atividades didáticas para o ensino do sistema métrico

X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
ATIVIDADES DIDÁTICAS PARA O ENSINO DO SISTEMA MÉTRICO DECIMAL
E DE MASSA USANDO A HISTÓRIA DA MATEMÁTICA
Ana Priscila Borges Bermejo
Universidade do Estado do Pará
[email protected]
Mônica Suelen Ferreira de Moraes
Universidade do Estado do Pará
[email protected]
Rosineide de Sousa Jucá
Universidade do Estado do Pará
[email protected]
Vagner Viana da Graça
Universidade do Estado do Pará
[email protected]
Resumo: O objetivo deste trabalho é propor e discutir atividades didáticas com o uso da
história da matemática para introduzir o sistema métrico decimal e o sistema de medidas de
massa. O interesse pelo tema surgiu nas aulas da disciplina História da Matemática, onde por
diversas vezes levantamos questionamentos sobre as dificuldades da utilização da História da
Matemática no contexto de sala de aula e da importância que a mesma possuía para responder
aos questionamentos dos alunos sobre a origem da matemática. Para a realização desse
trabalho fizemos uma pesquisa histórica para conhecermos a história do sistema de medidas e
buscamos apoio nos estudos que incentivam o uso da história da matemática como atividade
didática para que os alunos possam compreender melhor os conceitos matemáticos e conhecer
a história da matemática. Esperamos assim, oferecer sugestões para o uso da história da
matemática, colaborando assim com processo de ensino-aprendizagem.
Palavras-chave: Educação Matemática; História da Matemática; Sistema Métrico Decimal.
INTRODUÇÃO
A História da Matemática serve para mostrar o aparecimento da matemática no
desenvolvimento das sociedades, dessa forma, podemos ver que a história da matemática se
mistura com o próprio desenvolvimento da humanidade, pois temos vestígios de matemática
sendo realizada nas eras mais primitivas da humanidade. Segundo Boyer (1996), documentos
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cuneiformes tinham grande durabilidade; por isso milhares de tabletas feitas de barro
sobreviveram até os nossos dias, muitos datando de cerca de 4.000 anos. Apesar de somente
uma fração dessas se referirem à matemática.
Outro documento que vem mostrar o quanto a matemática é antiga, são os papiros, que
chegam a datar mais de três e meio milênios, um dos papiros egípcios mais extensos de
natureza matemática é o papiro de Ahmes, que recebe este nome em homenagem ao escriba
que o copiou por volta de 1650 a.C. e depois passou a ser chamado de papiro de Rhind em
homenagem ao escocês que o comprou em 1858 (BOYER, 1996).
Ao usar a história da matemática em sala de aula mostramos ao aluno seu caráter
humano e que a mesma foi surgindo pela necessidade da sociedade fazendo com que o aluno
compreenda como os conceitos matemáticos foram desenvolvidos. Fauvel (apud Mendes,
2006) aponta varias razões para usar a história na educação matemática, dentre os que já
expusemos. Acreditamos que uma das melhores razões é ajudar a explicar o papel da
matemática na sociedade, pois muitas vezes os alunos não conseguem perceber a utilização da
matemática no seu cotidiano.
A nossa principal fonte de embasamento teórico são os estudos realizados por Mendes
(2001) que faz referência as atividades de aprendizagem na perspectiva construtivista que
quando integradas ao conhecimento histórico da matemática, trazem um significado mais
amplo, completo e transdisciplinar ao conhecimento que se pretende construir em sala de aula.
Esse conhecimento, segundo ele, pode estar implícito, através de problemas suscitados na
atividade ou explícito nos textos históricos resgatados de fontes primárias ou secundárias,
como os textos originais e livros sobre história da matemática.
Mendes (2006) defende o papel pedagógico da história da matemática de acordo com
o nível educacional dos estudantes, cabendo ao professor adequar o uso da história de acordo
com as necessidades e possibilidades de aprendizagem dos alunos. Assim, a história poderá
ser abordada em diferentes níveis, desde que, o professor seja preparado para utilizar a
história da matemática imbricada na matemática ensinada.
Dessa forma, procuramos uma maneira de aproximar a história da matemática do
contexto de sala de aula, por acreditarmos que ao introduzir um conceito matemático por meio
dela, podemos estar oferecendo um conhecimento mais significativo para o aluno. Sendo
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necessário conduzir o aluno a pensar como os conceitos matemáticos foram construídos. Para
isso, é necessário reproduzir situações que levem o aluno a construir tais pensamentos.
