ProFessor: Rubens Penha Cysne Análise II 2009 Monitor: Rodrigo

Professor: Rubens Penha Cysne
Monitor: Rodrigo Toshiaki Miyamoto
Análise II - 2009
EPGE
Gabarito - Lista 2
3*- O problema é dado por:
max
Z1
(1)
f (x(t); u(t); t)dt
0
onde f (x(t); u(t); t) = x(t), x(0) = 0 ,x(1) livre sujeito a
x0 (t) = x(t) + u(t)
(2)
u(t), contínua por partes, u : [0; 1] ! [ 1; 1]. Supondo que existe uma
solução, ela deve satisfazer as condições necessárias enunciadas pelo princípio do máximo. Uma vez que x(t1 ) é livre, tem-se m(t1 ) = 0. Dado que
(m0 ; m(t)) 6= (0; 0), 8t, encontra-se m0 = 1. Usando agora m0 (t) = @H
@x
obtém-se:
m0 (t) = f1 (x ; u; t) + m(t)g(x ; u; t) )
m0 (t) = 1 + m(t)
com g(x; u; t) := x(t) + u(t). Sendo a equação diferencial homogênea m0 (t) +
m(t) = 0, a equação característica associada é:
+1=0)
=
1
Assim, a solução da equação homogênea é da forma:
m(t) = c1 e
t
Uma possível solução particular é dada por:
= k1
Então, usando a equação diferencial não homogênea, veri…ca-se que a solução
particular é:
0
= 1 ) k1 = 1
Logo:
m(t) = mH (t) + mp (t) ) m(t) = c1 e
Avaliando no ponto …nal e utilizando m(1) = 0:
m(1) = c1 e
1
1
1 ) c1 = e
t
1
Dessa forma, m(t) = e1 t 1. Assim, usando-se m(0) > 0, m(1) = 0 e
m01 t < 0, 8t 2 [0; 1], encontra-se m(t) 0, 8t 2 [0; 1]. Agora, sabendo-se
que controle u (t) é tal que maximiza:
H(x (t); u(t); m(t); t) := f (x (t); u(t); t) + m(t)g(x (t); u(t); t)
e usando o resultado, m(t) > 0, 8t 2 [0; 1], encontra-se u (t) = 1, 8t 2 [0; 1],
isto é, u (t) assume um valor na fronteira de sua de…nição. Finalmente, para
encontrar x (t) note que x0 (t) = x (t) + u (t). Assim:
x0 (t) = x (t) + 1
A solução é dada pela soma da solução da equação homogênea e da particular.
A primeira é obtida pela equação característica
1=0)
=1
e logo, x(t) = d1 et . Para a solução particular:
= k2
e assim:
0
Então, x (t) = d1 et
= 1 ) k2 =
1
1. Usando-se a condição inicial:
x (0) = 0 ) d1 = 1
A trajetória ótima é dada por x (t) = et
valor máximo do problema:
Z1
(et
1)dt = et
1. Finalmente, para encontrar o
1
t
=e
1
1=e
2
0
0
Note que f11 = f12 = f22 = 0 para qualquer (x; u), isto é, a matriz hessiana
de f é negativa semi-de…nida (função côncava em todo o domínio) e assim,
garante-se a su…ciência das condições do Hamiltoniano como máximo global.
4*- Cálculo de Variações: Considere o problema:
Z T
F (x; x;
_ dt)dt
0
2
(3)
com
F (x; x;
_ t) = U (1 x)
_
x(0) = x0
x(T ) xT
x(t)
_
2 [0; 1]
0
002
U > 0; U
U : [0; 1] ! R
Condições necessárias Equação de Euler:
F1
d
F2 = 0 ) U 00 (1
dt
x_ )•
x =0
Como U 00 < 0, sabe-se que x• = 0. Resolvendo-se essa equação diferencial:
(4)
x (t) = c1 + c2 t
com c1 e c2 constantes a serem determinadas. A condição de transversalidade
nesse caso em que o extremo …nal deve satisfazer a desigualdade x(T ) xT
é:
T
F2
0 ) U 0 (1 x_ (T )) 0
(= 0; x(T ) > xT )
Como U 0 > 0 ) U 0 < 0, em uma trajetória x que satisfaz a condição de
transversalidade e a …nal têm-se x (T ) = xT , pois, se x (T ) > xT teria-se
T
F2 = 0 o que não é possível, dado que U 0 < 0. Usando este resultado em
(4) e usando as condições dos pontos extremos:
x (0) =c1 = x0
x (T ) =x0 + c2 T = xT ) c2 =
xT
assim, obtém-se x (t) = x0 +
x0
T
xT
x0
T
:
!
t. Como F é côncava em (x; u), as
condições necessárias são su…cientes.
