Lei de Gauss

Lei de Gauss
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O conceito de Fluxo
Fluxo: analogia do escoamento de um fluido.
As figuras
indicam um fluido se escoando de modo estacionário da esquerda para a direita.
(a) A vazão volumétrica dV/dt através da
espira de arame retangular com área A será
dada por:
(b) Quando a espira está inclinada por um
ângulo , a vazão volumétrica será dada
por:
2
De uma forma geral, podemos escrever a seguinte equação:
em que:
: vetor unitário perpendicular à área.
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Fluxo de um Campo Elétrico:
O fluxo elétrico para um campo elétrico uniforme atravessando uma
superfície plana será dado por:
4
Exemplo 1: fluxo elétrico através de um cubo.
(a) O cubo está orientado com duas de suas faces perpendiculares a
um campo elétrico uniforme.
5
(b) O cubo sofre um giro de um ângulo
.
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O que ocorre quando um campo elétrico não é uniforme, porém varia
de um ponto para outro ao longo da superfície de área A? Ou, o que
ocorre quando A é parte de uma superfície curva? Nesse caso, o fluxo
elétrico é dado por:
7
Exemplo 2: fluxo elétrico através de uma esfera. O campo elétrico é
gerado por uma carga q.
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Em qualquer ponto na superfície esférica, o campo elétrico está
direcionado para fora, perpendicularmente à superfície. Então:
Além disso, em qualquer ponto na superfície esférica, o campo elétrico
possui o mesmo módulo. Assim:
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Exemplo 3: fluxo elétrico através de uma superfície não esférica. O
campo elétrico é gerado por uma carga q.
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Conforme vimos anteriormente:
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Portanto, o fluxo total sobre a superfície irregular deve ser igual ao
fluxo elétrico total sobre uma superfície esférica:
Esse resultado vale para qualquer forma e tamanho da superfície, desde
que esta seja fechada e contenha uma carga q em seu interior. A
circunferência em torno do sinal da integral indica que a integração
feira sobre uma superfície fechada.
Os elementos de área
pela superfície.
sempre apontam para fora do volume delimitado
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Se no interior de uma superfície não existe nenhuma carga,
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Forma geral da Lei de Gauss
O fluxo elétrico total através de qualquer superfície fechada é
igual à carga elétrica total (líquida) existente no interior da
superfície dividida por .
A superfície fechada na lei de Gauss é imaginária. Não é necessário
nenhum objeto material na posição da superfície. Frequentemente, nos
referimos à superfície fechada usada na lei de Gauss como uma superfície
gaussiana.
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Exemplo 1: Uma carga positiva Q é distribuída uniformemente ao
longo do volume de uma esfera de raio a. Determine o módulo do
campo elétrico em um ponto P a uma distância radial r do centro da
esfera.
(a) Vamos considerar que o ponto P está fora da esfera, ou seja, a uma
distância r > a.
Nesse caso, consideremos uma superfície gaussiana esférica de raio r
ao redor da carga Q:
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Entre as infinitas superfícies possíveis, por que escolhemos uma superfície
gaussiana esférica?
Resposta: facilitação dos cálculos. Qualquer elemento
da superfície
gaussiana esférica será paralelo ao campo elétrico gerado pela carga Q.
Assim:
16
Além disso, em qualquer ponto da superfície gaussiana, o campo elétrico terá o
mesmo módulo, podendo sair da integral:
Da lei de Gauss:
Portanto:
Determinamos o módulo do campo elétrico. O
vetor campo elétrico é radial, perpendicular à
superfície gaussiana e apontando para fora (Q
positiva) ou para dentro (Q negativa), conforme
admitimos durante o cálculo do fluxo elétrico.
Vetor campo elétrico:
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(b) Consideremos agora que o ponto P está dentro da esfera, ou seja, a
uma distância r < a.
Mais uma vez, considerando uma superfície gaussiana esférica, teremos
que:
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Mais uma vez, em qualquer ponto da superfície gaussiana, o campo
elétrico terá o mesmo módulo, podendo sair da integral:
Da lei de Gauss:
Neste caso, a carga interna à superfície gaussiana (Qinte) é menor do
que a carga total Q.