Mendes (2006), entretanto, coloca que usar a história da matemática em sala de aula
não pressupõe que o professor tenha apenas que pedir aos alunos que refaçam os passos do
descobrimento de um conceito matemático de acordo com a época que o conceito foi
construído, mas partir da incorporação dos aspectos socioculturais que os alunos
compreendem e explicam sua realidade.
Para Brito e Carvalho (2009) o uso da história pode possibilitar criar problemas que
permitam levantar discussões sobre dúvidas que freqüentemente os alunos apresentam sobre a
matemática. Assim, a utilização da história na forma de problemas, mesmo que não sejam os
mesmos que a história da matemática apresenta, mas que sejam recriações destes, pode
responder aos questionamentos dos alunos sobre a origem dos conceitos matemáticos.
Os Parâmetros Curriculares Nacionais, Brasil (1998) colocam que a História da
Matemática, pode oferecer uma importante contribuição ao processo de ensino e
aprendizagem. Pois ao revelar a matemática como uma criação humana, de diferentes culturas
e em diferentes momentos históricos, ao comparar o passado com o presente, o educador cria
condição para que o aluno desenvolva atitudes e valores mais favoráveis acerca desse
conhecimento. Nesse sentido, os Parâmetros Curriculares defendem a história da matemática
como instrumento de resgate da própria identidade cultural.
Takada (2003) apresenta uma atividade didática usando a história da matemática para
que os alunos aprendam o sistema métrico decimal. Em sua atividade os alunos usaram
materiais de diferentes tamanhos para realizarem medidas e poderem perceber as dificuldades
dos povos antigos na realização das medidas, já que não havia naquela época uma unidade
padrão e assim chegar à formalização do sistema métrico decimal.
Dessa forma, temos por objetivo propor e discutir atividades didáticas com o uso da
história da matemática para introduzir o sistema métrico decimal e o sistema de medidas de
massa por acreditarmos que usando a história da matemática, esses conteúdos passam a ter
mais significado para o aluno.
A HISTÓRIA E O SISTEMA DE PESOS E MEDIDAS
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A necessidade de medir é muito antiga e remonta à origem das civilizações. O seu
aparecimento, como comenta Santos (2005), se deu através da necessidade do homem de
medir espaço para construção de habitações, o desenvolvimento de sua agricultura e o
desenvolvimento econômico. Por um longo tempo cada país, cada região, teve seu próprio
sistema de medidas. Essas unidades de medidas, entretanto, eram geralmente arbitrárias e
imprecisas, como por exemplo, aquelas baseadas no corpo humano: palmo, pé, polegada,
braça, côvado.
Implicando assim muitos problemas para o comércio, pois as pessoas de uma região
não estavam familiarizadas com o sistema de medir das outras regiões, e pelo fato de que os
padrões adotados serem, muitas vezes, subjetivos. As quantidades eram expressas em
unidades de medir pouco confiáveis, diferentes umas das outras e que não tinham
correspondência entre si (ZUIN, 2007).
Os sistemas de Pesos e Medidas são o resultado de uma evolução gradual sujeita a
muitas influências. É difícil, portanto, estabelecer um percurso lógico e claro para o seu
aparecimento. Contar foi, talvez, a forma mais primitiva de medir. As comunidades préhistóricas utilizavam as unidades dos seus produtos principais para se exprimirem nas trocas.
Por exemplo, um agricultor avaliava (media) uma ovelha em mãos cheias de trigo ou outro
grão das suas produções. O sistema de medida por unidades de troca durou milênios
(BOYER, 1996).
O desenvolvimento e aplicação de medidas lineares, antes do aparecimento das de
peso e capacidade, apareceram entre 10.000 e 8.000 anos a.C. As unidades de medida nesses
tempos baseavam-se na comparação com objetos naturais. Depois começaram a se utilizar
algumas dimensões do corpo humano como padrão de medidas lineares. Podemos citar como
exemplo os egípcios que chamavam à distância entre o cotovelo e a extremidade do dedo
médio, a Braça (VOMERO, 2003).
Entretanto, alguns povos, perceberam que havia alguma uniformidade entre os pesos
de algumas sementes e grãos e assim tomaram-nos para bitolas de peso. O Carat é um
exemplo, onde ainda hoje é usado pelos joalheiros modernos e resultou do peso da semente de
alfarroba; o Grão também ainda usado como unidade de peso, tem origem no peso das
sementes do trigo ou da cevada (ZUIN, 2005).
