Lista de Exerc´ıcios de Probabilidades

Lista de Exercı́cios de Probabilidades
Joel M. Corrêa da Rosa
2011
1. Lançam-se três moedas. Enumere o espaço amostral e os eventos :
(a) faces iguais
(b) cara na primeira moeda
(c) coroa na segunda e terceira moedas
2. Um lote contém peças de 5,10,15,...,30 mm de diâmetro. Suponha que 2
peças sejam selecionadas no lote. Se x e y indicam respectivamente os
diâmetros da 1a. e 2a. peças selecionadas, o par (x, y) representa um
ponto amostral. Utilize o plano cartesiano para representar os eventos
abaixo:
(a) A = {x = y}
(b) B = {y < x}
(c) C = {y = x = 10}
x+y
(d) D = {
< 10}
2
3. Seja um baralho comum de 52 cartas. (Note que um baralho comum tem
13 cartas de copas, 13 de ouros, 13 de paus, e 13 de espadas. E cada um
destes naipes, tem uma dama).
(a) Determine a probabilidade de extrair exatamente duas cartas de
ouros em quatro extrações sucessivas quando há reposição.
(b) Calcule a probabilidade de obter a dama de ouros nas duas extrações
sucessivas quando há reposição.
(c) Repita o item (a), mas agora as extrações são sem reposição.
(d) Repita o item (b), mas agora as extrações são sem reposição
4. Um experimento consiste em arremessar sucessivamente uma moeda honesta e registrar o número de arremessos até o surgimento da primeira cara.
Qual o espaço amostral deste experimento ?
5. Dois eventos: A e B, mutuamente exclusivos (A ∩ B = ∅), são independentes ? Justifique.
1
6. Anemia falciforme é uma doença genética que ocorre somente se a criança
herda dois genes recessivos. Cada criança recebe um gene do pai e outro
da mãe. Uma pessoa pode ter: (a) dois genes dominantes (a pessoa não
tem a doença) (b) um gene dominante e outro recessivo (a pessoa não
tem a doença mas é portadora ) (c) dois genes recessivos (a pessoa tem a
doença) Calcule a probabilidade da criança ter a doença se:
(a) ambos os pais são portadores
(b) um dos pais é portador e o outro tem a doença
(c) um dos pais é portador e o outro tem dois genes dominantes
Calcule a probabilidade de que a criança seja portadora se:
(a) ambos os pais são portadores
(b) um dos pais é portador e o outro tem a doença.
(c) um dos pais é portador e o outro tem dois genes dominantes.
7. Os valores de sensibilidade e especificidade de um teste para detecção de
diabetes são s=0,95 e e=0,95.
(a) Um paciente assintomático submete-se ao teste. Se o resultado for
positivo, qual a probabilidade de ele ter realmente a doença ?
(b) Um outro paciente que apresenta alguns sintomas da doença (como
sede anormal e perda de peso) e possui história de diabetes na famı́lia,
também se submeteu ao teste. Se o resultado for positivo, o que você
espera que aconteça com o VPP (Valor Preditivo Positivo) ? Por quê
?
8. A creatinina fosfacinase (CFC) é um marcador para o diagnóstico de infarto agudo do miocárdio. Pacientes com infarto agudo do miocárdio apresentam valores elevados de CFC. A tabela a seguir apresenta os valores
de CFC para 600 pacientes de um hospital do coração, sendo 430 com
infarto agudo do miocárdio. Considere que a prevalência de infarto agudo
do miocárdio em hospitais do coração seja igual a desse estudo.
Infarto agudo do miocárdio
Doente
Não doente
CFC < 80
32
135
Valores de CFC
80<=CFC<280
290
33
CFC >= 280
108
2
Sejam dois testes de diagnóstico de infarto agudo do miocárdio baseados
no valor de CFC do paciente: Teste 1: O resultado é positivo se os valores
de CFC são maiores ou iguais a 80 e negativo caso contrário; Teste 2: O
resultado é positivo se os valores de CFC são maiores ou iguais a 280 e
negativo caso contrário.
(a) Calcule a sensibilidade e a especificidade do Teste 1 e do Teste 2.
Interprete as medidas. Comente.
(b) Calcule o VPP, VPN, PFP e PFN do Teste 1 e do Teste 2. Interprete
as medidas. Comente.
(c) Qual valor de referência a ser adotado? justifique.
2
9. É bem conhecido que daltonismo é hereditário. Devido ao fato do gene
responsável ser ligado ao sexo, o daltonismo ocorre mais frequentemente
nos homens do que nas mulheres. Numa grande população humana, a
distribuição de daltonismo da cor vermelha-verde segundo o sexo foi:
Daltonismo
Presente
Ausente
Total
Masculino
4,23%
48,48%
52,71%
Feminino
0,65%
46,64%
47,29%
Total
4,88%
95,12%
100,00%
(a) Uma pessoa é escolhida, ao acaso, dessa população. Calcule a probabilidade de ela ser: 1) Daltônica ; 2) Do sexo feminino; 3) Daltônica
sabendo-se que é do sexo feminino; 4) Daltônica sabendo-se que é do
sexo masculino.
(b) Três pessoas são selecionadas ao acaso, com reposição, dessa população. Qual a probabilidade de: 1) Apenas uma ser daltônica; 2)
Todas serem daltônicas; 3) Duas ou mais serem daltônicas; 4) No
máximo uma ser daltônica.
(c) Os eventos ser daltônico e ser do sexo masculino são independentes
? O que isto significa na prática ?
(d) Se 1000 indivı́duos são selecionados ao acaso, qual o número esperado
de daltônicos ?
10. A e B jogam 120 partidas de xadrez, das quais A ganha 60, B ganha 40 e 20
terminam empatadas. A e B concordam em jogar 3 partidas. Determinar
a probabilidade de:
(a) A ganhar todas as três
(b) duas partidas terminarem empatadas
(c) A e B ganharem alternadamente
11. A probabilidade de que um homem esteja vivo daqui a 30 anos é 2/5; a de
sua mulher é 2/3. Determinar a probabilidade de que daqui a 30 anos :
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
ambos estejam vivos
somente o homem esteja vivo
somente a mulher esteja viva
nenhum esteja vivo
pelo menos um esteja vivo
12. Pesquisadores que tratam de doenças hepáticas em uma clı́nica especializada sugeriram um novo teste para detectar câncer no fı́gado. Os resultados do experimento para uma amostra de 2225 pacientes atendidos nessa
clı́nica foram:
Câncer Hepático Positivo Negativo Total
Presente
90
17
107
Ausente
39
2079
2118
Total
129
2096
2225
Pelo modo como os dados foram obtidos, a prevalência de câncer hepático,
nessa clı́nica, pode ser calculada usando os dados da tabela.
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(a) Calcule a sensibilidade e especificidade do teste.
(b) Calcule a probabilidade de um paciente, atendido nessa clı́nica e que
não tem câncier no fı́gado, tenha um resultado positivo no teste.
(c) Calcule o valor da predição positiva e o valor da predição negativa.
(d) Os pesquisadores que desenvolveram o teste sugeriram seu uso como
um meio simples para os clı́nicos em geral decidirem se devem ou não
encaminhar o parciente para uma clı́nica especializada. Critique esta
recomendação.
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