Preparação de um Artigo no Formato Duas

Modelagem de Sistemas de Aterramento Utilizando
a Teoria de Parâmetros Distribuídos
Claudiner Mendes de Seixas1,2, Anderson Ricardo Justo de Araújo1
1
2
Departamento de Engenharia Elétrica, Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira, UNESP, Ilha Solteira, SP, Brasil
Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de São Paulo, IFSP-Campus Votuporanga, Votuporanga, SP, Brasil
Sérgio Kurokawa
Departamento de Engenharia Elétrica, Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira, UNESP, Ilha Solteira, SP, Brasil
Resumo  O presente trabalho apresenta uma nova técnica de
modelagem de eletrodo de aterramento elétrico, submetido a
correntes impulsivas de descarga atmosférica, baseada na teoria
de linhas de transmissão a parâmetros distribuídos. A técnica
permite transformar o sistema de aterramento em circuito
elétrico, considerando as influências da frequência, a geometria
do aterramento, a permissividade e a resistividade do solo.
®
Desenvolvida utilizando simulações no Matlab e comprovadas
no PS/Orcad®, foi validada comparando-se as respostas
transitórias do circuito equivalente com as respostas das funções
hiperbólicas, convertidas para o domínio do tempo. Uma
vantagem desta técnica é que o circuito equivalente possibilita
análises diretamente no domínio do tempo e permite associação
com outros sistemas, como por exemplo, ao modelo de uma torre
de transmissão, para obtenção da resposta do conjunto.
Palavras-chaves

Aterramento
elétrico,
descargas
atmosféricas, linha de transmissão, resistividade do solo,
correntes impulsivas, modelagem.
I. INTRODUÇÃO
Os trabalhos abordando sistemas de aterramento elétrico,
especialmente quando submetidos a descargas atmosféricas,
tem despertado ao longo do tempo a atenção de muitos
pesquisadores, pois deles dependem o bom funcionamento e
a confiabilidade dos sistemas elétricos. A utilização de novas
ferramentas computacionais e novos estudos visando o
projeto de sistemas de aterramento torna-se de fundamental
importância no planejamento da transmissão, distribuição e
consumo de energia elétrica.
De acordo com a literatura técnica, a modelagem de
sistemas de aterramento elétrico é feita apoiada basicamente
por três teorias, a saber: a) teoria de circuitos elétricos baseada na representação do comportamento das descargas
atmosféricas por componentes de circuitos elétricos [1]-[2];
b) teoria de linhas de transmissão – baseada nas equações de
propagação de onda [3]-[4]. Segundo [5], a modelagem com
base nessa teoria não é tão complexa e apresenta resultados
precisos
para
grande
maioria
dos
transitórios
eletromagnéticos no sistema de aterramento e c) teoria de
campos eletromagnéticos – baseada nas equações de Maxell,
os modelos são mais complexos comparados aos anteriores,
porém apresentam boa precisão pois necessitam de poucas
simplificações [6]-[7].
Existem também diversos trabalhos utilizando abordagem
híbrida, isto é, uma combinação das teorias de circuitos e de
campos eletromagnéticos [8]-[9].
A modelagem pela aplicação direta da Teoria de Linhas de
Transmissão (TLT) tem por inconveniente não fornecer as
respostas diretamente no Domínio do Tempo (DT). Este
trabalho tem por objetivo propor uma técnica nova para
obtenção de um modelo diretamente no DT, usando modelos
e ferramentas existentes (TLT, aproximação por funções
racionais, análise de circuitos elétricos), para determinar a
impedância de um eletrodo horizontal de aterramento, a partir
das tensões e correntes obtidas no Domínio da Frequência
(DF) pela TLT. A técnica utiliza a aproximação pelo método
dos mínimos quadrados realizada por meio do vector fitting
[10] para obtenção da função racional representativa da
impedância harmônica, a partir da qual se determina o
circuito equivalente (composto por elementos R, L e C) que
representa, diretamente no domínio do tempo, os parâmetros
(R, L, G e C) distribuídos ao longo do eletrodo e do solo. A
maior contribuição deste trabalho é o desenvolvimento da
técnica usada para obtenção do modelo diretamente no DT
(circuito elétrico equivalente), aplicando a TLT a parâmetros
distribuídos, que considera a influência dos efeitos da
frequência, sem necessidade do uso da transformada inversa
de Fourier para conversão das respostas (tensões e correntes)
do DF para o DT. Assim, o circuito elétrico equivalente pode
ser simulado em softwares disponíveis no mercado, que
realizam simulações no DT, para obtenção direta das
respostas transitórias de tensão e corrente.