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Cada civilização da Antigüidade tinha o seu próprio sistema de medidas. No Egito,
país onde foi inventada a balança, cerca de 5 mil anos antes de Cristo, as medições eram
consideradas de suma importância. Sustentavam o burocrático Estado egípcio. A economia
egípcia era baseada na agricultura e na cobrança de impostos, portanto, o uso de medidas
padronizadas tornou-se fundamental. Na agricultura, os egípcios usavam cordas para fazer a
medição, havia uma unidade de medida assinada na própria corda através de um nó. As
pessoas encarregadas de medir esticavam a corda e verificavam quantas vezes aquela unidade
de medida estava contida nos lados do terreno. Ficando conhecidas como estiradores de
cordas (VOMERO, 2003).
As primeiras medidas egípcias, como as de outros povos da época, eram inspiradas no
corpo humano. A unidade mais usada era o côvado, a distância do cotovelo até a ponta do
dedo médio. O padrão real correspondia a 7 palmos ou 28 dedos, o que equivaleria hoje a 52,3
centímetros. Para comparações de massa, eram usados pesinhos com formatos de animais,
como leões e touros. Muitos deles foram encontrados em tumbas e pirâmides. Os egípcios
viam os instrumentos de medida como artefatos muito valiosos, sendo muitas vezes esses
instrumentos sepultados com seu proprietário.
Provavelmente a mais antiga medida linear usada pelos egípcios, babilônios e hebreus,
foi a braça ou cúbito. A Braça, ainda hoje é usada na marinha como medida de comprimento
para designar profundidades ou cabos e linhas dos aprestos marítimos (DIAS, 1998).
Os gregos adaptaram alguns padrões dos sistemas desenvolvidos pelos egípcios e
babilônios, mas introduziram uma nova unidade: o Pé. Os gregos antigos usavam a largura de
um dedo como sua unidade básica, e 24 dedos formavam um cúbito grego (SANTOS, 2005).
De acordo com Vomero (2003), na Roma antiga, as medidas oficiais também eram
valorizadas e respeitadas. No centro das cidades do Império Romano, funcionava uma espécie
de escritório onde havia uma bancada com os principais padrões, tanto de comprimento
quanto de volume, os romanos iam até lá para conferir as medidas de suas ânforas e réguas. O
sistema romano de medidas, bastante influenciado pelo grego, era composto de unidades
como polegada, pé, onça e libra. Os nomes ainda são usados para as medidas usadas
atualmente no sistema imperial britânico, com valores diferentes.
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Dias (1998) explica que no obscurantismo da Idade Média quase todos os sistemas de
medidas desapareceram. Cada cidade, território ou província usava as suas medidas com os
conseqüentes erros, fraudes e enganos nos mercados.
A primeira tentativa de unificação das medidas veio com o imperador francês Carlos
Magno, no século VIII. Ele criou, por exemplo, um conjunto de pesos chamado de pilha de
Carlos Magno e instituiu a libra esterlina, equivalente hoje a 350 gramas. Mas essas unidades
não perduraram. Durante a Idade Média, cada senhor feudal manteve, dentro das terras que
lhe pertenciam, os seus próprios padrões de medida, era uma forma de dominação. As
medições se tornaram arbitrárias e, não raro, as populações eram exploradas por mercadores e
senhores feudais que usavam padrões pequenos para a venda de mercadorias e grandes para a
compra dos produtos agrícolas (ZUIN, 2007).
O uso de diferentes padrões de medidas entre as nações e mesmo dentro de um único
país vigorou durante toda a Idade Moderna. O absolutismo político reinante na Europa não
dava espaço para a revolucionária idéia de padronizar as medições. Uma das unidades de
comprimento mais comuns na França daquela época era o pied-de-roi (pé-de-rei), que hoje
equivaleria a 32,5 centímetros (VOMERO, 2003).
Zuin (2007) coloca que essa diversidade de medidas obstruía a comunicação e o
comércio e atrapalhava a administração do Estado. Além disso, de acordo com o mesmo
autor, tais medidas raramente eram precisas. Até o fim do século XVIII a precisão não era
essencial porque a prática capitalista ainda não estava difundida no mundo. A decisão de criar
um modelo de unidades que fosse universal, prático e exato finalmente se concretizou com a
Revolução Francesa, em 1789. O rompimento com as tradições feudais e absolutistas abriu
caminho para novas idéias.
Sob os princípios do Iluminismo, movimento ideológico que considerava a razão
como o pilar do desenvolvimento humano, a Academia Francesa de Ciências assumiu a
incumbência de criar medições padronizadas, elaborar um sistema de unidades baseado num
padrão da natureza, imutável e indiscutível. Com a natureza não pertencendo a ninguém, tal
padrão poderia ser aceito por todas as nações, inclusive a rival Inglaterra, e se tornaria um
sistema universal (SANTOS, 2005).
