t - Ivan H. Bechtold

EXPERIÊNCIA 07
CIRCUITO SÉRIE RLC
1. OBJETIVOS
a) Medir correntes e tensões em circuitos série RC, RL, LC e RLC em corrente alternada.
b) Construir o diagrama de tensões do circuito RLC.
c) Calcular os valores de R, L e C.
d) Medir a freqüência de ressonância de um circuito RLC.
2. TEORIA BÁSICA
Para o circuito RLC da figura 1, a equação diferencial é:
d 2q
dq q
L 2  R    m cos t
dt
dt C
(1)
onde q é a carga do capacitor. Admitindo-se que o circuito seja alimentado por uma força eletromotriz do tipo
 ( t ) = m cos
 t , uma solução que satisfaz a equação (1) é :
q
m
sen( t   )
Z
(2)
1 

Z  R   L 

C 

2
2
onde:
(3)
é a impedância do circuito,  = 2  f é a freqüência angular e
 = cos -1 ( R / Z )
(4)
é o ângulo de fase entre a fem e a corrente no circuito.
R
~
 (t)
L
C
Figura 1 - Circuito série RLC
Circuito RLC – pág. 1
Pode-se verificar, por substituição direta, que a equação (2) é uma solução da equação (1). A
corrente i no circuito pode ser obtida como função do tempo, diferenciando a equação (2):
i
dq  m
 cos( t   )  i m cos( t   )
dt
Z
(5)
sendo im a amplitude máxima, ou valor de pico de corrente.
Geralmente os voltímetros e amperímetros medem tensão eficaz e corrente eficaz, ao invés de
tensão máxima
m
ou corrente máxima im. O valor eficaz ief ou valor médio quadrático de uma corrente
alternada é a corrente capaz de dissipar a mesma quantidade de calor numa resistência ôhmica que a produzida
por uma corrente contínua i, em um mesmo intervalo de tempo, sendo definida matematicamente por:
T
1 2
i dt
t 0
ief 
onde T 
(6)
1 2
é o período de oscilação da corrente alternada.

F 
O valor eficaz da corrente alternada está relacionado com o valor máximo im, determinado através
da equação (6), usando o valor instantâneo de i é dado pela equação (5):
ief 
im
(7)
2
A tensão eficaz alternada é:
Vef 
m
(8)
2
Considerando a definição de impedância, e as equações (7) e (8), tem-se que:
Z
m
im

Vef
(9)
ief
Para simplificar a notação, representa-se Vef e ief por V e i, resultando:
Z
V
i
(10)
Devido à semelhança da equação (10) com a definição de resistência, R = V / i, considera-se a Z
como um “resistência generalizada” denominada impedância. Sob o ponto de vista operacional, é conveniente
introduzir as seguintes definições:
XL =  L = 2  f L
XC 
1
1

C 2fC
X = XL - XC
reatância indutiva
(11)
reatância capacitiva
(12)
reatância
(13)
Com estas definições, a impedância (equação 3) pode ser expressa de outra maneira:
Circuito RLC – pág. 2
Z  R 2  X L  XC 2  R 2  X 2
(14)
Tal como a resistência, as impedâncias também são medidas em ohms.
É comum representar as reatâncias e a resistência em um diagrama, denominado Diagrama de
Impedâncias, como no lado esquerdo da figura 2. Como a corrente em um circuito RLC série é a mesma em
todas as partes do circuito, pode ser feito um diagrama em termos das tensões no resistor, indutor e capacitor,
denominado Diagrama de Tensões, representado no lado direito da figura 2, devido às seguintes relações:
V=Zi;
VR = R i;
VL = XL i;
VC = XC i
(15)
Embora a equação (4) seja uma definição de ângulo de fase , podemos usar uma definição
alternativa através do diagrama de impedância e usando o conceito de reatância:
  tan 1 (
X L  XC
)
R
(16)
Se  > 0, o circuito é indutivo e a tensão está adiantada em relação à corrente.
Se  < 0, o circuito é capacitivo e a tensão está atrasada em relação à corrente.
Se  = 0, o circuito é resistivo e se diz que a corrente e a tensão estão em fase.
XL
VL
Z = ( R2 + X2 )1/2
X = XL - XC
V
VL - VC


