceleração, sendo a massa do corpo o factor de
proporcionalidade entre a força resultante e a aceleração.
G
G
R
G
R = ma fi m = G
a
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Para uma determinada força resultante, um corpo com maior massa
terá uma menor aceleração.
G
G
então
a1 < a2
(i.e. a1 < a2 )
Se F1 = F2 e m1 > m2
e diz-se que o corpo 1 possui maior inércia ao movimento, possui maior
massa inercial. A massa é uma propriedade do corpo que lhe permite
resistir a qualquer variação na sua velocidade.
A 2ª lei de Newton dá-nos uma definição para o conceito de força: a
força resultante num corpo causa uma aceleração que lhe é
proporcional e com a mesma direcção e sentido.
Unidade SI:
1 N = (1 Kg)(1 m.s-2) = 1 Kg.m.s-2
a = 1ms -2
F = 1N
Unidade cgs:
1 dine = 1 g.cm.s-2
Tem-se ainda 1 kgf = 9,8 N
3.4. Terceira Lei de Newton
A uma determinada acção corresponde sempre uma
reacção, igual e de sentido oposto, constituindo ambas
um par acção-reacção.
As 1ª e 2ª leis de Newton tecem considerações acerca de um só
corpo, enquanto que a 3ª lei se refere a dois corpos. Se o corpo B
exerce uma força sobre o corpo A, então o corpo A exerce uma força
igual e de sentido oposto sobre o corpo B. Não existem forças únicas,
as forças agrupam-se sempre em pares.
G
FAB - força exercida por A em B
FBA
FAB
B
G
FBA - força exercida por B em A
G
G
FBA = - FAB
A
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Nestas condições, quando dois corpos exercem uma força um sobre o
outro, diz-se que existe uma interacção entre eles. A 3ª lei de Newton
dá-nos a relação entre as duas forças que resultam da interacção. As
G
G
duas forças FAB e FBA designam-se por par acção-reacção. A
atribuição das designações acção e reacção é arbitrária.
A acção e a reacção estão sempre
aplicadas em corpos diferentes.
A 2ª lei de Newton diz-nos que
G
G G
R = Â Fi = 0 das forças aplicadas no
i
mesmo corpo, portanto,
G G G
G
G
N + P = 0 fi N = -P .
G
G
N = - P , estas não
Apesar de
constituem um par acção-reacção.
Pela 3ª lei de Newton, neste caso
existem dois pares acção-reacção:
G
G
A = -N
e
G
G
P = - P¢
Definição de massa
Combinando a 2ª e a 3ª leis de Newton obtem-se uma definição para
massa de um corpo. Supondo que os corpos A e B exercem força um
G
G
sobre o outro, e que constituem um sistema isolado tem-se  Fext = 0 .
G
F
A força resultante sobre o corpo A é BA e a força resultante sobre o
G
F
corpo B é AB . Da aplicação da 2ª lei de Newton a cada corpo resulta
G
G
G
G
FBA = mAa A e FAB = mB aB
Inserindo este resultado na 3ª lei de Newton,
G
G
FBA = - FAB , tem-se mAaGA = −mB aGB ,
ou seja em termos dos módulos das acelerações mAaA = mB aB
Agora, se uma das massas for o quilograma standard, podemos
determinar a massa do outro corpo; então, se mB = 1kg
mA = mB
aB
a
= 1kg B
aA
aA
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3.5. Lei da Gravitação Universal.
Para um corpo sobre ou próximo da superfície da Terra, duas
grandezas estreitamente relacionadas são a força gravitacional
exercida no corpo pela Terra e o peso do corpo.
A força de interacção gravitacional entre dois corpos
é de natureza atractiva e é directamente proporcional
ao produto das massas de ambos os corpos e
inversamente proporcional ao quadrado da distância
entre eles.
G
G
G
mAmB Ê rBA ˆ
FBA = - FAB = -G 2 Á ˜
r Ë r ¯
G
rAB
mB
FBA
versor no sentido repulsivo
par acção-reacção
FAB
G
rBA
mA
r
G – constante de Gravitação Universal
G = 6.67×10-11 N.m2.Kg-2
Unidade SI: N.m2.Kg-2
Verificação experimental: realizada por Cavendish (1731-1797) com
recurso à balança de torção.
Peso e a força gravitacional exercida pela Terra
Para um corpo sobre ou próximo da superfície da Terra, duas
grandezas estreitamente relacionadas são a força gravitacional
exercida no corpo pela Terra e o peso do corpo.