Para análise transitória de um sistema real de aterramento,
tipo cabos contrapeso de torres de transmissão, aplicando a
técnica proposta neste trabalho, é necessário conhecer os
parâmetros (resistividade, permissividade) do solo, a
geometria do aterramento (comprimento, raio, resistividade e
profundidade de enterramento do eletrodo), disponibilizar de
softwares de simulação, como por exemplo o Matlab® e.
aplicar a técnica descrita a seguir.
II. MODELO PROPOSTO PARA SISTEMA DE ATERRAMENTO
As equações diferenciais que descrevem as tensões e
correntes ao longo de uma linha de transmissão são dadas em
função da distância x, por (1) [4].
(1-a)
conforme descrito por [11] e [12]. Na Fig. 2 é apresentado
um esquema simplificado destes parâmetros.
(1-b)
Como estas equações são de difícil solução no domínio do
tempo, a solução será obtida no domínio da frequência. Para
isso (1) podem ser reescritas conforme (2) [4].
Fig. 2. Parâmetros (R, L, G e C) distribuídos, para eletrodo enterrado.
(2-a)
(2-b)
As equações (5-a) a (5-d) mostram como estes parâmetros
foram calculados, considerando u=1m (comprimento unitário
do eletrodo).
(5-a)
Sendo:
a impedância longitudinal da linha e,
admitância transversal da linha.
(5-b)
Analisando o eletrodo de aterramento como um
quadripolo, Fig.1, a partir das grandezas físicas de correntes e
tensões nos seus terminais emissor (A) e receptor (B), a
relação estabelecida entre essas grandezas é dada por (3),
considerando que a corrente IB(s) no terminal receptor, em
aberto para eletrodo de aterramento, é zero [11].
*
(
[
(
√
(3-a)
(3-b)
Sendo γ a função de propagação expressa por (4-a) e Zc a
impedância característica dada por (4-b), ambas dependendo
dos parâmetros do eletrodo e do solo dados por (5).
√
(4-a)
√
√
√
(4-b)
Para solução de (3), os parâmetros longitudinais R
(resistência em Ω/m) e L (indutância em H/m) e transversais
G (condutância em S/m) e C (capacitância em F/m) do
eletrodo/solo foram calculados, por unidade de comprimento,
+
)
]
(5-c)
(5-d)
*
Fig. 1. Tensões e correntes nos terminais do eletrodo.
√
)
(
√
)
+
Sendo ρcu a resistividade do cobre em Ω.mm2/m, ρ a
resistividade do solo em Ω.m, μ a permeabilidade magnética
do solo em H/m, ε a permissividade elétrica do solo em F/m e
e
a permeabilidade magnética (H/m) e a
permissividade elétrica (F/m), respectivamente, do vácuo. As
constantes geométricas do sistema de aterramento, dadas em
metros, são o raio r da seção transversal do eletrodo e a
profundidade h na qual o eletrodo encontra-se aterrado.
Fazendo-se algumas manipulações matemáticas, a partir de
(3) determina-se a impedância harmônica (ZA=VA/IA) e
Admitância harmônica (YA), conforme (6).
