Sistemas de Numeração

Computação e Processamento
de Dados – CPD – INF400
Professor: André Ferreira
[email protected]
Material baseado: Prof.ª Renata Vilas e outros
Sistemas de
Numeração
Observações Gerais

Definição:


Determinado pela base:


A base indica o número de símbolos do sistema.
Sistemas posicionais:


Conjunto dos símbolos utilizado para a representação de
quantidade e as regras que definem a forma de
representação.
O significado dos símbolos depende da sua posição
relativa a vírgula.
Exemplos:

Decimal (base 10), binário (base 2), octal (base 8),
hexadecimal (base 16).
3/40
Sistemas de
Numeração
Sistema Decimal
Informações Gerais

Sistema de numeração mais utilizado:



Adotado (provavelmente) por causa da utilização dos
dedos da mão para contar!
Base 10  10 símbolos (algarismos):
 01 23 45 67 89
E como representar números maiores que 9?

Inicia a seqüência novamente, incluindo outro algarismo
que represente o número de vezes que foi concluída a
seqüência completa:
 O número ‘1’ do número ‘10’ indica que a seqüência foi
concluída uma vez e o ‘0’ indica que estamos no primeiro
número desta nova seqüência.
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Exemplos

Como identificamos que os números 1, 9, 8 e
7 juntos correspondem ao número 1987 na
base 10?

Os números são representados pela soma das
suas unidades (milhar, centena, dezena,
unidade,...):

1 * 1000 + 9 * 100 + 8 * 10 + 7 * 1 = 1987 (ou)
 1 * 103 + 9 * 102 + 8 * 101 + 7 * 100
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Teorema Fundamental da
Numeração – TFN

Relaciona uma quantidade expressa em
qualquer sistema de numeração com a
mesma quantidade expressa no sistema
decimal:


Substituindo o nº 10 (que representa a base
decimal) pelo nº correspondente a base do
sistema de numeração do número em questão;
Exemplo:

2013  2* 32 + 0 * 31 + 1 * 30 = 18 + 0 + 1 = 1910
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Sistemas de
Numeração
Sistema Binário
Observações Gerais

Contém tem apenas 2 símbolos:


01
Similar ao sistema decimal:

Sistema posicional:





0
1
10
11
100 ...
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Conversão Decimal-Binário

Números inteiros:

Dividir sucessivamente o número decimal por 2 e
os quocientes que forem sendo obtidos até que o
último resto da divisão seja inferior ao último
quociente da divisões (resto = 0 ou resto =1);

Pega-se o último quociente e a seqüência de
todos os restos obtidos dispostos na ordem
inversa para a representação do valor
correspondente em binário.
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Conversão Decimal-Binário

Exemplo:

Qual o número do sistema binário que seja
correspondente ao número 9 do sistema decimal?
1 2
1 4 2
0 2
0

2
1
10012 = 910
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Exercício

Converta os seguintes nº decimais em
binários:

8310
6810
12210

Respostas:


8310  10100112
6810  10001002
12210  11110102
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Exemplos

Aplique o TFN para descobrir o valor decimal
correspondente aos seguintes nº binários:


10012
1101102
10012  1*2³ + 0*2² + 0*2¹ + 1*20 = 8 + 1 = 910
1101102  1*25 + 1*24 + 0*23 + 1*2² + 1*2¹ + 0*20 = 5410
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Sistemas de
Numeração
Sistema Octal
Observações Gerais

Base 8  8 símbolos:

01234567

Como converter de uma base qualquer para
octal?

Como converter de octal para uma base
qualquer?
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Decimal  Octal


Aplica-se o método das divisões sucessivas,
tendo o valor 8 como divisor;
Exemplo:
107 8
27 13 8
3
10710 = 1538
5 1
16/40
Exercício

Converta os seguintes nº decimais em octais:

7310
4810

Respostas:

7310  1118
4810  608
17/40
Binário  Octal

A cada 3 bits temos 8 representações diferentes:


Deve-se definir grupos de 3 bits partindo da direita para a
esquerda.
Exemplo:
000 a 111  8 representações
10011012  1
001 101

10011012 = 1158
1
1
5
18/40
Exercício

Identifique o valor octal dos seguintes
números binários:

100012
11100002

Respostas:

100012  218
11100002  1608
19/40
Octal  Decimal


Aplica-se o TFN;
Exemplo:
1078 = ?10
1078  1 * 82 + 0 * 81 + 7 * 80 = 64 + 0 + 7 = 7110
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Exercício

