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Exercícios
MTM A – Análise Combinatória
UNIFESP | Duzentos e cinquenta candidatos submeteram-se a uma prova com 5
questões de múltipla escolha, cada questão com 3 alternativas e uma única
resposta correta. Admitindo-se que todos os candidatos assinalaram, para cada
questão, uma única resposta, pode-se afirmar que pelo menos:
a) um candidato errou todas as respostas.
b) dois candidatos assinalaram exatamente as mesmas alternativas.
c) um candidato acertou todas as respostas.
d) a metade dos candidatos acertou mais de 50% das respostas.
e) a metade dos candidatos errou mais de 50% das respostas.
Resolução:
Total de respostas possíveis:
3p = 243
_____
3p . _____
3p . _____
3p . _____
3p . _____
2ª
5ª
4ª
1ª
3ª
Gabarito: b
MTM A – Análise Combinatória
(UFMG) Em uma lanchonete, os sorvetes são divididos em três grupos: o vermelho,
com 5 sabores; o amarelo, com 3 sabores; e o verde, com 2 sabores. Pode-se pedir
uma casquinha com 1, 2 ou 3 bolas, mas cada casquinha não pode conter 2 bolas
de um mesmo grupo. O número de maneiras distintas de se pedir uma casquinha
é:
a) 71
b) 86
c) 61
d) 131
Resolução:
Casquinha com 1 bola: 5 vermelhas + 3 amarelas + 2 verdes = 10 casquinhas.
Casquinha com 2 bolas: (Verm. e Am.) ou (Verm. e Verd.) ou (Verd. e Am)
5p . _____
3p + _____
5p . _____
2p + _____
2p . _____
3p = 31
_____
Casquinha com 3 bolas:
Vermelha e Amarela e Verde
_____
5p . _____
3p . _____
2p = 30
Gabarito: A
MTM A – Análise Combinatória
UFC | Considere os números inteiros maiores que 64.000 que possuem cinco
algarismos todos distintos, e que não contêm os dígitos 3 e 8. A quantidade
desses números é:
a) 2160
b) 1320
c) 1440
d) 2280
e) 2880
Resolução:
MTM A – Análise Combinatória
(FEI) Quantos valores inteiros entre 100 e 999 possuem a seguinte característica: a
soma do algarismo das centenas com o algarismo das dezenas é igual ao
algarismo das unidades?
a) 450
b) 45
c) 90
d) 9
e) 1
MTM A – Análise Combinatória
Resolução:
1 . _____
0 . _____
1 =
_____
1
4 =
_____ . _____ . _____
fixo
fixo
5 =
_____ . _____ . _____
1 . _____
1 . _____
2 =
_____
fixo
2 . _____
0 . _____
2 =
_____
2
fixo
1 . _____
2 . _____
3 =
_____
fixo
3 . _____
0 . _____
3 =
_____
fixo
.
.
.
3
5
fixo
9 =
_____ . _____ . _____
fixo
2 . _____
1 . _____
3 =
_____
4
9
fixo
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + . . . + 9 = 45
Gabarito: B
MTM A – Análise Combinatória
UERJ | Uma máquina contém pequenas bolas de borracha de 10 cores
diferentes, sendo 10 bolas de cada cor. Ao inserir uma moeda na máquina,
uma bola é expelida ao acaso.
Observe a ilustração:
Para garantir a retirada de 4 bolas de uma mesma cor, o menor número de
moedas a serem inseridas na máquina corresponde a:
a) 5
b) 13
c) 31
d) 40
MTM A – Análise Combinatória
(UFF) Diogo precisa que sua mulher, Cristina, retire dinheiro no caixa eletrônico e
manda entregar-lhe o cartão magnético, acreditando que ela saiba qual é a senha.
Cristina, entretanto, recorda que a senha, composta de seis algarismos distintos,
começa por 75 — os dois algarismos finais indicativos do ano em que se casou
com Diogo; lembra, ainda, que o último algarismo da senha é ímpar. Determine o
tempo máximo necessário para Cristina descobrir a senha da conta de Diogo, caso
ela gaste 10 segundos no teste de cada uma das possíveis senhas.
Resolução:
Etapas:
. .
.
___
7 ___
5 ___
7p ___
6p ___
5p ___
3p = 630
10 segundos por tentativa: 10 . 630 = 6300“
1h ------- 3600”
xh ------- 6300”
3600.x = 6300
x = 1,75h
x = 1h + 0,75.60
x = 1h45min.
MTM A – Análise Combinatória
(UNICAMP) Em Matemática, um número natural é chamado palíndromo se seus
algarismos, escritos em ordem inversa, produzem o mesmo número. Por exemplo,
8, 22 e 373 são palíndromos. Pergunta-se:
a) Quantos números naturais palíndromos existem entre 1 e 9.999?
b) Escolhendo-se ao acaso um número natural entre 1 e 9.999, qual é a
probabilidade de que esse número seja palíndromo? Tal probabilidade é maior ou
menor que 2%?