(6-a)
(6-b)
Com os valores de corrente e de tensão obtidos no domínio
da frequência, por meio de transformada inversa de Fourier,
obtêm-se os resultados no domínio do tempo [13]. Essa
forma de onda será considerada como padrão para validação
do modelo proposto, composto por elementos de circuito
RLC.
Aplicando-se no resultado (curva da admitância) obtido
pelas funções hiperbólicas (6-b), o método de aproximação
baseado nos mínimos quadrados chamado de Vector Fitting
(VF), obtém-se as funções racionais do tipo apresentada em
(7) que representam com bastante precisão a mesma curva da
admitância YA(s) obtida pelas funções hiperbólicas.
O objetivo do VF é aproximar a resposta em frequência
F(s) por frações parciais, conforme (7). Nesta aplicação a
função genérica F(s) é a admitância YA(s).
Fig.4. Circuito equivalente para polos complexos conjugados
∑
(7)
A admitância YC(s) do circuito equivalente pode ser
calculada por (12)
Onde D é o termo constante E é o termo dependente da
frequência, ci são os resíduos, ai os polos e s o operador igual
a j2πf, sendo f a frequência. Tanto os resíduos como os polos
podem ser números reais ou complexos. Simplificando (7),
fazendo D e E igual a zero, F(s) dependerá das frações
parciais que podem ser de dois tipos:
a) Quando ci e ai são reais:
(
)
(12)
(
)
(
)
Comparando-se (11-b) e (12) obtém-se os elementos R, L e
C do circuito equivalente, conforme (13) [14].
Nesse caso a fração parcial é do tipo mostrado em (8) e um
circuito elétrico equivalente é apresentado na Fig.3 [14]:
(13-a)
(8)
(13-b)
(13-c)
Fig. 3. Circuito RL equivalente para polos reais
(13-d)
A admitância YR(s) do circuito equivalente pode ser
calculada por (9).
Sendo:
*
( )
(
)+ e
(9)
( )
Igualando-se (8) e (9) obtém-se os elementos R e L
do circuito equivalente, conforme (10).
(10-a)
(10-b)
b) Quando ci e ai são complexos conjugado:
Nesse caso a fração parcial é do tipo mostrado em (11) e
um circuito elétrico equivalente é apresentado na Fig.4 [14]:
(11-a)
(11-b)
Dependendo da resposta obtida pelo vector fitting
(resíduos/polos reais ou complexos) se aplica o circuito da
Fig. 3, da Fig. 4 ou a combinação deles para se obter o
modelo proposto.
III. RESULTADOS DE SIMULAÇÃO
O sistema de aterramento abordado neste estudo é
representado por um eletrodo de aterramento horizontal,
similar a um cabo contrapeso de uma torre de transmissão,
conforme apresentado na Fig. 1. Nas simulações foram
considerados: um eletrodo de raio 0,004 m enterrado a uma
profundidade de 0,7m, solo com permissividade elétrica
relativa igual a 15 e permeabilidade magnética relativa igual
a 1, permissividade elétrica e a permeabilidade magnética do
vácuo de 8,8541878176.10-12 F/m e 4.π.10-7 H/m,
respectivamente.
O impulso atmosférico IA(s) é representado por uma onda
de frente rápida, tipicamente 1,2/20µs, com pico de 1.000A,
matematicamente expressa por uma função dupla
exponencial, injetada no terminal emissor do eletrodo.
As simulações foram realizadas no software Matlab®, para
alguns casos, a fim de comprovar a eficiência e validade do
modelo, além de servir como exemplos numéricos.