Como a carga Q está uniformemente distribuída ao longo do volume
da esfera de raio a, podemos escrever que:
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Vetor campo elétrico:
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Exemplo 2: campo elétrico de uma carga distribuída uniformemente ao
longo de um fio retilíneo “infinito” (com as bordas muito distantes do
ponto de análise).
Vista “superior”:
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Da lei de Gauss:
Neste caso, podemos escrever que:
Então:
O vetor campo elétrico é
radial,
conforme
já
admitimos durante o
cálculo do fluxo elétrico.
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Lembremos de um cálculo que fizemos para uma barra uniformemente
carregada de comprimento L:
Tomando o limite de
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Exemplo 2: campo elétrico de uma carga distribuída uniformemente ao
longo de um plano “infinito” (com as bordas muito distantes do ponto
de análise).
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Da lei de Gauss:
Neste caso, podemos escrever que:
Então:
O vetor campo elétrico é perpendicular ao plano, conforme já admitimos
durante o cálculo do fluxo elétrico.
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Lembremos de um cálculo que fizemos para um disco uniformemente
carregado de raio R:
Tomando o limite de
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Cargas em Condutores
Condutores elétricos: são materiais em que alguns dos elétrons são
fracamente ligados aos átomos e podem se mover quase que livremente
através do material.
Isolantes elétricos: são materiais em que todos os elétrons são ligados
aos átomos e não podem se mover livremente através do material.
Equilíbrio eletrostático: quando não há movimento líquido de carga
dentro de um condutor, o condutor é dito estar em equilíbrio
eletrostático.
Um condutor em equilíbrio eletrostático possui as seguintes propriedades:
1. O campo elétrico é zero em qualquer lugar no interior do condutor: se o
campo fosse diferente de zero, as cargas estariam em movimento.
2. Se um condutor isolado carrega uma carga, a carga fica inteiramente
localizada sobre a superfície do condutor: isso garante que o campo
elétrico seja nulo no interior do condutor.
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29
Exemplo 1: Colocamos uma carga positiva Q sobre uma esfera
condutora de raio a. Determine o módulo do campo elétrico em um
ponto P a uma distância radial r do centro da esfera.
(a) Vamos considerar que o ponto P está fora da esfera, ou seja, a uma
distância r > a.
Nesse caso, consideremos uma superfície gaussiana esférica de raio r
ao redor da carga Q:
+ + +
+
+
+
+
+
+
+
+ + +
+
Carga Q é distribuída ao longo
da superfície da esfera.
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Da lei de Gauss:
Vetor campo elétrico:
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(b) Consideremos agora que o ponto P está dentro da esfera, ou seja, a
uma distância r < a.
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ +
Da lei de Gauss:
Neste caso, a carga interna à superfície gaussiana é nula.
r<a
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O campo elétrico imediatamente fora de um condutor carregado (em
equilíbrio eletrostático) é perpendicular à superfície do condutor e tem
magnitude dada por:
Da lei de Gauss:
Neste caso:
Portanto:
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35
r
Da lei de Gauss:
Portanto, a carga total da
esfera isolante será:
36
r
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Considerando que a carga na esfera maciça interna seja positiva (se for negativa,
basta inverter todos os sinais da figura):
+
+
+
+
r
+
q1
Q>0
+
+
+
+ q2
+
No equilíbrio eletrostático, o campo
elétrico no interior da esfera condutora
deve ser nulo:
+
Cargas induzidas na esfera oca:
- q1 na superfície interna;
- q2 na superfície externa.
Portanto:
para que o campo elétrico seja nulo.
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+
+
+
+
r
+
q1
+
Q>0
+
+q2
+
+
+
Como a esfera oca está descarregada:
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Item (b)
+
Carga induzida por unidade de área na
superfície interna da esfera oca:
+
+
+
r
+
q1
+
Q>0
+
+
+ q2
+
+
+
Carga induzida por unidade de área na superfície externa da esfera oca:
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