Resolução: a)
Palíndromos de 1 algarismo :
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 = 8
Palíndromos de 2 algarismos :
9p . _____
1p = 9
_____
Palíndromos de 3 algarismos :
9p . _____
10p . _____
1p = 90
_____
9p . _____
10p . _____
1p . _____
1p = 90
_____
Palíndromos de 4 algarismos :
Total de palíndromos :
8 +9 + 90 + 90 = 197
197 – 1 = 196
MTM A – Análise Combinatória
Resolução: b)
A quantidade de números no intervalo entre 1 e 9.999 é : 9.997
A quantidade de palíndromos no intervalo entre 1 e 9.999 é : 196
A probabilidade de um palíndromo no intervalo entre 1 e 9.999 é :
196
= 1,96%
1997
Gabarito: 1,96
MTM A – Análise Combinatória
Empregando o raciocínio combinatório, calcule o número de diagonais de um
polígono de:
a) 8 lados
b) n lados
Resolução:
A
B
H
C
G
D
F
E
MTM A – Análise Combinatória
Considere os conjuntos P = {2, 3, 5, 7, 11, 13,17, 19} e Q = {23, 29, 31, 37, 41, 43}.
a) Determine o número total de produtos distintos de seis fatores distintos, que
podem ser obtidos, escolhendo–se três fatores entre os elementos do conjunto P e
três fatores entre os elementos do conjunto Q.
b) Determine quantos dos produtos obtidos no item (a) são divisíveis, pelo menos,
por um dos números 2 ou 29.
Resolução:
a)
_____ _____ _____ _____ _____ _____
C
3
8
.
C
3
6
8!
6!
.
= 56.20 = 1120
3!.5! 3!.3!
Gabarito: 1120
MTM A – Análise Combinatória
Considere os conjuntos P = {2, 3, 5, 7, 11, 13,17, 19} e Q = {23, 29, 31, 37, 41, 43}.
b) Determine quantos dos produtos obtidos no item (a) são divisíveis, pelo menos,
por um dos números 2 ou 29.
Resolução:
b) Produtos que não interessam (sem os fatores 2 e 29):
_____ _____ _____ _____ _____ _____
C
3
7
.
C
3
5
(total de produtos) – (produtos sem interesse)
1120 – 350 = 770
7!
5!
.
= 35.10 = 350
3!.4! 3!.2!
MTM A – Análise Combinatória
As embalagens dos produtos vendidos por uma empresa apresentam uma
seqüência formada por barra verticais: quatro de largura 1,5 mm; três de largura 0,5
mm e duas de largura 0,25 mm como na figura abaixo. Cada seqüência indica o
preço de um produto. Quantos preços diferentes podem ser indicado por essas nove
barras?
Resolução:
4 de largura 1,5 mm; 3 de largura 0,5 mm e 2 de largura 0,25 mm:
4 ,3,2
9
P
9!
=
= 1260
4!.3!.2!
Gabarito: 1260
MTM A – Análise Combinatória
Uma prova de História propunha 10 testes, cada um valendo 1 ponto. Se André
alcançou 7 pontos na prova, com relação aos testes que acertou e aos que errou, de
quantos modos diferentes ele pode realizado?
Possibilidades de fazer 7 pontos:
1) A
2) A
3) E
4) E
5) A
6) A
7) A
8) E
9) A
10)A
1) E
2) A
3) A
4) E
5) A
6) E
7) A
8) A
9) A
10)A
1) A
2) E
3) A
4) A
. . . . . . . 5) A
6) A
7) A
8) A
9) E
10)E
7 ,3
10
P
10!
=
= 120
7!.3!
Gabarito: 120
MTM A – Análise Combinatória
Com n letras iguais a A e 3 letras iguais a B formam-se um total de 8n + 16
permutações. Calcule n.
Resolução:
A ___
A . . . . . ___
B ___
B ___
A ___
B
___
n letras
3 letras
P(nn,+33 ) = 8n + 16
(n + 3)!
= 8n + 16
n!.3!
(n + 3).(n + 2).(n + 1).n!
= 8.(n + 2)
n!.3.2.1
n2 + 4n + 3
=8
6
n2 + 4n − 45 = 0
n1 = 5 ou n2 = −9 (não serve)
Gabarito: 5
MTM A – Análise Combinatória
Sobre uma mesa, há 15 bolas de bilhar: 8 vermelhas, 4 amarelas e 3 pretas.De
quantos modos podem-se enfileirar essas bolas de modo que duas da mesma cor
nunca fiquem juntas?
Resolução:
___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___
MTM A – Análise Combinatória
(UFMG) Num grupo constituído de 15 pessoas, cinco vestem camisas amarelas, cinco
vestem camisas vermelhas e cinco vestem camisas verdes. Deseja-se formar uma fila
com essas pessoas de forma que as três primeiras vistam camisas de cores diferentes
e que as seguintes mantenham a seqüência de cores dada pelas três primeiras.