XC
VR
R
VC
Figura 2 -
a. Diagrama de impedâncias
b. Diagrama de tensões
O conceito de ângulo de fase, aqui rapidamente abordado, embora possa parecer um tanto
abstrato, tem grande aplicação prática, relacionado à potência efetiva dissipada em circuitos RLC alimentados
com corrente alternada.
Enquanto num circuito de corrente contínua a potência dissipada P é dada por P = i V, nos
circuitos de corrente alternada, durante parte do ciclo, a energia é fornecida da fonte à componente reativa e,
na parte restante do ciclo, a energia é devolvida da parte reativa à fonte. Assim, durante o ciclo completo, a
potência efetivamente dissipada na parte resistiva do circuito é dada por:
P = i VR = i V cos 
(17)
onde a quantidade cos  é denominada fator de potência do circuito, podendo variar de zero ( = 90o), em um
circuito puramente reativo, a um (  = 0o ) em um circuito puramente resistivo.
Circuito RLC – pág. 3
Uma outra abordagem relevante do circuito RLC, é o estudo do comportamento da corrente como
função da freqüência de estímulo da fonte de tensão. Observa-se que, mantidos fixos os parâmetros R, L e C
do circuito RLC, existe um freqüência fo, para a qual a corrente no circuito é maximizada. A freqüência fo, na
qual o fenômeno ocorre, é chamada de FREQÜÊNCIA DE RESSONÂNCIA. Nesta condição, a corrente i é
máxima porque a impedância Z tem valor mínimo, ou seja,  = 0. Isso implica que
2 f 0 L 
1
2 f 0C
XL = XC ou:
,
ou seja:
f0 
1
2
1
LC
(18)
Uma possibilidade de verificar experimentalmente estas condições é medir a corrente como
função da freqüência, com R arbitrário e R  0 e, em ambos os casos, verificar as relações entre VL e VC.
Observe que a condição R = 0 não pode ser alcançada experimentalmente, e para a condição R 
0 há que se considerar detalhes tão finos quanto a resistência interna do amperímetro no circuito.
3. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
1. D. Halliday,R.Resnick e J.Walker; Fundamentos de Física; Vol.3; Ed. LTC
2. Sears; Zemansky;Young e R.Fredman; Física III; Ed. Pearson,Addison Wesley.
3. P A.Tipler; Física-Eletricidade e Magnetismo,Ótica; Vol.2;4°Edição;Ed.LTC
4. Introdução ao Laboratório de Física; J.J.Piacentini, B.C.S.Grandi, M.P.Hofmann, F.R.R.de Lima,
E. Zimmermann; Ed. da UFSC.
Circuito RLC – pág. 4
4. ESQUEMA
Voltímetro fixo
V
~
Fonte ( Oscilador )
A amperímetro
Z
V
Voltímetro móvel
5. PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL
PRIMEIRA PARTE - Circuitos
1. Monte o circuito conforme o esquema, utilizando como Z a resistência R.
2. Use a freqüência de 1.000 Hz e amplitude máxima da fonte. Antes de ligar a fonte de tensão, se tiver
dúvidas, solicite ao professor para verificar as conexões.
3. O objetivo é fazer 7 diferentes circuitos, onde Z será sucessivamente substituída por R, L e C
individualmente, RC, RL, LC e RLC em série. Em cada um deles você deverá medir a tensão total V, a corrente
total i e as tensões VR, VL e VC nos terminais de cada elemento do circuito ( R, L, C). Ao completar as medidas
de um dado circuito, e antes de montar o seguinte, retorne a amplitude a zero. Anote suas medidas na Tabela I
do relatório. Na Tabela II serão lançados os cálculos decorrentes das medidas.
SEGUNDA PARTE - Ressonância