Para se chegar ao resultado final, mostrado nas simulações
dos itens (A), (B) e (C), se percorreu o seguinte caminho:
a) Foi obtida a admitância harmônica equivalente ao
aterramento, por meio das funções hiperbólicas, a partir de
(6-b);
b) Aplicou-se o impulso de corrente IA(s) na admitância
YA(s) e se obteve, após conversão para o domínio do tempo,
a forma de onda da elevação da tensão VA1(t) no ponto de
injeção de corrente, conforme esquema mostrado na Fig. 5
[16]. Essa forma de onda foi adotada como padrão para
posterior validação do modelo proposto;
c) Por meio de aproximação, usando-se o vector fitting, se
determinou as funções racionais que representam a
admitância (módulo e fase) do aterramento;
d) A partir das funções racionais obteve-se o circuito elétrico
equivalente ao aterramento, bem como os valores dos
elementos discretos R, L e C;
e) De posse do circuito elétrico equivalente, aplicou-se um
impulso de corrente IA(t) (no DT) conforme mostrado no
esquema da Fig. 6 e se obteve a forma de onda da elevação
da tensão VA2(t) no ponto de injeção da corrente.
f) As formas de ondas das tensões VA1(t) e VA2(t) foram
comparadas, para validação do modelo;
O circuito elétrico foi simulado no Matlab®, no domínio da
frequência e a resposta foi convertida para o domínio do
tempo. Ele também foi simulado no PSpice® (Orcad),
diretamente no domínio do tempo. Os dois resultados, como
esperado pois se trata do mesmo circuito, foram praticamente
idênticos. Por isso, nesse trabalho, foram mostrados apenas
os resultados obtidos via Matlab®.
(14)
A partir de (14) foi obtido o circuito equivalente
apresentado na Fig. 7. Os elementos calculados para o
circuito RLC equivalente foram: R=555,65Ω, L=22,45µH,
R1=1,64Ω, L1=780,81ηH, R2=82,08Ω e C=1,93ηF.
Fig.7. Circuito RLC equivalente ao aterramento (5m/1.000Ω.m)
A elevação de tensão obtida no terminal A, VA1 (tensão
padrão via funções hiperbólicas) e V A2 (tensão via modelo
proposto) está apresentada na Fig. 8.
Fig. 5. Obtenção da tensão padrão VA1, via funções hiperbólicas.
Fig. 6. Obtenção da tensão VA2 via circuito RLC
Fig. 8. Elevação de tensão no terminal emissor
(curvas VA1- padrão, VA2 – modelo RLC).
A. Simulação para comprimento do eletrodo de 5m e
resistividade do solo de 1.000Ωm.
B. Simulação para comprimento do eletrodo igual a 5m e
resistividade do solo de 500Ωm.
Nessa simulação foi obtida, como resultado da
aproximação da curva da admitância, a função racional
representada em (14).
Nessa simulação foi obtida, como resultado da
aproximação da curva da admitância, a função racional
representada em (15).
L1=61,65ηH, R1=42,00Ω, L2=989,33ηH e R2=8,81Ω.
(15)
A partir de (15) foi obtido o circuito equivalente, similar ao
apresentado na Fig. 7. Os elementos calculados para o
circuito RLC equivalente, foram: R=95,88, L=1,79µH,
R1=6,70Ω, L1=832,79ηH, C= 2,14ηF e R2=51,92Ω.
A elevação de tensão obtida no terminal A, VA1 (tensão
padrão via funções hiperbólicas) e VA2 (tensão via modelo
proposto) está apresentada na Fig. 9.
Fig.10. Circuito RL equivalente ao aterramento (5m/100Ω.m)
Aplicando-se o impulso de corrente IA(t) no circuito da
Fig. 7 obteve-se a elevação da tensão VA2 no terminal A,
conforme mostrado na Fig. 11. A tensão VA1 é a tensão
considerada padrão obtida pelas funções hiperbólicas.
Fig. 9. Elevação de tensão no terminal emissor
(curvas VA1- padrão, VA2 – modelo RLC)
C. Simulação para comprimento do eletrodo igual a 5m e
resistividade do solo de 100Ω.m.
Nessa simulação foi obtida a função racional representada
em (16), como resultado da aproximação da curva da
admitância.
