CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DO PARANÁ

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
Matemática 7 – MA07A –
Prof. Luiz Antonio Kretzschmar
TURMA T51
PARTE 2
PONTO , RETA , PLANO
 Def. : Uma reta é paralela a um plano se, e somente se, eles não têm ponto comum
 Uma reta e um plano podem apresentar em comum:
1°) dois pontos distintos : a reta está contida no plano  r   , r ∩  = r
2°) um único ponto : reta e plano são concorrentes  r ∩  = { P }
3°) nenhum ponto em comum : reta e plano são paralelos  r ∩  = 
 Ângulo entre retas
Um ângulo é chamado ângulo de duas retas orientadas quaisquer se, e somente se, ele tem
vértice arbitrário e seus lados têm sentidos respectivamente concordantes com os sentidos
das retas. Ângulo rÔs :
 Retas paralelas r e s cortadas por uma transversal t
-
ângulos
ângulos
ângulos
ângulos
ângulos
ângulos
opostos pelos vértices : a = g ; f = h ; c = e ; b = d
alternos internos : a = e ; f = b
alternos externos : d = h ; c = g
correspondentes : a = c ; b = h ; d = f ; e = g
colaterais internos : a + b = e + f = 180° (suplementares)
colaterais externos : d + g = c + h = 180° (suplementares)

RETAS ORTOGONAIS : retas quaisquer que formam entre si um ângulo reto (90°)

RETAS PERPENDICULARES : retas concorrentes que formam um ângulo reto (90°)
rs
Se uma reta é perpendicular a um plano, então ela forma ângulo reto com qq reta do plano


TEOREMA: Se uma reta é perpendicular a duas retas concorrentes de um plano, então ela
é perpendicular ao plano

Por um ponto P pode-se conduzir um único plano perpendicular a uma reta r.

Por um ponto P pode-se conduzir uma única reta perpendicular a um plano .

PLANOS PERPENDICULARES : quando  contém uma reta perpendicular a 

 TEOREMA: Se dois planos (,) são perpendiculares entre si e uma reta de  é
perpendicular à interseção dos planos, então essa reta é perpendicular à 

Por uma reta r não perpendicular a um plano , existe um único plano  perpendicular a .

PROJEÇÕES ORTOGONAIS :
1°) De ponto sobre reta
2°) De reta sobre plano
 Ângulo entre reta e plano :
Se uma reta r é oblíqua a um plano  e o ponto de interseção é A, então o ângulo agudo
de r com sua projeção ortogonal r’ sobre  é o ângulo entre r e  de vértice A
EXERCÍCIO
Considere o cubo ABCDEFGH
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
As retas AB e CG são perpendiculares
As retas AB e CG formam 90°
As retas AB e CH formam 90°
As retas AC e FH são ortogonais
As retas HB e DF são perpendiculares
A reta HF é paralela ao plano ABCD
O triângulo CFH é equilátero
Os planos ACGE e ABFE formam 45°
O triângulo ACG é isósceles
O triângulo BDH é do tipo retângulo
O ângulo entre as retas AB e AH é 45°
A projeção ortogonal da reta AB sobre o plano BCGF é a reta BC
A projeção ortogonal da reta AF sobre o plano BCGF é a reta BF
A projeção ortogonal da reta AG sobre o plano BCGF é a reta CG
A projeção ortogonal da reta BH sobre o plano BCGF é a reta BG
Os planos ABCD e BFHD são perpendiculares
DIEDRO

Ângulo diedro (diédrico) é a reunião de dois semiplanos de mesma origem (reta interseção)
A origem comum dos semiplanos é a aresta do diedro e os dois semiplanos são suas faces

No diedro nulo as faces são coincidentes

No diedro raso as faces são semiplanos opostos

Secção de um diedro é a interseção do diedro com um plano secante à aresta
 Secção reta ou secção normal de um diedro é uma secção cujo plano é perpendicular à
aresta do diedro
 Diedro reto : sua secção normal é um ângulo reto
 Diedro agudo : sua secção normal é um ângulo agudo
 Diedro obtuso : sua secção normal é um ângulo obtuso
 Diedros adjacentes : as secções normais são ângulos adjacentes
 Bissetor de Diedro : é o semiplano que possui origem na aresta do diedro e o divide em
dois diedros adjacentes e congruentes
 Medida de Diedro : é a medida de sua secção reta
 Diedros complementares : a soma de suas secções retas é 90º
 Diedros suplementares : a soma de suas secções retas é 180º
EXERCÍCIOS
1)
Dois semiplanos são bissetores de dois diedros adjacentes e complementares.
Quanto mede o diedro por eles formado ?
2)
Prove que dois diedros opostos pela aresta são congruentes
3)
Um ponto P dista 12 cm de uma face de um diedro reto, e 16 cm de outra face.
Calcule a distância desse ponto à aresta do diedro.
4)
Um diedro mede 120° e a distância de um ponto P às suas faces é 10 cm.
Calcule a distância entre os pés das perpendiculares às faces conduzidas por P.
5)
Verdadeiro ou falso ?
(
(
(
(
(
(
)
)
)
)
)
)
Dois planos perpendiculares determinam quatro diedros retos
Duas seccções paralelas de um mesmo diedro são congruentes
Duas seccções congruentes de um mesmo diedro são paralelas
Toda seccção de um diedro reto é um ângulo reto
Seja um tetraedro regular. Na região interna são formados 6 diedros
Seja um tetraedro regular. Na região interna duas faces formam um diedro de 60°
TRIEDRO

Considere um tetraedro ABCD

As semiretas Ab, Ac, Ad de mesma origem A ( vértice ) formam um triedro ou ângulo
sólido de 3 arestas

O triedro A(b,c,d) é o semiespaço formado por três diedros de arestas b,c,d

O triângulo BCD com um único vértice em cada aresta é uma secção do triedro.

O triedro notável é aquele cujas faces são perpendiculares e cujos diedros são retos

Em todo triedro, qualquer face (ângulo de face) é menor que a soma das outras faces
b ^d


c ^d  b ^c
A soma das medidas em graus das faces de um triedro qualquer é menor que 360°
f1 + f2 + f3 < 360°

Se f1 ; f2 ; f3 são as medidas
f1
f2
f3
Então
das faces de um triedro :
< f2 + f3
< f1 + f3

f2 – f3 < f1
< f1 + f2

f3 – f2 < f1
| f2 – f3 | < f1 <
f2 + f3
EXERCÍCIOS
1)
Verdadeiro ou falso ? Existem triedros cujas faces medem respectivamente :
(
(
(
(
(
)
)
)
)
)
2)
Num triedro, duas faces medem 110° e 140°. Determine o intervalo de variação
da medida da terceira face.
3)
No tetraedro ABCD de vértive A o triedro A(b,c,d) possui faces
40° ; 50° ; 90°
90º ; 90º ; 90º
1°; 1°; 1°
185° ; 115° ; 60°
150° ; 140°; 130°
b ^ d  35 ; c ^ d  42
a) as possíveis medidas de b ^ c
b) a medida do ângulo entre AM e AN sendo M o ponto médio de BD e N o ponto médio
de CD, supondo que BÂC = 25°