Nessa situação, de quantas maneiras distintas se pode fazer tal fila?
a) 3(5!)3
b) (5!)3
c) (5!)3(3!)
d) 15!/(3!5!)
Resolução:
5 vestem camisas amarelas, 5 vestem camisas vermelhas e 5 vestem camisas verdes.
A ___
V ___
A ___
V ___
A ___
V ___
A ___
V ___
A ___
V ___
Vd ___
Vd ___
Vd ___
Vd ___
Vd
___
P3
.P .P .P
5
5
5
(3!).(5!).(5!).(5!) = (5!)3.(3!)
Gabarito: C
MTM A – Análise Combinatória
Um grupo formado por 4 rapazes e uma senhorita vai visitar uma exposição de arte.
Um dos rapazes é um perfeito cavalheiro e, portanto, não passa pela porta da sala de
exposições sem que a senhorita já o tenha feito. Considerando que a entrada é de
uma pessoa por vez, então haverá 72 diferentes possibilidades para a ordem de
entrada do grupo.
Resolução:
4 rapazes e 1 senhorita: R1, R2, R3, R4, S.
S . _____
4p . _____
3p . _____
2p . _____=
1p
24
_____
fixo
3p . _____
S . _____
3p . _____
2p . _____=
1p
18
_____
fixo
60 números
3p . _____
2p . _____
S . _____
2p . _____=
1p
12
_____
fixo
3p . _____
2p . _____
1p . _____
1p
6
S . _____=
_____
fixo
MTM A – Análise Combinatória
(FUVEST) Em uma certa comunidade, dois homens sempre se cumprimentam (na
chegada) com um aperto de mão e se despedem (na saída) com outro aperto de
mão. Um homem e uma mulher se cumprimentam com um aperto de mão, mas se
despedem com um aceno. Duas mulheres só trocam acenos, tanto para se
cumprimentarem quanto para se despedirem. Em uma comemoração, na qual 37
pessoas almoçaram juntas, todos se cumprimentaram e se despediram na forma
descrita acima. Quantos dos presentes eram mulheres, sabendo que foram trocados
720 apertos de mão?
a) 16
b) 17
c) 18
d) 19
e) 20
MTM A – Análise Combinatória
Resolução:
Sendo x o número de homens, temos:
Cumprimentos entre dois homens: 2.Cx,2
Cumprimentos entre um homem e uma mulher: x.(37 – x)
Portanto: 2.Cx,2 + x.(37 – x) = 720
2.
x!
+ 37x − x 2 = 720
2!.(x − 2)!
x = 20
Mulheres:
37 – x
37 – 20
17
Gabarito: B
MTM A – Análise Combinatória
(CEM) Considere todos os pares ordenados (x,y), com x e y sendo números naturais,
que satisfazem a equação x + y = 12.
Ao substituirmos todas estas soluções na expressão
, e somarmos
os valores encontrados obteremos um número cuja soma dos algarismos é:
MTM A – Análise Combinatória
(UNIRIO) A NASA dispõe de 10 pilotos igualmente
preparados e habilitados a serem astronautas, sendo
que dois deles são irmãos. Sabendo-se que na próxima
viagem do “ônibus espacial” irão a bordo 4 astronautas,
qual é a probabilidade de os dois irmãos participarem
juntos dessa próxima viagem?
MTM A – Análise Combinatória
O controle de qualidade de uma empresa fabricante de telefones
celulares aponta que a probabilidade de um aparelho de determinado
modelo apresentar defeito de fabricação é de 0,2%. Se uma loja acaba
de vender 4 aparelhos desse modelo para um cliente, qual é a
probabilidade de esse cliente sair da loja com exatamente dois
aparelhos defeituosos?
a) 2×(0,2%)4.
b) 4×(0,2%)2.
c) 6×(0,2%)2×(99,8%)2.
d) 4×(0,2%).
e) 6×(0,2%)×(99,8%).
Resolução:
D
e
D
e
ND
e
ND
(0,2%) x (0,2%) x (99,8%) x (99,8%) = (0,2%)2 x(99,8%)2
D, D, ND, ND
Gabarito: c
MTM A – Análise Combinatória
Um dado é viciado, de modo que a probabilidade de obter
um certo número é esse número multiplicado por k,
sendo k um número real. Encontre a probabilidade de:
a. ocorrer o número 5;
b. ocorrer um número par.
MTM A – Análise Combinatória
(ITA) Numa caixa com 40 moedas, 5 apresentam duas caras,
10 são normais (cara e coroa) e as demais apresentam duas
coroas. Uma moeda é retirada ao acaso e a face observada
mostra uma
coroa. A probabilidade de a outra face desta moeda também
apresentar uma coroa é:
a) 7/8
b) 5/7
c) 5/8
d) 3/5
e) 5/6
MTM A
Fim
AULA 02