A academia convencionou, como afirma Zuin (2007), que a unidade padrão de
comprimento seria a décima milionésima parte da distância entre o Pólo Norte e o Equador.
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Medindo um arco, um segmento de um meridiano terrestre, se chegaria a unidade padrão.
Assim, por meio da astronômia, era possível calcular o comprimento total do meridiano. Uma
equipe de cientistas, liderada pelos astrônomos Jean-Baptiste Delambre e Pierre Méchain se
dedicou, durante sete anos, à missão, iniciada em 1792.
O resultado foi a definição do metro, um padrão constante e universal, com múltiplos e
submúltiplos, cujo primeiro modelo foi uma barra de platina regular. "O sistema métrico é um
modelo muito inteligente porque se baseia na linguagem decimal - uma linguagem prática e
lógica", afirma Ubiratan D'Ambrosio (apud, VOMERO, 2003).
ATIVIDADES PROPOSTAS
1ª Atividade: Medidas do Corpo
O objetivo dessa atividade é o de compreender a construção dos conceitos de medidas
nos povos antigos, bem como o conceito de medir, relacionando a medida usada pelos povos
antigos com o sistema métrico, e ainda desenvolver a habilidade de criar e medir utilizando
sua própria unidade de medida.
Os conceitos envolvidos nessa atividade são os de medidas, sistema métrico de
medidas e de conversão de medidas. O material utilizado é: lápis, régua, barbante, ficha de
anotações (Anexo 1).
Descrição da Atividade:
Parte I – Utilização do material concreto
1º passo: Dividir os alunos em grupos de cinco integrantes;
2º passo: Distribuir pedaços grandes de fio barbante para cada grupo e entregar as fixas de
anotações;
3º passo: Propor a escolha e medição com o fio barbante de alguma parte do corpo, tal escolha
será feita de acordo com os critérios de cada grupo;
4º passo: Depois de feita a medição, dar um nó para marcar a distância escolhida e continuar
dando nós com as distâncias iguais a primeira;
5º passo: Propor a mensuração da mesa do professor, um grupo de cada vez, com seus
respectivos fios de barbantes.
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6º passo: Cada grupo anotará nas fichas a medida da mesa e a parte do corpo escolhida como
unidade de medida;
Parte II – Exposição histórica e formalização do conceito de medidas
7º passo: Abordaremos sobre os processos de medidas utilizados pelos povos antigos,
associados à parte do corpo, cordas, nós, entre outros, e mostrar a relação da medição de tais
povos com a atividade proposta;
8º passo: Em seguida, elucidaremos sobre o desenvolvimento dos sistemas de medidas até se
chegar ao sistema métrico;
Parte III – Convenção de medidas
9º passo: Propor aos grupos para que, com o auxílio de réguas, meçam a primeira distância
marcada no fio barbante;
10º passo: Anotar a nova medida na ficha;
11º passo: Converter a medida da mesa feita anteriormente para o sistema métrico.
A atividade proposta envolve a utilização de material concreto, barbante, e a utilização
dos membros do corpo, buscando reconstruir a maneira de medir dos povos antigos. A opção
da escolha de uma parte do corpo, como unidade de medida vem da idéia de redescoberta do
conhecimento, defendida por Takada (2003), sendo elucidada a forma que os povos antigos
realizavam suas medidas, suas diferentes estratégias, estabelecendo a relação da estratégia
proposta com a utilizada antigamente.
2ª Atividade: Construção de Pesinhos
O objetivo dessa atividade e o de compreender a construção dos conceitos de medidas
de peso nos povos antigos, relacionando a forma de medida usada pelos povos antigos com o
sistema atual e desenvolver a habilidade de comparar e medir utilizando sua própria unidade
de medida.
Os conceitos envolvidos nessa atividade são os de medidas de peso e conversão de
medidas. Utilizando como material: lápis, balança mecânica, massa de modelar, ficha de
anotações (Anexo 2).
Descrição da Atividade:
Parte I – Utilização do material concreto
1º passo: Dividir os alunos em grupos de cinco integrantes;
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2º passo: Distribuir massa de modelar para cada grupo e entregar as fixas de anotações;
3º passo: Propor a confecção de animais utilizando o material já distribuído;
4º passo: Propor a escolha de um objeto (exemplos: livros, mochilas, bolsas etc.), tal escolha
será feita de acordo com os critérios de cada grupo;
5º passo: Cada grupo anotará nas fichas o animal confeccionado e o objeto escolhido;
Parte II – Exposição histórica e formalização do conceito de medidas
6º passo: Abordaremos sobre os processos de medidas utilizados pelos povos antigos,
associados à comparação das medidas de peso utilizadas diariamente relacionados com as de
animais, e mostrar a relação da medição de tais povos com a atividade proposta;
7º passo: Em seguida, elucidaremos sobre o desenvolvimento dos sistemas de medidas até se
chegar ao sistema de medidas atual;
Parte III – Comparação da medida dos pesos
8º passo: Propor aos grupos para que, com o auxílio de uma balança mecânica, meçam o peso
de cada animal e do objeto escolhido;
10º passo: Anotar as medidas na ficha;
11º passo: Propor a comparação do peso do animal com o do objeto escolhido, estabelecendo
a relação de quantos animais o objeto escolhido pesa.