Princípio do Máximo: Considere o problema:
Z T
f (x; u; dt)dt
0
3
(5)
com
f (x; u; t) = U (1 u)
x(0) = x0
x(T ) xT
x(t)
_
= g(x; u; t) : = u(t); u 2 [0; 1]
U 0 > 0; U 002
U : [0; 1] ! R;
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
Utilizando-se o princípio do máximo para condições necessárias para a
solução do problema, tem-se:
@H
=
@x
m
_ )m
_ = 0 ) m(t) = c
com c constante. Por (8), m(T )
0 e uma vez que m é constante,
m(t) = c
(12)
0
Usando que o Hamiltoniano é maximizado no controle ótimo, para qualquer
u e qualquer t:
H(x (t); u(t); t; m(t))
H(x (t); u (t); t; m(t))
ou
m0 U (1
u(t)) + m(t)u(t)
m0 U (1
u (t)) + m(t)u (t)
Lema 1 m0 = 1.
Suponha por contradição que m0 = 0.
Na equação acima: m(t)u
m(t)u ) u
u , já que m(t)
0. Assim,
para que u faça com que o Hamiltoniano atinja o valor máximo entre todos
os controles factíveis, deve assumir o valor 1, isto é, um valor na fronteira.
Como x(t)
_
= u(t) = 1, integrando, obtém-se x(t) = c1 + t.
Avaliando-se a variável de estado nas condições extremas:
x(0) = c1
x(T ) = c1 + T
e por (7), com o sistema acima, encontra-se x(T ) = x0 + T . Porém, com a
outra condição extrema, (8), têm-se:
x0 + T = x(T )
xT ) x(T ) > xT
4
usando a hipótese x0 < xT < x0 + T .
Nesse caso, a condição de transversalidade implica em m(T ) = 0. Como
m(t) = c 0, encontra-se m(t) = 0, 8t 2 [0; T ], contradição com (m0 ; m(t)) 6=
(0; 0).
Assim m0 = 1.
Então, o Hamiltoniano se resume a:
H(x; u; t; m) = U (1
u) + m(t)u(t)
Lema 2 u (t) = k, 8t, k constante.
Note que H é estritamente côncava em u e possui apenas um máximo. O
argumento que maximiza o Hamiltoniano, u , deve satisfazer a condição de
primeira ordem:
H2 = 0 )
Por (12), m(t) = c
U 0 (t)) + m(t) = 0;
8t
0, com c constante e assim:
U 0 (t)) = c
8t
Logo, u (t) = k, 8t, com k constante.
Lema 3 u (t) = k 2 (0; 1). Suponha por contradição que k = 0.
Usando a condição x_ (t) = u (t) = 0 ) x (t) = c2 juntamente com a
condição inicial x (0) = x0 , encontra-se x (T ) = x0 . Mas x (T ) xT e por
hipótese xT > x0 , contradição.
Suponha agora que k = 1.
Assim, x_ (t) = u (t) = 1 ) x (t) = c3 + t. Usando novamente a condição
inicial, encontra-se c3 = x0 e logo
x (T ) = x0 + T > xT
(13)
onde a última desigualdade decorre por hipótese. Mas note que u (t) = 1 é
um valor na fronteira então H2
0 ) U 0 (0) + m(t)
0, e assim:
u=1
m(t) > 0 e logo x (T ) = xT , contradição com (13).
5
Então, k 2 (0; 1). Assim:
x (t)
x0 =
Z
0
t
kdv = kt ) x (t) = x0 + kt
Usando as condições inicial e …nal:
x (t) = x0 +
xT
x0
T
!
t
Como, f é estritamente côncava e g é linear (ambas em em (x,u) ), as
condições necessárias são também su…cientes.
6