Lista de Exerc´ıcios de Probabilidades

Lista de Exercı́cios de Probabilidades
Joel M. Corrêa da Rosa
2011
1. Lançam-se três moedas. Enumere o espaço amostral e os eventos :
Ω = {(c, c, c); (k, k, k); (c, k, k); (k, c, k); (k, k, c); (k, c, c); (c, k, c); (c, c, k)}
(a) faces iguais
A = {(c, c, c), (k, k, k)}
(b) cara na primeira moeda
B = {(c, c, c); (c, k, k); (c, k, c); (c, c, k)}
(c) coroa na segunda e terceira moedas
C = {(k, k, k); (c, k, k)}
2. Seja um baralho comum de 52 cartas. (Note que um baralho comum tem
13 cartas de copas, 13 de ouros, 13 de paus, e 13 de espadas. E cada um
destes naipes, tem uma dama).
(a) Determine a probabilidade de extrair exatamente duas cartas de
ouros em quatro extrações sucessivas quando há reposição.
[1] 0.2109375
(b) Calcule a probabilidade de obter a dama de ouros nas duas extrações
sucessivas quando há reposição.
[1] 0.03809172
(c) Repita o item (a), mas agora as extrações são sem reposição.
[1] 0.2134934
(d) Repita o item (b), mas agora as extrações são sem reposição
[1] 0.03846154
3. Um experimento consiste em arremessar sucessivamente uma moeda honesta e registrar o número de arremessos até o surgimento da primeira cara.
Qual o espaço amostral deste experimento ?
Ω = {1, 2, 3, . . .}
1
4. Dois eventos: A e B, mutuamente exclusivos (A ∩ B = ∅), são independentes ? Justifique.
não pois P (A|B) = 0 6= P (A), caso P (A) > 0.
5. Anemia falciforme é uma doença genética que ocorre somente se a criança
herda dois genes recessivos. Cada criança recebe um gene do pai e outro
da mãe. Uma pessoa pode ter: (a) dois genes dominantes (a pessoa não
tem a doença) (b) um gene dominante e outro recessivo (a pessoa não
tem a doença mas é portadora ) (c) dois genes recessivos (a pessoa tem a
doença) Calcule a probabilidade da criança ter a doença se:
(a) ambos os pais são portadores
P (D) = 1/4
(b) um dos pais é portador e o outro tem a doença
P (D) = 1/2
(c) um dos pais é portador e o outro tem dois genes dominantes
P (D) = 0
Calcule a probabilidade de que a criança seja portadora se:
(a) ambos os pais são portadores
P (portador) = 1/2
(b) um dos pais é portador e o outro tem a doença.
P (portador) = 1/2
(c) um dos pais é portador e o outro tem dois genes dominantes.
P (portador) = 1/2
6. Os valores de sensibilidade e especificidade de um teste para detecção de
diabetes são s=0,95 e e=0,95.
(a) Um paciente assintomático submete-se ao teste. Se o resultado for
positivo, qual a probabilidade de ele ter realmente a doença ?
0, 95
(b) Um outro paciente que apresenta alguns sintomas da doença (como
sede anormal e perda de peso) e possui história de diabetes na famı́lia,
também se submeteu ao teste. Se o resultado for positivo, o que você
espera que aconteça com o VPP (Valor Preditivo Positivo) ? Por quê
?
0, 95
2
7. A creatinina fosfacinase (CFC) é um marcador para o diagnóstico de infarto agudo do miocárdio. Pacientes com infarto agudo do miocárdio apresentam valores elevados de CFC. A tabela a seguir apresenta os valores
de CFC para 600 pacientes de um hospital do coração, sendo 430 com
infarto agudo do miocárdio. Considere que a prevalência de infarto agudo
do miocárdio em hospitais do coração seja igual a desse estudo.
Infarto agudo do miocárdio
CFC < 80
32
135
Doente
Não doente
Valores de CFC
80<=CFC<280
290
33
CFC >= 280
108
2
Sejam dois testes de diagnóstico de infarto agudo do miocárdio baseados
no valor de CFC do paciente: Teste 1: O resultado é positivo se os valores
de CFC são maiores ou iguais a 80 e negativo caso contrário; Teste 2: O
resultado é positivo se os valores de CFC são maiores ou iguais a 280 e
negativo caso contrário.
(a) Calcule a sensibilidade e a especificidade do Teste 1 e do Teste 2.
Interprete as medidas. Comente.
sensibilidade(t1) = 0, 9256
especif icidade(t1) = 0, 7941
sensibilidade(t2) = 0, 2512
especif icidade(t2) = 0, 9882
o primeiro teste é é mais sensı́vel enquanto o segundo teste é mais
especı́fico.
(b) Calcule o VPP, VPN, PFP e PFN do Teste 1 e do Teste 2. Interprete
as medidas. Comente.