Fig. 11. Elevação de tensão no terminal emissor
(curvas VA1- padrão, VA2 – modelo RLC)
Mesmo resultado obtido na simulação mostrada na Fig. 11
pode ser obtido utilizando-se o circuito equivalente mostrado
na Fig. 12, cujos elementos calculados para o circuito RLC
equivalente, encontram-se descritos a seguir:
L1a=61,87ηH, C1a=1,65ηF,
R1a=26,97Ω,
R2a=13,74Ω,
L1b=1,00µH, C1b=1,25µF, R1b=8,80Ω,
R2b=0,09Ω
(16)
Essa função racional da forma como foi obtida em (16)
(resíduo negativo) não é fisicamente implementável por
circuitos RLC [15] e por isso foi feito algum ajuste, usando
apenas duas frações parciais reais, desconsiderando a fração
parcial cujo resíduo é negativo. O valor de R1 também foi
reajustado e o circuito elétrico equivalente obtido deste
sistema de aterramento está apresentado na Fig. 10. Os
valores dos elementos R e L foram ajustado conforme
descrito a seguir:
Fig.12. Circuito RL equivalente ao aterramento (5m/100Ω.m)
Observa-se nas três simulações anteriores que as curvas
VA1 e VA2 são praticamente coincidentes, o que mostra que o
modelo é preciso, para baixa, média e alta resistividade, 100,
500 e 1.000 Ω.m, respectivamente. Verifica-se também que
quanto maior a resistividade do solo, maior será a
sobretensão causada no ponto de injeção do impulso de
corrente, para mesmo comprimento de eletrodo.
IV. REFERENCIAS
[1]
A. Geri. "Behaviour of Grounding Systems Excited by High Impulse
Currents: the Model and Its Validation ". IEEE Transactions on
Power Delivery, Vol. 14, No. 3, July 1999.
[2]
A. F. Otero, J. Cidras, and J. L. del Alamo. "Frequency-dependent
grounding system calculation by means of a conventional nodal
analysis technique". IEEE Transactions on Power Delivery, Vol. 14,
No. 3, July1999.
[3]
M. I. Lorentzou, N. D. Hatziargyriou, and B. C. Papadias. "Time
domain analysis of grounding electrodes impulse response". IEEE
Transactions on Power Delivery, Vol. 18, No. 2, April 2003.
[4]
A. Budner. ―Introduction of Frequency-Dependent Line Parameters
into an Electromagnetic Transients Program‖. IEEE Trans. on Power
Apparatus and Systems , Vol. 89, No 1, pp 88-97, January 1970.
[5]
Y. Liu, M. Zitnik, and R. Thottappillil: "An improved transmissionline model of grounding system", IEEE Transactions on
Electromagnetic Compatibility, Vol. 43, No. 3, pp. 348-355, August
2001.
[6]
L. Grcev, "Lightning surge efficiency of grounding grids," IEEE
Trans. Power Del., Vol. 26, No. 3, pp. 1692-1699, July 2011.
[7]
B. Nekhoul, P. Labie F. X. Zgainski and G. Meunier, "Calculating the
impedance of grounding systems, "IEEE Transactions on Magnetics,
Vol. 32, No. 3, May 1996.
[8]
F. Dawalibi. ―Electromagnetic fields generated by overhead and
buried short conductors, part II—ground networks‖, IEEE
Transactions on Power Delivery, Vol. PWRD-1, No. 4, pp. 112–119,
October 1986.
[9]
A. F. Otero, J. Cidras, and J. L. Alamo. ―Frequency-dependent
grounding system calculation by means of a conventional nodal
analysis technology‖. IEEE Transactions on Power Delivery, Vol.
PWRD-14, No. 3, pp. 873–877, July 1999.
IV. CONCLUSÃO
Esse trabalho apresentou uma técnica de modelagem capaz
de representar um sistema de aterramento, diretamente no
DT, por elementos de circuitos elétricos que representam os
parâmetros distribuídos ao longo do eletrodo. Consiste em
uma nova ferramenta para análise de transitórios
eletromagnéticos em sistemas de aterramento elétrico.