Aplique o TFN para descobrir o valor decimal
correspondente aos seguintes octais:

1438
758

Respostas:

1438  9910
758  6110
21/40
Octal  Binário

Cada algarismo será representado por 3 bits:


Exceto o 1º que será representado por até 3 bits.
Exemplo:
1078 = ?2
1078 
1
0
7
001

1078 = 10001112
000
111
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Exercício

Identifique o valor binário dos seguintes
números octais:

758
4028

Respostas:

758  1111012
4028  1000000102
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Sistemas de
Numeração
Sistema Hexadecimal
Observações Gerais

Base 16  16 símbolos:

01 234 5678 9AB CDEF

Como converter de uma base qualquer para
hexadecimal?

Como converter de hexadecimal para uma
base qualquer?
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Decimal  Hexadecimal


Aplica-se o método das divisões sucessivas,
tendo o valor 16 como divisor;
Exemplo:
354 16
126 16
34 22 16
2
14 7
12610 = 7E16
6 1
35410 = 16216
E
26/40
Exercício

Identifique o valor hexadecimal dos seguintes
números decimais:

8810
57110

Respostas:

8810  5816
57110  23B16
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Binário  Hexadecimal

A cada 4 bits temos 16 representações diferentes:


Deve-se definir grupos de 4 bits partindo da direita para a
esquerda.
Exemplo:
00002 a 11112  16 representações
11110011012  11
1100 1101

11110011012 = 3CD16
3
C
D
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Exercício

Converta os seguintes números binários para
hexadecimais:

110000102
100011012

Respostas:

110000102  C216
100011012  8D16
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Hexadecimal  Decimal


Aplica-se o TFN;
Exemplo:
1A716 = ?10
1A716  1 * 162 + A * 161 + 7 * 160 = 256 + 160 + 7 =42310
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Exercício

Identifique os números decimais para os
seguintes números hexadecimais:

1F16
3A216

Respostas:

1F16  3110
3A216  93010
31/40
Hexadecimal  Binário

Cada algarismo será representado por 4 bits:


Exceto o 1º que será representado por até 4 bits.
Exemplo:
1A716 = ?2
1A716  1
A
7
0001

1A716 = 1101001112
1010
0111
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Exercício

Converta
os
seguintes
hexadecimais em binários:

B1216
D5C716

Respostas:

números
B1216  1011000100102
D5C716  11010101110001112
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Octal  Hexadecimal


Converte o número octal para binário e em
seguida, converte o número binário para
hexadecimal;
Exemplo 1578 = ?16
1578  1
5
7
1101111  110 1111
001

101
6
111
F
1578 = 11011112

1101112 = 6F16
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Hexadecimal  Octal
Converte o número hexadecimal para binário e
em seguida, converte o número binário para octal;
Exemplo:


A216 = ?8
A216  A
2
101000102  10 100
010
2

1010
4
0010
2
A216 = 101000102

101000102 = 2428
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Exercício

Converta os seguintes números octais em
hexadecimais:



578
3618
Converta
os
seguintes
hexadecimais em octais:


FB16
1A916
578 = 2F16
3618 = F116
números
FB16 = 3738
1A916 = 6518
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Sistemas de
Numeração
O que isso tem a ver com
Computador?
E o Computador?

Codifica os dados de entrada em números:






Números;
Letras;
Sinais de pontuação;
Símbolos;
Instruções do próprio computador.
Porquê? E quais números seriam esses?
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E o Computador?

Um dos 1º problemas com o uso do computador:


Armazenar dados.
Forma de resolver adotada:


Desenvolveram um dispositivo mecânico baseado no relé:
Interruptor que podia ser ativado ou desativado de acordo
com a aplicação ou remoção da voltagem;
Esta condição poderia ser usada para descrever dois
estados.
Reduzir os dados ao seu estado mais fundamental, no
qual existem apenas duas condições:
Ligado ou desligado (Verdadeiro/Falso, Aberto/Fechado,
Sim/Não, ...).
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E o Computador?

Mas como isso ajudaria a armazenar?



Um relé permite armazenar dois dados:
Circuito aberto  armazena 0;
Circuito fechado  armazena 1.
N relés permitem armazenar 2n dados:
3  8 (23), 8  256 (28), ...
É mais simples desenvolver equipamentos capazes
de distinguir entre dois estados:


Sistema de Numeração Binária;
Cada um dos estados passou a ser chamado de bit.
40/40