VPP
VPN
PFP
PFN
teste 1 0,9192 0,8084 0,0808 0,1916
teste 2 0,9818 0,3428 0,0182 0,6571
(c) Qual valor de referência a ser adotado? justifique. O valor de referência a ser adotado é 80 pois a qualidade do teste é, em geral, melhor
do que quando adota-se o valor 280.
8. É bem conhecido que daltonismo é hereditário. Devido ao fato do gene
responsável ser ligado ao sexo, o daltonismo ocorre mais frequentemente
nos homens do que nas mulheres. Numa grande população humana, a
distribuição de daltonismo da cor vermelha-verde segundo o sexo foi:
Daltonismo
Presente
Ausente
Total
Masculino
4,23%
48,48%
52,71%
Feminino
0,65%
46,64%
47,29%
Total
4,88%
95,12%
100,00%
(a) Uma pessoa é escolhida, ao acaso, dessa população. Calcule a probabilidade de ela ser: 1) Daltônica ; 2) Do sexo feminino; 3) Daltônica
sabendo-se que é do sexo feminino; 4) Daltônica sabendo-se que é do
sexo masculino.
3
daltonica
[1] 0.0488
sexo feminino
[1] 0.4729
daltonica sabendo que é do sexo feminino
[1] 0.01374498
daltonica sabendo que é do sexo masculino
[1] 0.08025043
(b) Três pessoas são selecionadas ao acaso, com reposição, dessa população. Qual a probabilidade de: 1) Apenas uma ser daltônica; 2)
Todas serem daltônicas; 3) Duas ou mais serem daltônicas; 4) No
máximo uma ser daltônica.
apenas uma ser daltonica
[1] 0.13246
todas serem daltonicas
[1] 0.0001162143
duas ou mais serem daltonicas
[1] 0.006911891
no maximo uma ser daltonica
[1] 0.9930881
(c) Os eventos ser daltônico e ser do sexo masculino são independentes
? O que isto significa na prática ? eles não são independentes, na
prática isto significa que o daltonismo está associado ao sexo.
(d) Se 1000 indivı́duos são selecionados ao acaso, qual o número esperado
de daltônicos ?
[1] 48.8
9. A e B jogam 120 partidas de xadrez, das quais A ganha 60, B ganha 40 e 20
terminam empatadas. A e B concordam em jogar 3 partidas. Determinar
a probabilidade de:
(a) A ganhar todas as três
[1] 0.125
(b) duas partidas terminarem empatadas
[1] 0.06944444
(c) A e B ganharem alternadamente
[1] 0.24
10. A probabilidade de que um homem esteja vivo daqui a 30 anos é 2/5; a de
sua mulher é 2/3. Determinar a probabilidade de que daqui a 30 anos :
(a) ambos estejam vivos
4
[1] 0.2666667
(b) somente o homem esteja vivo
[1] 0.1333333
(c) somente a mulher esteja viva
[1] 0.4
(d) nenhum esteja vivo
[1] 0.2
(e) pelo menos um esteja vivo
[1] 0.8
11. Uma urna tem 3 bolas brancas, 3 pretas e 4 azuis. 2 bolas são retiradas
ao acaso dessa urna e substituı́das por 5 bolas vermelhas. Depois disso,
retira-se 1 bola. Qual a probabilidade de sair bola azul ?
[1] 0.2461538
12. Pesquisadores que tratam de doenças hepáticas em uma clı́nica especializada sugeriram um novo teste para detectar câncer no fı́gado. Os resultados do experimento para uma amostra de 2225 pacientes atendidos nessa
clı́nica foram:
Câncer Hepático Positivo Negativo Total
Presente
90
17
107
Ausente
39
2079
2118
Total
129
2096
2225
Pelo modo como os dados foram obtidos, a prevalência de câncer hepático,
nessa clı́nica, pode ser calculada usando os dados da tabela.
(a) Calcule a sensibilidade e especificidade do teste.
sensibilidade
[1] 0.8411215
especificidade
[1] 0.9815864
(b) Calcule a probabilidade de um paciente, atendido nessa clı́nica e que
não tem câncer no fı́gado, tenha um resultado positivo no teste.
[1] 0.01841360
(c) Calcule o valor da predição positiva e o valor da predição negativa.
VPP
[1] 0.6976744
VPN
[1] 0.9918893
(d) Os pesquisadores que desenvolveram o teste sugeriram seu uso como
um meio simples para os clı́nicos em geral decidirem se devem ou não
encaminhar o parciente para uma clı́nica especializada. Critique esta
recomendação.
5
13. Uma empresa produz o produto X em 3 fábrics distintas A, B e C, como
segue: a produção de A é 2 vezes a de B, e a de C é 2 vezes a de b. O produto X é armazenado em um depósito central. As proporções de produção
defeituosa são: 5% de A, 3% de B e 4% de C. Retira-se uma unidade de
X do depósito e verifica-se que é defeituoso. Qual a probabilidade de que
tenha sido fabricado por B?
[1] 0.1428571
6