Estática 2003/04 – Pág.
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A força gravitacional exercida no corpo pela Terra
Quando um corpo se encontra em queda livre, a única força
significativa que actua sobre o corpo é a força gravitacional exercida
pela Terra. Por exemplo, as forças de resistência do ar são negligíveis,
para a maioria dos corpos, dependendo das características do corpo
(e.g. pena e pedra).
G
G G
Mas em queda livre, R = ∑ F = Fg e aplicando a 2ª lei de Newton
G
G
G
G
G
F = ma ⇒ Fg = mg onde g é a aceleração de um corpo medida
∑
relativamente a um referencial inercial.
A experiência mostra que num determinado local, qualquer objecto em
G
queda livre tem a mesma aceleração; g é independente da massa do
corpo.
O peso do corpo
G
G
G
G
Por definição o peso P de um corpo de massa m é P = mg ' onde g ' é a
aceleração de um corpo em queda livre, medida relativamente ao
referencial da pessoa que efectua a medição. Isto significa que o peso
de um corpo é proporcional à sua massa e depende do sistema de
referência no qual se efectua a medição.
Em particular, quando o peso de um corpo é medido num sistema de
G G
G
referência inercial, então P = Fg pois g¢ num referencial inercial
G
coincide com g . Como referido anteriormente, admitimos como
aproximação que um referencial solidário com a superfície da Terra é
G G
um referencial de inércia, a menos que dito em contrário. Assim, P ≈ Fg
quando a medição do peso é efectuada num referencial solidário com a
Terra.
Como exemplo considere o peso de uma pessoa com m = 55kg medido
num referencial solidário com a Terra. Como
G
G G
g ¢ @ g = - g ˆj = - 9,8ms -2 ˆj temos P = - (55kg ) 9,8ms -2 ˆj = - (539N ) ˆj
(
)
(
onde ĵ se dirige verticalmente para cima.
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)
Comparação entre massa e peso
Já vimos que a massa de um corpo é uma propriedade intrínseca a cada
corpo, i.e. podemos caracterizar um corpo pela sua massa. Por outro
lado, o peso de um corpo envolve a força gravitacional da Terra,
portanto é errado considerar o peso de um corpo como sendo uma
propriedade intrínseca do corpo.
Em geral confunde-se os conceitos de massa e peso, caracterizando
em linguagem vulgar o corpo pelo seu peso. Esta confusão é possível
pois:
a) o sistema de referência utilizado é admitido como solidário com a
Terra (sistema inercial);
b) o peso do corpo é proporcional à sua massa;
G
c) num determinalo local g¢ é o mesmo para todos os corpos, pelo que
a massa do corpo determina o peso nesse local (variação sobre a
superfície da Terra).
Interacções fundamentais na natureza
Na natureza todas as interacções entre corpos podem exprimir-se à
custa de quatro interacções:
gravitacional
electromagnética
(nuclear fraca)
nuclear (forte)
Estática 2003/04 – Pág.
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3.6. Aplicações das leis de Newton: algumas forças relevantes
3.6.1. Forças de contacto: força normal e força de atrito
Conhecendo o estado de repouso ou de movimento de um corpo podemos
determinar as forças exercidas sobre ele. Em particular podemos
determinar as características das forças de contacto entre superfícies
lisas de dois corpos rígidos. O método envolve a decomposição de uma
força de contacto em duas forças, uma paralela à superfície de
contacto, e a outra perpendicular, e então cada uma delas é considerada
como uma força distinta. A força paralela à superfície é denominada
força de atrito, e a força perpendicular denomina-se força normal.
3.6.1.1.
Força normal
Retomemos a situação do corpo de massa m em repouso sobre uma
superfície horizontal. As únicas forças exercidas no corpo são o seu peso
e a força de contacto exercida pela superfície. A força exercida pela
G G
superfície suporta o corpo, mantendo-o em repouso. Como a = 0 , a 2ª
G
G
G G
R
=
F
=
m
a
= 0 , portanto,
lei de Newton permite-nos escrever que
∑ i
G
G
G G i G
FN + P = 0 ⇒ FN = − P ⇒ FN = mg
A força de contacto é igual e oposta ao
peso do bloco - é a força ou reacção
normal.
Suponhamos agora que se coloca outro
bloco de massa m sobre o corpo original.