Esta segunda atividade proposta envolve também a utilização de material concreto,
buscando reconstruir, não de forma fidedigna, a maneira de medir pesos dos povos antigos,
como proposto por Brito e Carvalho (2009). A opção da escolha da confecção de um animal,
como unidade de medida, veio do uso de pesos de animais comparados ao peso de objetos,
comidas, entre outros elementos que os povos antigos utilizavam como referência.
CONSIDERAÇÕES
Este trabalho teve como finalidade propor e discutir atividades didáticas com o uso da
história da matemática para introduzir o sistema métrico decimal e o sistema de medidas de
massa, através de uma pesquisa histórica para conhecermos o sistema de pesos e medidas e
como se deu o processo da universalização das unidades, buscando apoio nos estudos que
incentivam o uso da história da matemática como atividade didática.
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A relevância desse trabalho encontra-se na possível contribuição para a área da
Educação Matemática, oferecendo e discutindo sugestões de atividades para o uso da história
da matemática, colaborando assim com processo de ensino-aprendizagem, pois acreditarmos
que usando a história da matemática, esses conteúdos passam a ter mais significado.
Quando se fala da dimensão lógico-cultural e se diz que o indivíduo necessita entendêla para que faça uso da história como metodologia de ensino, pretende-se que através do
entendimento sócio-cultural dele compreenda satisfatoriamente a dimensão lógico-histórica
do outro. Com isso, o educador consegue trabalhar conceitos matemáticos, mostrando como
na época eram vistos e como atualmente ele também tem sua relevância.
REFERÊNCIAS
BOYER, Carl B. História da matemática. 2 Ed. Trad. Elza F. Gomide. São Paulo: Editora
Edgard Blücher, 1996.
BRASIL. Ministério da Educação e do Desporto. Secretaria de Educação Fundamental.
Introdução aos parâmetros curriculares nacionais: Brasília, 1998.
BRITO, A. de J.; CARVALHO, D. L. de. Utilizando a história no ensino de geometria. IN:
ANTONIO MIGUEL et al. História da matemática em atividades didáticas. São Paulo:
Editora livraria da física, 2009.
DIAS, José Luciano de Mattos. Medida, normalização e qualidade: aspectos da história da
metrologia no Brasil. Rio de Janeiro: Ilustrações, 1998.
MENDES, I. A. Ensino da matemática por atividades: uma aliança entre o construtivismo e a
história da matemática. Tese (Doutorado) - Universidade Federal do Rio Grande do Norte.
Natal, 2001.
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MENDES, I. A. A investigação histórica como agente da cognição matemática em sala de
aula. IN: MENDES, I. A. et al. A história como um agente de cognição na educação
matemática. Porto alegre: Sulina, 2006.
SANTOS, Jorge Alberto dos. As primeiras medições. 2005. Disponível em <
http://www.juliobattisti.com.br/tutoriais/jorgeasantos/matematicaconcursos010.asp>
Acessado em: 20/06/2009.
TAKADA, S. C. A história da matemática: uma tendência em educação matemática. 2003.
Trabalho de Conclusão de Curso (Curso de...) - Universidade Estadual do Oeste do Paraná.
Cascavel, 2003.
VOMERO, Maria Fernanda. Medidas Extremas. Superinteressante. Edição 186, março, 2003.
ZUIN, Elenice de Souza Lodron. Por uma nova arithmetica: o sistema métrico decimal como
um saber escolar em Portugal e no Brasil oitocentistas. 2007. Tese (Doutorado em Educação
Matemática) - Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo, 2007.
ANEXO 1: Ficha de anotações para 1ª Atividade
PARTE DO CORPO
MEDIDA DA MESA
MEDIDA DO FIO DE BARBANTE (cm)
MEDIDA DA MESA (cm)
ANEXO 2: Ficha de anotações para 2ª Atividade
ANIMAL CONFECCIONADO
OBJETO ESCOLHIDO
PESO DO OBJETO (g)
PESO DO OBJETO (animal)
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