aula 4 – paredes planas compostas

Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 21
AULA 4 – PAREDES PLANAS COMPOSTAS
Condução unidimensional, regime permanente, sem geração de calor – paredes
compostas.
Para resolver de forma rápida e simples este problema, note que o fluxo de calor q é o
mesmo que atravessa todas as paredes. Assim, para cada parede pode-se escrever as
seguintes equações:
- parede 1:
q  k1 A
(T1  T2 )
L1

T1  T2 
qL1
k1 A
- parede 2:
q  k2 A
(T2  T3 )
L2

T2  T3 
qL2
k2 A
- parede 3:
q  k3 A
(T3  T4 )
L3

T3  T4 
qL3
k3 A
Assim, somando os termos
de todas as paredes:
_____________
L
T1  T4  q  i
ki A
ou, simplesmente,
q
T
R
Onde, T refere-se à diferença total de temperaturas da duas faces externas e R é a
L
resistência térmica da parede composta, dada por R   i
ki A
ANALOGIA ELÉTRICA
Nota-se que existe uma analogia elétrica perfeita entre fenômenos elétricos e térmicos
de condução de calor, fazendo a seguinte correspondência:
iq
U  T
RÔHMICO  RTÉRMICO
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q
Por meio de analogia elétrica, configurações mais complexas (em série e paralelo) de
paredes podem ser resolvidas.
Circuito elétrico equivalente
Fluxo de calor que é:
T
q  total
RT
RT  R1  R//  R5
com
1
1
1
1



R// R2 R3 R4
Resistência térmica de contato
Quando as superfícies de dois sólidos são colocadas em contato para formar uma parede
composta, a região interfacial entre eles pode ter uma resistência térmica de contato,
"
𝑅𝑡,𝐶
, devido ao fato de que não existe uma contato “perfeito” entre as duas superfícies,
como ilustrado abaixo, devido à rugosidade superficial. A transferência de calor se dará
por condução nos pontos de contato dos picos das rugosidades e pela condução através
do fluido que preenche o espaço entre as superfícies. Radiação térmica também pode
estar presente.
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A resistência térmica de contato é dada por
"
𝑅𝑡,𝐶
=
𝑇𝐴 − 𝑇𝐵
𝑞𝑥"
Alguns valores de resistência térmica estão indicados na Tabela 3.2 do livro do
Incropera, reproduzida a seguir.
CONDUÇÃO EM PLACA PLANA COM GERAÇÃO INTERNA DE CALOR
Geração interna de calor pode resultar da conversão de uma forma de energia em calor.
Exemplos de formas de energia convertidas em calor:
1. Geração de calor devido à conversão de energia elétrica em calor (efeito Joule)
P  RI 2
(W)
Onde: P : potência elétrica transformada em fluxo de calor por efeito Joule (W)
R : resistência ôhmica (  )
I : corrente elétrica (A)
Ainda, U : diferença de potencial elétrico (V)
U2
P
ou
P  UI
R
Em termos volumétricos, qG ''' (W / m3 ) , qG 
'''
P
V
(W/m3),
onde V : volume onde o
calor é gerado.
2. Geração de calor devido a uma reação química exotérmica (qG '''  0) como, por
exemplo, o calor liberado durante a cura de resinas e concreto. Já, no caso de uma
reação endotérmica, qG '''  0 .
3. Outras formas tais de geração de calor devido à absorção de radiação, nêutrons, etc...
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Parede (placa) plana com geração de calor uniforme (resistência elétrica plana).
b  L
i
T1
2L
2b
T2
Equação geral
 2T 
qG
1 T ,

k
 t
 2T 
qG
0
k
T
 0 (regime permanente)
t
'''
sendo que
'''
T  T (x)
Condições de contorno:
(1)
x  L
T  T1
(2)
xL
T  T2
Solução
Seja a seguinte mudança de variável (apenas por conveniência):  
Então
d  qG

dx
k
dT
,
dx
'''
Integrando essa equação por partes, vem:
 qG
 d   k dx  C1 ,
' ''
mas como   dT , então
dx
'''
q
dT
  G x  C1
dx
k
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Integrando novamente:
 qG x 2
 C1 x  C2
2k
'''
T ( x) 
Obs.: Trata-se de uma distribuição parabólica de temperaturas.

Como no caso da resistência elétrica qG ''' (geração de calor) é positivo e,
claro, k também é positiva, a constante que multiplica o termo x 2 é negativa
 parábola com a concavidade voltada para baixo. Por outro lado, se qG '''
for negativo, o que pode ocorrer com processos de curas de algumas resinas
(processos endotérmicos), então a concavidade será voltada para cima.
Determinação das constantes C1 e C2 :
Condições de contorno
'''
(1)
(2)
q G L2
 C1 L  C 2 - temperatura da face esquerda conhecida
2k
'''
q L2
T2   G
 C1 L  C 2 - temperatura da face direita conhecida
2k
T1  
Somando (1)+(2), vem:
 qG L2
T  T q L2 .
 2C 2  C2  1 2  G
2
2k
k
'''
T1  T2 
'''
Substituindo em (1) ou (2), tem-se
C1 
T2  T1
2L
Então, a distribuição final de temperaturas é:
T ( x) 
q G ''' ( L2  x 2 )
x T1  T2
 (T2  T1 )

2k
2L
2

CASOS:
(A) Suponha que as duas faces estejam à mesma
temperatura: T1  T2  TS . Daí, resulta que:
qG ( L2  x 2 )
 TS
2k
'''
T ( x) 
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É uma distribuição simétrica de temperaturas. A máxima temperatura, nesse caso,
ocorre no plano central, onde x  0 (note a simetria do problema). Se for o caso pouco
comum de uma reação endotérmica, ou qG ''' < 0, a concavidade seria voltada para abaixo
e, no plano central, haveria a mínima temperatura.
Também poderia se chegar a essa expressão usando
dT
0
dx
'''
TMÁX  TC 
qG L2
 TS
2k
O fluxo de calor (lei de Fourier)
q  kA
q '' 
dT
dx
ou, o fluxo de calor por unidade de área,
q
dT
, substituindo a distribuição de temperaturas, vem:
 k
A
dx
q''  k
2
2

d  qG''' ( L  x )

 TS  ,
dx 
2k


ou, simplesmente:
q ''  xqG
'''
No plano central (x = 0) o fluxo de calor é nulo devido à simetria do problema e das
condições de contorno.
Dessa forma, o plano central age como o caso de uma parede adiabática, q ''  0
(B) Nesse caso, suponha que a temperatura de uma das faces seja maior: Por exemplo,
T1  T2 , como ilustrado abaixo a seguir.
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Plano em que ocorre a máxima temperatura, Tmáx ( xmáx )
Sabemos que o fluxo de calor é nulo em xmáx :
k
dT
dx
0
ou
xmáx
'''
d  qG
x T1  T2 
( L2  x 2 )  (T2  T1 )


  0 , que resulta em:
dx  2k
2L
2 
qG
(T  T1 )
x máx  2
0
k
2L
' ''

Cuja solução é:
x máx 
(T2  T1 )k
2 LqG'''
Substituindo-se o valor de xmáx na expressão da distribuição da temperatura, encontra-se
o valor da máxima temperatura Tmáx . Tente fazer isso!
PENSE: Suponha que você é um engenheiro-perito e é chamado para dar um parecer
sobre um incêndio com suspeita de ter origem no sobreaquecimento do sistema elétrico.
Como você poderia, a partir de uma análise na fiação elétrica, inferir se houve ou não
sobreaquecimento à luz do assunto tratado nesta aula?
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