O peso é agora duplo e, para suportar
este bloco composto, a força normal
G
G
F
=
−
P
⇒ FN = 2mg
também duplica: N
A força normal ajusta-se de modo a
impedir o bloco de acelerar
perpendicularmente à superfície.
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3.6.1.2. Força de atrito cinético
Vejamos agora o caso de um bloco de
massa m puxado a velocidade constante
ao longo de uma superfície horizontal.
Três forças actuam sobre o bloco:
G
Fa – a força aplicada sobre o bloco;
G
G
P = mg - o peso do bloco;
G
FC - a força de contacto exercida pela
superfície.
Neste caso a força de contacto é
representada por duas forças:
G
FK - força de atrito cinético (paralela à
superfície e oposta à velocidade);
G
FN - força normal (perpendicular à
superfície).
G
G
G
G
⎧⎪∑ Fx = 0
⎧ FK = Fa
⇒
G
⎨
⎨ G
⎪⎩∑ Fy = 0 ⎩ FN = mg
Novamente, como a = 0 , a 2ª lei de
Newton permite-nos escrever que
G
G
G G
R = Â Fi = ma = 0 , portanto,
i
Para analisar a relação entre a força normal e a força de atrito cinético,
repetimos o procedimento anterior: colocamos outro bloco de massa m
sobre o corpo em movimento e determinamos as forças no bloco composto
de massa 2m. A força normal exercida pela superfície é agora dupla
FN = 2mg e verifica-se que a força aplicada necessária para que o bloco
deslize com a mesma velocidade também duplica, assim como a força de
atrito cinético, pois FK = Fa . Experiências deste tipo mostram que
FK = µ K FN , onde a constante de proporcionalidade µ K é uma grandeza
sem dimensões denominada coeficiente de atrito cinético.
Note que a equação
FK = µ K FN relaciona apenas os módulos das forças, pois
estas têm direcções perpendiculares entre si.
Estática 2003/04 – Pág.
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Experimentalmente verifica-se ainda que:
• a força de atrito cinético depende da natureza e condição das duas
superfícies de contacto. Usualmente
0,1 < m K < 1,5 ;
• a força de atrito cinético é
praticamente independente da
velocidade;
• a força de atrito cinético é
praticamente independente da área
da superfície de contacto.
3.6.1.3. Força de atrito estático
Entre dois corpos sem movimento relativo
também pode existir uma força de atrito; é a
força de atrito estático, Fs.
Na figura, a força aplicada ao bloco vai
aumentando progressivamente, mas o bloco
G G
permanece em repouso. Como a = 0 em todos
os casos, a força aplicada e a força de atrito
estático exercida pela superfície são iguais e
opostas. A força de atrito estático máxima,
Fs,máx ocorre quando o bloco está na iminência
de se deslocar.
Experimentalmente mostra-se que
FS , max = µ S FN , onde a constante de
proporcionalidade µ S é o coeficiente de
atrito estático.
Analogamente a
µ K , o coeficiente
µ S depende da
natureza e condição das duas superfícies
de contacto, e é praticamente
independente da área da superfície de
contacto.
Estática 2003/04 – Pág.
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3.6.2. Outras forças relevantes
3.6.2.1.
Tensão e tracção
Corpo suspenso por um fio
Duas forças actuam sobre o corpo:
G
G
P = mg - o peso do corpo;
G
T – a força de tensão – força que o
fio exerce sobre o corpo.
Corpo puxado, sem/com atrito
Forças que actuam sobre o corpo:
G
G
P = mg ;
G
FN - força de reacção exercida pela
superfície (normal à superfície);
G
Ft – a força de tracção;
G
G
FK , FS - força de atrito (quando
considerado).
3.6.2.2. Força
elástica
Corpo suspenso por
uma mola elástica
Sobre o corpo actuam:
G
G
P = mg ;
G
FE – a força elástica
3.6.2.3.
Ao
Ao
+∆
A
F2
FE
m
m •
•
P
P
Para pequenas deformações:
G
FE = K DA
K – constante elástica da mola
Impulsão
Corpo de volume V, em repouso, mergulhado num
fluido de massa volúmica ρ. (Lei de Arquimedes)
Duas forças actuam sobre o corpo:
G
G G
P = mg ; I – impulsão – resultante das forças que o
fluido exerce sobre o corpo.
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G
I
•
G
P
G
I = r gV