O modelo se mostrou bastante preciso e não requer grandes
recursos computacionais. As simulações podem ser realizadas
diretamente no DT pela maioria dos softwares de simulação
disponíveis no mercado.
Este modelo (baseado na TLT a parâmetros distribuídos)
tem vantagem sobre os modelos baseados na mesma teoria,
porém com parâmetros concentrados, por ser mais preciso em
altas frequências. Também leva vantagem por ser menos
complexo que os modelos baseados nas teorias de circuitos
elétricos e de campos eletromagnéticos, visto que apresenta
precisão suficiente para as análises de transitórios.
Outra vantagem desse modelo é que ele permite a
associação com outros elementos de circuito, como por
exemplo, o modelo de uma torre de transmissão, para se fazer
a análise transitória do conjunto.
Os modelos apresentados nas Fig. 7 e 10 atendem vários
comprimentos de eletrodo e diferentes resistividades de solo,
porém podem existir situações particulares que necessitem
algum ajuste no modelo, como foi o caso da simulação do
item (C).
Para análise transitória de um sistema real de aterramento,
aplicando a técnica proposta neste trabalho, é necessário
conhecer os parâmetros (resistividade, permissividade) do
solo, a geometria do aterramento (comprimento, raio,
resistividade e profundidade de enterramento do eletrodo) e
disponibilizar de softwares de simulação (ex.: Matlab®).
Neste trabalho foi apresentada e testada a modelagem
somente para eletrodo de aterramento horizontal
(contrapeso). No entanto, a técnica também pode ser
empregada para hastes verticais, substituindo a formulação
dos parâmetros pertinentes ao eletrodo horizontal (5) pela
pertinente à haste vertical, que podem ser encontradas, dentre
outras, em [17].
Neste trabalho não foi levado em consideração a ionização
do solo nem a variação da resistividade e permissividade do
solo em função da frequência.
[10] B. Gustavsen, A. Semlyen, "Rational approximation of frequencydomain responses by vector fitting", IEEE PES Winter Meeting,
Tampa, Florida, p.2-6, February 1998.
[11] L. Grcev and S. Grceva, ―On HF circuit models of horizontal
grounding electrodes,‖ IEEE Trans. Electromagn. Compat., Vol. 51,
No. 3, pp. 873–875, August 2009.
[12] R. Velazquez, D. Mukhedkar. ―Analytical modelling of grounding
electrodes transient behavior‖. IEEE Trans. on Power Apparatus and
Systems, Vol.PAS-103, No. 6, p.1314-1322, June 1984.
[13] P. Moreno and A. Ramirez. ―Implementation of the numerical Laplace
transform: A review‖. IEEE Trans. Power Del., vol. 23, no. 4,
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[14] G.Antonini, A. Ciccomancini Scogna, A. Orlandi, V. Ricchiuti,
G.Selli.
“Frequency and
Time Domain
Measurement‖.
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Vol.1, No., pp.45,50, 12-12 August 2005.
[15] T. Daszczynskl, M. Zdanowski. ―Vector fitting implementation for
use of modeling of reduced self-capacitance inductor‖. Przegląd
elektrotechniczny, R. 89 NR 8/2013.
[16] C. M. Seixas, S. Kurokawa, E. C. M. Costa, R. C. Silva. ―Análise
sobre Aterramentos Elétricos em Função da Resistividade do Solo e
da Frequência‖. Simpósio Brasileiro de Sistemas Elétricos - SBSE2014. Foz do Iguaçu-PR. p.1-6, Abril 2014.
[17] L. Grcev and M. Popov, ―On high-frequency circuit equivalents of a
vertical ground rod,‖ IEEE Trans. Power Del., Vol. 20, No. 2, pp.
1598–1603, April 2005.