1. A montagem é a mesma do circuito RLC em série, porém excluindo a resistência R. A resistência que vai
permanecer é a resistência combinada da escala do amperímetro e a resistência ôhmica da bobina. Utilize o
amperímetro na mesma escala no decorrer das medidas. A freqüência do oscilador deve ter um valor inicial de
400 Hz. A amplitude do mesmo deve ser ajustada em 1,5 V (no voltímetro), toda vez que a freqüência for
alterada.
2. Ajuste a freqüência do oscilador, iniciando com 400 Hz e meça a corrente no circuito RLC, anotando este
valor na Tabela III. As freqüências restantes podem ser variadas de acordo com os valores lançados na tabela.
3. Orientando-se apenas pelo amperímetro, determine a freqüência de ressonância (f0) do circuito, ajustando a
freqüência da fonte até atingir a corrente máxima (i0). Anote estes valores na Tabela III.
Circuito RLC – pág. 5
4. Meça as tensões no capacitor e no indutor, na condição de ressonância e também para uma condição fora da
ressonância, isto é, para uma freqüência arbitrária diferente da freqüência de ressonância (de preferência tão
diferente quanto possível).
6. RELAÇÃO DO MATERIAL
01 oscilador
03 multímetros.
01 resistor metálico 100 .
01 bobina 1500 espiras.
01 capacitor 630 nF.
09 cabos para conexões elétricas.
7. QUESTIONÁRIO
1.a. Com os dados da Tabela I, complete a Tabela II.
1.b. Calcule os valores médios de R, de L e de C que você obteve através dos valores de corrente e de tensão
medidos nos diferentes circuitos.
2.a. Faça o diagrama de tensões medidas para o circuito RLC em escala.
2.b. Calcule o ângulo de fase  obtido a partir do diagrama de tensões do circuito RLC.
2.c. O circuito desta experiência é indutivo ou capacitivo? Por que?
3. Calcule a indutância L da bobina utilizando as medidas VL e i do circuito contendo apenas a bobina e
considerando a sua resistência ôhmica ( r = 16  ).
4. Calcule o ângulo de fase  para o circuito RLC incluindo no cálculo as resistências ôhmicas do indutor L e a
resistência interna do amperímetro(para a escala de 200mA, RA=3,1Ω).
5.a. Calcule a freqüência de ressonância para este circuito RLC.
5.b. Fixando L, para que valor de C este circuito entra em ressonância para a freqüência da rede (60 Hz)?
6.a. Construa o gráfico de i em função de f com os dados da Tabela III.
6.b. Obtenha a freqüência de ressonância experimental e calcule o erro percentual em relação ao valor obtido
na questão 5.a.
6.c. Calcule a impedância do circuito na ressonância, utilizando a tensão total aplicada e a corrente medida. A
partir dela, calcule a resistência interna do amperímetro e compare com o valor fornecido.
Circuito RLC – pág. 6
GRUPO:
TURMA:
ALUNOS:
,
,
experiência 07
CIRCUITO SÉRIE RLC
PRIMEIRA PARTE - Circuitos
Tabela I - Medidas
V (V)
i ( mA )
VR ( V )
VL ( V )
VC ( V )
R
L
C
RC
RL
LC
RLC
Tabela II - Cálculos
Z ()
R ()
XL (  )
XC (  )
C ( F )
L ( mH )
R
L
C
RC
RL
LC
RLC
SEGUNDA PARTE - Ressonância
Tabela III
V = 1,50 V
f (Hz)
400
500
600
700
800
900
1000
1100
1200
1300
1400
i(mA)
f0 =
Hz
VL (na ressonância) =
V
i0=
mA
VC (na ressonância) =
V
f=
Hz
VL (fora da ressonância) =
V
VC (fora da ressonância) =
V
MEDIDAS:
Circuito RLC – pág. 7
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